Selamat datang di panduan lengkap dan latihan soal nilai mutlak! Konsep nilai mutlak merupakan salah satu fondasi penting dalam matematika, seringkali muncul dalam berbagai topik mulai dari persamaan, pertidaksamaan, hingga fungsi. Memahami nilai mutlak tidak hanya krusial untuk sukses dalam ujian matematika di sekolah menengah, tetapi juga menjadi dasar bagi materi yang lebih kompleks di tingkat perguruan tinggi. Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai setiap aspek nilai mutlak, mulai dari definisi dasar hingga penerapannya dalam soal-soal tingkat lanjut. Kami menyediakan beragam jenis soal, mulai dari pilihan ganda untuk menguji pemahaman konsep, soal isian singkat untuk melatih ketepatan, soal esai untuk mengembangkan kemampuan analisis, hingga soal menjodohkan untuk mengasah pemahaman definisi dan sifat. Dengan 32 soal yang bervariasi, Anda akan mendapatkan persiapan yang komprehensif untuk menghadapi ujian dan meningkatkan kepercayaan diri dalam menyelesaikan masalah nilai mutlak. Mari kita mulai perjalanan Anda menuju penguasaan nilai mutlak!
1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x| = 5.
- 5
- -5
- 5 atau -5
- Tidak ada solusi
Answer/Key: 5 atau -5
2. Berapakah nilai dari |-7|?
- 7
- -7
- 0
- 1
Answer/Key: 7
3. Himpunan penyelesaian dari |2x – 1| = 3 adalah…
- {2}
- {-1}
- {2, -1}
- Tidak ada solusi
Answer/Key: {2, -1}
4. Nilai x yang memenuhi |x + 4| = 0 adalah…
- 4
- -4
- 0
- Tidak ada solusi
Answer/Key: -4
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x| < 3.
- x < -3 atau x > 3
- -3 < x < 3
- x < 3
- x > -3
Answer/Key: -3 < x < 3
6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x| > 2 adalah…
- -2 < x < 2
- x > 2
- x < -2
- x < -2 atau x > 2
Answer/Key: x < -2 atau x > 2
7. Selesaikan persamaan |x – 2| + 5 = 7.
- {4}
- {0}
- {0, 4}
- Tidak ada solusi
Answer/Key: {0, 4}
8. Himpunan penyelesaian dari |3x + 6| = 9 adalah…
- {1}
- {-5}
- {1, -5}
- Tidak ada solusi
Answer/Key: {1, -5}
9. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |2x + 1| <= 5.
- x <= -3 atau x >= 2
- -3 <= x <= 2
- x <= 2
- x >= -3
Answer/Key: -3 <= x <= 2
10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |4 – x| > 6 adalah…
- -2 < x < 10
- x > 10
- x < -2
- x < -2 atau x > 10
Answer/Key: x < -2 atau x > 10
11. Manakah pernyataan berikut yang selalu benar untuk setiap bilangan real x?
- |x| >= x
- |x| <= x
- |x| = -x
- |x|^2 = x
Answer/Key: |x| >= x
12. Grafik fungsi y = |x| memiliki titik puncak di koordinat…
- (0,0)
- (1,0)
- (0,1)
- (-1,0)
Answer/Key: (0,0)
13. Hitunglah nilai dari ||-3| – |-5||.
- 2
- -2
- 8
- -8
Answer/Key: 2
14. Tentukan nilai x yang memenuhi |2x – 3| = x.
- 3
- 1
- 1 atau 3
- Tidak ada solusi
Answer/Key: 1 atau 3
15. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 1| < 2x adalah...
- 1/3 < x < 1
- x > 1/3
- x < 1
- x < 1/3
Answer/Key: x > 1/3
16. Jarak antara titik A(3) dan B(-5) pada garis bilangan dapat dinyatakan sebagai…
- |3 – (-5)|
- |3 + (-5)|
- 3 – 5
- 3 + 5
Answer/Key: |3 – (-5)|
17. Jika |x| = 2 dan |y| = 3, maka nilai maksimum dari x + y adalah…
- 5
- -5
- 1
- -1
Answer/Key: 5
18. Tentukan himpunan penyelesaian dari |(x-1)/(x+2)| = 3.
- {-7/2}
- {-5/4}
- {-7/2, -5/4}
- Tidak ada solusi
Answer/Key: {-7/2, -5/4}
19. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x^2 – 4| < 5 adalah...
- x < -3 atau x > 3
- -3 < x < 3
- x != 2 dan x != -2
- Tidak ada solusi
Answer/Key: -3 < x < 3
20. Suhu ruangan harus dijaga antara 20°C dan 24°C. Jika T adalah suhu ruangan, ekspresi nilai mutlak yang merepresentasikan kondisi ini adalah…
- |T – 22| <= 2
- |T – 22| >= 2
- |T – 24| <= 4
- |T – 20| >= 0
Answer/Key: |T – 22| <= 2
21. Jelaskan apa yang dimaksud dengan nilai mutlak suatu bilangan.
Answer/Key: Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, selalu bernilai non-negatif.
22. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2x + 5| = 1.
Answer/Key: Himpunan penyelesaiannya adalah {-3, -2}.
23. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x – 4| <= 3.
Answer/Key: Himpunan penyelesaiannya adalah [1, 7].
24. Hitunglah nilai dari |5 – 12| + |-3 + 7|.
Answer/Key: |5 – 12| + |-3 + 7| = |-7| + |4| = 7 + 4 = 11.
25. Berikan interpretasi geometris dari |x – a| = b.
Answer/Key: Ini berarti jarak antara x dan a pada garis bilangan adalah sebesar b.
26. Jelaskan sifat-sifat dasar nilai mutlak dan berikan contoh penerapannya dalam menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan.
Answer/Key: Sifat-sifat dasar nilai mutlak meliputi: 1) |x| >= 0 (selalu non-negatif), 2) |x| = |-x|, 3) |x|^2 = x^2, 4) |xy| = |x||y|, 5) |x/y| = |x|/|y| (y!=0), 6) |x+y| <= |x|+|y| (pertidaksamaan segitiga). Contoh penerapan: Untuk |2x-1|=5, kita gunakan definisi |A|=k maka A=k atau A=-k, sehingga 2x-1=5 atau 2x-1=-5. Ini memberikan x=3 atau x=-2. Untuk |x+2| < 4, kita gunakan |A|
27. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan yang melibatkan dua ekspresi nilai mutlak, seperti |f(x)| = |g(x)|? Berikan langkah-langkah dan sebuah contoh.
Answer/Key: Untuk menyelesaikan |f(x)| = |g(x)|, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi: (f(x))^2 = (g(x))^2. Kemudian, pindahkan semua suku ke satu sisi: (f(x))^2 – (g(x))^2 = 0. Gunakan rumus a^2 – b^2 = (a-b)(a+b), sehingga menjadi (f(x) – g(x))(f(x) + g(x)) = 0. Dari sini, kita dapatkan f(x) – g(x) = 0 atau f(x) + g(x) = 0. Contoh: Selesaikan |2x – 1| = |x + 3|. Maka (2x-1) = (x+3) atau (2x-1) = -(x+3). Untuk kasus pertama, x=4. Untuk kasus kedua, 2x-1 = -x-3, sehingga 3x = -2 dan x = -2/3. Jadi solusinya adalah x=4 atau x=-2/3.
28. Jelaskan metode penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak berbentuk |f(x)| < g(x), dengan g(x) adalah suatu fungsi x. Perhatikan kondisi yang harus dipenuhi oleh g(x).
Answer/Key: Untuk menyelesaikan |f(x)| < g(x), ada dua kondisi yang harus dipenuhi: 1) g(x) harus selalu positif (g(x) > 0). Jika g(x) <= 0, maka tidak ada solusi karena nilai mutlak selalu non-negatif. 2) Jika g(x) > 0, maka pertidaksamaan dapat diubah menjadi -g(x) < f(x) < g(x). Ini berarti kita harus menyelesaikan dua pertidaksamaan secara bersamaan: f(x) > -g(x) DAN f(x) < g(x). Solusi akhirnya adalah irisan dari solusi ini dengan syarat g(x) > 0. Contoh: Selesaikan |x – 2| < x + 1. Pertama, syaratkan x + 1 > 0, yaitu x > -1. Kemudian, – (x + 1) < x - 2 < x + 1. Dari x - 2 < x + 1, kita dapatkan -2 < 1 (selalu benar). Dari -(x + 1) < x - 2, kita dapatkan -x - 1 < x - 2 sehingga 1 < 2x dan x > 1/2. Irisan dari x > -1 dan x > 1/2 adalah x > 1/2. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1/2, tak hingga).
29. Gambarkan grafik fungsi f(x) = |x – 2| + 1 dan jelaskan bagaimana perubahan dari f(x) = |x|.
Answer/Key: Grafik fungsi f(x) = |x – 2| + 1 adalah grafik fungsi dasar f(x) = |x| yang telah mengalami pergeseran. Adanya (x-2) di dalam nilai mutlak menyebabkan pergeseran horizontal 2 satuan ke kanan. Penambahan +1 di luar nilai mutlak menyebabkan pergeseran vertikal 1 satuan ke atas. Akibatnya, titik puncak grafik yang semula berada di (0,0) untuk f(x)=|x|, akan bergeser ke koordinat (2, 1) untuk f(x) = |x – 2| + 1, membentuk huruf ‘V’ yang membuka ke atas.
30. Berikan satu contoh masalah kehidupan nyata yang dapat dimodelkan menggunakan konsep nilai mutlak. Jelaskan bagaimana nilai mutlak digunakan dalam model tersebut.
Answer/Key: Salah satu contoh adalah pengukuran toleransi atau rentang kesalahan. Misalnya, sebuah mesin harus memproduksi komponen dengan panjang ideal 10 cm. Namun, ada toleransi kesalahan sebesar 0.05 cm. Ini berarti panjang komponen (P) bisa berkisar antara 9.95 cm hingga 10.05 cm. Kondisi ini dapat dimodelkan dengan nilai mutlak sebagai |P – 10| <= 0.05. Di sini, nilai mutlak digunakan untuk menyatakan bahwa perbedaan (jarak) antara panjang ideal (10 cm) dan panjang sebenarnya (P) tidak boleh melebihi toleransi (0.05 cm), tanpa memandang apakah komponen terlalu panjang atau terlalu pendek.
31. Jodohkan sifat nilai mutlak dengan pernyataan yang tepat.
| |x| >= 0 | … | Nilai mutlak selalu non-negatif |
| |x| = |-x| | … | Nilai mutlak suatu bilangan sama dengan nilai mutlak negatifnya |
| |x|^2 = x^2 | … | Kuadrat nilai mutlak sama dengan kuadrat bilangan itu sendiri |
| |x – y| | … | Jarak antara x dan y |
| |x| = k (k > 0) | … | x = k atau x = -k |
Answer/Key: |x| >= 0: Nilai mutlak selalu non-negatif; |x| = |-x|: Nilai mutlak suatu bilangan sama dengan nilai mutlak negatifnya; |x|^2 = x^2: Kuadrat nilai mutlak sama dengan kuadrat bilangan itu sendiri; |x – y|: Jarak antara x dan y; |x| = k (k > 0): x = k atau x = -k
32. Jodohkan persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan himpunan penyelesaiannya.
| |x| = 4 | … | {-4, 4} |
| |x – 1| = 0 | … | {1} |
| |x| < 2 | … | (-2, 2) |
| |x| >= 3 | … | (-inf, -3] U [3, inf) |
| |2x| = 6 | … | {-3, 3} |
Answer/Key: |x| = 4: {-4, 4}; |x – 1| = 0: {1}; |x| < 2: (-2, 2); |x| >= 3: (-inf, -3] U [3, inf); |2x| = 6: {-3, 3}