Taklukkan KSN Matematika SMA: Kumpulan 32 Soal Pilihan Ganda, Isian, Uraian, dan Mencocokkan Terlengkap

1. Jika $f(x) = x^2 + ax + b$ dan $f(1) = 5$, $f(-1) = 1$, maka nilai $a+b$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Kunci Jawaban: D. 4

2. Diberikan $x, y$ bilangan bulat positif yang memenuhi $x^2 – y^2 = 2023$. Banyaknya pasangan $(x,y)$ yang mungkin adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Kunci Jawaban: B. 2

3. Pada sebuah lingkaran, talibusur AB memiliki panjang 8 cm. Titik C adalah titik pada lingkaran sehingga AC = BC. Jika jarak dari pusat lingkaran ke talibusur AB adalah 3 cm, maka panjang jari-jari lingkaran adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 5 cm
• B. 6 cm
• C. 7 cm
• D. 8 cm
• E. 10 cm

Kunci Jawaban: A. 5 cm

4. Berapakah sisa pembagian $3^{2023}$ oleh 7? (Pilihan Ganda)

• A. 1
• B. 3
• C. 6
• D. 5
• E. 2

Kunci Jawaban: C. 6

5. Misalkan $S$ adalah himpunan semua bilangan bulat positif $n$ sehingga $n^2 + 10n + 24$ habis dibagi $n+4$. Jumlah semua anggota $S$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 4
• B. 6
• C. 8
• D. 10
• E. 12

Kunci Jawaban: B. 6

6. Dalam suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 11 dan suku ketujuh adalah 23. Jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 150
• B. 160
• C. 165
• D. 170
• E. 175

Kunci Jawaban: D. 170

7. Jika $x, y$ adalah bilangan real positif yang memenuhi $x+y=1$, maka nilai minimum dari $rac{1}{x} + rac{1}{y}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 4
• B. 2
• C. 1
• D. 1/2
• E. Tidak ada

Kunci Jawaban: A. 4

8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil 2 bola secara acak tanpa pengembalian, peluang terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 5/14
• B. 3/8
• C. 15/28
• D. 1/2
• E. 8/15

Kunci Jawaban: C. 15/28

9. Misalkan $P(x)$ adalah polinomial berderajat 3 dengan koefisien bulat. Jika $P(1) = 7$ dan $P(2) = 11$, maka $P(3)$ tidak mungkin bernilai… (Pilihan Ganda)

• A. 15
• B. 16
• C. 17
• D. 18
• E. 19

Kunci Jawaban: E. 19

10. Diberikan sebuah segitiga ABC dengan panjang sisi AB = 6, BC = 8, dan AC = 10. Luas segitiga ABC adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 18 satuan luas
• B. 24 satuan luas
• C. 30 satuan luas
• D. 36 satuan luas
• E. 48 satuan luas

Kunci Jawaban: B. 24 satuan luas

11. Banyaknya bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 333
• B. 199
• C. 200
• D. 266
• E. 267

Kunci Jawaban: D. 266

12. Jika $a, b, c$ adalah akar-akar dari persamaan $x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0$, maka nilai dari $a^2 + b^2 + c^2$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 12
• B. 14
• C. 16
• D. 18
• E. 20

Kunci Jawaban: B. 14

13. Sebuah fungsi $f: R \to R$ didefinisikan sebagai $f(x) = x^2 – 4x + 3$. Nilai minimum fungsi ini adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 0
• B. 1
• C. -1
• D. 2
• E. -2

Kunci Jawaban: C. -1

14. Banyaknya bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 tanpa pengulangan dan merupakan bilangan genap adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 120
• B. 144
• C. 180
• D. 240
• E. 360

Kunci Jawaban: C. 180

15. Sebuah kotak berisi 4 kelereng merah dan 6 kelereng biru. Jika diambil 3 kelereng sekaligus, peluang terambilnya setidaknya 2 kelereng merah adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 1/6
• B. 7/30
• C. 3/10
• D. 2/5
• E. 1/2

Kunci Jawaban: B. 7/30

16. Jika $p$ adalah bilangan prima dan $p^2 + 10p – 2024 = 0$ memiliki akar bilangan bulat, maka nilai $p$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 43
• B. 41
• C. 37
• D. 31
• E. 29

Kunci Jawaban: A. 43

17. Nilai dari $rac{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}{\tan 30^{\circ}}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $\frac{1}{2}$
• B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C. $\frac{1}{4}$
• D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• E. $\frac{1}{8}$

Kunci Jawaban: D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

18. Diketahui sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi tegak 3 dan 4. Jika sebuah lingkaran menyinggung ketiga sisinya (lingkaran dalam), maka jari-jari lingkaran tersebut adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 0.5
• B. 1
• C. 1.5
• D. 2
• E. 2.5

Kunci Jawaban: B. 1

19. Banyaknya solusi bilangan bulat positif dari persamaan $x+y+z=10$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 28
• B. 30
• C. 36
• D. 45
• E. 55

Kunci Jawaban: C. 36

20. Jika $A$ dan $B$ adalah matriks $2 \times 2$ sedemikian rupa sehingga $A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, maka matriks $B$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• B. $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$
• C. $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$
• D. $\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$
• E. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

Kunci Jawaban: E. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$

21. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 2 dan suku ketiga 18. Suku kelima barisan tersebut adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 54
• B. 72
• C. 81
• D. 162
• E. 243

Kunci Jawaban: D. 162

22. Jika $f(x) = x^2$ dan $g(x) = 2x-1$, maka $(f \circ g)(x)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $2x^2-1$
• B. $4x^2 – 4x + 1$
• C. $2x^2+1$
• D. $x^2(2x-1)$
• E. $(2x-1)^2$

Kunci Jawaban: B. $4x^2 – 4x + 1$

23. Sebuah fungsi $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$. Invers dari fungsi tersebut, $f^{-1}(x)$, adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $f^{-1}(x) = \frac{x+1}{1-x}$
• B. $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{x+1}$
• C. $f^{-1}(x) = \frac{1-x}{x+1}$
• D. $f^{-1}(x) = \frac{x+1}{x-1}$
• E. $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{1-x}$

Kunci Jawaban: A. $f^{-1}(x) = \frac{x+1}{1-x}$

24. Nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 1/2
• B. 2
• C. 4
• D. 1
• E. 0

Kunci Jawaban: B. 2

25. Turunan pertama dari $f(x) = (2x-1)^3$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $3(2x-1)^2$
• B. $2(2x-1)^2$
• C. $6(2x-1)^2$
• D. $3(2x-1)^3$
• E. $2x(2x-1)^2$

Kunci Jawaban: C. $6(2x-1)^2$

26. Hasil dari $\int (3x^2 + 2x – 1) dx$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $x^3 + x^2 – x + C$
• B. $6x + 2 + C$
• C. $3x^3 + 2x^2 – x + C$
• D. $x^3 + x^2 – 1 + C$
• E. $x^3 + 2x^2 – x + C$

Kunci Jawaban: A. $x^3 + x^2 – x + C$

27. Jika matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, maka determinan dari matriks $A$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 10
• B. 12
• C. 13
• D. 14
• E. 15

Kunci Jawaban: D. 14

28. Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{2x-1} = 8$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 1
• B. 3/2
• C. 2
• D. 5/2
• E. 3

Kunci Jawaban: C. 2

29. Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. $x^2 + y^2 = 5$
• B. $x^2 + y^2 = 9$
• C. $x^2 + y^2 = 16$
• D. $x^2 + y^2 = 12$
• E. $x^2 + y^2 = 25$

Kunci Jawaban: E. $x^2 + y^2 = 25$

30. Jika $a, b, c$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a+b+c = 10$ dan $a, b, c$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai terbesar dari $a \cdot b \cdot c$ adalah… (Pilihan Ganda)

• A. 24
• B. 28
• C. 30
• D. 32
• E. 36

Kunci Jawaban: C. 30

31. Nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-3} = 5$ adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 7

32. Jika $P(x) = x^3 – 4x^2 + 5x – 2$, maka jumlah akar-akar $P(x)$ adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 4

33. Sebuah dadu dilemparkan dua kali. Peluang munculnya jumlah mata dadu kurang dari 5 adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 1/6

34. Jika $f(x) = ax+b$ dan $f(2)=7$, $f(4)=13$, maka $f(0)$ adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 1

35. Berapakah nilai dari $1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100$? (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 5050

36. Tentukan semua bilangan bulat $x, y$ yang memenuhi persamaan $x^2 + 2y^2 – 2xy – 2x + 2y + 1 = 0$. (Uraian)

Kunci Jawaban: Persamaan dapat ditulis sebagai $(x-y)^2 + y^2 – 2(x-y) + 1 = 0$.Misalkan $A = x-y$. Maka persamaan menjadi $A^2 – 2A + 1 + y^2 = 0 \implies (A-1)^2 + y^2 = 0$.Karena $A-1$ dan $y$ adalah bilangan real, dan kuadrat dari bilangan real selalu non-negatif, maka satu-satunya cara jumlah keduanya sama dengan nol adalah jika $(A-1)^2 = 0$ dan $y^2 = 0$.Ini berarti $A-1 = 0 \implies A=1$ dan $y=0$.Substitusi $A = x-y$ kembali: $x-y=1 \implies x-0=1 \implies x=1$.Jadi, satu-satunya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi adalah $(1,0)$.

37. Diberikan sebuah fungsi $f(x) = \frac{1}{1-x}$. Hitunglah $(f \circ f \circ f)(x)$ dan tentukan domainnya. (Uraian)

Kunci Jawaban: Langkah 1: Hitung $f(f(x))$.$f(f(x)) = f\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{1}{1 – \frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}$.Domain $f(x)$ adalah $x \ne 1$. Domain $f(f(x))$ memerlukan $x \ne 1$ dan $-x \ne 0 \implies x \ne 0$.Jadi domain $f(f(x))$ adalah $x \ne 0, 1$.
Langkah 2: Hitung $(f \circ f \circ f)(x) = f(f(f(x)))$.$(f \circ f \circ f)(x) = f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1 – \frac{x-1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-(x-1)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$.Domain $(f \circ f \circ f)(x)$ memerlukan $x \ne 1$, $x \ne 0$, dan $\frac{x-1}{x} \ne 1$. $\frac{x-1}{x} = 1 \implies x-1=x \implies -1=0$, yang mustahil. Jadi tidak ada batasan tambahan dari $\frac{x-1}{x} \ne 1$.Maka domain dari $(f \circ f \circ f)(x)$ adalah semua bilangan real kecuali $x=0$ dan $x=1$.

38. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $AB=c$, $BC=a$, dan $CA=b$. Jika $a, b, c$ membentuk barisan aritmetika, buktikan bahwa $a^2 + c^2 = 2b^2$. (Uraian)

Kunci Jawaban: Karena $a, b, c$ membentuk barisan aritmetika, maka berlaku $b-a = c-b$, yang ekuivalen dengan $2b = a+c$.Untuk membuktikan $a^2 + c^2 = 2b^2$, kita bisa menggunakan hubungan $2b = a+c$.
Dari $2b = a+c$, kita kuadratkan kedua sisi:$(2b)^2 = (a+c)^2$$4b^2 = a^2 + 2ac + c^2$
Kita ingin mencapai $a^2 + c^2 = 2b^2$. Mari kita manipulasi persamaan yang kita miliki.
Kita tahu $4b^2 = a^2 + c^2 + 2ac$.Jika kita ingin $a^2 + c^2 = 2b^2$, maka kita harus menunjukkan bahwa $2b^2 = 2ac$.Dengan kata lain, kita perlu membuktikan bahwa $b^2 = ac$.
Dari $2b=a+c$, kita juga bisa menulis $b = \frac{a+c}{2}$.Substitusikan ini ke $2b^2$: $2\left(\frac{a+c}{2}\right)^2 = 2\frac{(a+c)^2}{4} = \frac{(a+c)^2}{2} = \frac{a^2+2ac+c^2}{2}$.Ini seharusnya sama dengan $a^2+c^2$. Namun, ini tidak selalu benar.
Saya harusnya membuktikan $a^2 + c^2 = 2b^2$ langsung dari $2b=a+c$.
Kita punya $2b = a+c$.
Target: $a^2 + c^2 = 2b^2$.
Substitusi $2b$ dari $a+c$ ke dalam $2b^2$: $2b^2 = b(2b) = b(a+c) = ab+bc$.
Jadi kita perlu membuktikan $a^2+c^2 = ab+bc$. Ini tidak langsung terbukti.
Mari kita coba cara lain:
Kita punya $2b = a+c$. Kuadratkan kedua sisi:
$(a+c)^2 = (2b)^2 \Rightarrow a^2 + 2ac + c^2 = 4b^2$.
Kita ingin membuktikan $a^2 + c^2 = 2b^2$.
Dari persamaan yang kita dapatkan: $a^2 + c^2 = 4b^2 – 2ac$.
Jadi, kita perlu membuktikan $4b^2 – 2ac = 2b^2$, yang menyiratkan $2b^2 = 2ac$, atau $b^2 = ac$.
Ini adalah properti barisan geometri, bukan aritmetika.
Ada kekeliruan dalam soal atau properti yang ingin dibuktikan. Properti barisan aritmetika adalah $2b = a+c$. Properti barisan geometri adalah $b^2 = ac$.
Mari kita asumsikan soal ingin membuktikan $a^2+c^2 = 2b^2$ DENGAN barisan aritmetika.
Jika $a, b, c$ adalah barisan aritmetika, maka $b-a = d$ dan $c-b = d$ untuk suatu beda $d$.
$b = a+d$
$c = a+2d$
Substitusikan ke $2b = a+c$:$2(a+d) = a+(a+2d)$ faktanya $2a+2d = 2a+2d$, jadi ini konsisten.
Sekarang substitusikan ke $a^2+c^2$ dan $2b^2$:$a^2+c^2 = a^2 + (a+2d)^2 = a^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 = 2a^2 + 4ad + 4d^2$.
$2b^2 = 2(a+d)^2 = 2(a^2 + 2ad + d^2) = 2a^2 + 4ad + 2d^2$.
Jelas bahwa $2a^2 + 4ad + 4d^2 \ne 2a^2 + 4ad + 2d^2$ kecuali $d=0$ (kasus trivial $a=b=c$).
KESIMPULAN: Soal memiliki properti yang salah. Properti yang benar untuk $a,b,c$ barisan aritmetika adalah $a^2+c^2 = 2b^2$ jika dan hanya jika $d=0$ (yaitu $a=b=c$).

Jika soalnya adalah $a,b,c$ adalah barisan geometri, maka $b^2=ac$. Dalam kasus ini, $a^2+c^2 = 2b^2$ tidak selalu benar.

Saya akan mengasumsikan soal ingin membuktikan $a^2+c^2 = 2b^2$ adalah BENAR jika $a, b, c$ adalah sisi-sisi SEGITIGA dan barisan ARITMETIKA. Ini tidak mungkin secara umum.

Revisi Kunci Jawaban: Saya akan menyatakan bahwa pernyataan tersebut salah secara umum untuk barisan aritmetika, kecuali jika $a=b=c$. Jika pertanyaan bermaksud untuk $b^2=ac$, maka itu barisan geometri.

Mari kita ubah soal uraian ini ke soal lain yang lebih valid.

**Revisi Soal Uraian 3:**
Diberikan $a, b, c$ adalah bilangan real positif. Buktikan ketaksamaan AM-GM: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

39. Buktikan ketaksamaan AM-GM untuk dua bilangan real positif $a$ dan $b$: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Kapan kesamaan terjadi? (Uraian)

Kunci Jawaban: Untuk membuktikan $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, kita bisa memulai dari fakta bahwa kuadrat dari setiap bilangan real adalah non-negatif.Misalkan $a, b$ adalah bilangan real positif, maka $\sqrt{a}$ dan $\sqrt{b}$ adalah bilangan real.Kita tahu bahwa $(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 \ge 0$.Buka kuadratnya: $(\sqrt{a})^2 – 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$.Ini menjadi $a – 2\sqrt{ab} + b \ge 0$.Tambahkan $2\sqrt{ab}$ ke kedua sisi: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$.Terakhir, bagi kedua sisi dengan 2: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.Kesamaan terjadi ketika $(\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 = 0$, yang berarti $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, atau $a=b$.

40. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk $s$. Tentukan jarak dari salah satu titik sudutnya ke titik tengah salah satu sisi yang tidak bersebelahan dengannya (misalnya, dari titik A ke titik tengah BC). (Uraian)

Kunci Jawaban: Misalkan kubus memiliki titik sudut $A=(0,0,0)$, $B=(s,0,0)$, $C=(s,s,0)$, $D=(0,s,0)$, $E=(0,0,s)$, $F=(s,0,s)$, $G=(s,s,s)$, $H=(0,s,s)$.
Kita ingin mencari jarak dari titik $A=(0,0,0)$ ke titik tengah salah satu sisi yang tidak bersebelahan dengannya. Mari kita ambil titik tengah sisi $FG$.Sisi $FG$ menghubungkan titik $F=(s,0,s)$ dan $G=(s,s,s)$.Titik tengah $M$ dari $FG$ memiliki koordinat: $M = \left(\frac{s+s}{2}, \frac{0+s}{2}, \frac{s+s}{2}\right) = \left(s, \frac{s}{2}, s\right)$.
Jarak dari $A=(0,0,0)$ ke $M=\left(s, \frac{s}{2}, s\right)$ dihitung menggunakan rumus jarak Euclidean:
$d(A,M) = \sqrt{(s-0)^2 + \left(\frac{s}{2}-0\right)^2 + (s-0)^2}$
$d(A,M) = \sqrt{s^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 + s^2}$
$d(A,M) = \sqrt{s^2 + \frac{s^2}{4} + s^2}$
$d(A,M) = \sqrt{2s^2 + \frac{s^2}{4}}$
$d(A,M) = \sqrt{\frac{8s^2}{4} + \frac{s^2}{4}}$
$d(A,M) = \sqrt{\frac{9s^2}{4}}$
$d(A,M) = \frac{\sqrt{9s^2}}{\sqrt{4}} = \frac{3s}{2}$.
Jadi, jarak dari titik sudut A ke titik tengah sisi FG adalah $\frac{3s}{2}$.

41. Tentukan banyaknya cara untuk menempatkan 5 bola identik ke dalam 3 kotak berbeda, dengan setiap kotak harus berisi setidaknya satu bola. (Uraian)

Kunci Jawaban: Ini adalah masalah distribusi objek identik ke dalam kotak berbeda dengan batasan minimum. Kita bisa menggunakan metode bintang dan batang (stars and bars) setelah memenuhi batasan.
Misalkan $x_1, x_2, x_3$ adalah jumlah bola di kotak 1, 2, dan 3 secara berturut-turut.Kita ingin mencari solusi bilangan bulat positif dari $x_1 + x_2 + x_3 = 5$.
Karena setiap kotak harus berisi setidaknya satu bola, kita bisa memberikan satu bola ke setiap kotak terlebih dahulu.Jadi, kita sudah menggunakan 3 bola dari 5 bola, menyisakan $5-3=2$ bola.
Sekarang kita perlu mendistribusikan 2 bola yang tersisa ke 3 kotak berbeda, tanpa batasan minimum lagi (karena batasan sudah dipenuhi).
Misalkan $y_1 = x_1 – 1$, $y_2 = x_2 – 1$, $y_3 = x_3 – 1$. Maka $y_i \ge 0$.
Substitusi ke persamaan awal: $(y_1+1) + (y_2+1) + (y_3+1) = 5 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 5 – 3 = 2$.
Ini adalah masalah bintang dan batang untuk mendistribusikan 2 objek identik (bintang) ke dalam 3 wadah berbeda (dipisahkan oleh $3-1=2$ batang).Jumlah cara adalah $\binom{n+k-1}{k-1}$ atau $\binom{n+k-1}{n}$, di mana $n$ adalah jumlah objek (bintang) dan $k$ adalah jumlah wadah (kotak).
Dalam kasus ini, $n=2$ (bola yang tersisa) dan $k=3$ (kotak).
Jumlah cara = $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2}$.
$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.
Jadi, ada 6 cara untuk menempatkan 5 bola identik ke dalam 3 kotak berbeda, dengan setiap kotak harus berisi setidaknya satu bola.Enam cara tersebut adalah (1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1).

42. Tentukan semua bilangan bulat $n$ sehingga $n^2 + 2n + 2$ habis dibagi oleh $n+1$. (Uraian)

Kunci Jawaban: Kita dapat menggunakan pembagian polinomial atau sifat keterbagian.
Cara 1: Pembagian Polinomial
Kita tahu bahwa $n+1$ adalah faktor dari $n^2 + 2n + 2$.Kita bisa menulis $n^2 + 2n + 2 = (n+1)(n+1) + 1$.Atau, secara formal:
$n^2 + 2n + 2 = n(n+1) + n + 2 = n(n+1) + (n+1) + 1 = (n+1)(n+1) + 1$.
Agar $n^2 + 2n + 2$ habis dibagi oleh $n+1$, maka sisa pembagiannya harus 0.Dari hasil di atas, sisanya adalah 1.Ini berarti $n+1$ harus membagi 1.Nilai-nilai bulat yang membagi 1 adalah 1 dan -1.Kasus 1: $n+1 = 1 \implies n = 0$.Kasus 2: $n+1 = -1 \implies n = -2$.
Jadi, bilangan bulat $n$ yang memenuhi adalah $n=0$ dan $n=-2$.

Cara 2: Menggunakan Sifat Keterbagian
Jika $n+1$ membagi $n^2 + 2n + 2$, maka $n+1$ juga membagi $n^2 + 2n + 2 – (n+1)(n+1)$.
$n^2 + 2n + 2 – (n^2 + 2n + 1) = 1$.
Karena $n+1$ membagi $n^2 + 2n + 2$ dan $n+1$ membagi $(n+1)(n+1)$, maka $n+1$ harus membagi selisih keduanya, yaitu 1.
Ini berarti $n+1$ harus merupakan faktor dari 1.Faktor-faktor dari 1 adalah 1 dan -1.
$n+1 = 1 \implies n = 0$.
$n+1 = -1 \implies n = -2$.
Jadi, bilangan bulat $n$ yang memenuhi adalah $n=0$ dan $n=-2$.

43. Cocokkan definisi berikut dengan istilah matematika yang tepat.Pernyataan: A. Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. B. Peluang suatu kejadian terjadi jika kejadian lain telah terjadi. C. Ukuran penyebaran data dari rata-rata. D. Cabang matematika yang mempelajari kombinasi dan permutasi.Istilah: 1. Ruang Sampel. 2. Peluang Bersyarat. 3. Kombinatorika. 4. Deviasi Standar. (Mencocokkan)

Kunci Jawaban: A-1, B-2, C-4, D-3

44. Cocokkan bentuk geometri dengan sifat atau rumus yang tepat.Pernyataan: A. Bentuk geometri dengan semua sisi sama panjang dan semua sudut 90 derajat. B. Segitiga yang memenuhi teorema Pythagoras. C. Luas lingkaran dengan jari-jari $r$. D. Volume bola dengan jari-jari $r$.Istilah: 1. Lingkaran. 2. Kubus. 3. Segitiga Siku-siku. 4. $\pi r^2$. 5. $\frac{4}{3}\pi r^3$. (Mencocokkan)

Kunci Jawaban: A-2, B-3, C-4, D-5