Ujian Komprehensif: Menguasai Teorema Sisa Polinomial dan Pembahasannya

Selami dunia Teorema Sisa dengan ujian komprehensif ini yang dirancang untuk menguji dan memperkuat pemahaman Anda tentang konsep penting dalam aljabar polinomial. Artikel ini menyediakan beragam soal mulai dari pilihan ganda, isian singkat, esai, hingga soal menjodohkan, mencakup berbagai aplikasi dan skenario Teorema Sisa. Baik Anda sedang mempersiapkan ujian sekolah, UTBK, atau sekadar ingin meningkatkan kemampuan matematika Anda, soal-soal latihan ini akan membekali Anda dengan kepercayaan diri dan keahlian yang diperlukan. Pelajari cara menentukan sisa pembagian, menemukan koefisien yang tidak diketahui, dan memahami hubungan antara Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Setiap pertanyaan disertai dengan kunci jawaban atau pembahasan yang jelas untuk membantu proses belajar Anda.

1. Sisa pembagian suku banyak P(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 1 jika dibagi oleh (x-1) adalah…

-1
0
1
2

Answer/Key: 1

2. Sisa pembagian suku banyak P(x) = 2x^3 + x^2 – 5x + 3 jika dibagi oleh (x+2) adalah…

-1
1
3
5

Answer/Key: 1

3. Jika suku banyak P(x) = x^4 – 3x^3 + 2x – k dibagi oleh (x+1) memberikan sisa 7, maka nilai k adalah…

-1
0
1
2

Answer/Key: -1

4. Sisa pembagian suku banyak P(x) = (x-2)(x+1) + 5 jika dibagi oleh (x-2) adalah…

Answer/Key: 5

5. Jika suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x-3) sisanya 5, dan jika dibagi oleh (x+2) sisanya -1. Maka sisa pembagian P(x) oleh (x^2-x-6) adalah…

x+2
x-2
2x+1
2x-1

Answer/Key: x+2

6. Jika (x-2) merupakan salah satu faktor dari suku banyak x^3 – 4x^2 + px + 6, maka nilai p adalah…

Answer/Key: 3

7. Sisa pembagian suku banyak P(x) = x^3 + 2x^2 – 5x – 7 jika dibagi oleh (2x-1) adalah…

-9/8
-1
1
9/8

Answer/Key: -9/8

8. Suku banyak P(x) jika dibagi (x-1) bersisa 3 dan jika dibagi (x-2) bersisa 5. Sisa pembagian P(x) jika dibagi oleh (x^2-3x+2) adalah…

x+2
2x+1
x-2
2x-1

Answer/Key: 2x+1

9. Suku banyak P(x) jika dibagi (x-1) sisa 4 dan jika dibagi (x+2) sisa -2. Sisa pembagian P(x) oleh x^2+x-2 adalah…

2x+2
x-2
2x
x+1

Answer/Key: 2x+2

10. Suku banyak P(x) berderajat 3. Jika P(x) dibagi (x-1) sisanya 6 dan dibagi (x+2) sisanya -3. Jika P(x) dibagi (x^2+x-2), maka sisanya adalah…

3x+3
3x-3
x+3
x-3

Answer/Key: 3x+3

11. Suku banyak P(x) = x^4 – 2x^3 + ax + 5. Jika P(x) dibagi (x-2) sisanya 11, maka nilai a adalah…

Answer/Key: 3

12. Sisa pembagian P(x) = x^3 + x^2 – 4x + 7 jika dibagi oleh (x-3) adalah…

Answer/Key: 25

13. Suku banyak f(x) dibagi (x-1) sisa 4, dibagi (x-2) sisa 7. Sisa pembagian f(x) oleh (x^2-3x+2) adalah…

3x+1
3x-1
x+3
x-3

Answer/Key: 3x+1

14. Salah satu faktor dari x^3 + x^2 – 10x + 8 adalah (x-1). Faktor lainnya adalah…

(x+2)(x-4)
(x-2)(x+4)
(x+1)(x-8)
(x-1)(x+8)

Answer/Key: (x-2)(x+4)

15. Sisa pembagian (x^2 + 5x – 3) oleh (x+2) adalah…

3
-3
-9
9

Answer/Key: -9

16. Jika x^3 – 2x^2 + ax + 1 dibagi (x-1) sisanya 5, maka nilai a adalah…

Answer/Key: 5

17. Jika P(x) = x^3 – 5x^2 + 7x – 2 dibagi oleh (x+1), maka sisanya adalah…

1
-1
15
-15

Answer/Key: -15

18. Suku banyak f(x) dibagi oleh (x-3) sisa 8 dan dibagi oleh (x-2) sisa -7. Sisa pembagian f(x) oleh x^2 – 5x + 6 adalah…

15x – 37
37x – 15
x – 17
-x + 17

Answer/Key: 15x – 37

19. Suku banyak P(x) = 2x^3 – 3x^2 + ax + b. Jika P(x) dibagi (x-1) sisanya 5 dan dibagi (x+2) sisanya -13, maka nilai a+b adalah…

Answer/Key: 7

20. Jika (x+1) adalah faktor dari x^3 + kx^2 – x + 1, maka nilai k adalah…

-1
0
1
2

Answer/Key: -1

21. Jelaskan konsep dasar dari Teorema Sisa.

Answer/Key: Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suatu suku banyak P(x) dibagi oleh bentuk linear (x-k), maka sisa pembagiannya adalah P(k). Ini berarti kita dapat menemukan sisa tanpa melakukan pembagian panjang, cukup dengan mensubstitusikan nilai k ke dalam suku banyak.

22. Bagaimana hubungan antara Teorema Sisa dan Teorema Faktor?

Answer/Key: Teorema Faktor adalah kasus khusus dari Teorema Sisa. Teorema Faktor menyatakan bahwa (x-k) adalah faktor dari suku banyak P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0. Ini berarti jika sisa pembagian P(x) oleh (x-k) adalah nol, maka (x-k) adalah pembagi yang habis membagi P(x).

23. Tentukan sisa pembagian dari P(x) = 3x^4 – 2x^3 + x – 5 jika dibagi oleh (x-2).

Answer/Key: Sisa = P(2) = 3(2)^4 – 2(2)^3 + 2 – 5 = 3(16) – 2(8) + 2 – 5 = 48 – 16 + 2 – 5 = 29.

24. Jika suatu suku banyak Q(x) dibagi oleh (x-a) memberikan sisa R, tuliskan hubungan tersebut dalam bentuk persamaan.

Answer/Key: Q(x) = (x-a)H(x) + R, di mana H(x) adalah hasil bagi dan R adalah sisa. Berdasarkan Teorema Sisa, R = Q(a).

25. Apa syarat agar (x-a) menjadi faktor dari suku banyak P(x) menurut Teorema Sisa?

Answer/Key: Syarat agar (x-a) menjadi faktor dari suku banyak P(x) adalah jika sisa pembagian P(x) oleh (x-a) adalah nol, atau dengan kata lain, P(a) = 0.

26. Buktikan Teorema Sisa: Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x-k), maka sisa pembagiannya adalah P(k).

Answer/Key: Menurut algoritma pembagian suku banyak, jika P(x) dibagi oleh (x-k), maka dapat ditulis dalam bentuk: P(x) = (x-k)H(x) + S, di mana H(x) adalah hasil bagi dan S adalah sisa. Karena pembagi (x-k) berderajat 1, maka sisa S harus berderajat kurang dari 1, yaitu sebuah konstanta. Untuk mencari nilai S, kita dapat mensubstitusikan x = k ke dalam persamaan:
P(k) = (k-k)H(k) + S
P(k) = (0)H(k) + S
P(k) = 0 + S
P(k) = S
Jadi, terbukti bahwa sisa pembagian suku banyak P(x) oleh (x-k) adalah P(k).

27. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x-1) sisanya 4 dan dibagi oleh (x+2) sisanya -5. Tentukan sisa pembagian P(x) oleh x^2+x-2. Jelaskan langkah-langkahnya secara rinci.

Answer/Key: 1. Dari Teorema Sisa, kita tahu bahwa P(1) = 4 dan P(-2) = -5.
2. Pembagi x^2+x-2 dapat difaktorkan menjadi (x-1)(x+2).
3. Misalkan sisa pembagian P(x) oleh (x-1)(x+2) adalah S(x) = ax+b, karena pembaginya berderajat 2, sisanya harus berderajat paling tinggi 1.
4. Kita tahu bahwa P(x) = (x-1)(x+2)H(x) + (ax+b).
5. Substitusikan x=1:
P(1) = (1-1)(1+2)H(1) + (a(1)+b)
4 = 0 + a + b
a + b = 4 (Persamaan 1)
6. Substitusikan x=-2:
P(-2) = (-2-1)(-2+2)H(-2) + (a(-2)+b)
-5 = 0 – 2a + b
-2a + b = -5 (Persamaan 2)
7. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dari Persamaan 1 dan 2:
a + b = 4
-2a + b = -5
Kurangkan Persamaan 1 dengan Persamaan 2:
(a+b) – (-2a+b) = 4 – (-5)
3a = 9
a = 3
8. Substitusikan nilai a = 3 ke Persamaan 1:
3 + b = 4
b = 1
9. Jadi, sisa pembagiannya adalah S(x) = ax+b = 3x+1.

28. Diketahui P(x) = 2x^3 – 5x^2 + ax + b. Jika P(x) dibagi (x-1) sisanya 6 dan dibagi (x-2) sisanya 18, tentukan nilai a dan b.

Answer/Key: 1. Dari Teorema Sisa, kita memiliki:
– P(1) = 6
– P(2) = 18
2. Substitusikan x=1 ke P(x):
P(1) = 2(1)^3 – 5(1)^2 + a(1) + b = 6
2 – 5 + a + b = 6
-3 + a + b = 6
a + b = 9 (Persamaan 1)
3. Substitusikan x=2 ke P(x):
P(2) = 2(2)^3 – 5(2)^2 + a(2) + b = 18
2(8) – 5(4) + 2a + b = 18
16 – 20 + 2a + b = 18
-4 + 2a + b = 18
2a + b = 22 (Persamaan 2)
4. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dari Persamaan 1 dan 2:
a + b = 9
2a + b = 22
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(2a+b) – (a+b) = 22 – 9
a = 13
5. Substitusikan nilai a = 13 ke Persamaan 1:
13 + b = 9
b = 9 – 13
b = -4
6. Jadi, nilai a = 13 dan b = -4.

29. Sebuah fungsi polinomial f(x) = x^4 + ax^3 + 2x^2 + bx – 3. Jika f(x) dibagi (x+1) memberikan sisa 7 dan dibagi (x-2) memberikan sisa 33, tentukan nilai dari a+b.

Answer/Key: 1. Dari Teorema Sisa, kita memiliki:
– f(-1) = 7
– f(2) = 33
2. Substitusikan x=-1 ke f(x):
f(-1) = (-1)^4 + a(-1)^3 + 2(-1)^2 + b(-1) – 3 = 7
1 – a + 2 – b – 3 = 7
-a – b = 7 – 1 – 2 + 3
-a – b = 7 (Persamaan 1)
3. Substitusikan x=2 ke f(x):
f(2) = (2)^4 + a(2)^3 + 2(2)^2 + b(2) – 3 = 33
16 + 8a + 8 + 2b – 3 = 33
8a + 2b + 21 = 33
8a + 2b = 12 (Bagi dengan 2)
4a + b = 6 (Persamaan 2)
4. Selesaikan SPLDV dari Persamaan 1 dan 2:
-a – b = 7
4a + b = 6
Jumlahkan kedua persamaan:
(-a – b) + (4a + b) = 7 + 6
3a = 13
a = 13/3
5. Substitusikan a = 13/3 ke Persamaan 2:
4(13/3) + b = 6
52/3 + b = 6
b = 6 – 52/3
b = 18/3 – 52/3
b = -34/3
6. Ditanyakan nilai a+b:
a + b = 13/3 + (-34/3)
a + b = (13 – 34)/3
a + b = -21/3
a + b = -7
Jadi, nilai a+b adalah -7.

30. Jelaskan mengapa metode pembagian bersusun (long division) dan metode Horner (synthetic division) dapat digunakan untuk menemukan sisa pembagian suku banyak, dan bagaimana kedua metode ini terkait dengan Teorema Sisa. Berikan contoh singkat.

Answer/Key: Metode pembagian bersusun dan metode Horner adalah algoritma sistematis untuk membagi suku banyak. Keduanya secara fundamental didasarkan pada prinsip yang sama: memisahkan suku banyak menjadi hasil bagi dan sisa. Teorema Sisa, P(k)=S, memberikan cara pintas untuk menemukan sisa ketika pembagi adalah linear (x-k) tanpa harus melakukan seluruh proses pembagian.

**Pembagian Bersusun**
Metode ini adalah analog dari pembagian angka biasa. Kita membagi suku-suku berderajat tertinggi dari pembilang dengan suku berderajat tertinggi dari penyebut, lalu mengulang prosesnya. Hasil akhir dari proses ini akan menghasilkan hasil bagi dan sisa. Sisa ini akan selalu konsisten dengan Teorema Sisa. Jika pembaginya (x-k), ketika x=k disubstitusikan ke P(x), sisa yang didapatkan akan sama dengan sisa dari pembagian bersusun.

**Metode Horner (Pembagian Sintetik)**
Metode Horner adalah bentuk ringkas dari pembagian bersusun, khusus untuk pembagian dengan pembagi linear (x-k) atau (ax-b). Metode ini hanya melibatkan koefisien suku banyak dan secara efisien menghasilkan koefisien hasil bagi serta sisa. Angka terakhir yang dihasilkan dalam proses Horner adalah sisa pembagian. Sisa ini adalah tepat P(k) sesuai dengan Teorema Sisa.

**Keterkaitan dengan Teorema Sisa:**
Baik pembagian bersusun maupun metode Horner secara eksplisit menghitung sisa. Teorema Sisa hanya menyatakan bahwa sisa tersebut ‘ada’ dan dapat ditemukan dengan P(k), tanpa menjelaskan proses pembagiannya. Metode bersusun dan Horner adalah alat untuk melakukan proses pembagian yang pada akhirnya akan mengkonfirmasi nilai sisa yang diberikan oleh Teorema Sisa. Jika kita melakukan pembagian P(x) oleh (x-k) menggunakan salah satu metode ini, nilai sisa yang ditemukan pada akhirnya akan sama dengan P(k).

**Contoh Singkat:**
Misalkan P(x) = x^2 + 5x + 3 dibagi oleh (x-1).
Menurut Teorema Sisa, sisa = P(1) = (1)^2 + 5(1) + 3 = 1 + 5 + 3 = 9.

**Metode Horner:**
“`
1 | 1 5 3
| 1 6
—————-
1 6 9 <-- Sisa ``` Sisa yang didapat adalah 9, sama dengan P(1). Ini menunjukkan bagaimana metode Horner secara langsung menghasilkan nilai sisa yang diprediksi oleh Teorema Sisa.

31. Pasangkan suku banyak dengan sisa pembagiannya oleh (x-1).

1. x^2 – 3x + 5	…	A. 2
2. 2x^3 + x – 1	…	B. 3
3. x^4 + 2x^2 – 4	…	C. -2
4. 3x – 5	…	E. -1

Answer/Key: 1-B, 2-A, 3-E, 4-C

32. Pasangkan kondisi suku banyak dengan kesimpulan Teorema Sisa/Faktor yang sesuai.

1. P(x) dibagi (x-a) sisanya 0	…	A. P(k)
2. Sisa pembagian P(x) oleh (x-k)	…	B. (x-a) adalah faktor dari P(x)
3. P(x) habis dibagi (x-b)	…	C. P(b/a)
4. Sisa pembagian P(x) oleh (ax-b)	…	D. P(b) = 0

Answer/Key: 1-B, 2-A, 3-D, 4-C