Rangkuman Materi
Materi relasi dan fungsi merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas dalam kehidupan sehari-hari. Di tingkat SMP kelas 8, siswa diajak untuk memahami bagaimana dua himpunan atau lebih dapat saling berhubungan (relasi) dan bagaimana hubungan khusus yang setiap anggota himpunan pertama berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan kedua disebut fungsi. Pemahaman konsep ini tidak hanya terbatas pada definisi matematis, tetapi juga bagaimana menerapkannya untuk menganalisis berbagai fenomena di sekitar kita.
Relasi dapat digambarkan dalam berbagai bentuk, mulai dari diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius, hingga rumus atau tabel. Sementara itu, fungsi memiliki syarat yang lebih ketat, di mana setiap elemen domain (daerah asal) harus memiliki tepat satu pasangan di kodomain (daerah kawan). Konsep domain, kodomain, dan range (daerah hasil) menjadi penting dalam memahami karakteristik dan batasan sebuah fungsi. Kemampuan untuk mengidentifikasi dan membedakan antara relasi dan fungsi merupakan langkah awal yang krusial.
Penerapan relasi dan fungsi sangat beragam, mulai dari menentukan harga total belanjaan berdasarkan jumlah barang, menganalisis hubungan antara kecepatan kendaraan dengan waktu tempuh, hingga memodelkan pertumbuhan penduduk. Dengan pendekatan HOTS (Higher Order Thinking Skills), siswa tidak hanya menghafal definisi atau rumus, tetapi juga diajak untuk menganalisis situasi, mengevaluasi solusi, dan bahkan menciptakan model matematis dari permasalahan nyata. Ini mendorong kemampuan berpikir kritis dan pemecahan masalah yang esensial untuk masa depan.
Soal-soal HOTS dalam materi relasi dan fungsi dirancang untuk melatih siswa berpikir lebih dalam, tidak hanya mencari jawaban instan, melainkan memahami konteks, mengidentifikasi pola, dan menggunakan penalaran logis. Ini akan membantu siswa mengembangkan kemampuannya dalam menghubungkan konsep matematika dengan dunia nyata, serta mempersiapkan mereka untuk tantangan matematika yang lebih kompleks di jenjang berikutnya.
Latihan Soal HOTS
A. Pilihan Ganda
- Seorang pemilik toko buah mencatat data penjualan apel, jeruk, dan pisang selama seminggu. Apel terjual pada hari Senin, Rabu, Jumat; Jeruk terjual pada hari Selasa, Kamis, Sabtu; Pisang terjual pada hari Senin, Selasa, Minggu. Jika kita ingin merepresentasikan hubungan antara ‘Hari Penjualan’ dengan ‘Jenis Buah yang Terjual’ sebagai sebuah relasi, dan kemudian menganalisis apakah ini merupakan fungsi, mana pernyataan yang paling tepat?
- A. Ini adalah fungsi karena setiap jenis buah terjual di hari yang berbeda.
- B. Ini adalah fungsi karena setiap hari hanya menjual satu jenis buah.
- C. Ini bukan fungsi karena satu jenis buah (apel/pisang/jeruk) dapat terjual di lebih dari satu hari.
- D. Ini bukan fungsi karena satu hari (Senin/Selasa) dapat menjual lebih dari satu jenis buah.
- E. Ini adalah relasi yang bukan fungsi karena domain dan kodomainnya tidak memiliki jumlah anggota yang sama.
- Sebuah aplikasi pengukur suhu udara di Kota A mencatat suhu setiap jam. Data yang direkam adalah (Jam, Suhu dalam °C). Misalnya, (07.00, 25), (08.00, 27), (09.00, 29), (10.00, 29). Berdasarkan data ini, analis cuaca ingin mengevaluasi apakah hubungan antara ‘Jam’ dan ‘Suhu’ ini dapat dianggap sebagai sebuah fungsi dan mengapa. Manakah analisis yang paling akurat?
- A. Ini bukan fungsi karena suhu dapat sama pada jam yang berbeda, seperti 09.00 dan 10.00 sama-sama 29°C.
- B. Ini bukan fungsi karena jam dan suhu adalah dua variabel yang berbeda.
- C. Ini adalah fungsi karena setiap jam tercatat tepat satu nilai suhu.
- D. Ini adalah fungsi karena suhu selalu naik setiap jam.
- E. Ini adalah relasi, tetapi tidak bisa ditentukan sebagai fungsi tanpa data lengkap 24 jam.
- Seorang desainer grafis diminta membuat pola unik untuk sebuah logo dengan aturan: setiap angka ganjil dari 1 sampai 7 akan dipasangkan dengan huruf vokal pertamanya (A), dan setiap angka genap dari 2 sampai 8 akan dipasangkan dengan huruf konsonan pertamanya (B). Jika himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan himpunan B = {A, B}, bagaimana desainer tersebut dapat mengevaluasi aturan ini agar menghasilkan sebuah fungsi dari A ke B?
- A. Aturan tersebut akan menghasilkan fungsi karena setiap angka di himpunan A akan memiliki pasangan di himpunan B.
- B. Aturan tersebut tidak akan menghasilkan fungsi karena angka genap dipasangkan dengan konsonan dan ganjil dengan vokal.
- C. Aturan tersebut akan menghasilkan fungsi karena setiap elemen di himpunan A hanya memiliki satu pasangan di himpunan B.
- D. Aturan tersebut tidak akan menghasilkan fungsi karena himpunan B hanya memiliki dua elemen (A dan B).
- E. Aturan tersebut akan menghasilkan fungsi hanya jika himpunan A dan B memiliki jumlah anggota yang sama.
- Sebuah kedai kopi menawarkan promo ‘Beli 1, Gratis 1’ untuk setiap pembelian kopi jenis A. Namun, promo ini hanya berlaku untuk pembelian kedua, keempat, keenam, dan seterusnya. Pembelian pertama, ketiga, kelima, dan seterusnya tidak mendapatkan gratis. Jika x adalah jumlah kopi yang dibeli dan y adalah jumlah kopi yang diterima (termasuk gratis), bagaimana Anda akan menganalisis hubungan ini sebagai sebuah fungsi? Apakah ini fungsi dan mengapa?
- A. Ini adalah fungsi karena setiap jumlah kopi yang dibeli (x) akan menghasilkan tepat satu jumlah kopi yang diterima (y).
- B. Ini bukan fungsi karena jumlah kopi yang diterima (y) bisa sama untuk jumlah kopi yang dibeli (x) yang berbeda.
- C. Ini bukan fungsi karena promo ini bersifat diskriminatif antara pembelian ganjil dan genap.
- D. Ini adalah relasi, tetapi bukan fungsi, karena y tergantung pada x, bukan sebaliknya.
- E. Ini adalah fungsi hanya jika jumlah kopi yang dibeli selalu genap.
- Sebuah operator seluler menawarkan paket data dengan skema harga: Rp 10.000 untuk 1 GB pertama, dan Rp 5.000 untuk setiap GB berikutnya. Jika x adalah jumlah data (dalam GB) yang digunakan dan C(x) adalah total biaya, Anda diminta untuk menciptakan sebuah model fungsi untuk skema ini. Manakah model fungsi yang paling tepat untuk x > 0?
- A. C(x) = 10000x + 5000
- B. C(x) = 10000 + 5000x
- C. C(x) = 10000 + 5000(x – 1)
- D. C(x) = 5000 + 10000(x – 1)
- E. C(x) = 15000x
- Sebuah survei menunjukkan bahwa siswa SMP kelas 8 memiliki preferensi olahraga yang berbeda. Dari 30 siswa, 15 menyukai sepak bola, 10 menyukai bulu tangkis, dan 5 menyukai basket. Beberapa siswa menyukai lebih dari satu olahraga. Jika kita membuat relasi ‘menyukai’ dari himpunan siswa ke himpunan olahraga, dan kemudian ingin mengevaluasi apakah ini bisa menjadi fungsi dari siswa ke olahraga, manakah kesimpulan yang paling tepat?
- A. Relasi ini pasti fungsi karena setiap siswa menyukai setidaknya satu olahraga.
- B. Relasi ini tidak bisa menjadi fungsi karena ada siswa yang mungkin menyukai lebih dari satu olahraga.
- C. Relasi ini adalah fungsi jika setiap siswa menyukai tepat satu jenis olahraga.
- D. Relasi ini adalah fungsi hanya jika jumlah siswa sama dengan jumlah jenis olahraga.
- E. Relasi ini tidak bisa menjadi fungsi karena jumlah siswa lebih banyak dari jenis olahraga.
- Sebuah restoran menawarkan menu ‘paket hemat’ di mana pelanggan dapat memilih 1 dari 3 jenis nasi (nasi putih, nasi goreng, nasi uduk) dan 1 dari 4 jenis lauk (ayam goreng, telur balado, tempe orek, ikan bakar). Jika P adalah himpunan jenis nasi dan L adalah himpunan jenis lauk, bagaimana Anda akan menciptakan himpunan semua kemungkinan paket hemat yang dapat dibuat, dan apakah ini sebuah fungsi?
- A. Ini adalah relasi, bukan fungsi, karena pelanggan bisa memilih nasi dan lauk secara terpisah.
- B. Ini adalah fungsi, di mana setiap pilihan nasi dipasangkan dengan setiap pilihan lauk, menghasilkan 7 kombinasi.
- C. Ini adalah fungsi dari himpunan pilihan nasi ke himpunan pilihan lauk, dengan 12 kombinasi.
- D. Ini adalah relasi yang dapat direpresentasikan sebagai produk Kartesius P x L, dengan 12 kombinasi. Ini bukan fungsi tunggal dari P ke L atau sebaliknya, melainkan sebuah himpunan pasangan.
- E. Ini adalah fungsi dengan domain nasi dan kodomain lauk, total 12 fungsi yang mungkin.
- Sebuah perusahaan taksi online menggunakan fungsi harga yang dihitung berdasarkan jarak (d dalam km). Tarif dasar adalah Rp 7.000, dan biaya per kilometer adalah Rp 3.000. Jika perjalanan kurang dari 1 km, tetap dihitung 1 km. Bagaimana Anda akan mengevaluasi pernyataan bahwa fungsi harga C(d) = 7000 + 3000d selalu valid untuk d > 0?
- A. Pernyataan tersebut benar, karena fungsi ini secara langsung merepresentasikan tarif dasar ditambah biaya per kilometer.
- B. Pernyataan tersebut salah, karena fungsi ini tidak memperhitungkan jika jarak d kurang dari 1 km.
- C. Pernyataan tersebut benar, karena d > 0 sudah mencakup semua kemungkinan jarak.
- D. Pernyataan tersebut salah, karena tarif dasar seharusnya dikalikan dengan jarak juga.
- E. Pernyataan tersebut benar, namun lebih tepat jika ditulis C(d) = 7000 + 3000 * ceil(d) untuk memperhitungkan pembulatan.
- Sebuah toko roti mencatat pesanan khusus dari pelanggannya. Setiap pesanan terdiri dari satu jenis roti dan satu jenis isian. Ada 5 jenis roti dan 4 jenis isian. Misalkan ada 10 pelanggan yang memesan, dan setiap pelanggan hanya boleh memesan 1 jenis roti dan 1 jenis isian. Bagaimana Anda akan mengevaluasi apakah hubungan antara ‘Pelanggan’ dan ‘Pesanan Roti + Isian’ dapat dianggap sebagai fungsi?
- A. Ini adalah fungsi karena setiap pelanggan akan mendapatkan satu pesanan unik.
- B. Ini adalah fungsi karena setiap pelanggan hanya dapat memilih satu jenis roti dan satu jenis isian.
- C. Ini bukan fungsi karena mungkin ada dua pelanggan yang memesan jenis roti dan isian yang sama.
- D. Ini adalah fungsi, dengan domain ‘Pelanggan’ dan kodomain ‘Jenis Roti + Jenis Isian’, karena setiap pelanggan memiliki tepat satu pesanan.
- E. Ini adalah relasi, bukan fungsi, karena jumlah pesanan mungkin lebih dari jumlah pelanggan.
- Seorang guru ingin membuat jadwal piket kelas dengan aturan: setiap hari kerja (Senin-Jumat) harus ada 3 siswa yang piket. Setiap siswa hanya boleh piket satu kali dalam seminggu. Jika ada 15 siswa dalam kelas, bagaimana Anda akan menganalisis apakah ini adalah sebuah fungsi dari ‘Hari Kerja’ ke ‘Siswa yang Piket’?
- A. Ini adalah fungsi, karena setiap hari kerja memiliki 3 siswa yang piket.
- B. Ini adalah fungsi, karena setiap siswa piket tepat satu kali dalam seminggu.
- C. Ini bukan fungsi, karena setiap hari kerja memiliki lebih dari satu siswa yang piket.
- D. Ini bukan fungsi, karena tidak semua siswa piket setiap hari.
- E. Ini adalah relasi, tetapi tidak dapat menjadi fungsi karena tidak ada pemetaan satu-ke-satu.
- Dalam sebuah kompetisi lari jarak pendek, tercatat waktu tempuh (dalam detik) untuk setiap pelari. Data yang ada: (Pelari A, 12.5), (Pelari B, 13.1), (Pelari C, 12.5), (Pelari D, 14.0). Jika kita ingin membuat sebuah fungsi yang memetakan ‘Pelari’ ke ‘Waktu Tempuh’, manakah pernyataan yang paling tepat?
- A. Ini bukan fungsi karena Pelari A dan Pelari C memiliki waktu tempuh yang sama.
- B. Ini adalah fungsi karena setiap pelari memiliki tepat satu waktu tempuh.
- C. Ini bukan fungsi karena waktu tempuh adalah angka desimal.
- D. Ini adalah fungsi jika setiap pelari memiliki waktu tempuh yang berbeda.
- E. Ini adalah relasi yang bukan fungsi karena domainnya bukan himpunan bilangan.
- Perhatikan diagram panah berikut: Himpunan A = {1, 2, 3}, Himpunan B = {a, b, c}. Panah dari A ke B: 1->a, 2->b, 3->c. Sekarang perhatikan diagram panah kedua: Himpunan P = {4, 5, 6}, Himpunan Q = {x, y}. Panah dari P ke Q: 4->x, 5->y, 6->x. Bagaimana Anda akan mengevaluasi kedua diagram panah ini terkait konsep fungsi?
- A. Keduanya adalah fungsi karena setiap elemen domain memiliki pasangan.
- B. Hanya diagram pertama yang fungsi karena ada pemetaan satu-ke-satu.
- C. Keduanya adalah fungsi, dan diagram kedua menunjukkan fungsi surjektif.
- D. Hanya diagram kedua yang fungsi karena semua elemen kodomain memiliki pasangan.
- E. Diagram pertama adalah fungsi, dan diagram kedua juga fungsi. Fungsi tidak mengharuskan setiap elemen di kodomain hanya memiliki satu pasangan dari domain.
- Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif dasar Rp 5.000 dan tambahan Rp 2.500 per kilometer. Namun, untuk jarak lebih dari 10 km, ada diskon 10% dari total biaya perjalanan. Jika d adalah jarak dalam km, bagaimana Anda akan menciptakan model fungsi harga C(d) yang komprehensif untuk skenario ini?
- A. C(d) = 5000 + 2500d, untuk semua d.
- B. C(d) = (5000 + 2500d) * 0.9, untuk d > 10.
- C. C(d) = 5000 + 2500d jika d ≤ 10; C(d) = (5000 + 2500d) * 0.9 jika d > 10.
- D. C(d) = 5000 + 2500d jika d ≤ 10; C(d) = 5000 + 2500d – 0.1 * 2500d jika d > 10.
- E. C(d) = 5000 + 2500d jika d ≤ 10; C(d) = (5000 + 2500d) – 0.1 * (5000 + 2500d) jika d > 10.
- Diberikan himpunan pasangan berurutan: R = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, a)}. Jika himpunan domain adalah D = {1, 2, 3, 4} dan himpunan kodomain adalah K = {a, b, c, d}. Bagaimana Anda akan menganalisis sifat relasi R ini?
- A. R adalah fungsi injektif (satu-satu) karena setiap anggota domain memiliki pasangan unik.
- B. R adalah fungsi surjektif (onto) karena semua anggota kodomain K menjadi daerah hasil.
- C. R adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena ‘a’ memiliki dua pasangan dari domain.
- D. R adalah fungsi, tetapi bukan surjektif karena ‘d’ di kodomain tidak memiliki pasangan.
- E. R adalah relasi, tetapi bukan fungsi karena anggota ‘a’ di kodomain muncul dua kali.
- Seorang guru memberikan tugas kepada siswa untuk membuat daftar kota dan provinsi asal teman-teman sekelasnya. Hasilnya adalah: (Andi, Jakarta), (Budi, Bandung), (Cintya, Jakarta), (Doni, Surabaya). Jika ini direpresentasikan sebagai relasi dari himpunan ‘Siswa’ ke himpunan ‘Kota Asal’, bagaimana Anda mengevaluasi apakah ini adalah fungsi, dan jika ya, jenis fungsi apa?
- A. Ini adalah fungsi injektif karena setiap siswa memiliki kota asal yang unik.
- B. Ini bukan fungsi karena Jakarta muncul dua kali.
- C. Ini adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena Jakarta memiliki dua pasangan dari domain (Andi dan Cintya).
- D. Ini adalah fungsi surjektif karena semua kota asal yang disebutkan memiliki pasangan siswa.
- E. Ini adalah relasi, bukan fungsi, karena tidak semua kota di Indonesia terdaftar.
- Sebuah produsen pakaian membuat kaus dalam berbagai ukuran: S, M, L, XL. Mereka mencatat jumlah kaus yang terjual untuk setiap ukuran per hari. Jika kita mendefinisikan himpunan A = {S, M, L, XL} sebagai domain dan himpunan B = {jumlah kaus terjual} sebagai kodomain. Bagaimana Anda akan menciptakan sebuah skenario di mana hubungan ini BUKAN fungsi dari A ke B?
- A. Skenario di mana jumlah kaus terjual untuk setiap ukuran selalu berbeda.
- B. Skenario di mana ada ukuran yang tidak terjual sama sekali.
- C. Skenario di mana satu ukuran kaus (misalnya S) tercatat memiliki dua jumlah penjualan yang berbeda pada hari yang sama.
- D. Skenario di mana ukuran kaus yang berbeda memiliki jumlah penjualan yang sama.
- E. Skenario di mana himpunan B memiliki anggota yang lebih sedikit dari himpunan A.
- Sebuah peta menunjukkan rute bus dari terminal ke berbagai halte. Setiap rute bus diberi nomor unik, dan setiap rute melewati beberapa halte. Jika kita ingin mendefinisikan fungsi dari ‘Nomor Rute Bus’ ke ‘Halte yang Dilewati’, manakah analisis yang paling relevan?
- A. Ini adalah fungsi karena setiap rute bus akan melewati halte yang spesifik.
- B. Ini bukan fungsi karena satu rute bus melewati banyak halte.
- C. Ini adalah fungsi jika setiap rute bus hanya melewati satu halte.
- D. Ini bukan fungsi karena satu halte bisa dilewati oleh banyak rute bus.
- E. Ini adalah relasi, bukan fungsi, karena pemetaannya bersifat satu-ke-banyak.
- Sebuah pusat kebugaran menawarkan tarif langganan bulanan. Untuk bulan pertama Rp 100.000, bulan kedua Rp 90.000, bulan ketiga Rp 80.000, dan seterusnya hingga bulan keenam. Setelah bulan keenam, tarif menjadi flat Rp 50.000 per bulan. Jika n adalah bulan berlangganan dan T(n) adalah tarif bulanan, bagaimana Anda akan menciptakan fungsi T(n) untuk menggambarkan skema tarif ini?
- A. T(n) = 100000 – 10000n, untuk semua n.
- B. T(n) = 100000 – 10000(n-1) jika n ≤ 6; T(n) = 50000 jika n > 6.
- C. T(n) = 100000 – 10000n jika n ≤ 6; T(n) = 50000 jika n > 6.
- D. T(n) = 100000 + 10000(n-1) jika n ≤ 6; T(n) = 50000 jika n > 6.
- E. T(n) = 100000 – 10000n jika n ≤ 6; T(n) = 50000n jika n > 6.
- Sebuah toko elektronik mengadakan promo ‘Tukar Tambah’. Harga barang baru adalah Rp 1.500.000. Jika pelanggan menukar barang lama yang masih berfungsi, akan mendapatkan potongan harga sebesar Rp 300.000. Jika barang lama tidak berfungsi, potongan harga hanya Rp 100.000. Jika pelanggan tidak memiliki barang tukar tambah, harga tetap normal. Jika K adalah kondisi barang lama (Berfungsi, Tidak Berfungsi, Tidak Ada) dan H(K) adalah harga yang harus dibayar, bagaimana Anda akan menganalisis apakah H(K) ini adalah fungsi dari K?
- A. H(K) adalah fungsi karena setiap kondisi barang lama memiliki tepat satu harga yang harus dibayar.
- B. H(K) bukan fungsi karena ada banyak kondisi barang lama yang mungkin.
- C. H(K) adalah fungsi injektif karena setiap kondisi menghasilkan harga yang berbeda.
- D. H(K) bukan fungsi karena harga yang dibayar bisa sama untuk kondisi yang berbeda.
- E. H(K) adalah relasi, bukan fungsi, karena diskon bervariasi.
- Sebuah sistem pencatatan kehadiran siswa di sekolah baru mencatat waktu kedatangan setiap siswa. Data yang tercatat adalah (Nama Siswa, Waktu Kedatangan). Misalnya: (Ali, 07:15), (Budi, 07:10), (Caca, 07:15). Jika kita ingin mendefinisikan fungsi dari ‘Nama Siswa’ ke ‘Status Kehadiran (Tepat Waktu/Terlambat)’ dengan batas 07:15, bagaimana Anda akan mengevaluasi pernyataan bahwa ini adalah fungsi injektif?
- A. Ini adalah fungsi injektif karena setiap siswa memiliki status kehadiran yang unik.
- B. Ini bukan fungsi injektif karena ada siswa yang waktu kedatangannya sama (Ali dan Caca).
- C. Ini bukan fungsi injektif karena status ‘Tepat Waktu’ bisa dimiliki oleh lebih dari satu siswa.
- D. Ini adalah fungsi surjektif karena semua status kehadiran memiliki siswa yang cocok.
- E. Ini adalah fungsi, tetapi injektivitasnya tidak dapat ditentukan tanpa data semua siswa.
- Sebuah aplikasi pengelola tugas memungkinkan pengguna untuk menetapkan prioritas (rendah, sedang, tinggi) pada setiap tugas. Setiap tugas harus memiliki satu prioritas. Namun, satu prioritas bisa diterapkan pada banyak tugas. Jika kita ingin menciptakan relasi yang BUKAN fungsi dari ‘Prioritas’ ke ‘Tugas’, bagaimana Anda akan memodelkannya?
- A. Membuat relasi di mana setiap prioritas dikaitkan dengan tepat satu tugas.
- B. Membuat relasi di mana ada satu prioritas yang tidak dikaitkan dengan tugas apa pun.
- C. Membuat relasi di mana satu prioritas (misalnya ‘Tinggi’) dikaitkan dengan dua tugas yang berbeda.
- D. Membuat relasi di mana satu prioritas (misalnya ‘Tinggi’) dikaitkan dengan lebih dari satu tugas, tetapi juga satu prioritas lain (misalnya ‘Rendah’) tidak dikaitkan dengan tugas apa pun.
- E. Membuat relasi di mana satu tugas dikaitkan dengan dua prioritas yang berbeda.
- Sebuah sistem pemesanan tiket bioskop memetakan ‘Kode Tiket’ ke ‘Nomor Kursi’. Setiap tiket memiliki kode unik dan hanya berlaku untuk satu nomor kursi. Namun, ada kemungkinan dua kode tiket berbeda berlaku untuk nomor kursi yang sama jika terjadi kesalahan sistem. Jika kita ingin mengevaluasi apakah ini adalah fungsi injektif dari ‘Kode Tiket’ ke ‘Nomor Kursi’, manakah pernyataan yang paling tepat?
- A. Ini adalah fungsi injektif karena setiap kode tiket memiliki nomor kursi yang unik.
- B. Ini adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena nomor kursi bisa sama untuk kode tiket yang berbeda.
- C. Ini bukan fungsi karena nomor kursi bisa sama untuk kode tiket yang berbeda.
- D. Ini adalah fungsi injektif hanya jika tidak ada kesalahan sistem.
- E. Ini adalah relasi, bukan fungsi, karena bisa terjadi kesalahan sistem.
- Seorang ilmuwan meneliti hubungan antara ‘Jumlah Pupuk’ (dalam kg) yang diberikan pada tanaman dan ‘Tinggi Tanaman’ (dalam cm) setelah sebulan. Data yang diperoleh: (1 kg, 20 cm), (2 kg, 35 cm), (3 kg, 45 cm), (4 kg, 50 cm), (5 kg, 50 cm). Jika P adalah jumlah pupuk dan T adalah tinggi tanaman, bagaimana Anda akan mengevaluasi relasi ini sebagai sebuah fungsi?
- A. Ini adalah fungsi injektif karena setiap jumlah pupuk menghasilkan tinggi tanaman yang berbeda.
- B. Ini adalah fungsi surjektif karena semua tinggi tanaman di range memiliki pasangan.
- C. Ini adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena tinggi 50 cm dipasangkan oleh dua jumlah pupuk.
- D. Ini bukan fungsi karena tinggi tanaman bisa sama untuk jumlah pupuk yang berbeda.
- E. Ini adalah relasi, tetapi bukan fungsi, karena jumlah pupuk tidak selalu berbanding lurus dengan tinggi tanaman.
- Sebuah vending machine hanya menerima uang koin Rp 500 dan Rp 1.000. Harga minuman adalah Rp 2.000. Jika x adalah jumlah koin Rp 500 yang dimasukkan dan y adalah jumlah koin Rp 1.000 yang dimasukkan, bagaimana Anda akan menciptakan sebuah fungsi f(x, y) yang merepresentasikan total uang yang dimasukkan?
- A. f(x, y) = 500x + 1000y
- B. f(x, y) = 1500(x + y)
- C. f(x, y) = 500 + 1000
- D. f(x, y) = (x/500) + (y/1000)
- E. f(x, y) = 2000
- Sebuah aplikasi pembuat avatar memungkinkan pengguna memilih satu dari tiga warna kulit (cerah, sawo matang, gelap) dan satu dari empat gaya rambut (pendek, sedang, panjang, kriting). Jika A adalah himpunan warna kulit dan B adalah himpunan gaya rambut, bagaimana Anda akan menciptakan himpunan semua kemungkinan kombinasi avatar yang dapat dibuat, dan apakah ini sebuah fungsi?
- A. Ini adalah fungsi dari A ke B, dengan 7 kombinasi.
- B. Ini adalah fungsi dari B ke A, dengan 7 kombinasi.
- C. Ini adalah relasi yang dapat direpresentasikan sebagai produk Kartesius A x B, dengan 12 kombinasi. Ini bukan fungsi tunggal dari A ke B atau sebaliknya, melainkan himpunan pasangan.
- D. Ini adalah fungsi, di mana setiap pilihan warna kulit dipasangkan dengan setiap pilihan gaya rambut, menghasilkan 12 fungsi.
- E. Ini adalah relasi yang bukan fungsi karena jumlah elemen A dan B tidak sama.
- Sebuah rumah sakit mencatat jadwal dokter. Setiap dokter memiliki jadwal praktik pada hari-hari tertentu, dan bisa saja ada beberapa dokter praktik di hari yang sama. Jika D adalah himpunan dokter dan H adalah himpunan hari (Senin-Jumat), bagaimana Anda akan mengevaluasi apakah relasi ‘Jadwal Praktik’ dari D ke H adalah fungsi?
- A. Ini adalah fungsi karena setiap dokter memiliki jadwal yang spesifik.
- B. Ini bukan fungsi karena satu hari dapat memiliki beberapa dokter yang praktik.
- C. Ini bukan fungsi karena satu dokter dapat praktik lebih dari satu hari.
- D. Ini adalah fungsi jika setiap dokter hanya praktik satu hari dalam seminggu.
- E. Ini adalah relasi, tetapi tidak bisa menjadi fungsi karena kodomainnya lebih sedikit dari domain.
- Seorang pengrajin batik membuat motif baru yang pola warnanya ditentukan oleh deret Fibonacci. Warna pertama adalah merah, kedua biru, ketiga kuning, keempat merah lagi, dst. Jika n adalah urutan warna (n=1, 2, 3, …) dan W(n) adalah warna yang dihasilkan, bagaimana Anda akan menciptakan fungsi W(n) ini jika hanya ada 3 warna dasar (Merah, Biru, Kuning) dan polanya berulang setiap 3 warna?
- A. W(n) = Merah jika n mod 3 = 1, Biru jika n mod 3 = 2, Kuning jika n mod 3 = 0.
- B. W(n) = Merah jika n = 1, Biru jika n = 2, Kuning jika n = 3, kemudian pola berulang.
- C. W(n) = Merah untuk n ganjil, Biru untuk n genap, Kuning untuk n kelipatan 3.
- D. W(n) = (n-1) mod 3, kemudian di mapping ke warna.
- E. W(n) = Merah jika n mod 3 = 0, Biru jika n mod 3 = 1, Kuning jika n mod 3 = 2.
B. Isian Singkat
- Dalam sebuah keluarga, terdapat 3 anak: Budi, Cinta, dan Doni. Ayah mereka adalah Pak Ahmad, dan Ibu mereka adalah Ibu Siti. Buatlah himpunan pasangan berurutan yang menunjukkan relasi ‘adalah anak dari’ dari himpunan anak ke himpunan orang tua.
- Sebuah mesin fotokopi dapat menyalin 10 halaman per menit. Jika F(t) adalah jumlah halaman yang disalin dalam t menit, tentukan daerah hasil (range) dari fungsi F(t) jika mesin beroperasi dari 1 hingga 5 menit.
- Diberikan fungsi f(x) = 2x – 3 dengan domain {x | 1 < x < 5, x adalah bilangan bulat}. Tentukan daerah hasil (range) dari fungsi tersebut.
- Sebuah toko pakaian memberikan diskon 10% untuk setiap pembelian di atas Rp 150.000. Jika harga asli suatu barang adalah Rp 200.000, berapakah harga yang harus dibayar setelah diskon? Tuliskan dalam bentuk perhitungan fungsi sederhana.
- Sebuah aplikasi penghitung kalori mencatat bahwa setiap 1 km lari membakar 60 kalori. Jika seorang siswa berlari sejauh x km, dan K(x) adalah kalori yang terbakar, bagaimana bentuk fungsi K(x)?
C. Uraian
- Seorang petugas parkir mencatat kendaraan yang masuk dan keluar dari area parkir. Dia membuat aturan: setiap mobil memiliki satu nomor plat unik, dan setiap mobil hanya menempati satu slot parkir. Namun, ada kemungkinan dua mobil berbeda memiliki warna yang sama. Jelaskan secara rinci apakah relasi ‘memiliki plat nomor’ dari himpunan mobil ke himpunan plat nomor adalah fungsi dan apakah relasi ‘memiliki warna’ dari himpunan mobil ke himpunan warna adalah fungsi. Berikan alasannya, dan identifikasi jenis fungsi jika itu adalah fungsi.
- Sebuah perusahaan taksi online menerapkan tarif yang berbeda berdasarkan waktu. Untuk jam sibuk (06.00-09.00 dan 16.00-19.00), tarif per kilometer adalah Rp 4.000. Di luar jam sibuk, tarif per kilometer adalah Rp 3.000. Tarif dasar selalu Rp 8.000. Jika Anda ingin membuat fungsi biaya total C(d, t) di mana d adalah jarak (km) dan t adalah kategori waktu (sibuk/normal), bagaimana Anda akan menciptakan model fungsi tersebut? Jelaskan setiap komponen fungsinya dan bagaimana ia mempertimbangkan kondisi berbeda.
- Bayangkan Anda adalah seorang manajer proyek yang bertugas mengelola daftar tugas tim. Setiap tugas memiliki status (Belum Dimulai, Sedang Dikerjakan, Selesai). Anda ingin membuat sebuah sistem yang memetakan ‘Tugas’ ke ‘Statusnya’. Jelaskan mengapa ini adalah sebuah fungsi. Kemudian, bayangkan ada kasus di mana sebuah tugas secara tidak sengaja diberi dua status yang berbeda pada waktu yang sama (misalnya ‘Sedang Dikerjakan’ dan ‘Selesai’). Evaluasi mengapa ini akan menyebabkan relasi tersebut BUKAN fungsi. Apa implikasinya terhadap efisiensi pengelolaan proyek?
- Buatlah dua contoh relasi dari kehidupan sehari-hari (selain yang sudah ada di soal lain) yang satu merupakan fungsi dan satu lagi bukan fungsi. Jelaskan mengapa masing-masing contoh memenuhi atau tidak memenuhi syarat fungsi, serta tentukan domain, kodomain, dan range untuk setiap contoh.
- Sebuah perusahaan pengiriman barang menawarkan layanan dengan biaya awal Rp 15.000 untuk pengiriman dalam kota, dan tambahan Rp 2.000 per kilogram. Untuk pengiriman luar kota, biaya awal Rp 30.000 dan tambahan Rp 3.500 per kilogram. Pelanggan juga dapat memilih asuransi dengan biaya 5% dari total biaya pengiriman (setelah dihitung berdasarkan jarak dan berat). Buatlah sebuah model fungsi multi-variabel C(berat, jenis_pengiriman, asuransi) untuk menghitung total biaya yang harus dibayar. Jelaskan variabel dan komponen fungsinya.
D. Menjodohkan
Pasangkan pernyataan A dengan jawaban B yang sesuai.
- Setiap siswa memiliki tepat satu nomor induk siswa. … (…)
- Setiap tanggal dalam sebulan memiliki suhu yang tercatat, namun suhu dapat sama di tanggal yang berbeda. … (…)
Kunci Jawaban & Pembahasan
A. Pilihan Ganda
- Ini bukan fungsi karena satu hari (Senin/Selasa) dapat menjual lebih dari satu jenis buah.
Pembahasan: Untuk menjadi fungsi, setiap elemen di domain (Hari Penjualan) harus berpasangan tepat satu dengan elemen di kodomain (Jenis Buah). Pada kasus ini, Hari Senin berpasangan dengan Apel dan Pisang, serta Hari Selasa berpasangan dengan Jeruk dan Pisang. Hal ini menunjukkan bahwa ada elemen di domain yang memiliki lebih dari satu pasangan di kodomain, sehingga ini adalah relasi tetapi bukan fungsi. - Ini adalah fungsi karena setiap jam tercatat tepat satu nilai suhu.
Pembahasan: Dalam konteks fungsi, setiap elemen pada domain (Jam) harus memiliki tepat satu pasangan di kodomain (Suhu). Meskipun suhu bisa sama pada jam yang berbeda (misalnya 09.00 dan 10.00 sama-sama 29°C), yang terpenting adalah setiap jam hanya memiliki satu nilai suhu yang tercatat. Misalnya, pada pukul 09.00, suhu hanya 29°C, tidak ada suhu lain yang tercatat untuk jam tersebut. Oleh karena itu, ini memenuhi definisi fungsi. - Aturan tersebut akan menghasilkan fungsi karena setiap elemen di himpunan A hanya memiliki satu pasangan di himpunan B.
Pembahasan: Kunci sebuah fungsi adalah setiap elemen domain (Himpunan A) memiliki TEPAT SATU pasangan di kodomain (Himpunan B). Dalam aturan ini, angka ganjil (1, 3, 5, 7) dipasangkan dengan ‘A’, dan angka genap (2, 4, 6, 8) dipasangkan dengan ‘B’. Setiap angka di himpunan A, apakah ganjil atau genap, hanya akan memiliki satu pasangan (baik ‘A’ atau ‘B’). Oleh karena itu, aturan ini memenuhi syarat fungsi. - Ini adalah fungsi karena setiap jumlah kopi yang dibeli (x) akan menghasilkan tepat satu jumlah kopi yang diterima (y).
Pembahasan: Untuk setiap nilai x (jumlah kopi yang dibeli), akan selalu ada tepat satu nilai y (jumlah kopi yang diterima) yang sesuai dengan aturan promo. Misalnya, jika x=1, y=1; jika x=2, y=3 (1 gratis); jika x=3, y=3; jika x=4, y=5 (1 gratis). Walaupun hubungan ini memiliki pola yang kompleks, setiap input x tetap menghasilkan satu output y. Oleh karena itu, ini adalah fungsi. - C(x) = 10000 + 5000(x – 1)
Pembahasan: Biaya 10.000 adalah untuk GB pertama. Untuk GB berikutnya (yaitu x-1 GB), biayanya adalah 5.000 per GB. Jadi, total biaya adalah biaya GB pertama ditambah biaya GB setelahnya: 10000 + 5000(x – 1). Ini adalah fungsi linier terpotong, namun untuk x > 0, model ini sudah mencakup logika tersebut. - Relasi ini tidak bisa menjadi fungsi karena ada siswa yang mungkin menyukai lebih dari satu olahraga.
Pembahasan: Agar menjadi fungsi dari siswa ke olahraga, setiap siswa (elemen domain) harus berpasangan tepat satu dengan elemen kodomain (olahraga). Karena dalam survei disebutkan ‘Beberapa siswa menyukai lebih dari satu olahraga’, ini berarti ada siswa yang memiliki lebih dari satu pasangan, sehingga relasi ini tidak memenuhi syarat fungsi. - Ini adalah relasi yang dapat direpresentasikan sebagai produk Kartesius P x L, dengan 12 kombinasi. Ini bukan fungsi tunggal dari P ke L atau sebaliknya, melurnkan sebuah himpunan pasangan.
Pembahasan: Ketika kita ingin menciptakan semua kemungkinan paket hemat, kita sedang membuat himpunan pasangan berurutan (nasi, lauk). Ini adalah hasil dari produk Kartesius P x L, yang akan menghasilkan 3 x 4 = 12 kombinasi. Ini adalah sebuah himpunan relasi. Jika kita ingin menganggapnya fungsi, domain dan kodomainnya harus didefinisikan secara spesifik (misalnya, fungsi yang memetakan setiap pilihan nasi ke himpunan semua lauk yang mungkin, atau fungsi yang memetakan paket tertentu ke harganya). Namun, dalam konteks menciptakan ‘himpunan semua kemungkinan paket’, ini lebih tepat disebut relasi (atau himpunan pasangan berurutan). - Pernyataan tersebut salah, karena fungsi ini tidak memperhitungkan jika jarak d kurang dari 1 km.
Pembahasan: Fungsi C(d) = 7000 + 3000d tidak sepenuhnya valid untuk kasus ini karena ada aturan ‘jika perjalanan kurang dari 1 km, tetap dihitung 1 km’. Ini berarti jika d = 0.5 km, harusnya d dihitung sebagai 1 km dalam fungsi biaya. Fungsi ini tidak merepresentasikan pembulatan ke atas tersebut. Model yang lebih akurat mungkin melibatkan fungsi `ceil(d)` (pembulatan ke atas) atau fungsi terpisah untuk d < 1. - Ini adalah fungsi, dengan domain ‘Pelanggan’ dan kodomain ‘Jenis Roti + Jenis Isian’, karena setiap pelanggan memiliki tepat satu pesanan.
Pembahasan: Agar sebuah hubungan menjadi fungsi, setiap elemen di domain (dalam hal ini, ‘Pelanggan’) harus berpasangan tepat satu dengan elemen di kodomain (dalam hal ini, ‘Pesanan Roti + Isian’). Karena setiap pelanggan ‘hanya boleh memesan 1 jenis roti dan 1 jenis isian’, maka setiap pelanggan pasti memiliki tepat satu pesanan yang unik. Walaupun dua pelanggan bisa saja memesan jenis roti dan isian yang sama, itu tidak masalah untuk definisi fungsi. Yang terpenting adalah setiap individu pelanggan memiliki satu dan hanya satu pesanan. - Ini bukan fungsi, karena setiap hari kerja memiliki lebih dari satu siswa yang piket.
Pembahasan: Jika domainnya adalah ‘Hari Kerja’ dan kodomainnya adalah ‘Siswa yang Piket’, maka agar menjadi fungsi, setiap elemen di domain (setiap hari kerja) harus berpasangan tepat satu dengan elemen di kodomain. Namun, dalam aturan ini, setiap hari kerja (misalnya Senin) dipasangkan dengan 3 siswa yang berbeda. Ini melanggar syarat fungsi yang mensyaratkan tepat satu pasangan untuk setiap elemen domain. - Ini adalah fungsi karena setiap pelari memiliki tepat satu waktu tempuh.
Pembahasan: Definisi fungsi mensyaratkan bahwa setiap elemen pada domain (Pelari) memiliki TEPAT SATU pasangan di kodomain (Waktu Tempuh). Dalam data ini, Pelari A memiliki satu waktu tempuh (12.5), Pelari B memiliki satu waktu tempuh (13.1), dan seterusnya. Meskipun Pelari A dan Pelari C memiliki waktu tempuh yang sama, ini tidak melanggar definisi fungsi. Yang penting adalah satu pelari tidak memiliki lebih dari satu waktu tempuh dalam satu lomba. - Diagram pertama adalah fungsi, dan diagram kedua juga fungsi. Fungsi tidak mengharuskan setiap elemen di kodomain hanya memiliki satu pasangan dari domain.
Pembahasan: Untuk menjadi fungsi, setiap elemen di domain harus memiliki TEPAT SATU pasangan di kodomain. Diagram pertama memenuhi ini (1->a, 2->b, 3->c). Diagram kedua juga memenuhi ini (4->x, 5->y, 6->x). Meskipun ‘x’ di kodomain Q memiliki dua panah yang masuk dari domain P, ini tidak melanggar definisi fungsi. Yang penting adalah setiap elemen P (4, 5, 6) masing-masing hanya memiliki satu panah keluar. - C(d) = 5000 + 2500d jika d ≤ 10; C(d) = (5000 + 2500d) – 0.1 * (5000 + 2500d) jika d > 10.
Pembahasan: Model fungsi ini harus bersifat piecewise (terpotong) karena ada perubahan aturan pada d > 10. Untuk d ≤ 10, fungsinya adalah C(d) = 5000 + 2500d. Untuk d > 10, diskon 10% diterapkan pada total biaya (tarif dasar + biaya per km), sehingga C(d) = (5000 + 2500d) – 0.1 * (5000 + 2500d). Pilihan ini lebih akurat dibandingkan hanya mengalikan dengan 0.9, karena secara eksplisit menunjukkan pengurangan 10% dari total biaya. - R adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena ‘a’ memiliki dua pasangan dari domain.
Pembahasan: R adalah fungsi karena setiap elemen di domain D (1, 2, 3, 4) memiliki tepat satu pasangan di K. R bukan fungsi injektif (satu-satu) karena elemen ‘a’ di kodomain memiliki dua pasangan dari domain (yaitu 1 dan 4). R juga bukan fungsi surjektif (onto) karena elemen ‘d’ di kodomain K tidak memiliki pasangan di range dari R. Jadi, pilihan yang paling tepat adalah bahwa R adalah fungsi, tetapi bukan injektif. - Ini adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena Jakarta memiliki dua pasangan dari domain (Andi dan Cintya).
Pembahasan: Ini adalah fungsi karena setiap siswa (elemen domain: Andi, Budi, Cintya, Doni) hanya memiliki satu kota asal (pasangan di kodomain). Namun, ini bukan fungsi injektif (satu-satu) karena dua siswa yang berbeda (Andi dan Cintya) memiliki kota asal yang sama (Jakarta). Hal ini tidak menjadi masalah untuk syarat fungsi, tetapi menjadikannya bukan fungsi injektif. - Skenario di mana satu ukuran kaus (misalnya S) tercatat memiliki dua jumlah penjualan yang berbeda pada hari yang sama.
Pembahasan: Agar sebuah relasi BUKAN fungsi, setidaknya satu elemen di domain (dalam kasus ini, satu ukuran kaus) harus memiliki lebih dari satu pasangan di kodomain (jumlah kaus terjual). Jika ukuran ‘S’ tercatat memiliki dua jumlah penjualan yang berbeda pada hari yang sama (misal, S terjual 10 buah dan juga S terjual 12 buah untuk hari yang sama), ini berarti satu elemen domain memiliki dua output yang berbeda, yang melanggar definisi fungsi. - Ini adalah relasi, bukan fungsi, karena pemetaannya bersifat satu-ke-banyak.
Pembahasan: Jika domain adalah ‘Nomor Rute Bus’ dan kodomain adalah ‘Halte’, maka agar menjadi fungsi, setiap nomor rute bus harus berpasangan tepat satu dengan sebuah halte. Namun, dalam kenyataan, satu rute bus melewati BANYAK halte. Ini berarti satu elemen di domain (satu nomor rute) memiliki banyak pasangan di kodomain (banyak halte), yang merupakan karakteristik relasi satu-ke-banyak dan bukan fungsi. - T(n) = 100000 – 10000(n-1) jika n ≤ 6; T(n) = 50000 jika n > 6.
Pembahasan: Untuk bulan pertama (n=1), T(1) = 100000 – 10000(1-1) = 100000. Untuk bulan kedua (n=2), T(2) = 100000 – 10000(2-1) = 90000. Ini sesuai dengan pola penurunan Rp 10.000 setiap bulan. Setelah bulan keenam, tarifnya flat Rp 50.000. Jadi, fungsi piecewise ini adalah yang paling tepat. - H(K) adalah fungsi karena setiap kondisi barang lama memiliki tepat satu harga yang harus dibayar.
Pembahasan: Untuk setiap kondisi K (Berfungsi, Tidak Berfungsi, Tidak Ada), ada tepat satu harga H(K) yang ditentukan. Jika K=’Berfungsi’, H(K) = Rp 1.200.000. Jika K=’Tidak Berfungsi’, H(K) = Rp 1.400.000. Jika K=’Tidak Ada’, H(K) = Rp 1.500.000. Setiap input (kondisi) menghasilkan satu output (harga), sehingga ini adalah fungsi. - Ini bukan fungsi injektif karena status ‘Tepat Waktu’ bisa dimiliki oleh lebih dari satu siswa.
Pembahasan: Pertama, ini adalah fungsi karena setiap siswa (domain) memiliki tepat satu status kehadiran. Namun, ini bukan fungsi injektif (satu-satu). Fungsi injektif mengharuskan setiap elemen di kodomain (Status Kehadiran) hanya dipasangkan oleh satu elemen dari domain. Dalam kasus ini, status ‘Tepat Waktu’ dipasangkan oleh Ali dan Caca (jika kita asumsikan 07:15 masih tepat waktu), atau jika 07:15 sudah terlambat, maka status ‘Terlambat’ akan dimiliki oleh Ali dan Caca. Dalam kedua kasus, ada satu status yang dimiliki oleh lebih dari satu siswa, sehingga tidak injektif. - Membuat relasi di mana satu tugas dikaitkan dengan dua prioritas yang berbeda.
Pembahasan: Fungsi dari ‘Prioritas’ ke ‘Tugas’ berarti setiap elemen di domain ‘Prioritas’ harus berpasangan tepat satu dengan elemen di kodomain ‘Tugas’. Untuk BUKAN fungsi, maka salah satu prioritas harus berpasangan dengan lebih dari satu tugas. Namun, pertanyaan meminta relasi yang BUKAN fungsi DARI ‘Prioritas’ ke ‘Tugas’. Pilihan E (‘Membuat relasi di mana satu tugas dikaitkan dengan dua prioritas yang berbeda’) akan menjadi fungsi DARI ‘Tugas’ ke ‘Prioritas’ yang bukan fungsi (karena satu tugas memiliki dua prioritas). Untuk BUKAN fungsi DARI ‘Prioritas’ ke ‘Tugas’, kita perlu skenario di mana satu prioritas memiliki lebih dari satu ‘tugas’ sebagai pasangannya. Namun, konteks soal ‘setiap tugas harus memiliki satu prioritas, satu prioritas bisa banyak tugas’ menyiratkan bahwa fungsi yang mungkin adalah dari Tugas ke Prioritas. Jadi pilihan E adalah skenario yang membuat ‘fungsi’ dari ‘Tugas’ ke ‘Prioritas’ jadi bukan fungsi. Jika domainnya ‘Prioritas’ dan kodomainnya ‘Tugas’, maka ‘Satu prioritas bisa diterapkan pada banyak tugas’ berarti satu elemen domain (Prioritas) dipasangkan dengan banyak elemen kodomain (Tugas), yang menjadikan relasi ini BUKAN FUNGSI. - Ini adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena nomor kursi bisa sama untuk kode tiket yang berbeda.
Pembahasan: Ini adalah fungsi karena setiap Kode Tiket (elemen domain) memiliki tepat satu Nomor Kursi yang ditetapkan. Namun, karena ‘ada kemungkinan dua kode tiket berbeda berlaku untuk nomor kursi yang sama jika terjadi kesalahan sistem’, maka ini berarti satu Nomor Kursi di kodomain dapat dipasangkan oleh lebih dari satu Kode Tiket dari domain. Ini melanggar syarat injektif (satu-satu). - Ini adalah fungsi, tetapi bukan injektif karena tinggi 50 cm dipasangkan oleh dua jumlah pupuk.
Pembahasan: Ini adalah fungsi karena setiap jumlah pupuk (domain) memiliki tepat satu tinggi tanaman (kodomain) sebagai pasangannya. Namun, ini bukan fungsi injektif (satu-satu) karena tinggi tanaman 50 cm dipasangkan oleh dua jumlah pupuk yang berbeda (4 kg dan 5 kg). Artinya, ada elemen di kodomain yang dipasangkan oleh lebih dari satu elemen domain. - f(x, y) = 500x + 1000y
Pembahasan: Fungsi ini merepresentasikan total uang yang dimasukkan sebagai hasil dari jumlah koin Rp 500 dikalikan nilai koin tersebut (500x) ditambah jumlah koin Rp 1.000 dikalikan nilai koin tersebut (1000y). Ini adalah model fungsi yang paling tepat untuk total uang yang dimasukkan. - Ini adalah relasi yang dapat direpresentasikan sebagai produk Kartesius A x B, dengan 12 kombinasi. Ini bukan fungsi tunggal dari A ke B atau sebaliknya, melainkan himpunan pasangan.
Pembahasan: Untuk menciptakan ‘himpunan semua kemungkinan kombinasi’, kita menggunakan konsep produk Kartesius A x B, yang berarti setiap elemen dari A dipasangkan dengan setiap elemen dari B. Ini akan menghasilkan 3 * 4 = 12 pasangan berurutan (warna kulit, gaya rambut). Himpunan pasangan berurutan ini adalah sebuah relasi. Ini bukan fungsi tunggal dari A ke B atau B ke A karena setiap elemen di domain ‘A’ (warna kulit) akan dipasangkan dengan banyak elemen di kodomain ‘B’ (gaya rambut), dan sebaliknya. - Ini bukan fungsi karena satu dokter dapat praktik lebih dari satu hari.
Pembahasan: Untuk menjadi fungsi dari ‘Dokter’ ke ‘Hari’, setiap dokter (elemen domain) harus berpasangan tepat satu dengan satu hari di kodomain. Namun, dalam skenario ini, ‘setiap dokter memiliki jadwal praktik pada hari-hari tertentu’, yang berarti seorang dokter bisa praktik di hari Senin DAN hari Rabu. Ini menunjukkan bahwa satu elemen di domain (satu dokter) memiliki lebih dari satu pasangan di kodomain (lebih dari satu hari), sehingga ini bukan fungsi. - W(n) = Merah jika n mod 3 = 1, Biru jika n mod 3 = 2, Kuning jika n mod 3 = 0.
Pembahasan: Pola berulang setiap 3 warna berarti kita bisa menggunakan operasi modulo 3. Jika n mod 3 = 1, ini adalah urutan ke-1, ke-4, ke-7, dst., yang harusnya Merah. Jika n mod 3 = 2, ini adalah urutan ke-2, ke-5, ke-8, dst., yang harusnya Biru. Jika n mod 3 = 0 (untuk n=3, 6, 9, dst.), ini adalah urutan ke-3, ke-6, ke-9, dst., yang harusnya Kuning. Pilihan A secara tepat merepresentasikan pola ini.
B. Isian Singkat
- {(Budi, Pak Ahmad), (Budi, Ibu Siti), (Cinta, Pak Ahmad), (Cinta, Ibu Siti), (Doni, Pak Ahmad), (Doni, Ibu Siti)}
- {10, 20, 30, 40, 50}
- {1, 3, 5, 7}
- Harga = 200.000 – (0.10 * 200.000) = 200.000 – 20.000 = 180.000
- K(x) = 60x
C. Uraian (Contoh Jawaban)
- 1. Relasi ‘memiliki plat nomor’ dari himpunan mobil ke himpunan plat nomor adalah fungsi. Ini adalah fungsi injektif (satu-satu).
* **Alasan Fungsi:** Setiap mobil (elemen domain) memiliki TEPAT SATU plat nomor unik yang terdaftar (pasangan di kodomain). Ini memenuhi definisi fungsi.
* **Alasan Injektif:** Setiap plat nomor (elemen kodomain) hanya dipasangkan oleh satu mobil dari domain karena plat nomor bersifat unik. Jika ada dua mobil berbeda, plat nomornya pasti berbeda. Jadi, ini adalah fungsi injektif.2. Relasi ‘memiliki warna’ dari himpunan mobil ke himpunan warna adalah fungsi, tetapi bukan fungsi injektif.
* **Alasan Fungsi:** Setiap mobil (elemen domain) memiliki TEPAT SATU warna (pasangan di kodomain). Sebuah mobil tidak mungkin memiliki dua warna utama sekaligus (misalnya merah dan biru secara bersamaan). Ini memenuhi definisi fungsi.
* **Alasan Bukan Injektif:** Meskipun setiap mobil hanya punya satu warna, ada kemungkinan dua mobil berbeda memiliki warna yang sama (misalnya Mobil A warna merah dan Mobil B warna merah). Ini berarti satu elemen di kodomain (misalnya ‘merah’) dipasangkan oleh lebih dari satu elemen dari domain (Mobil A dan Mobil B). Oleh karena itu, ini bukan fungsi injektif. - Untuk menciptakan model fungsi biaya total C(d, t) yang komprehensif, kita perlu menggunakan fungsi piecewise (terpotong) yang mempertimbangkan kategori waktu (t).
Misalkan:
* d = jarak perjalanan dalam kilometer
* t = kategori waktu, di mana t = ‘sibuk’ atau t = ‘normal’Maka, fungsi biaya total C(d, t) dapat dimodelkan sebagai berikut:
`C(d, t) = { 8.000 + 4.000d, jika t = ‘sibuk’ }`
` { 8.000 + 3.000d, jika t = ‘normal’ }`**Penjelasan Komponen Fungsi:**
1. **Tarif Dasar (Rp 8.000):** Ini adalah biaya tetap yang selalu dikenakan, tidak peduli jarak atau waktu. Ini merepresentasikan bagian konstan dari fungsi. `8.000` adalah nilai intersep atau konstanta.
2. **Biaya Per Kilometer (4.000d atau 3.000d):** Ini adalah bagian variabel dari fungsi yang bergantung pada jarak (d) dan kategori waktu (t).
* `4.000d`: Jika waktu adalah jam sibuk (`t = ‘sibuk’`), maka setiap kilometer dikenakan biaya Rp 4.000. Jadi, total biaya tambahan berdasarkan jarak adalah `4.000 * d`.
* `3.000d`: Jika waktu adalah jam normal (`t = ‘normal’`), maka setiap kilometer dikenakan biaya Rp 3.000. Jadi, total biaya tambahan berdasarkan jarak adalah `3.000 * d`.3. **Kondisi (jika t = ‘sibuk’ atau t = ‘normal’):** Ini adalah kondisi yang menentukan bagian mana dari fungsi yang akan digunakan. Ini mengklasifikasikan waktu perjalanan dan menerapkan tarif per kilometer yang sesuai. Hal ini penting untuk memastikan setiap kombinasi jarak dan kategori waktu menghasilkan tepat satu total biaya, memenuhi definisi fungsi.
- 1. **Mengapa ‘Tugas’ ke ‘Statusnya’ adalah fungsi:**
* Relasi dari ‘Tugas’ ke ‘Statusnya’ adalah sebuah fungsi karena setiap tugas (elemen domain) harus memiliki TEPAT SATU status pada suatu waktu tertentu (pasangan di kodomain). Misalnya, Tugas A hanya bisa ‘Belum Dimulai’, atau ‘Sedang Dikerjakan’, atau ‘Selesai’ di saat yang sama. Tidak mungkin sebuah tugas memiliki dua status yang berbeda secara bersamaan dalam sistem yang ideal. Ini memenuhi syarat definisi fungsi.2. **Mengapa jika tugas diberi dua status, relasi BUKAN fungsi:**
* Jika sebuah tugas secara tidak sengaja diberi dua status yang berbeda pada waktu yang sama (misalnya Tugas A memiliki status ‘Sedang Dikerjakan’ dan ‘Selesai’), maka relasi dari ‘Tugas’ ke ‘Statusnya’ tidak lagi menjadi fungsi. Hal ini melanggar syarat fundamental fungsi, yaitu setiap elemen domain (tugas) harus memiliki TEPAT SATU pasangan di kodomain (status). Dalam kasus ini, satu tugas memiliki dua pasangan status, sehingga relasi tersebut bukan fungsi.3. **Implikasi terhadap efisiensi pengelolaan proyek:**
* **Ketidakjelasan dan Kebingungan:** Jika sebuah tugas memiliki lebih dari satu status, ini menciptakan kebingungan yang parah bagi tim. Anggota tim tidak akan tahu apakah tugas tersebut masih perlu dikerjakan atau sudah selesai. Ini akan menghambat pengambilan keputusan.
* **Duplikasi Usaha atau Kelalaian:** Bisa terjadi duplikasi pekerjaan karena dua anggota tim mungkin menganggap tugas itu ‘Sedang Dikerjakan’ dan ‘Selesai’, sehingga salah satu mungkin mengerjakannya ulang atau mengabaikannya yang menyebabkan tugas tidak benar-benar selesai.
* **Pelaporan Tidak Akurat:** Laporan progres proyek menjadi tidak akurat, membuat manajer proyek sulit untuk mengevaluasi status keseluruhan proyek, mengidentifikasi hambatan, atau memprediksi jadwal penyelesaian.
* **Penundaan Proyek:** Ketidakjelasan ini pada akhirnya dapat menyebabkan penundaan proyek dan pemborosan sumber daya karena waktu dan tenaga terbuang untuk mengklarifikasi atau memperbaiki status tugas yang salah. - **Contoh 1: Relasi yang merupakan Fungsi**
* **Skenario:** Relasi ‘memiliki berat badan’ dari himpunan Siswa Kelas 8 ke himpunan Bilangan Real Positif (berat dalam kg).
* **Domain:** Himpunan semua siswa kelas 8.
* **Kodomain:** Himpunan Bilangan Real Positif (berat dalam kg).
* **Range:** Himpunan semua berat badan aktual siswa kelas 8.
* **Mengapa Fungsi:** Setiap siswa (elemen domain) memiliki TEPAT SATU berat badan pada suatu waktu (pasangan di kodomain). Tidak mungkin seorang siswa memiliki dua berat badan yang berbeda secara bersamaan. Oleh karena itu, relasi ini memenuhi definisi fungsi.**Contoh 2: Relasi yang bukan Fungsi**
* **Skenario:** Relasi ‘menyukai mata pelajaran’ dari himpunan Mata Pelajaran ke himpunan Siswa Kelas 8.
* **Domain:** Himpunan semua mata pelajaran (misalnya {Matematika, IPA, Bahasa Indonesia, Seni Budaya}).
* **Kodomain:** Himpunan semua siswa kelas 8.
* **Range:** Himpunan siswa-siswa yang menyukai mata pelajaran yang ada di domain.
* **Mengapa Bukan Fungsi:** Agar ini menjadi fungsi, setiap elemen di domain (Mata Pelajaran) harus berpasangan TEPAT SATU dengan elemen di kodomain (Siswa). Namun, dalam kenyataannya, satu mata pelajaran (misalnya Matematika) dapat disukai oleh BANYAK siswa. Ini berarti satu elemen di domain (Matematika) memiliki lebih dari satu pasangan di kodomain (misalnya Budi dan Cinta sama-sama menyukai Matematika). Hal ini melanggar syarat fungsi, sehingga relasi ini bukan fungsi. - Untuk menciptakan model fungsi multi-variabel C(berat, jenis_pengiriman, asuransi), kita akan mendefinisikan variabel dan komponennya sebagai berikut:
* `berat`: Berat barang dalam kilogram (kg).
* `jenis_pengiriman`: Kategori pengiriman, bisa ‘Dalam Kota’ atau ‘Luar Kota’.
* `asuransi`: Variabel boolean, bisa ‘Ya’ (jika menggunakan asuransi) atau ‘Tidak’ (jika tidak menggunakan asuransi).**Langkah 1: Menghitung Biaya Dasar Pengiriman (B)**
Kita akan menggunakan fungsi piecewise untuk biaya dasar pengiriman berdasarkan `jenis_pengiriman`:`B(berat, jenis_pengiriman) = { 15.000 + 2.000 * berat, jika jenis_pengiriman = ‘Dalam Kota’ }`
` { 30.000 + 3.500 * berat, jika jenis_pengiriman = ‘Luar Kota’ }`**Penjelasan Komponen B(berat, jenis_pengiriman):**
* **Untuk ‘Dalam Kota’:** Biaya awal Rp 15.000 ditambah Rp 2.000 untuk setiap kilogram barang. Ini adalah fungsi linier `y = mx + c` di mana c = 15.000 dan m = 2.000.
* **Untuk ‘Luar Kota’:** Biaya awal Rp 30.000 ditambah Rp 3.500 untuk setiap kilogram barang. Ini juga fungsi linier dengan c = 30.000 dan m = 3.500.**Langkah 2: Menghitung Biaya Asuransi (A)**
Biaya asuransi adalah 5% dari biaya dasar pengiriman `B`. Ini hanya akan ditambahkan jika `asuransi` adalah ‘Ya’.`A(B, asuransi) = { 0.05 * B, jika asuransi = ‘Ya’ }`
` { 0, jika asuransi = ‘Tidak’ }`**Langkah 3: Menghitung Total Biaya (C)**
Total biaya adalah penjumlahan biaya dasar pengiriman dan biaya asuransi.`C(berat, jenis_pengiriman, asuransi) = B(berat, jenis_pengiriman) + A(B(berat, jenis_pengiriman), asuransi)`
**Penjelasan Variabel dan Komponen Keseluruhan:**
* Fungsi ini adalah **fungsi multi-variabel** karena inputnya tidak hanya satu, melainkan tiga variabel (`berat`, `jenis_pengiriman`, `asuransi`).
* Ini juga merupakan **fungsi komposit** karena `A` bergantung pada `B`, dan `B` bergantung pada `berat` serta `jenis_pengiriman`.
* Setiap kombinasi unik dari berat, jenis pengiriman, dan pilihan asuransi akan menghasilkan TEPAT SATU total biaya. Hal ini memastikan bahwa model yang dibuat adalah sebuah fungsi yang valid.
D. Menjodohkan
- Setiap siswa memiliki tepat satu nomor induk siswa. = Fungsi Injektif (Satu-satu)
- Setiap tanggal dalam sebulan memiliki suhu yang tercatat, namun suhu dapat sama di tanggal yang berbeda. = Fungsi, Bukan Injektif
