Latihan Soal Matematika SMA: Menguasai Fungsi Kuadrat dengan Pembahasan Lengkap

1. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1, 0), (3, 0), dan (0, -6) adalah… (Pilihan Ganda)

• y = x^2 – 2x – 3
• y = 2x^2 – 4x – 6
• y = -2x^2 + 4x + 6
• y = x^2 + 2x – 3
• y = 3x^2 – 6x – 9

Kunci Jawaban: y = 2x^2 – 4x – 6

2. Koordinat titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = x^2 – 6x + 8 adalah… (Pilihan Ganda)

• (-3, -1)
• (3, 1)
• (3, -1)
• (-3, 1)
• (6, 8)

Kunci Jawaban: (3, -1)

3. Akar-akar persamaan kuadrat 2x^2 + 5x – 3 = 0 adalah… (Pilihan Ganda)

• x1 = -1/2 dan x2 = 3
• x1 = 1/2 dan x2 = -3
• x1 = 1 dan x2 = -3/2
• x1 = -1 dan x2 = 3/2
• x1 = 2 dan x2 = -3/2

Kunci Jawaban: x1 = 1/2 dan x2 = -3

4. Jika fungsi kuadrat f(x) = x^2 – (p+2)x + 3p memiliki nilai minimum 0, maka nilai p yang memenuhi adalah… (Pilihan Ganda)

• p = 1 atau p = 2
• p = -2 atau p = 6
• p = 2 atau p = -6
• p = 2 atau p = 6
• p = 3 atau p = 4

Kunci Jawaban: p = 2 atau p = 6

5. Diskriminan dari fungsi kuadrat y = 3x^2 – 2x + 1 adalah… (Pilihan Ganda)

• 16
• 4
• 0
• -8
• -16

Kunci Jawaban: -8

6. Grafik fungsi y = x^2 + 4x + c memotong sumbu Y di titik (0, 3). Nilai c adalah… (Pilihan Ganda)

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

Kunci Jawaban: 3

7. Persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat f(x) = -2x^2 – 12x – 17 adalah… (Pilihan Ganda)

• x = 3
• x = -3
• x = -6
• x = 6
• x = -12

Kunci Jawaban: x = -3

8. Nilai maksimum dari fungsi f(x) = -x^2 + 4x + 5 adalah… (Pilihan Ganda)

• 4
• 5
• 8
• 9
• 10

Kunci Jawaban: 9

9. Jika fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c memiliki titik puncak (2, 5) dan melalui titik (0, 1), maka persamaan fungsi tersebut adalah… (Pilihan Ganda)

• y = x^2 – 4x + 1
• y = -x^2 + 4x + 1
• y = -x^2 – 4x + 1
• y = 2x^2 – 8x + 1
• y = -2x^2 + 8x + 1

Kunci Jawaban: y = -x^2 + 4x + 1

10. Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x^2 – 9 = 0 adalah… (Pilihan Ganda)

• {3}
• {-3}
• {-3, 3}
• {0, 3}
• {-9, 9}

Kunci Jawaban: {-3, 3}

11. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Tinggi peluru (h) dalam meter sebagai fungsi waktu (t) dalam detik dinyatakan dengan h(t) = 30t – 5t^2. Tinggi maksimum yang dicapai peluru adalah… (Pilihan Ganda)

• 25 meter
• 30 meter
• 40 meter
• 45 meter
• 50 meter

Kunci Jawaban: 45 meter

12. Grafik fungsi f(x) = (x-2)^2 – 9 memotong sumbu X di titik… (Pilihan Ganda)

• (-2, 0) dan (2, 0)
• (2, 0) dan (9, 0)
• (-1, 0) dan (5, 0)
• (1, 0) dan (-5, 0)
• (0, -5) dan (0, 1)

Kunci Jawaban: (-1, 0) dan (5, 0)

13. Agar fungsi kuadrat f(x) = (m-1)x^2 + 2mx + 3m + 1 definit positif, maka nilai m yang memenuhi adalah… (Pilihan Ganda)

• m < 1
• m > 1
• m < -1
• -1 < m < 1
• m = 1

Kunci Jawaban: m > 1

14. Fungsi kuadrat yang memiliki titik potong dengan sumbu X di (1, 0) dan (4, 0), serta melalui titik (0, 8) adalah… (Pilihan Ganda)

• y = x^2 – 5x + 4
• y = 2x^2 – 10x + 8
• y = -2x^2 + 10x – 8
• y = -x^2 + 5x – 4
• y = 4x^2 – 20x + 16

Kunci Jawaban: y = 2x^2 – 10x + 8

15. Jika x = 2 adalah salah satu akar persamaan kuadrat x^2 + (k-1)x – 6 = 0, maka nilai k adalah… (Pilihan Ganda)

• -2
• 0
• 1
• 2
• 3

Kunci Jawaban: 2

16. Interval x agar fungsi f(x) = x^2 – 4x – 5 bernilai negatif adalah… (Pilihan Ganda)

• x < -1 atau x > 5
• -5 < x < 1
• -1 < x < 5
• x < -5 atau x > 1
• x < 1 atau x > 5

Kunci Jawaban: -1 < x < 5

17. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya -2 dan 3 adalah… (Pilihan Ganda)

• x^2 + x – 6 = 0
• x^2 – x – 6 = 0
• x^2 + x + 6 = 0
• x^2 – 5x – 6 = 0
• x^2 + 5x – 6 = 0

Kunci Jawaban: x^2 – x – 6 = 0

18. Grafik fungsi kuadrat y = -x^2 + 2x + 8 akan terbuka ke… (Pilihan Ganda)

• Atas
• Bawah
• Kiri
• Kanan
• Tidak dapat ditentukan

Kunci Jawaban: Bawah

19. Nilai k agar grafik fungsi y = x^2 – (k+1)x + (3k-5) menyinggung sumbu X adalah… (Pilihan Ganda)

• k = 1 atau k = 2
• k = 3 atau k = 7
• k = -3 atau k = 7
• k = 3 atau k = -7
• k = 5 atau k = 1

Kunci Jawaban: k = 3 atau k = 7

20. Perhatikan fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c. Jika a > 0 dan D < 0, maka grafik fungsi tersebut... (Pilihan Ganda)

• Terbuka ke bawah dan memotong sumbu X di dua titik
• Terbuka ke atas dan tidak memotong sumbu X
• Terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu X
• Terbuka ke atas dan menyinggung sumbu X
• Terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik

Kunci Jawaban: Terbuka ke atas dan tidak memotong sumbu X

21. Tentukan nilai y dari fungsi f(x) = 2x^2 – 5x + 3 jika x = -1. (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 10

22. Sumbu simetri dari fungsi f(x) = x^2 + 8x + 10 adalah x = … (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: -4

23. Jika fungsi kuadrat y = ax^2 – 4x + 2 memiliki titik puncak (2, -2), maka nilai a adalah … (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 1

24. Jika salah satu akar dari x^2 – 7x + c = 0 adalah 4, maka akar yang lain adalah … (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 3

25. Titik potong fungsi kuadrat f(x) = x^2 – 5x + 6 terhadap sumbu Y adalah (0, …). (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 6

26. Sketsalah grafik fungsi kuadrat f(x) = x^2 – 2x – 8 secara lengkap dengan menunjukkan titik potong sumbu X, titik potong sumbu Y, dan koordinat titik puncaknya. (Uraian)

Kunci Jawaban: 1. Titik potong sumbu X (y=0): x^2 – 2x – 8 = 0 -> (x-4)(x+2) = 0 -> x = 4 atau x = -2. Jadi, titik potong sumbu X adalah (4, 0) dan (-2, 0).
2. Titik potong sumbu Y (x=0): f(0) = 0^2 – 2(0) – 8 = -8. Jadi, titik potong sumbu Y adalah (0, -8).
3. Titik puncak (xp, yp):
xp = -b / (2a) = -(-2) / (2*1) = 2 / 2 = 1.
yp = f(1) = 1^2 – 2(1) – 8 = 1 – 2 – 8 = -9.
Jadi, titik puncak adalah (1, -9).
4. Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang melalui ketiga titik tersebut, dengan parabola terbuka ke atas (karena a=1 > 0).

27. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1, 1), (0, -4), dan (1, -5). (Uraian)

Kunci Jawaban: Misalkan persamaan fungsi kuadrat adalah y = ax^2 + bx + c.
1. Melalui (0, -4): -4 = a(0)^2 + b(0) + c -> c = -4.
Persamaan menjadi y = ax^2 + bx – 4.
2. Melalui (-1, 1): 1 = a(-1)^2 + b(-1) – 4 -> 1 = a – b – 4 -> a – b = 5 (Persamaan 1).
3. Melalui (1, -5): -5 = a(1)^2 + b(1) – 4 -> -5 = a + b – 4 -> a + b = -1 (Persamaan 2).
Eliminasi Persamaan 1 dan 2:
(a – b = 5)
(a + b = -1) +
—————-
2a = 4 -> a = 2.
Substitusi a = 2 ke Persamaan 2: 2 + b = -1 -> b = -3.
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah y = 2x^2 – 3x – 4.

28. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang akan dipagari dengan kawat sepanjang 100 meter. Berapakah ukuran panjang dan lebar tanah agar luasnya maksimum? Tentukan pula luas maksimum tersebut. (Uraian)

Kunci Jawaban: Misalkan panjang tanah adalah p dan lebar tanah adalah l.
Keliling = 2p + 2l = 100 -> p + l = 50 -> l = 50 – p.
Luas (L) = p * l = p * (50 – p) = 50p – p^2 = -p^2 + 50p.
Ini adalah fungsi kuadrat dalam p dengan a = -1, b = 50, c = 0.
Luas akan maksimum pada sumbu simetri:
p_maks = -b / (2a) = -50 / (2*(-1)) = -50 / -2 = 25 meter.
Jika p = 25 meter, maka l = 50 – 25 = 25 meter.
Ukuran tanah agar luasnya maksimum adalah panjang 25 meter dan lebar 25 meter (berbentuk persegi).
Luas maksimum = L(25) = -(25)^2 + 50(25) = -625 + 1250 = 625 meter persegi.

29. Tentukan batas nilai p agar fungsi kuadrat f(x) = (p-1)x^2 + 2px + p + 2 selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real. (Uraian)

Kunci Jawaban: Agar fungsi kuadrat selalu bernilai positif (definit positif), dua syarat harus dipenuhi:
1. Koefisien x^2 harus positif: a > 0 -> p – 1 > 0 -> p > 1.
2. Diskriminan harus negatif: D < 0. D = b^2 - 4ac = (2p)^2 - 4(p-1)(p+2) = 4p^2 - 4(p^2 + p - 2) = 4p^2 - 4p^2 - 4p + 8 = -4p + 8. D < 0 -> -4p + 8 < 0 -> -4p < -8 -> p > 2.
Gabungkan syarat 1 (p > 1) dan syarat 2 (p > 2). Irisan dari kedua syarat tersebut adalah p > 2.
Jadi, batas nilai p agar fungsi selalu bernilai positif adalah p > 2.

30. Sebuah roket diluncurkan vertikal ke atas. Ketinggian h (dalam meter) roket setelah t detik dinyatakan oleh rumus h(t) = 40t – 5t^2. Tentukan:
a. Waktu yang diperlukan roket untuk mencapai ketinggian maksimum.
b. Ketinggian maksimum yang dicapai roket. (Uraian)

Kunci Jawaban: Fungsi ketinggian adalah h(t) = -5t^2 + 40t.
Ini adalah fungsi kuadrat dengan a = -5, b = 40, c = 0.
a. Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum (t_puncak):
t_puncak = -b / (2a) = -40 / (2*(-5)) = -40 / -10 = 4 detik.
b. Ketinggian maksimum (h_puncak):
h_puncak = h(4) = 40(4) – 5(4)^2 = 160 – 5(16) = 160 – 80 = 80 meter.
Jadi, roket mencapai ketinggian maksimum 80 meter setelah 4 detik.

31. Cocokkan persamaan fungsi kuadrat dengan nilai diskriminannya yang benar. Kolom A adalah persamaan fungsi kuadrat, Kolom B adalah nilai diskriminan.
Kolom A: 1. x^2 – 4x + 4 = 0, 2. x^2 – 5x + 6 = 0, 3. x^2 + 2x + 5 = 0
Kolom B: a. -16, b. 1, c. 4 (Mencocokkan)

• 1. x^2 – 4x + 4 = 0
• 2. x^2 – 5x + 6 = 0
• 3. x^2 + 2x + 5 = 0
• a. -16
• b. 0
• c. 1

Kunci Jawaban: 1-b, 2-c, 3-a

32. Cocokkan fungsi kuadrat dengan karakteristik grafiknya yang sesuai. Kolom A adalah fungsi kuadrat, Kolom B adalah karakteristik grafiknya.
Kolom A: 1. y = x^2 + 2x + 3, 2. y = -x^2 + 4x – 1, 3. y = 2x^2 – 8x + 8
Kolom B: a. Terbuka ke bawah, titik puncak di (2, 3), b. Terbuka ke atas, menyinggung sumbu X di (2, 0), c. Terbuka ke atas, tidak memotong sumbu X (Mencocokkan)

• 1. y = x^2 + 2x + 3
• 2. y = -x^2 + 4x – 1
• 3. y = 2x^2 – 8x + 8
• a. Terbuka ke bawah, titik puncak di (2, 3)
• b. Terbuka ke atas, menyinggung sumbu X di (2, 0)
• c. Terbuka ke atas, tidak memotong sumbu X

Kunci Jawaban: 1-c, 2-a, 3-b