Selamat datang di artikel latihan soal irisan kerucut terlengkap! Irisan kerucut adalah salah satu topik fundamental dalam matematika yang mempelajari kurva-kurva yang terbentuk dari irisan sebuah bidang datar dengan kerucut ganda. Topik ini mencakup lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola, masing-masing dengan karakteristik dan persamaan uniknya sendiri. Pemahaman mendalam tentang irisan kerucut tidak hanya krusial untuk kesuksesan akademis di tingkat SMA dan universitas, tetapi juga memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang seperti fisika, astronomi, arsitektur, dan rekayasa. Misalnya, lintasan planet mengelilingi matahari berbentuk elips, desain jembatan sering menggunakan bentuk parabola, dan reflektor antena radio memanfaatkan sifat fokus parabola. Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguji dan memperdalam pemahaman Anda melalui berbagai jenis soal, mulai dari pilihan ganda, isian singkat, esai, hingga menjodohkan. Dengan latihan rutin dan pembahasan yang jelas, Anda akan siap menghadapi ujian dan menguasai konsep irisan kerucut secara menyeluruh. Mari kita mulai perjalanan Anda untuk menjadi ahli irisan kerucut!
1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3, -2) dan berjari-jari 5 adalah…
- (x-3)^2 + (y+2)^2 = 5
- (x+3)^2 + (y-2)^2 = 5
- (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25
- (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25
Answer/Key: C
2. Titik fokus parabola y^2 = 12x adalah…
- (3, 0)
- (0, 3)
- (-3, 0)
- (0, -3)
Answer/Key: A
3. Persamaan direktris parabola x^2 = -8y adalah…
- y = -2
- y = 2
- x = -2
- x = 2
Answer/Key: B
4. Eksentrisitas elips x^2/25 + y^2/16 = 1 adalah…
- 3/4
- 4/5
- 3/5
- 2/5
Answer/Key: C
5. Persamaan asimtot untuk hiperbola x^2/9 – y^2/16 = 1 adalah…
- y =
±(3/4)x
- y =
±(16/9)x
- y =
±(9/16)x
- y =
±(4/3)x
Answer/Key: D
6. Jika sebuah elips memiliki fokus di (0,
±3) dan panjang sumbu mayor 10, persamaan elips tersebut adalah…
- x^2/16 + y^2/25 = 1
- x^2/25 + y^2/16 = 1
- x^2/9 + y^2/25 = 1
- x^2/25 + y^2/9 = 1
Answer/Key: A
7. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan menyinggung garis 3x – 4y = 10 adalah…
- x^2 + y^2 = 4
- x^2 + y^2 = 10
- x^2 + y^2 = 16
- x^2 + y^2 = 25
Answer/Key: A
8. Kurva dengan persamaan 4x^2 + 9y^2 – 16x + 18y – 11 = 0 adalah…
- Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Answer/Key: B
9. Titik puncak parabola (y-1)^2 = -8(x+2) adalah…
- (1, -2)
- (-1, 2)
- (-2, 1)
- (2, -1)
Answer/Key: C
10. Panjang latus rectum elips x^2/36 + y^2/11 = 1 adalah…
- 11/3
- 11/6
- 22/3
- 11/18
Answer/Key: D
11. Persamaan hiperbola dengan fokus di (
±5, 0) dan titik puncak di (
±3, 0) adalah…
- x^2/9 – y^2/16 = 1
- x^2/9 – y^2/16 = 1
- x^2/16 – y^2/9 = 1
- x^2/25 – y^2/9 = 1
Answer/Key: B
12. Jika eksentrisitas suatu elips adalah 1/2 dan panjang sumbu minornya 6, maka panjang sumbu mayornya adalah…
- 4√3
- 6√3
- 8√3
- 12/√3
Answer/Key: D
13. Persamaan garis singgung pada lingkaran x^2 + y^2 = 25 di titik (3, 4) adalah…
- 3x + 4y = 25
- 4x + 3y = 25
- 3x + 4y = 5
- 4x + 3y = 5
Answer/Key: A
14. Jenis irisan kerucut yang memiliki eksentrisitas e = 1 adalah…
- Lingkaran
- Elips
- Parabola
- Hiperbola
Answer/Key: C
15. Panjang latus rectum untuk parabola x^2 = 16y adalah…
- 4
- 16
- 8
- 32
Answer/Key: B
16. Pusat hiperbola 9x^2 – 4y^2 – 18x – 16y – 43 = 0 adalah…
- (1, -2)
- (-1, 2)
- (1, -2)
- (-1, -2)
Answer/Key: C
17. Persamaan umum Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 akan merepresentasikan hiperbola jika…
- A = C dan A ≠ 0
- AC = 0 (salah satu A atau C nol)
- AC > 0
- AC < 0
Answer/Key: D
18. Jika sebuah elips memiliki fokus di (2, 0) dan (-2, 0) serta sumbu mayor 6, maka panjang sumbu minornya adalah…
- 2√5
- 2√5
- 2√5
- 2√5
Answer/Key: B
19. Persamaan lingkaran yang melalui titik (0,0), (6,0), dan (0,8) adalah…
- x^2 + y^2 – 6x – 8y = 0
- x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0
- x^2 + y^2 – 12x – 16y = 0
- x^2 + y^2 + 12x + 16y = 0
Answer/Key: A
20. Pada hiperbola, nilai eksentrisitas (e) selalu…
- e = 0
- 0 < e < 1
- e = 1
- e > 1
Answer/Key: D
21. Apa definisi dari irisan kerucut secara umum?
Answer/Key: Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya dari suatu titik tetap (fokus) dan suatu garis tetap (direktris) adalah konstan (disebut eksentrisitas). Ini juga bisa didefinisikan sebagai kurva-kurva yang terbentuk dari irisan sebuah bidang datar dengan sebuah kerucut ganda.
22. Sebutkan perbedaan mendasar antara Elips dan Hiperbola berdasarkan nilai eksentrisitasnya.
Answer/Key: Elips memiliki nilai eksentrisitas (e) antara 0 dan 1 (0 < e < 1), yang menunjukkan 'keovalan'nya. Hiperbola memiliki nilai eksentrisitas (e) lebih besar dari 1 (e > 1), yang menunjukkan ‘kelebaran’ cabangnya.
23. Tentukan persamaan direktris parabola dengan persamaan (x-3)^2 = 12(y+1).
Answer/Key: Dari persamaan (x-3)^2 = 12(y+1), kita tahu 4p = 12, jadi p = 3. Parabola membuka ke atas (karena x^2 dan 4p positif). Puncaknya adalah (3, -1). Karena p = 3, direktris berada 3 satuan di bawah puncak. Jadi, y = -1 – 3 = -4. Persamaan direktrisnya adalah y = -4.
24. Jika persamaan umum irisan kerucut adalah Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, kondisi apa yang harus dipenuhi agar representasi kurva tersebut adalah sebuah lingkaran?
Answer/Key: Untuk menjadi lingkaran, syaratnya adalah A = C dan A ≠ 0 (koefisien x^2 dan y^2 harus sama dan tidak nol). Selain itu, tidak boleh ada suku xy (B=0).
25. Sebuah elips memiliki fokus di (
±4, 0) dan panjang sumbu minor 6. Tentukan nilai a, b, dan c.
Answer/Key: Fokus di (
±c, 0) sehingga c = 4. Panjang sumbu minor 2b = 6, jadi b = 3. Menggunakan hubungan a^2 = b^2 + c^2, maka a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25. Jadi, a = 5. Nilai a=5, b=3, c=4.
26. Turunkan persamaan standar elips yang berpusat di (0,0) dengan sumbu mayor horizontal dari definisi geometrisnya (tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya ke dua fokus tetap adalah konstan).
Answer/Key: Definisi elips adalah tempat kedudukan titik-titik P(x,y) sehingga jumlah jaraknya ke dua titik fokus F1(-c,0) dan F2(c,0) adalah konstan, katakanlah 2a. Jadi, PF1 + PF2 = 2a. Dengan rumus jarak: √((x+c)^2 + y^2) + √((x-c)^2 + y^2) = 2a. Pindahkan salah satu akar ke sisi kanan: √((x+c)^2 + y^2) = 2a – √((x-c)^2 + y^2). Kuadratkan kedua sisi: (x+c)^2 + y^2 = 4a^2 – 4a√((x-c)^2 + y^2) + (x-c)^2 + y^2. Buka kuadrat: x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 – 4a√((x-c)^2 + y^2) + x^2 – 2cx + c^2 + y^2. Sederhanakan: 4cx – 4a^2 = -4a√((x-c)^2 + y^2). Bagi dengan 4: cx – a^2 = -a√((x-c)^2 + y^2). Kuadratkan lagi kedua sisi: (cx – a^2)^2 = a^2((x-c)^2 + y^2). c^2x^2 – 2a^2cx + a^4 = a^2(x^2 – 2cx + c^2 + y^2). c^2x^2 – 2a^2cx + a^4 = a^2x^2 – 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2. Kelompokkan suku-suku: a^4 – a^2c^2 = a^2x^2 – c^2x^2 + a^2y^2. a^2(a^2 – c^2) = x^2(a^2 – c^2) + a^2y^2. Misalkan b^2 = a^2 – c^2 (karena a > c untuk elips). Maka a^2b^2 = b^2x^2 + a^2y^2. Bagi seluruh persamaan dengan a^2b^2: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. Ini adalah persamaan standar elips berpusat di (0,0) dengan sumbu mayor horizontal.
27. Jelaskan setidaknya tiga aplikasi irisan kerucut dalam kehidupan sehari-hari atau bidang ilmu lainnya, beserta contohnya.
Answer/Key: 1. **Desain Jembatan dan Arsitektur (Parabola):** Bentuk parabola sangat efisien dalam menahan beban secara merata. Banyak jembatan gantung dan jembatan lengkung menggunakan kabel atau struktur dengan bentuk parabola terbalik untuk mendistribusikan gaya secara optimal, seperti pada jembatan Golden Gate. Selain itu, reflektor parabola digunakan dalam lampu sorot, antena parabola (satelit TV), dan mikrofon pengarah karena sifat fokusnya yang dapat memantulkan atau mengumpulkan gelombang ke satu titik.2. **Astronomi dan Fisika (Elips dan Hiperbola):** Lintasan planet mengelilingi matahari berbentuk elips, dengan matahari berada di salah satu fokusnya, sesuai dengan Hukum Kepler. Komet dapat memiliki lintasan elips (jika terikat oleh gravitasi matahari) atau hiperbola (jika hanya lewat sekali dan tidak kembali). Dalam fisika, medan gravitasi dan elektrostatik seringkali digambarkan dengan kurva-kurva irisan kerucut.3. **Desain Lensa dan Cermin (Parabola, Hiperbola, Elips):** Lensa dan cermin pada teleskop, mikroskop, atau alat optik lainnya sering dirancang dengan permukaan berbentuk parabola, elips, atau hiperbola untuk menghilangkan aberasi sferis dan fokus cahaya/sinyal dengan lebih akurat. Misalnya, cermin utama teleskop Cassegrain biasanya hiperbolik, sedangkan cermin primer teleskop Newtonian adalah parabola.
28. Bandingkan dan kontraskan karakteristik utama (fokus, direktris/asimtot, eksentrisitas) antara parabola, elips, dan hiperbola.
Answer/Key: Perbandingan dan kontras karakteristik utama antara parabola, elips, dan hiperbola adalah sebagai berikut: **1. Fokus:** – **Parabola:** Memiliki satu fokus dan satu direktris. Setiap titik pada parabola berjarak sama dari fokus dan direktris. – **Elips:** Memiliki dua fokus. Jumlah jarak dari setiap titik pada elips ke kedua fokus adalah konstan. – **Hiperbola:** Memiliki dua fokus. Selisih jarak dari setiap titik pada hiperbola ke kedua fokus adalah konstan. **2. Direktris/Asimtot:** – **Parabola:** Memiliki satu direktris, yaitu garis lurus. – **Elips:** Memiliki dua direktris. – **Hiperbola:** Memiliki dua direktris dan dua asimtot. Asimtot adalah garis lurus yang didekati oleh cabang-cabang hiperbola saat menjauh tak hingga, memberikan ‘panduan’ untuk bentuk hiperbola. **3. Eksentrisitas (e):** – **Parabola:** e = 1. Ini adalah nilai konstan yang menyatakan bahwa setiap titik berjarak sama dari fokus dan direktris. – **Elips:** 0 < e < 1. Nilai eksentrisitas yang lebih kecil menunjukkan elips yang lebih 'bundar', sedangkan nilai yang lebih besar menunjukkan elips yang lebih 'oval'. - **Hiperbola:** e > 1. Nilai eksentrisitas yang lebih besar menunjukkan cabang hiperbola yang lebih ‘terbuka’ atau ‘melebar’.
29. Bagaimana cara mengidentifikasi jenis irisan kerucut dari persamaan umum Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0? Jelaskan kriteria diskriminan B^2 – 4AC.
Answer/Key: Untuk mengidentifikasi jenis irisan kerucut dari persamaan umum Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, kita menggunakan nilai diskriminan B^2 – 4AC. Nilai diskriminan ini menentukan jenis kurva yang direpresentasikan oleh persamaan tersebut: 1. **Jika B^2 – 4AC < 0:** Kurva tersebut adalah **elips**. Jika B=0 dan A=C (dan A, C tidak nol), maka itu adalah **lingkaran**, yang merupakan kasus khusus dari elips. 2. **Jika B^2 - 4AC = 0:** Kurva tersebut adalah **parabola**. 3. **Jika B^2 - 4AC > 0:** Kurva tersebut adalah **hiperbola**. Dalam kasus khusus ketika diskriminan positif dan B=0, A dan C memiliki tanda yang berlawanan. Ini adalah cara yang sistematis untuk mengklasifikasikan irisan kerucut tanpa perlu melakukan rotasi sumbu jika ada suku Bxy.
30. Diketahui persamaan garis singgung pada sebuah lingkaran adalah 3x – 4y + 25 = 0 dan koordinat pusat lingkaran adalah (0,0). Jelaskan langkah-langkah untuk mencari jari-jari lingkaran tersebut.
Answer/Key: Untuk mencari jari-jari lingkaran ketika diketahui persamaan garis singgung dan pusat lingkaran, kita dapat menggunakan rumus jarak dari titik ke garis. Jari-jari lingkaran (r) adalah jarak tegak lurus dari pusat lingkaran ke garis singgung. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1. **Identifikasi persamaan garis singgung dan koordinat pusat:** Persamaan garis singgung adalah Ax + By + C = 0, dalam kasus ini 3x – 4y + 25 = 0, sehingga A=3, B=-4, C=25. Pusat lingkaran adalah (x0, y0), dalam kasus ini (0,0). 2. **Gunakan rumus jarak titik ke garis:** Rumus jarak d dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah: d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2). 3. **Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:** Jari-jari r adalah sama dengan jarak d. r = |(3)(0) + (-4)(0) + 25| / √(3^2 + (-4)^2). r = |0 + 0 + 25| / √(9 + 16). r = |25| / √25. r = 25 / 5. r = 5. Jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 5.
31. Jodohkan persamaan irisan kerucut dengan jenis kurva atau karakteristiknya.
| (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 | … | Persamaan lingkaran |
| y^2 = 4px | … | Parabola membuka ke kanan atau kiri |
| x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b) | … | Elips dengan sumbu mayor di sumbu-x |
| x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 | … | Hiperbola dengan sumbu transversal di sumbu-x |
| B^2 – 4AC < 0 (dari Ax^2+Bxy+Cy^2...) | … | Merupakan Elips (termasuk lingkaran) |
Answer/Key: 1. (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 -> Persamaan lingkaran; 2. y^2 = 4px -> Parabola membuka ke kanan atau kiri; 3. x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b) -> Elips dengan sumbu mayor di sumbu-x; 4. x^2/a^2 – y^2/b^2 = 1 -> Hiperbola dengan sumbu transversal di sumbu-x; 5. B^2 – 4AC < 0 (dari Ax^2+Bxy+Cy^2...) -> Merupakan Elips (termasuk lingkaran)
32. Jodohkan definisi atau istilah dengan konsep irisan kerucut yang tepat.
| Tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke suatu titik tetap dan suatu garis tetap selalu sama dengan satu | … | Parabola |
| Nilai yang menunjukkan ‘keovalan’ suatu elips atau ‘kelebaran’ suatu hiperbola | … | Eksentrisitas |
| Garis lurus yang didekati oleh kurva hiperbola saat menjauh tak hingga | … | Asimtot |
| Dua titik tetap yang digunakan dalam definisi elips dan hiperbola | … | Fokus |
| Garis yang tegak lurus sumbu simetri parabola dan berjarak sama dengan fokus dari puncak | … | Direktris |
Answer/Key: 1. Tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke suatu titik tetap dan suatu garis tetap selalu sama dengan satu -> Parabola; 2. Nilai yang menunjukkan ‘keovalan’ suatu elips atau ‘kelebaran’ suatu hiperbola -> Eksentrisitas; 3. Garis lurus yang didekati oleh kurva hiperbola saat menjauh tak hingga -> Asimtot; 4. Dua titik tetap yang digunakan dalam definisi elips dan hiperbola -> Fokus; 5. Garis yang tegak lurus sumbu simetri parabola dan berjarak sama dengan fokus dari puncak -> Direktris
