Ujian Komprehensif Hiperbola: Kumpulan Soal Terlengkap dan Pembahasan

Selami dunia hiperbola dengan kumpulan soal komprehensif ini! Dari definisi dasar hingga aplikasi kompleks, kami telah menyiapkan 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, 5 soal esai mendalam, dan 2 soal menjodohkan untuk menguji pemahaman Anda sepenuhnya. Pelajari tentang persamaan standar hiperbola, cara menentukan titik puncak, fokus, asimtot, dan eksentrisitas, serta bagaimana hiperbola berperan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Materi ini dirancang untuk siswa SMA, mahasiswa, atau siapa saja yang ingin memperdalam penguasaan materi geometri analitik khususnya kurva hiperbola. Raih nilai sempurna dengan latihan soal hiperbola terbaik di sini!

1. Definisi geometri dari hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang…

Jaraknya ke titik fokus dan garis direktris selalu sama.
Jumlah jaraknya ke dua titik fokus selalu konstan.
Selisih jaraknya ke dua titik fokus selalu konstan.
Jaraknya ke titik pusat selalu konstan.

Answer/Key: Selisih jaraknya ke dua titik fokus selalu konstan.

2. Persamaan umum hiperbola dengan pusat (0,0) dan sumbu transversal pada sumbu X adalah…

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1
y^2/a^2 – x^2/b^2 = 1
x^2/b^2 – y^2/a^2 = 1

Answer/Key: x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1

3. Untuk hiperbola dengan persamaan x^2/16 – y^2/9 = 1, koordinat titik puncaknya adalah…

(±4, 0)
(0, ±3)
(±5, 0)
(0, ±4)

Answer/Key: (±4, 0)

4. Asimtot dari hiperbola dengan persamaan x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 adalah…

y = ±(a/b)x
y = ±(b/a)x
x = ±(a/b)y
x = ±(b/a)y

Answer/Key: y = ±(b/a)x

5. Jika eksentrisitas (e) suatu hiperbola adalah 5/3 dan jarak antar fokus (2c) adalah 10, maka nilai ‘a’ adalah…

Answer/Key: 3

6. Manakah di antara persamaan berikut yang merepresentasikan hiperbola dengan sumbu transversal vertikal?

x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1
y^2/a^2 – x^2/b^2 = 1
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1

Answer/Key: y^2/a^2 – x^2/b^2 = 1

7. Untuk hiperbola 9y^2 – 4x^2 = 36, panjang sumbu transversal adalah…

Answer/Key: 4

8. Pusat dari hiperbola dengan persamaan (x-2)^2/9 – (y+1)^2/16 = 1 adalah…

(-2, 1)
(2, -1)
(2, 1)
(-2, -1)

Answer/Key: (2, -1)

9. Jika sebuah hiperbola memiliki fokus di (±5, 0) dan titik puncak di (±3, 0), maka persamaan hiperbolanya adalah…

x^2/9 – y^2/16 = 1
x^2/16 – y^2/9 = 1
y^2/9 – x^2/16 = 1
y^2/16 – x^2/9 = 1

Answer/Key: x^2/9 – y^2/16 = 1

10. Apa hubungan antara a, b, dan c pada hiperbola?

c^2 = a^2 – b^2
a^2 = b^2 + c^2
b^2 = a^2 + c^2
c^2 = a^2 + b^2

Answer/Key: c^2 = a^2 + b^2

11. Persamaan asimtot untuk hiperbola y^2/25 – x^2/4 = 1 adalah…

y = ±(2/5)x
y = ±(5/2)x
x = ±(2/5)y
x = ±(5/2)y

Answer/Key: y = ±(5/2)x

12. Sebuah hiperbola memiliki eksentrisitas e = 2. Jika nilai a = 3, maka nilai c adalah…

Answer/Key: 6

13. Garis yang melalui pusat dan kedua titik fokus hiperbola disebut…

Sumbu Konjugasi (Sumbu Minor)
Sumbu Transversal (Sumbu Mayor)
Direktris
Asimtot

Answer/Key: Sumbu Transversal (Sumbu Mayor)

14. Titik-titik (±c, 0) atau (0, ±c) pada hiperbola disebut…

Titik Puncak
Fokus
Titik Pusat
Titik Ujung Sumbu Konjugasi

Answer/Key: Fokus

15. Panjang latus rectum dari hiperbola x^2/16 – y^2/9 = 1 adalah…

Answer/Key: 9/2

16. Persamaan direktris untuk hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 adalah…

x = ±a
y = ±b
x = ±a/e
y = ±b/e

Answer/Key: x = ±a/e

17. Jika persamaan umum hiperbola adalah Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0, syarat untuk A dan B agar persamaan ini merepresentasikan hiperbola adalah…

A dan B memiliki tanda yang sama.
A = B.
A dan B memiliki tanda yang berlawanan (satu positif, satu negatif).
Salah satu A atau B harus nol.

Answer/Key: A dan B memiliki tanda yang berlawanan (satu positif, satu negatif).

18. Pada hiperbola, nilai eksentrisitas (e) selalu…

e = 0
0 < e < 1
e = 1
e > 1

Answer/Key: e > 1

19. Jika asimtot suatu hiperbola adalah y = ±(3/4)x, dan salah satu titik puncaknya adalah (4,0), maka persamaan hiperbolanya adalah…

x^2/16 – y^2/9 = 1
x^2/9 – y^2/16 = 1
y^2/16 – x^2/9 = 1
y^2/9 – x^2/16 = 1

Answer/Key: x^2/16 – y^2/9 = 1

20. Manakah dari pernyataan berikut yang BENAR mengenai hiperbola?

Hiperbola adalah kurva tertutup.
Hiperbola memiliki satu titik fokus.
Hiperbola memiliki dua cabang yang terpisah.
Jarak antara titik puncak dan fokus selalu sama dengan ‘a’.

Answer/Key: Hiperbola memiliki dua cabang yang terpisah.

21. Jelaskan perbedaan mendasar antara hiperbola dan elips dari segi definisi geometri dan bentuk kurvanya.

Answer/Key: Perbedaan mendasar terletak pada definisinya. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua titik fokus selalu konstan, menghasilkan kurva tertutup. Sementara itu, hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya ke dua titik fokus selalu konstan, menghasilkan dua cabang kurva yang terpisah dan terbuka.

22. Bagaimana cara menentukan persamaan asimtot suatu hiperbola dengan pusat (h,k) dan sumbu transversal horizontal?

Answer/Key: Untuk hiperbola dengan persamaan (x-h)^2/a^2 – (y-k)^2/b^2 = 1, persamaan asimtotnya adalah (y-k) = ±(b/a)(x-h). Jika sumbu transversal vertikal, yaitu (y-k)^2/a^2 – (x-h)^2/b^2 = 1, maka asimtotnya adalah (y-k) = ±(a/b)(x-h).

23. Apa yang dimaksud dengan eksentrisitas pada hiperbola dan bagaimana hubungannya dengan bentuk kurva?

Answer/Key: Eksentrisitas (e) pada hiperbola adalah rasio c/a, di mana c adalah jarak dari pusat ke fokus dan a adalah jarak dari pusat ke titik puncak. Pada hiperbola, nilai eksentrisitas selalu lebih besar dari 1 (e > 1). Semakin besar nilai ‘e’, semakin ‘terbuka’ atau ‘datar’ bentuk cabang hiperbola tersebut.

24. Sebutkan dua sifat reflektif dari hiperbola.

Answer/Key: 1. Sinar cahaya atau gelombang yang dipancarkan dari satu fokus dan mengenai salah satu cabang hiperbola akan dipantulkan seolah-olah berasal dari fokus lainnya. 2. Sinar yang diarahkan ke satu fokus akan dipantulkan dari cabang hiperbola ke arah fokus lainnya.

25. Diberikan persamaan 9x^2 – 16y^2 = 144, tentukan koordinat fokusnya.

Answer/Key: Ubah ke bentuk standar: x^2/16 – y^2/9 = 1. Dari sini, a^2=16 maka a=4, dan b^2=9 maka b=3. Untuk hiperbola, c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25, sehingga c=5. Karena sumbu transversal horizontal (x^2 positif), fokus berada di (±c, 0). Jadi, koordinat fokusnya adalah (±5, 0).

26. Turunkan persamaan standar hiperbola yang berpusat di (0,0) dengan sumbu melintang sepanjang sumbu x, menggunakan definisi jarak.

Answer/Key: Misalkan F1(-c, 0) dan F2(c, 0) adalah dua fokus hiperbola, dan P(x, y) adalah titik sembarang pada hiperbola. Menurut definisi, selisih jarak P ke F1 dan P ke F2 adalah konstan, yaitu |PF1 – PF2| = 2a. Asumsikan PF1 > PF2.Maka, PF1 – PF2 = 2a.√( (x+c)^2 + y^2 ) – √( (x-c)^2 + y^2 ) = 2a.Pindahkan salah satu akar ke sisi kanan:√( (x+c)^2 + y^2 ) = 2a + √( (x-c)^2 + y^2 ).Kuadratkan kedua sisi: (x+c)^2 + y^2 = 4a^2 + 4a√( (x-c)^2 + y^2 ) + (x-c)^2 + y^2.Jabarkan dan sederhanakan: x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + 4a√( (x-c)^2 + y^2 ) + x^2 – 2cx + c^2 + y^2.4cx – 4a^2 = 4a√( (x-c)^2 + y^2 ).Bagi dengan 4: cx – a^2 = a√( (x-c)^2 + y^2 ).Kuadratkan lagi kedua sisi: (cx – a^2)^2 = a^2 ( (x-c)^2 + y^2 ).c^2x^2 – 2a^2cx + a^4 = a^2 (x^2 – 2cx + c^2 + y^2 ).c^2x^2 – 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 – 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2.c^2x^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2.Kelompokkan suku-suku x dan y: (c^2 – a^2)x^2 – a^2y^2 = a^2c^2 – a^4. (c^2 – a^2)x^2 – a^2y^2 = a^2(c^2 – a^2).Misalkan b^2 = c^2 – a^2 (karena pada hiperbola c > a, maka c^2 > a^2, jadi b^2 > 0).Substitusikan b^2: b^2x^2 – a^2y^2 = a^2b^2.Bagi dengan a^2b^2: x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1.Ini adalah persamaan standar hiperbola yang berpusat di (0,0) dengan sumbu melintang pada sumbu x.

27. Jelaskan secara rinci langkah-langkah untuk menggambar grafik hiperbola, termasuk penentuan titik-titik penting dan asimtot. Berikan contoh.

Answer/Key: Langkah-langkah menggambar grafik hiperbola:1. Tentukan Pusat Hiperbola (h,k): Dari persamaan standar (x-h)^2/a^2 – (y-k)^2/b^2 = 1 atau (y-k)^2/a^2 – (x-h)^2/b^2 = 1.2. Tentukan Orientasi Sumbu Transversal: Jika suku x^2 positif, sumbu transversal horizontal. Jika suku y^2 positif, sumbu transversal vertikal.3. Tentukan Nilai a, b, dan c: ‘a’ adalah jarak dari pusat ke titik puncak, ‘b’ adalah jarak dari pusat ke titik ujung sumbu konjugasi, dan ‘c’ adalah jarak dari pusat ke fokus. Ingat, c^2 = a^2 + b^2.4. Plot Titik Puncak (Vertices): Jika sumbu transversal horizontal, titik puncak adalah (h±a, k). Jika vertikal, (h, k±a).5. Plot Titik Ujung Sumbu Konjugasi (Co-vertices): Jika sumbu transversal horizontal, titik ujung sumbu konjugasi adalah (h, k±b). Jika vertikal, (h±b, k).6. Gambarlah Persegi Panjang Pembantu (Central Rectangle): Bentuklah persegi panjang menggunakan titik-titik (h±a, k±b) atau (h±b, k±a) yang melewati titik puncak dan titik ujung sumbu konjugasi. Sisi-sisinya sejajar dengan sumbu koordinat.7. Gambarlah Asimtot: Tarik garis lurus yang melalui pusat dan pojok-pojok persegi panjang pembantu. Ini adalah asimtot hiperbola. Persamaan asimtot: (y-k) = ±(b/a)(x-h) untuk horizontal, atau (y-k) = ±(a/b)(x-h) untuk vertikal.8. Plot Fokus (Foci): Jika sumbu transversal horizontal, fokus di (h±c, k). Jika vertikal, fokus di (h, k±c).9. Gambar Kurva Hiperbola: Mulai dari titik puncak, gambar cabang-cabang hiperbola yang bergerak menjauh dari pusat dan mendekati asimtot tanpa pernah menyentuhnya.Contoh: Gambar hiperbola (x-1)^2/9 – (y+2)^2/4 = 1.1. Pusat: (1, -2).2. Orientasi: Sumbu transversal horizontal (suku x^2 positif).3. a^2=9 => a=3. b^2=4 => b=2. c^2 = 9+4 = 13 => c=√13 ≈ 3.6.4. Titik Puncak: (1±3, -2) => (4, -2) dan (-2, -2).5. Titik Ujung Sumbu Konjugasi: (1, -2±2) => (1, 0) dan (1, -4).6. Gambar persegi panjang dari (1±3, -2±2).7. Asimtot: (y+2) = ±(2/3)(x-1).8. Fokus: (1±√13, -2) => (1+√13, -2) dan (1-√13, -2).9. Gambar dua cabang hiperbola dari titik puncak menuju asimtot.

28. Bagaimana perubahan nilai a, b, dan c (dimana c^2 = a^2 + b^2) mempengaruhi bentuk dan orientasi hiperbola? Jelaskan dengan ilustrasi.

Answer/Key: Nilai a, b, dan c adalah parameter kunci yang menentukan bentuk dan orientasi hiperbola:1. Nilai ‘a’: Jarak dari pusat ke titik puncak. Jika ‘a’ meningkat, titik puncak akan semakin jauh dari pusat, membuat ‘pembukaan’ hiperbola menjadi lebih lebar. Jika ‘a’ berkurang, titik puncak akan mendekat ke pusat, membuat ‘pembukaan’ lebih sempit. ‘a’ juga menentukan panjang sumbu transversal (2a).2. Nilai ‘b’: Jarak dari pusat ke titik ujung sumbu konjugasi. ‘b’ tidak secara langsung menentukan titik pada kurva, tetapi sangat penting untuk menentukan kemiringan asimtot (±b/a atau ±a/b). Jika ‘b’ meningkat, asimtot akan menjadi lebih landai, membuat cabang hiperbola lebih ‘datar’ atau lebih ‘terbuka’. Jika ‘b’ berkurang, asimtot akan lebih curam, membuat cabang hiperbola lebih ‘tajam’ atau ‘tertutup’. ‘b’ juga menentukan panjang sumbu konjugasi (2b).3. Nilai ‘c’: Jarak dari pusat ke fokus. Nilai ‘c’ dihitung dari a dan b melalui c^2 = a^2 + b^2. Jika ‘c’ meningkat, fokus akan semakin jauh dari pusat. Ini juga akan meningkatkan eksentrisitas (e=c/a), yang membuat hiperbola menjadi lebih ‘terbuka’ atau ‘datar’. Jika ‘c’ menurun, fokus akan mendekat ke pusat, membuat hiperbola lebih ‘tertutup’. Perubahan ‘a’ dan ‘b’ secara tidak langsung mempengaruhi ‘c’.Orientasi hiperbola ditentukan oleh suku mana yang positif dalam persamaan standar. Jika x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1, sumbu transversal (dan fokus) berada di sumbu X (horizontal). Jika y^2/a^2 – x^2/b^2 = 1, sumbu transversal (dan fokus) berada di sumbu Y (vertikal).Ilustrasi (penjelasan verbal):Bayangkan dua hiperbola. Hiperbola A memiliki a=3, b=2. Hiperbola B memiliki a=3, b=4.Hiperbola B akan memiliki asimtot yang lebih landai (±4/3x) dibandingkan Hiperbola A (±2/3x), sehingga cabang Hiperbola B akan terlihat lebih ‘terbuka’ atau ‘datar’. Sekarang bayangkan Hiperbola C dengan a=5, b=2. Asimtotnya (±2/5x) akan lebih landai daripada Hiperbola A, tetapi titik puncaknya (±5,0) akan lebih jauh dari pusat, membuat ‘pembukaan’ menjadi lebih lebar secara keseluruhan.

29. Diskusikan aplikasi hiperbola dalam kehidupan nyata atau bidang ilmu pengetahuan (misalnya, navigasi LORAN, cermin teleskop).

Answer/Key: Hiperbola memiliki beberapa aplikasi penting dalam kehidupan nyata dan ilmu pengetahuan:1. Navigasi LORAN (LOng RAnge Navigation): Sistem navigasi ini menggunakan prinsip perbedaan jarak ke stasiun pemancar radio. Sebuah kapal (atau pesawat) dapat menentukan posisinya dengan mengukur perbedaan waktu kedatangan sinyal dari dua pasang stasiun pemancar. Masing-masing pasang stasiun akan membentuk suatu hiperbola, dan perpotongan dua atau lebih hiperbola inilah yang menentukan lokasi kapal. Meskipun sebagian besar digantikan oleh GPS, prinsip dasarnya tetap relevan.2. Teleskop Cassegrain dan Gregorian: Dalam desain teleskop refleksi, hiperbola digunakan untuk membentuk cermin sekunder. Pada teleskop Cassegrain, cermin utama parabola memantulkan cahaya ke cermin sekunder hiperbolik. Cermin hiperbolik ini kemudian memantulkan cahaya ke cermin utama lagi, melalui lubang di tengahnya, menuju titik fokus akhir. Ini memungkinkan desain teleskop yang lebih ringkas. Teleskop Gregorian menggunakan prinsip serupa tetapi dengan konfigurasi cermin yang berbeda.3. Lintasan Komet dan Objek Angkasa: Beberapa komet dan objek antarbintang yang hanya melewati tata surya sekali memiliki lintasan berbentuk hiperbola. Artinya, mereka mendekati matahari, melengkung mengelilinginya, dan kemudian bergerak menjauh selamanya, tidak akan kembali lagi. Ini berbeda dengan objek yang memiliki lintasan elips (seperti planet) atau parabola.4. Sonar dan Deteksi Suara: Prinsip perbedaan waktu kedatangan suara dapat digunakan untuk melacak sumber suara atau objek bawah air. Jika sebuah suara terdeteksi oleh dua atau lebih sensor, perbedaan waktu dapat membentuk hiperbola untuk menentukan lokasi sumber suara.5. Rekayasa Suara: Dalam desain ruang konser atau auditorium, permukaan hiperbolik dapat digunakan untuk memfokuskan atau menyebarkan gelombang suara dengan cara yang terkontrol, menciptakan akustik yang diinginkan.

30. Diberikan persamaan umum hiperbola Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0. Jelaskan kondisi untuk A dan B agar persamaan tersebut merepresentasikan hiperbola, dan bagaimana cara mengubahnya ke bentuk standar untuk menemukan pusat, puncak, dan fokus.

Answer/Key: Kondisi untuk A dan B agar persamaan Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 merepresentasikan hiperbola adalah bahwa A dan B harus memiliki tanda yang berlawanan. Artinya, jika A positif, B harus negatif, atau sebaliknya. Contohnya, 4x^2 – 9y^2 + … = 0 atau -x^2 + 2y^2 + … = 0.Jika A atau B adalah nol, maka persamaan tersebut akan menjadi parabola. Jika A dan B memiliki tanda yang sama, maka akan menjadi elips (jika A ≠ B) atau lingkaran (jika A = B).Cara mengubahnya ke bentuk standar (melengkapi kuadrat sempurna):1. Kelompokkan suku-suku x dan y: (Ax^2 + Dx) + (By^2 + Ey) + F = 0.2. Faktorkan koefisien dari x^2 dan y^2: A(x^2 + (D/A)x) + B(y^2 + (E/B)y) + F = 0.3. Lengkapi kuadrat sempurna untuk suku x dan y. Untuk x^2 + (D/A)x, tambahkan (D/(2A))^2 di dalam kurung. Karena dikalikan A, sebenarnya kita menambahkan A(D/(2A))^2 ke sisi kiri. Lakukan hal yang sama untuk suku y.A(x^2 + (D/A)x + (D/(2A))^2) + B(y^2 + (E/B)y + (E/(2B))^2) + F – A(D/(2A))^2 – B(E/(2B))^2 = 0.4. Ubah ke bentuk kuadrat sempurna: A(x + D/(2A))^2 + B(y + E/(2B))^2 = A(D/(2A))^2 + B(E/(2B))^2 – F.5. Sebut R = A(D/(2A))^2 + B(E/(2B))^2 – F. Maka persamaan menjadi A(x + D/(2A))^2 + B(y + E/(2B))^2 = R.6. Bagi seluruh persamaan dengan R (asumsikan R ≠ 0) untuk mendapatkan bentuk standar: (x + D/(2A))^2 / (R/A) + (y + E/(2B))^2 / (R/B) = 1.7. Sesuaikan agar salah satu penyebut negatif (sesuai definisi hiperbola). Misalnya, jika R/A positif dan R/B negatif, maka kita punya (x-h)^2/a^2 – (y-k)^2/b^2 = 1, di mana h = -D/(2A), k = -E/(2B), a^2 = R/A, dan b^2 = -R/B (karena kita ingin b^2 positif).Dari bentuk standar ini, kita bisa menemukan: – Pusat (h,k) = (-D/(2A), -E/(2B)). – Nilai a dan b. – Orientasi sumbu transversal. – Dari a dan b, hitung c = sqrt(a^2 + b^2). – Tentukan titik puncak dan fokus berdasarkan pusat, a, c, dan orientasi.

31. Jodohkan istilah-istilah berikut dengan definisi yang tepat.

Hiperbola	…	Kurva kerucut tempat selisih jarak dari dua titik fokus konstan.
Asimtot	…	Garis lurus yang didekati oleh kurva hiperbola tetapi tidak pernah bersentuhan.
Fokus	…	Titik tetap yang digunakan dalam definisi hiperbola.
Sumbu Transversal	…	Sumbu yang melewati kedua titik puncak hiperbola.
Eksentrisitas	…	Rasio c/a, dimana c jarak pusat ke fokus dan a jarak pusat ke titik puncak.

Answer/Key: Hiperbola: Kurva kerucut tempat selisih jarak dari dua titik fokus konstan. Asimtot: Garis lurus yang didekati oleh kurva hiperbola tetapi tidak pernah bersentuhan. Fokus: Titik tetap yang digunakan dalam definisi hiperbola. Sumbu Transversal: Sumbu yang melewati kedua titik puncak hiperbola. Eksentrisitas: Rasio jarak dari titik ke fokus dan ke direktris.

32. Jodohkan persamaan atau properti hiperbola dengan karakteristiknya.

Hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1	…	Persamaan standar dengan sumbu melintang horizontal dan pusat (0,0).
Fokus hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1	…	(±c, 0) di mana c^2 = a^2 + b^2
Persamaan asimtot hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1	…	y = ±(b/a)x
Eksentrisitas hiperbola	…	e = c/a > 1
Persamaan direktris hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1	…	x = ±a/e

Answer/Key: Hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1: Persamaan standar dengan sumbu melintang horizontal dan pusat (0,0). Fokus hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1: (±c, 0) di mana c^2 = a^2 + b^2. Persamaan asimtot hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1: y = ±(b/a)x. Eksentrisitas hiperbola: e = c/a > 1. Persamaan direktris hiperbola x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1: x = ±a/e.