Pelajari dan kuasai konsep kombinasi dalam matematika diskrit dengan kumpulan soal lengkap ini. Artikel ini menyajikan 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, 5 soal uraian, dan 2 soal menjodohkan yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda. Setiap soal dilengkapi dengan kunci jawaban dan pembahasan mendetail, membantu Anda memahami prinsip dasar, rumus, serta aplikasi kombinasi dalam berbagai situasi nyata. Tingkatkan kemampuan Anda dalam menghitung peluang, menyusun kelompok, dan memecahkan masalah kombinatorik yang kompleks. Cocok untuk siswa SMA, mahasiswa, atau siapa saja yang ingin mendalami materi kombinasi secara efektif dan menyenangkan.
A. Pilihan Ganda
- Dari 10 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk menjadi perwakilan lomba?
- A. 120
- B. 720
- C. 30
- D. 1000
Jawaban: A. 120
- Sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng biru. Jika diambil 3 kelereng secara acak, berapa banyak cara mendapatkan 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru?
- A. 35
- B. 105
- C. 140
- D. 210
Jawaban: B. 105
- Nilai dari C(8, 3) adalah…
- A. 24
- B. 48
- C. 56
- D. 336
Jawaban: C. 56
- Dalam sebuah pertemuan, terdapat 8 orang. Jika setiap orang berjabat tangan satu kali dengan orang lain, berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
- A. 28
- B. 56
- C. 16
- D. 64
Jawaban: A. 28
- Sebuah tim voli terdiri dari 6 pemain. Jika ada 10 kandidat pemain, berapa banyak cara membentuk tim voli tersebut?
- A. 10
- B. 60
- C. 120
- D. 210
Jawaban: D. 210
- Berapa banyak cara memilih 2 huruf dari kata ‘MATEMATIKA’?
- A. 10
- B. 21
- C. 36
- D. 45
Jawaban: B. 21
- Dari 9 titik yang tidak ada 3 titik yang segaris, berapa banyak garis lurus yang dapat dibuat?
- A. 9
- B. 18
- C. 36
- D. 72
Jawaban: C. 36
- Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 6 bola putih. Jika diambil 2 bola sekaligus, berapa peluang terambilnya 2 bola merah?
- A. 6/45
- B. 12/45
- C. 18/45
- D. 24/45
Jawaban: A. 6/45
- Berapa banyak cara memilih 4 soal dari 7 soal yang tersedia jika soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan?
- A. 5
- B. 10
- C. 15
- D. 20
Jawaban: B. 10
- Jika C(n, 2) = 15, maka nilai n adalah…
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 7
Jawaban: C. 6
- Dalam sebuah kelas terdapat 15 siswa putra dan 10 siswa putri. Akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti olimpiade matematika. Berapa banyak cara memilih 2 siswa putra dan 1 siswa putri?
- A. 105
- B. 210
- C. 525
- D. 1050
Jawaban: D. 1050
- Sebuah dadu dilempar dua kali. Berapa banyak hasil yang mungkin jika urutan tidak diperhatikan?
- A. 6
- B. 21
- C. 36
- D. 12
Jawaban: B. 21
- Dari 5 jenis buah, berapa banyak cara membuat jus campuran yang terdiri dari 3 jenis buah?
- A. 10
- B. 15
- C. 20
- D. 60
Jawaban: A. 10
- Nilai dari C(6, 0) adalah…
- A. 0
- B. 6
- C. 30
- D. 1
Jawaban: D. 1
- Sebuah panitia beranggotakan 4 orang akan dipilih dari 5 pria dan 3 wanita. Berapa banyak cara membentuk panitia jika harus ada 2 pria dan 2 wanita?
- A. 15
- B. 20
- C. 30
- D. 45
Jawaban: C. 30
- Berapa banyak kombinasi yang mungkin dari 10 objek yang diambil 7 objek pada satu waktu?
- A. 120
- B. 210
- C. 720
- D. 1000
Jawaban: A. 120
- Jika C(n, n-1) = 8, maka nilai n adalah…
- A. 1
- B. 2
- C. 4
- D. 8
Jawaban: D. 8
- Pada sebuah bidang terdapat 12 titik. Berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut jika tidak ada 3 titik yang segaris?
- A. 120
- B. 220
- C. 360
- D. 440
Jawaban: B. 220
- Sebuah kelompok belajar terdiri dari 4 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan. Akan dipilih 3 orang untuk presentasi. Berapa banyak cara memilih jika harus ada paling sedikit 1 siswa perempuan?
- A. 12
- B. 24
- C. 34
- D. 35
Jawaban: C. 34
- Berapa banyak cara memilih 5 kartu dari satu set kartu bridge (52 kartu)?
- A. 2.598.960
- B. 311.875.200
- C. 5.187.920
- D. 676.000
Jawaban: A. 2.598.960
B. Isian Singkat
- Nilai dari C(9, 4) adalah…
Jawaban: 126 - Jika ada 6 warna cat yang berbeda, berapa banyak cara mencampur 2 warna cat untuk mendapatkan warna baru?
Jawaban: 15 - Dalam sebuah keluarga terdapat 4 anak. Berapa banyak cara memilih 2 anak untuk membantu pekerjaan rumah?
Jawaban: 6 - Diketahui C(n, 3) = 35. Nilai n adalah…
Jawaban: 7 - Sebuah toko roti memiliki 8 jenis roti. Berapa banyak cara membeli 3 jenis roti yang berbeda?
Jawaban: 56
C. Uraian
- Jelaskan perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi. Berikan masing-masing satu contoh soal dan penyelesaiannya.
Pembahasan: Perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi terletak pada urutan. Permutasi memperhatikan urutan pemilihan atau penyusunan objek, sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan. Artinya, jika urutan berbeda dianggap sebagai hasil yang berbeda, itu adalah permutasi. Jika urutan berbeda dianggap sama, itu adalah kombinasi.Contoh Permutasi:
Soal: Berapa banyak cara menyusun 3 huruf dari kata ABCDE?
Penyelesaian: Ini adalah permutasi karena urutan penting (misal ABC berbeda dengan ACB). P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5x4x3x2x1) / (2×1) = 60 cara.Contoh Kombinasi:
Soal: Dari 5 siswa, berapa banyak cara memilih 3 siswa untuk mengikuti lomba?
Penyelesaian: Ini adalah kombinasi karena urutan pemilihan siswa tidak penting (memilih A, B, C sama dengan memilih B, C, A). C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5x4x3x2x1) / ((3x2x1) * (2×1)) = 10 cara. - Dari 12 orang anggota OSIS, akan dipilih 5 orang untuk menjadi pengurus inti. Jika ketua OSIS harus termasuk dalam kepengurusan, berapa banyak cara memilih pengurus inti tersebut?
Pembahasan: Karena ketua OSIS harus termasuk, kita sudah memilih 1 orang. Jadi, kita perlu memilih 4 orang lagi dari sisa 11 anggota OSIS. Ini adalah masalah kombinasi karena urutan pemilihan tidak penting.
C(11, 4) = 11! / (4! * (11-4)!)
= 11! / (4! * 7!)
= (11 x 10 x 9 x 8 x 7!) / ((4 x 3 x 2 x 1) x 7!)
= (11 x 10 x 9 x 8) / (4 x 3 x 2 x 1)
= 11 x 10 x 3 = 330
Jadi, ada 330 cara untuk memilih pengurus inti tersebut. - Sebuah kantong berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng hijau. Jika diambil 3 kelereng sekaligus secara acak, hitunglah peluang terambilnya:
a. 3 kelereng merah
b. 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau
Pembahasan: Jumlah total kelereng = 6 + 4 = 10 kelereng.
Jumlah cara mengambil 3 kelereng dari 10 kelereng (ruang sampel) adalah:
C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 10 x 3 x 4 = 120 cara.a. Peluang terambilnya 3 kelereng merah:
Jumlah cara mengambil 3 kelereng merah dari 6 kelereng merah adalah:
C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6 x 5 x 4) / (3 x 2 x 1) = 20 cara.
Peluang = Jumlah cara terambil 3 merah / Total cara = 20 / 120 = 1/6.b. Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng hijau:
Jumlah cara mengambil 2 kelereng merah dari 6 kelereng merah adalah C(6, 2) = 6! / (2! * 4!) = (6 x 5) / (2 x 1) = 15 cara.
Jumlah cara mengambil 1 kelereng hijau dari 4 kelereng hijau adalah C(4, 1) = 4! / (1! * 3!) = 4 cara.
Jumlah cara terambil 2 merah dan 1 hijau = C(6, 2) x C(4, 1) = 15 x 4 = 60 cara.
Peluang = Jumlah cara terambil 2 merah dan 1 hijau / Total cara = 60 / 120 = 1/2. - Sebuah restoran menawarkan 8 pilihan lauk dan 5 pilihan sayur. Jika pelanggan ingin memesan 3 lauk dan 2 sayur, berapa banyak kombinasi menu yang berbeda yang bisa dipilih?
Pembahasan: Untuk memilih 3 lauk dari 8 pilihan lauk:
C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 8! / (3! * 5!) = (8 x 7 x 6) / (3 x 2 x 1) = 8 x 7 = 56 cara.Untuk memilih 2 sayur dari 5 pilihan sayur:
C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10 cara.Total kombinasi menu yang berbeda adalah hasil perkalian dari kedua pilihan tersebut:
Total kombinasi = C(8, 3) x C(5, 2) = 56 x 10 = 560 cara.
Jadi, ada 560 kombinasi menu yang berbeda yang bisa dipilih pelanggan. - Buktikan identitas kombinasi C(n, r) = C(n, n-r). Berikan contoh dengan nilai n=5 dan r=2.
Pembahasan: Identitas kombinasi C(n, r) = C(n, n-r) menyatakan bahwa jumlah cara memilih r objek dari n objek sama dengan jumlah cara memilih n-r objek yang tidak dipilih dari n objek.Pembuktian:
Rumus kombinasi adalah C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)Untuk C(n, n-r):
C(n, n-r) = n! / ((n-r)! * (n – (n-r))!)
C(n, n-r) = n! / ((n-r)! * (n – n + r)!)
C(n, n-r) = n! / ((n-r)! * r!)Karena perkalian bersifat komutatif, (n-r)! * r! sama dengan r! * (n-r)!. Oleh karena itu, C(n, r) = C(n, n-r).
Contoh dengan n=5 dan r=2:
C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10.C(5, 5-2) = C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 x 4) / (2 x 1) = 10.
Terbukti bahwa C(5, 2) = C(5, 3) = 10.
D. Menjodohkan
- Jodohkan ekspresi kombinasi dengan nilainya yang tepat.
Pasangan:
C(7,2) 21 C(5,3) 10 C(4,4) 1 C(6,1) 6 Kunci: C(7,2) = 21, C(5,3) = 10, C(4,4) = 1, C(6,1) = 6
- Jodohkan pernyataan dengan nilai kombinasi yang sesuai.
Pasangan:
Memilih 2 buku dari 4 C(4,2) Memilih 3 siswa dari 5 C(5,3) Memilih 1 buah dari 7 C(7,1) Memilih 0 objek dari 10 C(10,0) Kunci: Memilih 2 buku dari 4 = C(4,2) = 6, Memilih 3 siswa dari 5 = C(5,3) = 10, Memilih 1 buah dari 7 = C(7,1) = 7, Memilih 0 objek dari 10 = C(10,0) = 1