Latihan Soal Kalkulus 1 Terlengkap: Pilihan Ganda, Esai, dan Lainnya

1. Nilai dari $lim_{x o 2} (3x^2 – 5x + 2)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

Kunci Jawaban: 4

2. Nilai dari $lim_{x o 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• 0
• 3
• 6
• 9
• Tak terdefinisi

Kunci Jawaban: 6

3. Fungsi $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ tidak kontinu di $x$ = … (Pilihan Ganda)

• -1
• 0
• 1
• 2
• 3

Kunci Jawaban: 2

4. Turunan pertama dari $f(x) = 4x^3 – 2x^2 + 7x – 1$ adalah $f'(x)$ = … (Pilihan Ganda)

• $12x^2 – 4x + 7$
• $12x^2 – 4x + 7x$
• $4x^2 – 2x + 7$
• $12x^3 – 4x^2 + 7x$
• $12x^2 – 4x$

Kunci Jawaban: $12x^2 – 4x + 7$

5. Jika $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$, maka $f'(x)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $6x^2+2x-6$
• $2x^2+2x-6$
• $2x^2-6$
• $6x^2-6$
• $4x+1$

Kunci Jawaban: $6x^2+2x-6$

6. Turunan dari $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ adalah $f'(x)$ = … (Pilihan Ganda)

• $\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$
• $\frac{x^2+x}{(x+1)^2}$
• $\frac{2x}{(x+1)^2}$
• $\frac{x^2}{(x+1)^2}$
• $\frac{x^2-2x}{(x+1)^2}$

Kunci Jawaban: $\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$

7. Jika $y = (3x^2 – 2x)^4$, maka $\frac{dy}{dx}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $4(3x^2-2x)^3$
• $(6x-2)(3x^2-2x)^3$
• $4(6x-2)(3x^2-2x)^3$
• $(3x^2-2x)^3$
• $12x^2-8x$

Kunci Jawaban: $4(6x-2)(3x^2-2x)^3$

8. Jika $x^2 + y^2 = 25$, maka $\frac{dy}{dx}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $-\frac{x}{y}$
• $\frac{x}{y}$
• $-\frac{y}{x}$
• $\frac{y}{x}$
• $2x+2y$

Kunci Jawaban: $-\frac{x}{y}$

9. Jika $f(x) = x^4 – 3x^2 + 5$, maka turunan kedua $f”(x)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $4x^3-6x$
• $12x^2-6$
• $x^4-3x^2$
• $12x^2$
• $4x^3-6$

Kunci Jawaban: $12x^2-6$

10. Persamaan garis singgung kurva $y = x^2 – 3x + 2$ di titik (1, 0) adalah… (Pilihan Ganda)

• $y = -x+1$
• $y = x-1$
• $y = -x$
• $y = x$
• $y = 2x-2$

Kunci Jawaban: $y = -x+1$

11. Titik kritis dari fungsi $f(x) = x^3 – 6x^2 + 5$ adalah $x$ = … (Pilihan Ganda)

• 0 dan 2
• 0 dan 4
• 0 dan 6
• 2 dan 4
• 2 dan 6

Kunci Jawaban: 0 dan 4

12. Interval di mana fungsi $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$ naik adalah… (Pilihan Ganda)

• $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$
• $(0, 2)$
• $(- \infty, 0)$
• $(2, \infty)$
• $(- \infty, \infty)$

Kunci Jawaban: $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

13. Interval di mana fungsi $f(x) = x^4 – 4x^3$ cekung ke atas adalah… (Pilihan Ganda)

• $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$
• $(0, 2)$
• $(- \infty, 0)$
• $(2, \infty)$
• $(- \infty, \infty)$

Kunci Jawaban: $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

14. Bilangan positif $x$ yang meminimalkan $f(x) = x + \frac{16}{x}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• 1
• 2
• 3
• 4
• 8

Kunci Jawaban: 4

15. Sebuah tangga sepanjang 10 m disandarkan pada tembok. Ujung bawah tangga ditarik menjauhi tembok dengan kecepatan 0,5 m/s. Seberapa cepat ujung atas tangga bergerak turun saat ujung bawah tangga berjarak 6 m dari tembok? (Pilihan Ganda)

• 0,375 m/s
• 0,4 m/s
• 0,6 m/s
• 0,8 m/s
• 1 m/s

Kunci Jawaban: 0,375 m/s

16. Anti-turunan dari $f(x) = 3x^2 – 4x + 5$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $x^3 – 2x^2 + 5x + C$
• $6x – 4 + C$
• $3x^3 – 4x^2 + 5x + C$
• $x^3 – 4x^2 + 5x + C$
• $x^3 – 2x^2 + 5 + C$

Kunci Jawaban: $x^3 – 2x^2 + 5x + C$

17. Hasil dari $\int (4x^3 – 2x + 1) dx$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $x^4 – x^2 + x + C$
• $12x^2 – 2 + C$
• $x^4 – x^2 + C$
• $4x^4 – 2x^2 + x + C$
• $x^4 – 2x^2 + x + C$

Kunci Jawaban: $x^4 – x^2 + x + C$

18. Jika $u = 2x+1$, maka $\int (2x+1)^3 dx$ dapat diselesaikan dengan substitusi menjadi… (Pilihan Ganda)

• $\int u^3 du$
• $\frac{1}{2}\int u^3 du$
• $2\int u^3 du$
• $\int (u)^3 dx$
• $\int \frac{u^3}{2x} du$

Kunci Jawaban: $\frac{1}{2}\int u^3 du$

19. Nilai dari $\int_0^1 (x^2 + 1) dx$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $\frac{1}{3}$
• $\frac{2}{3}$
• $\frac{4}{3}$
• $\frac{5}{3}$
• 2

Kunci Jawaban: $\frac{4}{3}$

20. Jika $F(x) = \int_1^x \sqrt{t^2+1} dt$, maka $F'(x)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $\sqrt{x^2+1}$
• $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
• $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$
• $0$
• $\sqrt{t^2+1}$

Kunci Jawaban: $\sqrt{x^2+1}$

21. Nilai dari $lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 – 3x + 1}{x^2 + 5x – 4}$ adalah _____. (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 2

22. Jika $f(x) = \sin(x)$, maka $f'(x)$ adalah _____. (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: $\cos(x)$

23. Titik belok (inflection point) dari fungsi $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x – 1$ terjadi pada $x$ = _____. (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 1

24. Hasil dari $\int \sec^2 x \, dx$ adalah _____. (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: $\tan x + C$

25. Nilai dari $\int_{-1}^1 (x^3 – x) dx$ adalah _____. (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: 0

26. Gunakan definisi limit ($\epsilon-\delta$) untuk membuktikan bahwa $lim_{x \to 2} (3x – 1) = 5$. (Uraian)

Kunci Jawaban: Untuk setiap $\epsilon > 0$, kita perlu mencari $\delta > 0$ sedemikian rupa sehingga jika $0 < |x - 2| < \delta$, maka $|(3x - 1) - 5| < \epsilon$. Kita mulai dengan $|(3x - 1) - 5| = |3x - 6| = |3(x - 2)| = 3|x - 2|$. Kita ingin $3|x - 2| < \epsilon$. Ini berarti $|x - 2| < \frac{\epsilon}{3}$. Jadi, kita dapat memilih $\delta = \frac{\epsilon}{3}$. Dengan demikian, jika $0 < |x - 2| < \delta = \frac{\epsilon}{3}$, maka $|(3x - 1) - 5| = 3|x - 2| < 3(\frac{\epsilon}{3}) = \epsilon$. Terbukti $lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$.

27. Menggunakan definisi turunan $f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$, tentukan turunan dari $f(x) = x^2 + 3x$. (Uraian)

Kunci Jawaban: $f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^2 + 3(x+h)) – (x^2 + 3x)}{h}$ $= lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2 + 3x + 3h) – (x^2 + 3x)}{h}$ $= lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 + 3h}{h}$ $= lim_{h \to 0} (2x + h + 3)$ $= 2x + 0 + 3 = 2x + 3$. Jadi, $f'(x) = 2x + 3$.

28. Diberikan fungsi $f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1$. Tentukan: a. Titik-titik kritis. b. Interval fungsi naik dan turun. c. Titik belok dan interval cekung ke atas/bawah. (Uraian)

Kunci Jawaban: a. Titik-titik kritis: $f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Set $f'(x)=0 \implies x=1$ atau $x=3$. Titik kritis: $(1, f(1)) = (1, 5)$ dan $(3, f(3)) = (3, 1)$. b. Interval fungsi naik dan turun: $f'(x) > 0$ (naik) jika $x < 1$ atau $x > 3$. Interval naik: $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. $f'(x) < 0$ (turun) jika $1 < x < 3$. Interval turun: $(1, 3)$. c. Titik belok dan interval cekung ke atas/bawah: $f''(x) = 6x - 12 = 6(x-2)$. Set $f''(x)=0 \implies x=2$. Titik belok: $(2, f(2)) = (2, 3)$. $f''(x) > 0$ (cekung ke atas) jika $x > 2$. Interval cekung ke atas: $(2, \infty)$. $f”(x) < 0$ (cekung ke bawah) jika $x < 2$. Interval cekung ke bawah: $(-\infty, 2)$.

29. Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari selembar karton persegi berukuran 12 cm x 12 cm dengan memotong persegi-persegi kecil di setiap sudutnya dan melipat sisinya ke atas. Tentukan ukuran sisi persegi yang harus dipotong agar volume kotak maksimum. (Uraian)

Kunci Jawaban: Misalkan $x$ adalah panjang sisi persegi yang dipotong dari setiap sudut. Maka, panjang alas kotak adalah $12-2x$, lebar alas kotak adalah $12-2x$, dan tinggi kotak adalah $x$. Volume kotak $V(x) = (12-2x)(12-2x)x = 4x^3 – 48x^2 + 144x$. Domain yang mungkin untuk $x$ adalah $0 < x < 6$. Untuk mencari volume maksimum, cari turunan pertama dan setel sama dengan nol: $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144$. Set $V'(x)=0 \implies 12(x-2)(x-6) = 0$. Didapatkan $x=2$ atau $x=6$. Karena $x \in (0,6)$, maka $x=2$ adalah titik kritis yang relevan. Gunakan uji turunan kedua: $V''(x) = 24x - 96$. $V''(2) = -48 < 0$. Ini menunjukkan $x=2$ menghasilkan volume maksimum. Jadi, ukuran sisi persegi yang harus dipotong adalah 2 cm.

30. Sebuah pesawat terbang melaju horizontal pada ketinggian 3 km dengan kecepatan 480 km/jam. Pesawat tersebut melintasi tepat di atas stasiun radar. Berapa laju perubahan jarak antara pesawat dan stasiun radar ketika jarak antara pesawat dan stasiun radar adalah 5 km? (Uraian)

Kunci Jawaban: Misalkan $x$ adalah jarak horizontal pesawat dari titik di atas stasiun radar di permukaan tanah, $h$ adalah ketinggian pesawat (konstan 3 km), dan $s$ adalah jarak antara pesawat dan stasiun radar. Dari teorema Pythagoras, $x^2 + h^2 = s^2 \implies x^2 + 3^2 = s^2 \implies x^2 + 9 = s^2$. Diberikan $\frac{dx}{dt} = 480$ km/jam. Kita ingin mencari $\frac{ds}{dt}$ ketika $s=5$ km. Ketika $s=5$, $x^2 + 9 = 5^2 \implies x^2 + 9 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x=4$ km. Diferensiasikan $x^2 + 9 = s^2$ terhadap waktu $t$: $2x \frac{dx}{dt} + 0 = 2s \frac{ds}{dt} \implies x \frac{dx}{dt} = s \frac{ds}{dt}$. Substitusikan nilai yang diketahui: $4(480) = 5 \frac{ds}{dt} \implies 1920 = 5 \frac{ds}{dt} \implies \frac{ds}{dt} = 384$ km/jam. Jadi, laju perubahan jarak antara pesawat dan stasiun radar adalah 384 km/jam.

31. Cocokkan fungsi-fungsi berikut dengan turunannya yang tepat: A. $f(x) = x^5$ B. $f(x) = \sin(x)$ C. $f(x) = e^{2x}$ D. $f(x) = \ln(x)$ Pilihan Turunan: (1) $\cos(x)$ (2) $2e^{2x}$ (3) $5x^4$ (4) $1/x$ (Mencocokkan)

Kunci Jawaban: A – (3) $5x^4$, B – (1) $\cos(x)$, C – (2) $2e^{2x}$, D – (4) $1/x$

32. Cocokkan integral tak tentu berikut dengan hasil integralnya yang tepat: A. $\int x^2 dx$ B. $\int e^x dx$ C. $\int \frac{1}{x} dx$ D. $\int \cos(x) dx$ Pilihan Hasil Integral: (1) $e^x + C$ (2) $\frac{1}{3}x^3 + C$ (3) $\ln|x| + C$ (4) $\sin(x) + C$ (Mencocokkan)

Kunci Jawaban: A – (2) $\frac{1}{3}x^3 + C$, B – (1) $e^x + C$, C – (3) $\ln|x| + C$, D – (4) $\sin(x) + C$