Uji Kompetensi Persamaan Nilai Mutlak: Kumpulan Soal Lengkap dan Pembahasan

Selamat datang di ujian komprehensif persamaan nilai mutlak! Materi ini adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika tingkat menengah yang seringkali menjadi tantangan bagi banyak siswa. Persamaan nilai mutlak melibatkan jarak suatu angka dari nol pada garis bilangan, yang berarti solusi dapat berupa nilai positif maupun negatif. Menguasai persamaan nilai mutlak sangat penting, tidak hanya untuk keberhasilan akademis, tetapi juga untuk memahami konsep-konsep matematika yang lebih kompleks di masa depan. Artikel ini menyediakan serangkaian soal latihan yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda secara mendalam. Anda akan menemukan berbagai tipe soal, mulai dari pilihan ganda, isian singkat, esai, hingga menjodohkan, yang mencakup berbagai tingkat kesulitan dan bentuk persamaan nilai mutlak. Bersiaplah untuk mengasah kemampuan Anda dalam mengidentifikasi, menganalisis, dan menyelesaikan berbagai permasalahan terkait persamaan nilai mutlak. Mari kita mulai uji kemampuan Anda dan tingkatkan penguasaan materi ini!

1. Nilai mutlak dari -7 adalah…

-7
7
0
Tidak ada

Answer/Key: 7

2. Bentuk sederhana dari |-5 + 2| adalah…

-3
3
-7
7

Answer/Key: 3

3. Penyelesaian dari |x| = 5 adalah…

x = 5
x = -5
x = 5 atau x = -5
Tidak ada penyelesaian

Answer/Key: x = 5 atau x = -5

4. Himpunan penyelesaian dari |2x – 1| = 7 adalah…

{-3, 4}
{-4, 3}
{3}
{4}

Answer/Key: {-3, 4}

5. Solusi dari persamaan |x + 3| = 0 adalah…

x = 3
x = -3
x = 0
Tidak ada

Answer/Key: x = -3

6. Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan |x – 2| = -3?

0
1
2
Tak hingga

Answer/Key: 0

7. Himpunan penyelesaian dari |3x + 6| = 9 adalah…

{-5, 1}
{1, 5}
{-1, 5}
{-5, -1 mouth

Answer/Key: {-5, 1}

8. Nilai x yang memenuhi |x – 4| = 2x adalah…

x = 4/3
x = 4
x = -4
x = 2

Answer/Key: x = 4/3

9. Jika |2x – 3| = |x + 1|, maka nilai x yang mungkin adalah…

x = 4 atau x = 2/3
x = -4 atau x = 2/3
x = 4 atau x = -2/3
x = -4 atau x = -2/3

Answer/Key: x = 4 atau x = 2/3

10. Persamaan |x + 5| + 2 = 1 memiliki himpunan penyelesaian…

{-6, -4}
{-6}
{-4}
{} (Himpunan kosong)

Answer/Key: {} (Himpunan kosong)

11. Jika |4x – 8| = 12, maka nilai x adalah…

x = 5 atau x = -1
x = 5 atau x = 1
x = -5 atau x = 1
x = -5 atau x = -1

Answer/Key: x = 5 atau x = -1

12. Nilai x yang memenuhi persamaan 3|x – 2| = 15 adalah…

x = 7 atau x = -3
x = -7 atau x = 3
x = 7 atau x = 3
x = -7 atau x = -3

Answer/Key: x = 7 atau x = -3

13. Solusi dari persamaan |x| – 3 = 4 adalah…

x = 7
x = -7
x = 7 atau x = -7
x = 1

Answer/Key: x = 7 atau x = -7

14. Himpunan penyelesaian dari |5 – 2x| = 9 adalah…

{-2, 7}
{2, -7}
{2, 7}
{-2, -7 mouth

Answer/Key: {-2, 7}

15. Jika |x^2 – 5| = 4, maka nilai x adalah…

x = 3 atau x = -3 atau x = 1 atau x = -1
x = 3 atau x = -3
x = 1 atau x = -1
x = 0

Answer/Key: x = 3 atau x = -3 atau x = 1 atau x = -1

16. Persamaan |x – 1| = 2x + 1 memiliki himpunan penyelesaian…

{0, -2/3}
{0}
{-2/3}
{2 mouth

Answer/Key: {0}

17. Nilai x yang memenuhi |x + 1| = |x – 5| adalah…

x = 2
x = -2
x = 3
x = -3

Answer/Key: x = 2

18. Jika |x – 3| + |x + 2| = 5, maka nilai x yang memenuhi adalah…

-2 <= x <= 3
x <= -2 atau x >= 3
x = 3
x = -2

Answer/Key: -2 <= x <= 3

19. Hasil dari |10 – 2| – |-3| adalah…

5
11
-11
-5

Answer/Key: 5

20. Pernyataan yang benar tentang persamaan nilai mutlak |ax + b| = c adalah…

Selalu memiliki dua solusi.
Tidak memiliki solusi jika c > 0.
Memiliki satu solusi jika c = 0.
Tidak memiliki solusi jika c < 0.

Answer/Key: Tidak memiliki solusi jika c < 0.

21. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |3x – 2| = 4.

Answer/Key: Untuk menyelesaikan |3x – 2| = 4, kita memiliki dua kemungkinan: 3x – 2 = 4 atau 3x – 2 = -4. Kasus 1: 3x – 2 = 4 => 3x = 6 => x = 2. Kasus 2: 3x – 2 = -4 => 3x = -2 => x = -2/3. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2/3, 2}.

22. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan |x – 5| = 2x – 1.

Answer/Key: Persyaratan pertama adalah 2x – 1 >= 0, sehingga x >= 1/2. Kasus 1: x – 5 = 2x – 1 => -5 + 1 = 2x – x => -4 = x. (Tidak memenuhi x >= 1/2, jadi bukan solusi). Kasus 2: x – 5 = -(2x – 1) => x – 5 = -2x + 1 => x + 2x = 1 + 5 => 3x = 6 => x = 2. (Memenuhi x >= 1/2, jadi x = 2 adalah solusi). Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2.

23. Berikan contoh persamaan nilai mutlak yang tidak memiliki solusi. Jelaskan mengapa.

Answer/Key: Contoh: |2x + 3| = -5. Penjelasan: Definisi nilai mutlak menyatakan bahwa hasil dari nilai mutlak suatu bilangan atau ekspresi selalu non-negatif (lebih besar atau sama dengan nol). Oleh karena itu, |2x + 3| tidak mungkin menghasilkan nilai negatif (-5). Karena tidak ada bilangan real yang nilai mutlaknya negatif, persamaan ini tidak memiliki solusi.

24. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |x^2 – 7| = 2.

Answer/Key: Untuk menyelesaikan |x^2 – 7| = 2, kita memiliki dua kemungkinan: x^2 – 7 = 2 atau x^2 – 7 = -2. Kasus 1: x^2 – 7 = 2 => x^2 = 9 => x = 3 atau x = -3. Kasus 2: x^2 – 7 = -2 => x^2 = 5 => x = sqrt(5) atau x = -sqrt(5). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-3, -sqrt(5), sqrt(5), 3}.

25. Jika |x – 1| + |x + 4| = 5, tentukan semua nilai x yang memenuhi.

Answer/Key: Titik kritis adalah x = 1 dan x = -4. Kasus 1: x < -4. -(x-1) - (x+4) = 5 => -x+1-x-4 = 5 => -2x-3 = 5 => -2x = 8 => x = -4. (Tidak termasuk dalam x < -4). Kasus 2: -4 <= x < 1. -(x-1) + (x+4) = 5 => -x+1+x+4 = 5 => 5 = 5. (Pernyataan ini benar untuk semua x dalam interval -4 <= x < 1). Kasus 3: x >= 1. (x-1) + (x+4) = 5 => 2x+3 = 5 => 2x = 2 => x = 1. (Termasuk dalam x >= 1). Menggabungkan semua kasus, solusi adalah interval [-4, 1]. Jadi, semua nilai x yang memenuhi adalah -4 <= x <= 1.

26. Jelaskan secara rinci apa yang dimaksud dengan ‘nilai mutlak’ suatu bilangan. Berikan contoh penerapannya dalam kehidupan sehari-hari atau masalah praktis.

Answer/Key: Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, tanpa mempertimbangkan arah. Dengan kata lain, nilai mutlak selalu non-negatif (positif atau nol). Secara matematis, nilai mutlak x, ditulis sebagai |x|, didefinisikan sebagai x jika x >= 0, dan -x jika x < 0. Contoh dalam kehidupan sehari-hari: 1. Jarak: Jika sebuah mobil bergerak 5 km ke timur dan mobil lain bergerak 5 km ke barat, jarak kedua mobil dari titik awal adalah sama, yaitu 5 km. Ini dapat diwakili sebagai |+5 km| = 5 km dan |-5 km| = 5 km. 2. Toleransi dalam Manufaktur: Sebuah pabrik mungkin menentukan bahwa panjang suatu komponen harus 10 cm dengan toleransi 0.02 cm. Ini berarti panjang komponen, L, harus memenuhi |L - 10| <= 0.02. 3. Perubahan Suhu: Jika suhu turun dari 20°C menjadi 15°C, perubahan suhunya adalah |-5°C| = 5°C. Jika naik dari 15°C menjadi 20°C, perubahannya adalah |+5°C| = 5°C.

27. Jelaskan tiga metode utama yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak. Berikan contoh singkat untuk setiap metode.

Answer/Key: Tiga metode utama untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak adalah: 1. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak: Ini adalah metode paling dasar. Jika |f(x)| = c (dengan c >= 0), maka f(x) = c atau f(x) = -c. Jika c < 0, tidak ada solusi. Contoh: Selesaikan |x - 3| = 5. x - 3 = 5 => x = 8; x – 3 = -5 => x = -2. Solusi: x = 8 atau x = -2. 2. Mengkuadratkan Kedua Ruas: Metode ini efektif untuk persamaan yang melibatkan nilai mutlak di kedua ruas, seperti |f(x)| = |g(x)|. Kita bisa mengkuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan tanda mutlak: (f(x))^2 = (g(x))^2. Contoh: Selesaikan |2x – 1| = |x + 4|. (2x – 1)^2 = (x + 4)^2 => 4x^2 – 4x + 1 = x^2 + 8x + 16 => 3x^2 – 12x – 15 = 0 => x^2 – 4x – 5 = 0 => (x – 5)(x + 1) = 0. Solusi: x = 5 atau x = -1. 3. Menggunakan Analisis Kasus (Definisi Interval): Metode ini digunakan ketika ada lebih dari satu ekspresi nilai mutlak dalam persamaan, misalnya |f(x)| + |g(x)| = c. Kita menentukan titik-titik kritis (nilai x yang membuat ekspresi di dalam nilai mutlak menjadi nol), kemudian membagi garis bilangan menjadi interval-interval berdasarkan titik kritis tersebut. Untuk setiap interval, kita hilangkan tanda mutlak sesuai dengan tanda ekspresi di dalamnya. Contoh: Selesaikan |x – 1| + |x + 2| = 7. Titik kritis: x = 1 dan x = -2. Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: x < -2, -2 <= x < 1, dan x >= 1. (Detail solusi tidak disertakan di sini, namun penjelasannya cukup).

28. Jelaskan mengapa persamaan nilai mutlak terkadang tidak memiliki solusi, memiliki satu solusi, atau memiliki dua solusi. Berikan contoh untuk setiap kasus.

Answer/Key: 1. Tidak Memiliki Solusi: Terjadi ketika nilai mutlak disetarakan dengan bilangan negatif. Karena nilai mutlak selalu non-negatif, tidak mungkin hasilnya negatif. Contoh: |x + 2| = -5. (Tidak ada x yang memenuhi karena |x+2| selalu >= 0). 2. Memiliki Satu Solusi: Terjadi ketika nilai mutlak disetarakan dengan nol. Hanya ada satu nilai yang membuat ekspresi di dalam mutlak menjadi nol. Contoh: |3x – 6| = 0 => x = 2. Juga bisa terjadi pada persamaan bentuk |f(x)| = g(x) di mana salah satu cabang solusi tidak memenuhi syarat g(x) >= 0. Contoh: |x-4| = 2x, hanya x=4/3 yang valid. 3. Memiliki Dua Solusi: Ini adalah kasus yang paling umum ketika nilai mutlak disetarakan dengan bilangan positif. Dua kemungkinan muncul: ekspresi di dalam mutlak sama dengan nilai positif tersebut atau negatifnya. Contoh: |x – 1| = 4 => x = 5 atau x = -3.

29. Bagaimana cara menentukan apakah suatu solusi yang ditemukan untuk persamaan nilai mutlak |f(x)| = g(x) adalah valid, terutama ketika g(x) mengandung variabel x? Mengapa langkah ini penting?

Answer/Key: Ketika menyelesaikan persamaan nilai mutlak dalam bentuk |f(x)| = g(x) di mana g(x) mengandung variabel x, ada syarat penting yang harus dipenuhi: g(x) harus selalu lebih besar dari atau sama dengan nol (g(x) >= 0). Langkah ini penting karena nilai mutlak suatu ekspresi tidak pernah menghasilkan nilai negatif. Jika hasil perhitungan dari g(x) untuk suatu nilai x ternyata negatif, maka nilai x tersebut bukan merupakan solusi yang valid untuk persamaan awal, meskipun secara aljabar dihasilkan dari salah satu cabang penyelesaian (f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x)). Cara menentukannya: 1. Tentukan semua solusi potensial dari f(x) = g(x) dan f(x) = -g(x). 2. Untuk setiap solusi potensial, substitusikan kembali nilai x tersebut ke dalam ekspresi g(x). 3. Jika g(x) >= 0, maka nilai x tersebut adalah solusi yang valid. 4. Jika g(x) < 0, maka nilai x tersebut bukan solusi yang valid dan harus dibuang. Langkah ini sangat penting untuk menghindari 'solusi ekstraneus' atau solusi semu yang muncul karena proses aljabar (misalnya, pengkuadratan kedua ruas) yang bisa memperkenalkan solusi yang tidak memenuhi kondisi awal nilai mutlak.

30. Bandingkan dan kontraskan metode penyelesaian untuk persamaan |ax + b| = c dan |ax + b| = |cx + d|. Jelaskan perbedaan pendekatan dan mengapa perbedaan tersebut diperlukan.

Answer/Key: 1. Persamaan |ax + b| = c: Pendekatan: Karena c adalah konstanta, langsung terapkan definisi nilai mutlak. Jika c < 0, tidak ada solusi. Jika c >= 0, pecah menjadi dua kasus: ax + b = c atau ax + b = -c. Alasan: Sisi kanan (c) sudah diketahui dan tidak bergantung pada x. 2. Persamaan |ax + b| = |cx + d|: Pendekatan: Kedua ruas adalah nilai mutlak, dapat mengkuadratkan kedua ruas: (ax + b)^2 = (cx + d)^2, atau memecah menjadi dua kasus: ax + b = cx + d atau ax + b = -(cx + d). Alasan: Kedua ruas bergantung pada x dan keduanya harus non-negatif. Mengkuadratkan atau memecah kasus secara otomatis menangani sifat non-negatif tanpa perlu verifikasi tambahan seperti g(x) >= 0. Perbedaan Utama: Pada |ax + b| = c, kita memeriksa nilai c (konstanta). Pada |ax + b| = |cx + d|, tidak perlu memeriksa kondisi non-negatif untuk kedua ruas (seperti g(x) >= 0) karena sifat kuadrat atau pemecahan kasus secara otomatis menangani ini.

31. Jodohkan persamaan nilai mutlak berikut dengan himpunan penyelesaiannya.

A. \|x\| = 6	…	1. {-1, 5}
B. \|x – 1\| = 4	…	2. {6, -6}
C. \|2x – 4\| = 6	…	3. {5, -3}
D. \|x + 2\| = 1	…	4. {-1, -3}
E. \|3x – 3\| = 6	…	5. {3, -1}

Answer/Key: A-2, B-3, C-1, D-4, E-5

32. Jodohkan konsep atau sifat nilai mutlak dengan deskripsi atau contoh yang tepat.

A. Definisi \|x\|	…	1. x jika x >= 0; -x jika x < 0.
B. Hasil dari \|suatu bilangan\|	…	2. Tidak memiliki solusi.
C. Persamaan \|f(x)\| = c, di mana c < 0	…	3. Selalu non-negatif.
D. Solusi untuk \|x+1\|=0	…	4. x = -1.
E. Kondisi validasi solusi untuk \|f(x)\| = g(x)	…	5. g(x) harus >= 0.

Answer/Key: A-1, B-3, C-2, D-4, E-5