Selamat datang di ujian komprehensif kami yang dirancang khusus untuk menguji pemahaman Anda tentang aplikasi turunan dalam matematika. Aplikasi turunan adalah salah satu topik paling fundamental dalam kalkulus yang memiliki relevansi luas di berbagai bidang, mulai dari fisika, ekonomi, teknik, hingga ilmu komputer. Materi ini memungkinkan kita untuk memecahkan masalah optimasi, menentukan laju perubahan, menganalisis bentuk kurva, serta memahami pergerakan objek. Dalam artikel ini, Anda akan menemukan beragam soal aplikasi turunan, mulai dari tingkat dasar hingga lanjutan, yang mencakup soal pilihan ganda, isian singkat, esai, dan menjodohkan. Persiapkan diri Anda untuk menguji kemampuan dalam mengidentifikasi titik maksimum dan minimum, menghitung laju terkait, menginterpretasikan grafik fungsi, dan menerapkan prinsip-prinsip turunan untuk menyelesaikan masalah nyata. Setiap soal telah dilengkapi dengan jawaban atau pembahasan untuk membantu Anda dalam proses belajar. Tingkatkan penguasaan Anda dalam kalkulus diferensial dan persiapkan diri Anda untuk tantangan akademis dan profesional di masa depan.
1. Fungsi f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x – 1 memiliki titik stasioner pada x = …
- 1 dan 3
- 0 dan 3
- 1 dan 2
- 0 dan 1
Answer/Key: x = 1 dan x = 3
2. Interval di mana fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5 naik adalah…
- x < -1 atau x > 3
- -1 < x < 3
- x < -3 atau x > 1
- -3 < x < 1
Answer/Key: x < -1 atau x > 3
3. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang akan dipagari dengan kawat sepanjang 100 meter. Luas maksimum tanah tersebut adalah…
- 625 m^2
- 500 m^2
- 1250 m^2
- 2500 m^2
Answer/Key: 625 m^2
4. Gradien garis singgung kurva y = x^3 – 3x^2 + 2x – 1 di titik x=1 adalah…
- -2
- -1
- 0
- 1
Answer/Key: -1
5. Kurva f(x) = x^4 – 4x^3 + 10 cekung ke atas pada interval…
- x < 0 atau x > 2
- 0 < x < 2
- x < 1
- x > 1
Answer/Key: x < 0 atau x > 2
6. Air dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut dengan laju 5 cm^3/s. Jika jari-jari kerucut selalu 2 kali tingginya (r=2h), laju perubahan tinggi air saat tingginya 4 cm adalah… (V = (1/3)πr^2h)
- 5/(64π) cm/s
- 5/(32π) cm/s
- 5/(16π) cm/s
- 5/(8π) cm/s
Answer/Key: 5/(64π) cm/s
7. Nilai dari lim (x→0) (sin x / x) adalah…
- 0
- 1
- -1
- Tak terhingga
Answer/Key: 1
8. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berbentuk persegi berukuran 12 cm dengan memotong persegi kecil di setiap sudutnya dan melipat sisinya ke atas. Agar volume kotak maksimum, ukuran sisi persegi kecil yang dipotong adalah…
- 1 cm
- 2 cm
- 3 cm
- 4 cm
Answer/Key: 2 cm
9. Jika f'(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka titik (c, f(c)) adalah…
- Titik maksimum lokal
- Titik minimum lokal
- Titik belok
- Titik stasioner yang bukan ekstrem
Answer/Key: Titik minimum lokal
10. Persamaan garis singgung kurva y = x^2 – 4x + 3 di titik (1, 0) adalah…
- y = -2x + 2
- y = -2x – 2
- y = 2x – 2
- y = 2x + 2
Answer/Key: y = -2x + 2
11. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan posisi s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t, di mana t dalam detik dan s dalam meter. Kecepatan partikel pada saat t=2 detik adalah…
- -3 m/s
- 0 m/s
- 3 m/s
- -6 m/s
Answer/Key: -3 m/s
12. Mengacu soal sebelumnya, percepatan partikel pada saat t=2 detik adalah…
- -6 m/s^2
- 0 m/s^2
- 6 m/s^2
- 12 m/s^2
Answer/Key: 0 m/s^2
13. Dengan menggunakan turunan, taksiran nilai dari sqrt(9.06) adalah…
- 3.01
- 3.001
- 3.002
- 3.02
Answer/Key: 3.01
14. Biaya produksi x unit barang adalah C(x) = x^3 – 6x^2 + 15x. Biaya marginal saat x=10 adalah…
- 195
- 255
- 300
- 315
Answer/Key: 195
15. Kecepatan maksimum partikel dengan posisi s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t untuk 0 <= t <= 5 adalah...
- -3 m/s
- 0 m/s
- 9 m/s
- 24 m/s
Answer/Key: 24 m/s
16. Titik pada kurva y = x^2 yang terdekat dengan titik (0, 2) adalah…
- (0, 0)
- (1, 1)
- (-1, 1)
- (sqrt(3/2), 3/2)
Answer/Key: (sqrt(3/2), 3/2)
17. Jika f(x) = x^2 – 4x + 3 pada interval [0, 4], nilai c yang memenuhi Teorema Nilai Rata-rata adalah…
- 1
- 2
- 3
- 0
Answer/Key: 2
18. Sebuah bola memuai sehingga jari-jarinya bertambah dengan laju 2 cm/s. Laju perubahan luas permukaan bola saat jari-jari 3 cm adalah… (Luas permukaan A = 4πr^2)
- 24π cm^2/s
- 36π cm^2/s
- 48π cm^2/s
- 72π cm^2/s
Answer/Key: 48π cm^2/s
19. Titik belok dari fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 1 adalah…
- (1, -1)
- (0, -1)
- (2, -1)
- (1, 0)
Answer/Key: (1, -1)
20. Sebuah persegi panjang diletakkan di bawah kurva y = 3 – x^2 dengan salah satu sisi di sumbu-x dan kedua sudut atasnya pada kurva. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah…
- 4
- 8
- 12
- 16
Answer/Key: 4
21. Tentukan semua titik stasioner (titik kritis) dari fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 5.
Answer/Key: Titik stasioner pada x=0 dan x=2.
22. Sebuah tangga sepanjang 10 meter disandarkan pada dinding. Ujung bawah tangga digeser menjauhi dinding dengan laju 1 m/s. Seberapa cepat ujung atas tangga bergerak turun saat ujung bawah tangga berjarak 6 meter dari dinding?
Answer/Key: Ujung atas tangga bergerak turun dengan laju 3/4 m/s.
23. Dua bilangan positif memiliki jumlah 10. Tentukan kedua bilangan tersebut agar hasil kali mereka maksimum.
Answer/Key: Kedua bilangan adalah 5 dan 5.
24. Tentukan persamaan garis normal kurva y = x^2 – x + 1 di titik (2, 3).
Answer/Key: Persamaan garis normal adalah x + 3y – 11 = 0.
25. Tentukan titik belok dari fungsi f(x) = x^4 – 6x^2.
Answer/Key: Titik belok adalah (1, -5) dan (-1, -5).
26. Sebuah petani ingin membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dengan luas 1800 m^2. Salah satu sisi kandang akan berbatasan dengan tembok panjang, sehingga tidak memerlukan pagar. Tentukan ukuran kandang agar panjang pagar yang dibutuhkan minimal. Sertakan langkah-langkah penyelesaiannya secara detail.
Answer/Key: Misalkan panjang sisi sejajar tembok adalah l dan sisi tegak lurus tembok adalah w. Luas A = l*w = 1800 sehingga l = 1800/w. Panjang pagar P = l + 2w. Substitusikan l: P(w) = 1800/w + 2w. Untuk mencari nilai minimum, turunkan P(w) terhadap w: P'(w) = -1800/w^2 + 2. Set P'(w)=0: -1800/w^2 + 2 = 0 -> 2w^2 = 1800 -> w^2 = 900 -> w = 30 (karena w harus positif). Jika w=30, maka l = 1800/30 = 60. Jadi, ukuran kandang adalah 60 meter (sisi sejajar tembok) dan 30 meter (sisi tegak lurus tembok) untuk meminimalkan panjang pagar.
27. Diberikan fungsi f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1. a. Tentukan interval di mana fungsi naik dan turun. b. Tentukan koordinat titik maksimum lokal dan minimum lokal. c. Tentukan interval di mana fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah, serta titik beloknya. d. Jelaskan bagaimana informasi di atas digunakan untuk membuat sketsa grafik fungsi.
Answer/Key: a. Turunan pertama f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x-1)(x-3). Fungsi naik pada interval (-∞, 1) atau (3, ∞), dan turun pada interval (1, 3). b. Titik stasioner pada x=1 dan x=3. f(1) = 5, sehingga (1,5) adalah titik maksimum lokal. f(3) = 1, sehingga (3,1) adalah titik minimum lokal. c. Turunan kedua f”(x) = 6x – 12 = 6(x-2). Fungsi cekung ke atas pada interval (2, ∞) dan cekung ke bawah pada interval (-∞, 2). Titik belok pada x=2, f(2)=3, jadi titik belok adalah (2,3). d. Sketsa grafik akan dimulai dengan naik hingga (1,5), kemudian turun hingga (3,1), lalu naik kembali. Kelengkungan grafik akan berubah dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas di titik (2,3).
28. Seorang pria dengan tinggi 1,8 meter berjalan menjauhi tiang lampu setinggi 6 meter dengan laju 1,2 m/s. Seberapa cepat ujung bayangannya bergerak menjauhi tiang lampu saat pria tersebut berjarak 10 meter dari tiang lampu?
Answer/Key: Misalkan x adalah jarak pria dari tiang lampu dan L adalah panjang bayangannya. Dengan prinsip kesebangunan segitiga, kita punya 1.8/L = 6/(L+x). Ini menyederhanakan menjadi 1.8(L+x) = 6L, atau 1.8x = 4.2L, sehingga L = (1.8/4.2)x = (3/7)x. Kita ingin mencari laju perubahan ujung bayangan dari tiang lampu, yaitu d(L+x)/dt = dL/dt + dx/dt. Karena dx/dt = 1.2 m/s, kita dapat mencari dL/dt = (3/7)(dx/dt) = (3/7)(1.2) = 3.6/7 m/s. Maka, laju ujung bayangan menjauhi tiang lampu adalah (3.6/7) + 1.2 = (3.6 + 8.4)/7 = 12/7 m/s.
29. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak dari fungsi f(x) = x^3 – 3x + 1 pada interval tertutup [-2, 2].
Answer/Key: Langkah-langkahnya adalah: 1. Cari titik kritis di dalam interval: f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1). f'(x)=0 ketika x=1 atau x=-1. Kedua titik ini berada dalam interval [-2, 2]. 2. Hitung nilai fungsi di titik kritis: f(1) = 1^3 – 3(1) + 1 = -1. f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 1 = 3. 3. Hitung nilai fungsi di ujung interval: f(-2) = (-2)^3 – 3(-2) + 1 = -1. f(2) = (2)^3 – 3(2) + 1 = 3. 4. Bandingkan semua nilai: Nilai-nilai yang didapat adalah -1, 3, -1, 3. Nilai maksimum mutlak adalah 3, dan nilai minimum mutlak adalah -1.
30. Sebuah bola pejal memiliki jari-jari terukur 5 cm dengan kemungkinan kesalahan pengukuran ± 0,02 cm. Gunakan diferensial untuk menaksir kesalahan maksimum dalam perhitungan volume bola. (Rumus volume bola V = (4/3)πr^3).
Answer/Key: Rumus volume bola adalah V = (4/3)πr^3. Untuk menaksir kesalahan maksimum, kita gunakan diferensial: dV = (dV/dr) * dr. Turunan V terhadap r adalah dV/dr = 4πr^2. Diketahui r = 5 cm dan dr = ±0.02 cm. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus diferensial: dV = 4π(5^2) * (±0.02) = 4π(25) * (±0.02) = 100π * (±0.02) = ±2π. Jadi, taksiran kesalahan maksimum dalam perhitungan volume bola adalah ±2π cm^3.
31. Jodohkan konsep turunan berikut dengan deskripsi atau aplikasinya yang tepat.
| Titik di mana f'(x) = 0 | … | Titik stasioner |
| f'(x) > 0 | … | Fungsi naik |
| f”(x) < 0 | … | Fungsi cekung ke bawah |
| Laju perubahan volume air dalam wadah | … | Laju terkait |
| f”(x) = 0 dan f”(x) berubah tanda | … | Titik belok |
Answer/Key: 1-E, 2-D, 3-A, 4-B, 5-C
32. Jodohkan jenis masalah optimasi dengan contoh yang sesuai.
| Mencari ukuran kotak agar volume maksimal | … | Optimasi geometris |
| Menentukan kecepatan objek dari fungsi posisi | … | Laju perubahan |
| Menentukan titik pada kurva terdekat dari titik tertentu | … | Optimasi jarak |
| Mencari biaya produksi minimum | … | Optimasi ekonomi |
Answer/Key: 1-A, 2-B, 3-C, 4-D