Selami dunia geometri analitik dengan koleksi soal parabola terlengkap ini! Parabola adalah kurva penting dalam matematika yang memiliki banyak aplikasi di dunia nyata, mulai dari desain antena satelit hingga lintasan proyektil. Ujian komprehensif ini dirancang untuk menguji dan memperdalam pemahaman Anda tentang konsep-konsep dasar dan lanjutan parabola, termasuk definisi, persamaan standar, titik fokus, direktris, puncak, dan sumbu simetri. Dengan 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, 5 soal esai, dan 2 soal menjodohkan, Anda akan mendapatkan latihan yang menyeluruh. Persiapkan diri Anda untuk menguasai topik parabola dan tingkatkan kemampuan analisis matematis Anda. Cocok untuk siswa SMA, mahasiswa, atau siapa saja yang ingin menguji dan memperkuat pemahaman mereka tentang parabola.
1. Apa definisi dari parabola?
- A. Himpunan titik-titik yang jaraknya sama dari dua titik tetap.
- B. Himpunan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tetap (fokus) dan suatu garis tetap (direktris) adalah sama.
- C. Himpunan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tetap lebih kecil dari jaraknya ke suatu garis tetap.
- D. Himpunan titik-titik yang jaraknya dari suatu titik tetap lebih besar dari jaraknya ke suatu garis tetap.
Answer/Key: B
2. Persamaan parabola y^2 = 8x memiliki fokus di titik?
- A. (2, 0)
- B. (-2, 0)
- C. (0, 2)
- D. (0, -2)
Answer/Key: A
3. Direktris dari parabola x^2 = 12y adalah garis?
- A. y = 3
- B. y = -3
- C. x = 3
- D. x = -3
Answer/Key: B
4. Jika parabola memiliki fokus di (0, 5) dan direktris y = -5, maka persamaan parabolanya adalah?
- A. x^2 = 20y
- B. x^2 = -20y
- C. y^2 = 20x
- D. y^2 = -20x
Answer/Key: A
5. Titik puncak dari parabola (y-3)^2 = 4(x+1) adalah?
- A. (1, 3)
- B. (-1, 3)
- C. (3, -1)
- D. (-3, 1)
Answer/Key: B
6. Persamaan parabola yang memiliki puncak di (2, -1), fokus di (4, -1) adalah?
- A. (y+1)^2 = 8(x-2)
- B. (y-1)^2 = 8(x+2)
- C. (x-2)^2 = 8(y+1)
- D. (x+2)^2 = 8(y-1)
Answer/Key: A
7. Sumbu simetri dari parabola x^2 = -16y adalah?
- A. y = 0
- B. x = 0
- C. y = -4
- D. x = -4
Answer/Key: B
8. Panjang latus rectum dari parabola y^2 = 16x adalah?
- A. 4
- B. 8
- C. 16
- D. 32
Answer/Key: C
9. Persamaan garis singgung pada parabola y^2 = 4x di titik (1, 2) adalah?
- A. y = x + 1
- B. y = x – 1
- C. y = 2x
- D. y = -x + 3
Answer/Key: A
10. Sebuah antena parabola dirancang untuk mengumpulkan sinyal. Bentuk penampang antena tersebut merupakan?
- A. Elips
- B. Lingkaran
- C. Hiperbola
- D. Parabola
Answer/Key: D
11. Jika persamaan parabola adalah x^2 + 6x – 4y + 13 = 0, maka koordinat titik puncaknya adalah?
- A. (-3, 1)
- B. (3, -1)
- C. (-3, -1)
- D. (3, 1)
Answer/Key: A
12. Parabola (y+2)^2 = -8(x-4) membuka ke arah mana?
- A. Atas
- B. Bawah
- C. Kanan
- D. Kiri
Answer/Key: D
13. Koordinat fokus dari parabola (x-1)^2 = -12(y+2) adalah?
- A. (1, -5)
- B. (1, 1)
- C. (-2, -2)
- D. (1, -2)
Answer/Key: A
14. Persamaan direktris dari parabola (x+2)^2 = 8(y-3) adalah?
- A. y = 5
- B. y = 1
- C. x = -4
- D. x = 0
Answer/Key: B
15. Gradien garis singgung parabola y^2 = 16x pada titik yang absisnya 1 adalah?
- A. 2
- B. 4
- C. 8
- D. 16
Answer/Key: A
16. Jika titik (a, 4) terletak pada parabola y^2 = 8x, maka nilai a adalah?
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 8
Answer/Key: B
17. Suatu parabola memiliki persamaan x = 2y^2 – 4y + 5. Puncak parabola ini adalah?
- A. (3, 1)
- B. (1, 3)
- C. (3, -1)
- D. (-1, 3)
Answer/Key: A
18. Persamaan garis direktris dari parabola y = x^2 – 4x + 6 adalah?
- A. y = 3.75
- B. y = 1.75
- C. y = 2.25
- D. y = 1.25
Answer/Key: B
19. Sebuah proyektil dilemparkan dan lintasannya membentuk parabola. Jika persamaan lintasannya adalah y = -x^2 + 6x, ketinggian maksimum yang dicapai proyektil adalah?
- A. 3
- B. 6
- C. 9
- D. 12
Answer/Key: C
20. Jika fokus parabola adalah (3, 0) dan puncaknya adalah (0, 0), maka persamaan direktrisnya adalah?
- A. x = 3
- B. x = -3
- C. y = 3
- D. y = -3
Answer/Key: B
21. Apa yang dimaksud dengan ‘fokus’ dan ‘direktris’ pada parabola?
Answer/Key: Fokus adalah suatu titik tetap, dan direktris adalah suatu garis tetap. Setiap titik pada parabola memiliki jarak yang sama ke fokus dan ke direktris.
22. Jelaskan bagaimana arah bukaan parabola ditentukan dari persamaan standarnya (y^2 = 4px, x^2 = 4py, dll.)?
Answer/Key: Untuk y^2 = 4px, parabola membuka ke kanan jika p > 0 dan ke kiri jika p < 0. Untuk x^2 = 4py, parabola membuka ke atas jika p > 0 dan ke bawah jika p < 0. Jika vertex tidak di (0,0), prinsip yang sama berlaku relatif terhadap vertex.
23. Sebutkan dua contoh aplikasi parabola dalam kehidupan sehari-hari atau teknologi.
Answer/Key: Dua contoh aplikasi parabola adalah: 1. Antena parabola: Digunakan untuk memfokuskan gelombang radio/sinyal satelit ke satu titik (fokus) atau memancarkan sinyal dari fokus. 2. Lampu sorot/reflektor: Cermin berbentuk parabola digunakan untuk memantulkan cahaya dari sumber cahaya di fokus menjadi berkas paralel.
24. Bagaimana cara menemukan panjang latus rectum dari suatu parabola?
Answer/Key: Panjang latus rectum dari suatu parabola diberikan oleh |4p|, di mana p adalah jarak dari titik puncak ke fokus (dan juga dari titik puncak ke direktris).
25. Ubah persamaan y = x^2 – 6x + 5 ke dalam bentuk standar parabola (x-h)^2 = 4p(y-k) dan tentukan koordinat puncaknya.
Answer/Key: y = x^2 – 6x + 5 = (x^2 – 6x + 9) – 9 + 5 = (x-3)^2 – 4. Jadi, (x-3)^2 = y+4. Ini adalah bentuk standar (x-h)^2 = 4p(y-k) dengan h=3, k=-4, dan 4p=1 (sehingga p=1/4). Koordinat puncaknya adalah (3, -4).
26. Turunkan persamaan standar parabola y^2 = 4px dari definisi geometrisnya, dengan fokus di (p, 0) dan direktris x = -p.
Answer/Key: Misalkan P(x, y) adalah titik sembarang pada parabola. Menurut definisi, jarak P ke fokus F(p, 0) sama dengan jarak P ke direktris L (garis x = -p). Jarak PF = sqrt((x-p)^2 + (y-0)^2). Jarak PL = |x – (-p)| = |x + p|. Maka, sqrt((x-p)^2 + y^2) = |x + p|. Kuadratkan kedua sisi: (x-p)^2 + y^2 = (x+p)^2. x^2 – 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2. Kurangkan x^2 dan p^2 dari kedua sisi: -2px + y^2 = 2px. Tambahkan 2px ke kedua sisi: y^2 = 4px. Ini adalah persamaan standar parabola yang diminta.
27. Jelaskan secara rinci bagaimana cara mencari persamaan garis singgung pada parabola y^2 = 4px di titik (x1, y1) yang terletak pada parabola. Berikan contoh penggunaan.
Answer/Key: Untuk mencari persamaan garis singgung pada parabola y^2 = 4px di titik (x1, y1) yang terletak pada parabola, kita dapat menggunakan diferensiasi implisit. Diferensiasikan kedua sisi persamaan y^2 = 4px terhadap x: 2y (dy/dx) = 4p. dy/dx = 4p / (2y) = 2p/y. Gradien garis singgung (m) di titik (x1, y1) adalah m = 2p/y1. Menggunakan rumus persamaan garis y – y1 = m(x – x1): y – y1 = (2p/y1)(x – x1). y1(y – y1) = 2p(x – x1). y1y – y1^2 = 2px – 2px1. Karena (x1, y1) terletak pada parabola, maka y1^2 = 4px1. Substitusikan ini ke persamaan: y1y – 4px1 = 2px – 2px1. y1y = 2px – 2px1 + 4px1. y1y = 2px + 2px1. y1y = 2p(x + x1). Ini adalah persamaan garis singgung pada parabola y^2 = 4px di titik (x1, y1). Contoh: Cari persamaan garis singgung pada parabola y^2 = 8x di titik (2, 4). Dari y^2 = 8x, kita tahu 4p = 8, jadi p = 2. Titik (x1, y1) = (2, 4). Menggunakan rumus y1y = 2p(x + x1): 4y = 2(2)(x + 2). 4y = 4(x + 2). y = x + 2. Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 2.
28. Diskusikan aplikasi bentuk parabola dalam bidang teknik dan fisika, berikan setidaknya tiga contoh berbeda dan jelaskan prinsip di balik masing-masing.
Answer/Key: Bentuk parabola memiliki sifat reflektif unik yang membuatnya sangat berguna dalam berbagai aplikasi teknik dan fisika: 1. Antena Parabola (Satelit/TV): Sinyal yang datang secara paralel akan dipantulkan ke satu titik fokus. Di titik fokus inilah receiver diletakkan untuk mengumpulkan sinyal. 2. Lampu Sorot dan Reflektor Mobil: Sumber cahaya diletakkan di titik fokus parabola. Cahaya yang dipancarkan dari fokus akan dipantulkan oleh permukaan parabola menjadi berkas cahaya paralel yang kuat dan terarah. 3. Teleskop Radio: Piringan parabola besar digunakan untuk mengumpulkan gelombang radio dari objek-objek angkasa yang sangat jauh ke receiver di fokus. 4. Lintasan Proyektil: Lintasan suatu proyektil (tanpa hambatan udara) adalah parabola, menggambarkan aplikasi alami dari persamaan kuadrat.
29. Bandingkan dan kontraskan sifat-sifat parabola dengan hiperbola atau elips, dengan fokus pada definisi, persamaan, dan fitur utama.
Answer/Key: Parabola, elips, dan hiperbola adalah kerucut irisan dengan definisi dan sifat yang berbeda: Definisi Geometris: Parabola adalah himpunan semua titik yang berjarak sama dari fokus tetap dan direktris tetap. Elips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya dari dua fokus tetap adalah konstan. Hiperbola adalah himpunan semua titik yang selisih jaraknya dari dua fokus tetap adalah konstan. Persamaan Standar (berpusat di (0,0)): Parabola: y^2 = 4px atau x^2 = 4py. Elips: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Hiperbola: x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1. Fitur Utama: Parabola: Hanya satu fokus dan direktris, satu sumbu simetri, membuka tak terbatas ke satu arah. Elips: Dua fokus, tertutup, dua sumbu simetri, pusat simetri. Hiperbola: Dua fokus, dua cabang, dua sumbu simetri, pusat simetri, dan asimtot. Ringkasnya, parabola adalah bentuk ‘terbuka’ dengan satu fokus/direktris, sedangkan elips dan hiperbola adalah bentuk yang didefinisikan oleh dua fokus.
30. Diberikan persamaan kuadrat umum Ax^2 + Bx + C = y, jelaskan langkah-langkah untuk mengubahnya ke dalam bentuk standar parabola dan identifikasi puncaknya, fokus, dan direktris.
Answer/Key: 1. Pindahkan konstanta dan variabel y: Atur ulang menjadi Ax^2 + Bx = y – C. 2. Lengkapi kuadrat untuk suku x: Faktorkan A, lalu tambahkan dan kurangkan (B/(2A))^2 untuk membentuk kuadrat sempurna: A(x + B/(2A))^2 – A(B/(2A))^2 = y – C. 3. Isolasi suku kuadrat: Pindahkan konstanta ke sisi lain: A(x + B/(2A))^2 = y – C + A(B^2/(4A^2)). 4. Bentuk standar: Bagi dengan A: (x + B/(2A))^2 = (1/A)(y – (C – B^2/(4A))). Ini adalah (x-h)^2 = 4p(y-k). 5. Identifikasi Properti: Puncak (h, k) = (-B/(2A), C – B^2/(4A)). 4p = 1/A, jadi p = 1/(4A). Fokus = (h, k+p). Direktris = y = k-p.
31. Jodohkan persamaan parabola berikut dengan deskripsi puncaknya, fokus, dan direktrisnya.
| y^2 = 16x | … | Puncak (0,0), Fokus (4,0), Direktris x = -4 |
| x^2 = -20y | … | Puncak (0,0), Fokus (0,-5), Direktris y = 5 |
| (y-2)^2 = 8(x+1) | … | Puncak (-1,2), Fokus (1,2), Direktris x = -3 |
| (x+3)^2 = 4(y-1) | … | Puncak (-3,1), Fokus (-3,2), Direktris y = 0 |
| y^2 + 4y – 4x + 8 = 0 | … | Puncak (1,-2), Fokus (2,-2), Direktris x = 0 |
Answer/Key: Pasangan yang benar ditunjukkan di ‘pairs’.
32. Jodohkan istilah-istilah berikut dengan definisi yang tepat dalam konteks parabola.
| Fokus | … | Sebuah titik tetap yang menjadi acuan untuk mendefinisikan parabola. |
| Direktris | … | Sebuah garis tetap yang menjadi acuan untuk mendefinisikan parabola. |
| Puncak | … | Titik pada parabola yang berada paling dekat dengan direktris dan terletak pada sumbu simetri. |
| Sumbu Simetri | … | Garis yang melewati fokus dan tegak lurus terhadap direktris, membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. |
| Latus Rectum | … | Segmen garis yang melalui fokus, tegak lurus terhadap sumbu simetri, dan kedua ujungnya berada pada parabola. Panjangnya adalah |4p|. |
Answer/Key: Pasangan yang benar ditunjukkan di ‘pairs’.
