Selamat datang di ujian komprehensif transformasi geometri! Artikel ini dirancang khusus untuk menguji pemahaman Anda tentang empat jenis transformasi dasar dalam matematika: translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian). Transformasi geometri adalah cabang matematika yang mempelajari bagaimana bentuk dan posisi objek berubah di bidang koordinat. Ujian ini mencakup berbagai jenis soal, mulai dari pilihan ganda yang menguji konsep dasar, soal isian singkat yang memerlukan perhitungan cepat, hingga soal esai yang menuntut pemahaman mendalam dan kemampuan analisis. Dengan mengerjakan soal-soal ini, Anda akan dapat mengidentifikasi kekuatan dan kelemahan Anda dalam setiap jenis transformasi. Persiapkan diri Anda untuk menguasai setiap aspek translasi, refleksi terhadap berbagai sumbu, rotasi pada titik pusat tertentu, dan dilatasi dengan faktor skala tertentu. Ini adalah kesempatan sempurna untuk memperkuat fondasi Anda dalam geometri analitik dan mempersiapkan diri untuk ujian sekolah atau kompetisi matematika.
1. Titik A(3, -5) ditranslasikan oleh T(-2, 4). Koordinat bayangan titik A adalah…
- (1, -1)
- (5, -9)
- (-1, 1)
- (-5, 9)
Answer/Key: (1, -1)
2. Bayangan titik P(-4, 7) setelah dicerminkan terhadap sumbu-x adalah…
- (4, 7)
- (-4, -7)
- (4, -7)
- (-7, 4)
Answer/Key: (-4, -7)
3. Titik B(6, 2) dirotasikan 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0). Koordinat bayangan titik B adalah…
- (2, -6)
- (-2, 6)
- (6, -2)
- (-6, -2)
Answer/Key: (-2, 6)
4. Titik C(9, -3) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 1/3. Koordinat bayangan titik C adalah…
- (3, -1)
- (27, -9)
- (-3, 1)
- (1, -3)
Answer/Key: (3, -1)
5. Persamaan garis 2x – 3y + 5 = 0 ditranslasikan oleh T(1, -2). Persamaan bayangan garis tersebut adalah…
- 2x – 3y + 13 = 0
- 2x – 3y + 1 = 0
- 2x – 3y – 3 = 0
- 2x – 3y – 5 = 0
Answer/Key: 2x – 3y – 3 = 0
6. Bayangan titik Q(5, -8) setelah dicerminkan terhadap sumbu-y adalah…
- (-5, -8)
- (5, 8)
- (-5, 8)
- (8, -5)
Answer/Key: (-5, -8)
7. Titik D(-3, 7) dirotasikan 90 derajat searah jarum jam dengan pusat O(0,0). Koordinat bayangan titik D adalah…
- (7, 3)
- (-7, -3)
- (-3, -7)
- (3, 7)
Answer/Key: (7, 3)
8. Titik E(2, 4) didilatasi dengan pusat P(1, 2) dan faktor skala 3. Koordinat bayangan titik E adalah…
- (4, 8)
- (1, 2)
- (2, 6)
- (4, 6)
Answer/Key: (4, 8)
9. Sebuah segitiga ABC memiliki luas 15 satuan luas. Jika segitiga tersebut ditranslasikan oleh T(4, -3), maka luas bayangan segitiga ABC adalah…
- 15 satuan luas
- 19 satuan luas
- 12 satuan luas
- 25 satuan luas
Answer/Key: 15 satuan luas
10. Bayangan titik F(10, -3) setelah dicerminkan terhadap garis y = x adalah…
- (-3, 10)
- (3, -10)
- (10, 3)
- (-10, -3)
Answer/Key: (-3, 10)
11. Titik G(8, -5) dirotasikan 180 derajat dengan pusat O(0,0). Koordinat bayangan titik G adalah…
- (-8, 5)
- (8, 5)
- (-8, -5)
- (5, -8)
Answer/Key: (-8, 5)
12. Garis y = 2x + 1 didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2. Persamaan bayangan garis adalah…
- y = 2x + 2
- y = 4x + 2
- y = x + 1/2
- y = 2x + 1/2
Answer/Key: y = 2x + 2
13. Titik H(2, 3) ditranslasikan oleh T(1, -2), kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y. Koordinat bayangan akhir titik H adalah…
- (-3, 1)
- (3, -1)
- (-3, -1)
- (1, 3)
Answer/Key: (-3, 1)
14. Titik I(-5, 1) dicerminkan terhadap garis x = 2, kemudian dilanjutkan dengan translasi T(3, 4). Koordinat bayangan akhir titik I adalah…
- (10, 5)
- (12, 5)
- (-4, 5)
- (7, 5)
Answer/Key: (12, 5)
15. Bayangan titik J(6, -4) setelah dicerminkan terhadap garis y = -x adalah…
- (4, -6)
- (-4, 6)
- (-6, 4)
- (6, 4)
Answer/Key: (4, -6)
16. Titik K(-1, -5) dirotasikan 270 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0). Koordinat bayangan titik K adalah…
- (-5, 1)
- (5, -1)
- (1, -5)
- (-1, 5)
Answer/Key: (5, -1)
17. Sebuah persegi panjang memiliki luas 20 satuan luas. Jika persegi panjang tersebut didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2, maka luas bayangan persegi panjang adalah…
- 20 satuan luas
- 40 satuan luas
- 80 satuan luas
- 100 satuan luas
Answer/Key: 80 satuan luas
18. Titik L(4, 0) dirotasikan 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(2, -1), kemudian dilanjutkan dengan translasi T(-1, 3). Koordinat bayangan akhir titik L adalah…
- (0, 5)
- (1, 5)
- (1, 4)
- (0, 4)
Answer/Key: (0, 4)
19. Bayangan titik M(3, -2) setelah dicerminkan terhadap garis x = -1 adalah…
- (-5, -2)
- (1, -2)
- (-3, -2)
- (5, -2)
Answer/Key: (-5, -2)
20. Transformasi geometri yang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun adalah…
- Translasi, Refleksi, Rotasi
- Dilatasi
- Translasi dan Dilatasi
- Refleksi dan Dilatasi
Answer/Key: Translasi, Refleksi, Rotasi
21. Titik R(5, -9) ditranslasikan berturut-turut oleh T1(2, 3) dan T2(-4, 1). Tentukan koordinat bayangan akhir titik R.
Answer/Key: R” = (3, -5)
22. Tentukan persamaan bayangan garis 3x + y – 4 = 0 jika dicerminkan terhadap garis y = x.
Answer/Key: x + 3y – 4 = 0
23. Titik S(1, 5) dirotasikan 180 derajat dengan pusat P(2, 2). Tentukan koordinat bayangan titik S.
Answer/Key: S’ = (3, -1)
24. Titik T(-2, 6) didilatasi dengan pusat K(1, 2) dan faktor skala -2. Tentukan koordinat bayangan titik T.
Answer/Key: T’ = (7, -6)
25. Titik A(2, 3) menjadi A'(5, 1) setelah mengalami suatu transformasi. Jika titik B(1, -2) mengalami transformasi yang sama menjadi B'(4, -4), tentukan jenis transformasi tersebut dan vektor/parameter transformasinya.
Answer/Key: Jenis transformasi adalah Translasi. Vektor translasi T = (3, -2).
26. Jelaskan empat jenis transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi) beserta sifat-sifat utamanya, termasuk apakah mereka mempertahankan bentuk, ukuran, dan orientasi bangun.
Answer/Key: Translasi (Pergeseran): Memindahkan setiap titik sejauh dan searah yang sama. Sifat: Isometri langsung (mempertahankan bentuk, ukuran, dan orientasi).
Refleksi (Pencerminan): Mencerminkan setiap titik terhadap garis tertentu (sumbu cermin). Sifat: Isometri tak langsung (mempertahankan bentuk dan ukuran, tetapi mengubah orientasi).
Rotasi (Perputaran): Memutar setiap titik pada sudut tertentu mengelilingi titik pusat tertentu. Sifat: Isometri langsung (mempertahankan bentuk, ukuran, dan orientasi).
Dilatasi (Perkalian): Memperbesar atau memperkecil bangun dengan faktor skala tertentu dari titik pusat tertentu. Sifat: Bukan isometri (mengubah ukuran, mempertahankan bentuk jika faktor skala > 0, bisa mengubah orientasi jika faktor skala < 0).
Refleksi (Pencerminan): Mencerminkan setiap titik terhadap garis tertentu (sumbu cermin). Sifat: Isometri tak langsung (mempertahankan bentuk dan ukuran, tetapi mengubah orientasi).
Rotasi (Perputaran): Memutar setiap titik pada sudut tertentu mengelilingi titik pusat tertentu. Sifat: Isometri langsung (mempertahankan bentuk, ukuran, dan orientasi).
Dilatasi (Perkalian): Memperbesar atau memperkecil bangun dengan faktor skala tertentu dari titik pusat tertentu. Sifat: Bukan isometri (mengubah ukuran, mempertahankan bentuk jika faktor skala > 0, bisa mengubah orientasi jika faktor skala < 0).
27. Turunkan rumus umum untuk rotasi titik (x,y) sebesar sudut θ berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi P(a,b).
Answer/Key: Langkah 1: Translasi titik (x,y) dan pusat P(a,b) ke pusat O(0,0). (x_rel, y_rel) = (x-a, y-b).
Langkah 2: Rotasi titik (x_rel, y_rel) sebesar θ berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0).
x_rot = x_rel cos θ – y_rel sin θ
y_rot = x_rel sin θ + y_rel cos θ
Langkah 3: Translasi kembali ke posisi semula.
x’ = x_rot + a = (x-a)cos θ – (y-b)sin θ + a
y’ = y_rot + b = (x-a)sin θ + (y-b)cos θ + b
Langkah 2: Rotasi titik (x_rel, y_rel) sebesar θ berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0).
x_rot = x_rel cos θ – y_rel sin θ
y_rot = x_rel sin θ + y_rel cos θ
Langkah 3: Translasi kembali ke posisi semula.
x’ = x_rot + a = (x-a)cos θ – (y-b)sin θ + a
y’ = y_rot + b = (x-a)sin θ + (y-b)cos θ + b
28. Bandingkan dan kontraskan antara isometri langsung (direct isometry) dan isometri tak langsung (indirect isometry) dalam konteks transformasi geometri. Berikan contoh dari setiap jenis transformasi yang termasuk ke dalamnya.
Answer/Key: Isometri adalah transformasi yang mempertahankan jarak antar titik dan besar sudut, sehingga bentuk dan ukuran bangun tidak berubah.
Isometri Langsung (Direct Isometry): Transformasi yang mempertahankan orientasi bangun. Contoh: Translasi dan Rotasi.
Isometri Tak Langsung (Indirect Isometry): Transformasi yang mengubah orientasi bangun. Contoh: Refleksi.
Perbedaan utama terletak pada perubahan orientasi: Isometri langsung mempertahankan ‘tangan’ (kiri tetap kiri), sedangkan isometri tak langsung mengubah ‘tangan’ (kiri menjadi kanan).
Isometri Langsung (Direct Isometry): Transformasi yang mempertahankan orientasi bangun. Contoh: Translasi dan Rotasi.
Isometri Tak Langsung (Indirect Isometry): Transformasi yang mengubah orientasi bangun. Contoh: Refleksi.
Perbedaan utama terletak pada perubahan orientasi: Isometri langsung mempertahankan ‘tangan’ (kiri tetap kiri), sedangkan isometri tak langsung mengubah ‘tangan’ (kiri menjadi kanan).
29. Jelaskan bagaimana matriks transformasi dapat digunakan untuk merepresentasikan dan melakukan setiap jenis transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi) pada koordinat titik. Berikan contoh matriks untuk setiap jenis.
Answer/Key: Matriks transformasi merepresentasikan transformasi geometri sebagai perkalian matriks, terutama untuk titik pusat di (0,0) atau dengan koordinat homogen.
Translasi: Menggunakan matriks homogen 3×3. Untuk translasi (a,b): [[1, 0, a], [0, 1, b], [0, 0, 1]].
Refleksi:
Terhadap sumbu-x: [[1, 0], [0, -1]]
Terhadap sumbu-y: [[-1, 0], [0, 1]]
Terhadap y=x: [[0, 1], [1, 0]]
Rotasi (pusat O(0,0), sudut θ berlawanan arah jarum jam): [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]. Contoh 90 deg CCW: [[0, -1], [1, 0]].
Dilatasi (pusat O(0,0), faktor skala k): [[k, 0], [0, k]].
Transformasi titik (x,y) menjadi (x’,y’) dilakukan dengan perkalian matriks: [x’; y’] = Matriks_Transformasi * [x; y].
Translasi: Menggunakan matriks homogen 3×3. Untuk translasi (a,b): [[1, 0, a], [0, 1, b], [0, 0, 1]].
Refleksi:
Terhadap sumbu-x: [[1, 0], [0, -1]]
Terhadap sumbu-y: [[-1, 0], [0, 1]]
Terhadap y=x: [[0, 1], [1, 0]]
Rotasi (pusat O(0,0), sudut θ berlawanan arah jarum jam): [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]. Contoh 90 deg CCW: [[0, -1], [1, 0]].
Dilatasi (pusat O(0,0), faktor skala k): [[k, 0], [0, k]].
Transformasi titik (x,y) menjadi (x’,y’) dilakukan dengan perkalian matriks: [x’; y’] = Matriks_Transformasi * [x; y].
30. Deskripsikan setidaknya satu aplikasi dunia nyata untuk masing-masing dari empat jenis transformasi geometri.
Answer/Key: Translasi: Animasi karakter dalam game komputer.
Refleksi: Membuat efek cermin atau pantulan di desain grafis.
Rotasi: Gerakan roda gigi pada mesin atau navigasi kapal.
Dilatasi: Memperbesar atau memperkecil gambar pada editor foto atau mengubah skala peta.
Refleksi: Membuat efek cermin atau pantulan di desain grafis.
Rotasi: Gerakan roda gigi pada mesin atau navigasi kapal.
Dilatasi: Memperbesar atau memperkecil gambar pada editor foto atau mengubah skala peta.
31. Jodohkan jenis transformasi geometri dengan rumus bayangan titik (x,y) yang sesuai (dengan pusat O(0,0) jika tidak disebutkan).
| Translasi oleh vektor (a,b) | … | (x+a, y+b) |
| Refleksi terhadap sumbu-x | … | (x, -y) |
| Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam | … | (-y, x) |
| Dilatasi dengan faktor skala k | … | (kx, ky) |
| Refleksi terhadap garis y = x | … | (y, x) |
Answer/Key: Translasi oleh vektor (a,b) -> (x+a, y+b); Refleksi terhadap sumbu-x -> (x, -y); Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam -> (-y, x); Dilatasi dengan faktor skala k -> (kx, ky); Refleksi terhadap garis y = x -> (y, x)
32. Jodohkan jenis transformasi geometri dengan sifat utama yang melekat padanya.
| Translasi | … | Isometri langsung, mempertahankan orientasi |
| Refleksi | … | Isometri tak langsung, mengubah orientasi |
| Rotasi | … | Isometri langsung, mempertahankan orientasi |
| Dilatasi (k bukan 1 atau -1) | … | Bukan isometri, mengubah ukuran |
| Sifat yang mengubah bentuk | … | Tidak ada pada transformasi dasar ini |
Answer/Key: Translasi -> Isometri langsung, mempertahankan orientasi; Refleksi -> Isometri tak langsung, mengubah orientasi; Rotasi -> Isometri langsung, mempertahankan orientasi; Dilatasi (k bukan 1 atau -1) -> Bukan isometri, mengubah ukuran; Sifat yang mengubah bentuk -> Tidak ada pada transformasi dasar ini