Tanda seru (!) dalam matematika adalah simbol faktorial, sebuah operasi penting yang menjadi dasar dalam perhitungan permutasi dan kombinasi. Memahami konsep faktorial sangat krusial untuk memecahkan masalah probabilitas, statistik, dan berbagai aplikasi matematika diskrit. Artikel ini menyajikan kumpulan soal pilihan ganda, isian singkat, esai, dan menjodohkan yang dirancang untuk menguji pemahaman Anda tentang faktorial, permutasi (susunan objek dengan memperhatikan urutan), dan kombinasi (pemilihan objek tanpa memperhatikan urutan). Dari soal-soal dasar hingga aplikasi yang lebih kompleks, Anda akan diajak untuk mengasah kemampuan analitis dan komputasi Anda. Persiapkan diri Anda untuk menaklukkan setiap tantangan dan kuasai materi penting ini agar siap menghadapi ujian dan aplikasi praktis di dunia nyata.
Contoh Soal Kumpulan Soal Tanda Seru: Latihan Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi
A. Pilihan Ganda
-
Soal: Berapakah nilai dari 5!?
- A) 120
- B) 25
- C) 100
- D) 50
Jawaban: A) 120
Penjelasan: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. -
Soal: Bentuk sederhana dari 8! / 6! adalah…
- A) 2!
- B) 48
- C) 56
- D) 8
Jawaban: C) 56
Penjelasan: 8! / 6! = (8 × 7 × 6!) / 6! = 8 × 7 = 56. -
Soal: Nilai dari 0! adalah…
- A) 0
- B) 1
- C) Tidak terdefinisi
- D) 10
Jawaban: B) 1
Penjelasan: Secara definisi, nilai dari 0! adalah 1. -
Soal: Berapa banyak cara menyusun 3 buku yang berbeda di rak buku?
- A) 3
- B) 6
- C) 9
- D) 1
Jawaban: B) 6
Penjelasan: Ini adalah permutasi dari 3 objek, yaitu 3! = 3 × 2 × 1 = 6. -
Soal: Jika n! = 720, maka nilai n adalah…
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 7
Jawaban: C) 6
Penjelasan: 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. -
Soal: Sebuah sandi terdiri dari 4 digit angka berbeda. Jika angka yang tersedia adalah 1, 2, 3, 4, 5, berapa banyak sandi yang bisa dibuat?
- A) 120
- B) 24
- C) 60
- D) 360
Jawaban: A) 120
Penjelasan: Ini adalah permutasi P(5, 4) = 5! / (5-4)! = 5! / 1! = 120. -
Soal: Berapa banyak cara memilih 2 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua dan wakil ketua?
- A) 10
- B) 20
- C) 5
- D) 25
Jawaban: B) 20
Penjelasan: Ini adalah permutasi karena urutan penting (ketua dan wakil ketua adalah posisi berbeda). P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 × 4 = 20. -
Soal: Berapa banyak cara memilih 3 siswa dari 7 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba tanpa memperhatikan urutan?
- A) 35
- B) 210
- C) 70
- D) 105
Jawaban: A) 35
Penjelasan: Ini adalah kombinasi karena urutan tidak penting. C(7, 3) = 7! / (3! × (7-3)!) = 7! / (3! × 4!) = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 35. -
Soal: Bentuk dari (n+1)! / n! adalah…
- A) n
- B) n+1
- C) 1/n
- D) n-1
Jawaban: B) n+1
Penjelasan: (n+1)! / n! = (n+1) × n! / n! = n+1. -
Soal: Hitunglah nilai dari P(6, 3).
- A) 120
- B) 720
- C) 60
- D) 360
Jawaban: A) 120
Penjelasan: P(6, 3) = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = 6 × 5 × 4 = 120. -
Soal: Hitunglah nilai dari C(8, 2).
- A) 16
- B) 28
- C) 56
- D) 4
Jawaban: B) 28
Penjelasan: C(8, 2) = 8! / (2! × (8-2)!) = 8! / (2! × 6!) = (8 × 7) / (2 × 1) = 28. -
Soal: Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “MAKAN”?
- A) 120
- B) 60
- C) 30
- D) 24
Jawaban: B) 60
Penjelasan: Kata “MAKAN” memiliki 5 huruf, dengan huruf ‘A’ berulang 2 kali. Jadi, P = 5! / 2! = 120 / 2 = 60. -
Soal: Sebuah komite beranggotakan 4 orang akan dipilih dari 10 orang. Berapa banyak cara pemilihan yang mungkin?
- A) 210
- B) 5040
- C) 120
- D) 720
Jawaban: A) 210
Penjelasan: Ini adalah kombinasi karena urutan tidak penting. C(10, 4) = 10! / (4! × (10-4)!) = 10! / (4! × 6!) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1) = 10 × 3 × 7 = 210. -
Soal: Jika (n-2)! = 24, maka nilai n adalah…
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 7
Jawaban: C) 6
Penjelasan: Kita tahu 4! = 24. Jadi, n-2 = 4, yang berarti n = 6. -
Soal: Berapa banyak bilangan 3 digit berbeda yang bisa dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6?
- A) 120
- B) 216
- C) 720
- D) 60
Jawaban: A) 120
Penjelasan: Ini adalah permutasi P(6, 3) = 6! / (6-3)! = 6! / 3! = 6 × 5 × 4 = 120. -
Soal: Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Berapa banyak cara mengambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng biru?
- A) 30
- B) 10
- C) 15
- D) 60
Jawaban: A) 30
Penjelasan: Memilih 2 merah dari 5: C(5, 2) = 10. Memilih 1 biru dari 3: C(3, 1) = 3. Total cara = C(5, 2) × C(3, 1) = 10 × 3 = 30. -
Soal: Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf dari kata “MATEMATIKA”?
- A) 151200
- B) 10!
- C) 3628800
- D) 120960
Jawaban: A) 151200
Penjelasan: Kata “MATEMATIKA” memiliki 10 huruf. Huruf ‘M’ ada 2, ‘A’ ada 3, ‘T’ ada 2. P = 10! / (2! × 3! × 2!) = 3,628,800 / (2 × 6 × 2) = 3,628,800 / 24 = 151,200. -
Soal: Jika ₙP₂ = 30, maka nilai n adalah…
- A) 5
- B) 6
- C) 7
- D) 8
Jawaban: B) 6
Penjelasan: ₙP₂ = n(n-1). Jadi, n(n-1) = 30. Jika n=6, 6(5) = 30. -
Soal: Berapa banyak diagonal yang dimiliki segi-6?
- A) 6
- B) 9
- C) 12
- D) 15
Jawaban: B) 9
Penjelasan: Jumlah diagonal segi-n adalah C(n, 2) – n. Untuk segi-6: C(6, 2) – 6 = (6 × 5 / 2) – 6 = 15 – 6 = 9. -
Soal: Jika ₙC₂ = 15, maka nilai n adalah…
- A) 5
- B) 6
- C) 7
- D) 8
Jawaban: B) 6
Penjelasan: ₙC₂ = n(n-1)/2. Jadi, n(n-1)/2 = 15 => n(n-1) = 30. Jika n=6, 6(5) = 30.
B. Isian Singkat
-
Soal: Definisikan apa itu faktorial dalam matematika.Jawaban: Faktorial dari bilangan bulat non-negatif n, dilambangkan dengan n!, adalah hasil perkalian semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan n. Contoh: 4! = 4 × 3 × 2 × 1.
-
Soal: Hitunglah nilai dari (7-3)!Jawaban: (7-3)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
-
Soal: Tuliskan rumus umum untuk permutasi n objek yang diambil r pada satu waktu, dilambangkan sebagai ₙPᵣ.Jawaban: ₙPᵣ = n! / (n-r)!
-
Soal: Tuliskan rumus umum untuk kombinasi n objek yang diambil r pada satu waktu, dilambangkan sebagai ₙCᵣ.Jawaban: ₙCᵣ = n! / (r! × (n-r)!)
-
Soal: Berapakah nilai dari 10! / (8! × 2!)?Jawaban: 10! / (8! × 2!) = (10 × 9 × 8!) / (8! × 2 × 1) = (10 × 9) / 2 = 90 / 2 = 45.
C. Menjodohkan
-
Soal: Pasangkan ekspresi faktorial dengan nilainya yang benar.
Premis A Premis B A) 0! ??? B) 4! ??? C) 6! ??? D) 7! ??? Kunci Jawaban (Pasangan):- A) 0! ↔ 1
- B) 4! ↔ 24
- C) 6! ↔ 720
- D) 7! ↔ 5040
-
Soal: Pasangkan istilah matematika dengan deskripsi yang tepat.
Premis A Premis B A) Permutasi ??? B) Kombinasi ??? C) Faktorial ??? D) Permutasi Siklis ??? Kunci Jawaban (Pasangan):- A) Permutasi ↔ Urutan penting
- B) Kombinasi ↔ Urutan tidak penting
- C) Faktorial ↔ Hasil kali bilangan bulat positif
- D) Permutasi Siklis ↔ Pengaturan objek melingkar
D. Uraian
-
Soal: Jelaskan perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi. Berikan masing-masing satu contoh aplikasi dalam kehidupan sehari-hari.Jawaban: Perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi terletak pada apakah urutan pemilihan atau penyusunan objek itu penting atau tidak. Permutasi: Urutan penting. Ini adalah pengaturan objek di mana urutan objek yang dipilih memiliki makna. Contoh: Memilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari sekelompok orang (posisi berbeda, urutan penting). Kombinasi: Urutan tidak penting. Ini adalah pemilihan objek di mana urutan objek yang dipilih tidak memiliki makna. Contoh: Memilih 3 anggota tim dari sekelompok orang untuk suatu proyek (semua anggota memiliki peran yang sama, urutan tidak penting).
-
Soal: Mengapa 0! didefinisikan sebagai 1? Jelaskan secara singkat salah satu alasan matematis di balik definisi ini.Jawaban: 0! didefinisikan sebagai 1 untuk menjaga konsistensi rumus dan sifat-sifat faktorial, permutasi, dan kombinasi. Salah satu alasannya adalah dari rumus n! = n × (n-1)!. Jika kita substitusikan n=1, kita mendapatkan 1! = 1 × (1-1)! = 1 × 0!. Karena 1! = 1, maka haruslah 0! = 1 agar persamaan ini konsisten. Alasan lain adalah dalam konteks kombinasi, ada 1 cara untuk memilih 0 item dari n item (yaitu tidak memilih apa-apa), sehingga ₙC₀ = 1. Menggunakan rumus kombinasi ₙC₀ = n! / (0! × (n-0)!) = n! / (0! × n!), ini akan menjadi 1 jika 0! = 1.
-
Soal: Dalam sebuah lomba lari, ada 8 peserta. Berapa banyak cara berbeda juara 1, 2, dan 3 dapat ditentukan? Jelaskan langkah-langkah perhitungannya.Jawaban: Ini adalah masalah permutasi karena urutan (juara 1, 2, dan 3) sangat penting. Jumlah total peserta (n) = 8. Jumlah posisi yang akan diisi (r) = 3 (juara 1, 2, 3). Rumus yang digunakan adalah ₙPᵣ = n! / (n-r)!. Substitusi nilai: ₈P₃ = 8! / (8-3)! = 8! / 5!. Perhitungan: 8! / 5! = (8 × 7 × 6 × 5!) / 5! = 8 × 7 × 6 = 336. Jadi, ada 336 cara berbeda juara 1, 2, dan 3 dapat ditentukan.
-
Soal: Seorang siswa harus menjawab 8 dari 10 soal ujian. Berapa banyak cara siswa tersebut dapat memilih soal-soal tersebut? Jelaskan apakah ini masalah permutasi atau kombinasi dan mengapa.Jawaban: Ini adalah masalah kombinasi. Alasan: Urutan soal yang dipilih tidak penting. Yang penting adalah kumpulan 8 soal yang dipilih, bukan urutan dia memilihnya. Jumlah total soal (n) = 10. Jumlah soal yang harus dijawab (r) = 8. Rumus yang digunakan adalah ₙCᵣ = n! / (r! × (n-r)!). Substitusi nilai: ₁₀C₈ = 10! / (8! × (10-8)!) = 10! / (8! × 2!). Perhitungan: 10! / (8! × 2!) = (10 × 9 × 8!) / (8! × 2 × 1) = (10 × 9) / 2 = 90 / 2 = 45. Jadi, ada 45 cara berbeda siswa tersebut dapat memilih soal-soal tersebut.
-
Soal: Sebuah restoran menawarkan 4 jenis sup, 5 jenis hidangan utama, dan 3 jenis makanan penutup. Berapa banyak pilihan menu lengkap (sup, hidangan utama, dan makanan penutup) yang berbeda yang bisa dibuat pelanggan? Jelaskan prinsip dasar yang digunakan dalam perhitungan ini.Jawaban: Untuk menghitung total pilihan menu lengkap, kita menggunakan Prinsip Perkalian (Fundamental Counting Principle). Prinsip Perkalian menyatakan bahwa jika ada ‘m’ cara untuk melakukan suatu tugas pertama dan ‘n’ cara untuk melakukan suatu tugas kedua, maka ada m × n cara untuk melakukan kedua tugas tersebut secara berurutan. Prinsip ini dapat diperluas untuk lebih dari dua tugas. Jumlah pilihan sup = 4. Jumlah pilihan hidangan utama = 5. Jumlah pilihan makanan penutup = 3. Total pilihan menu lengkap = Jumlah pilihan sup × Jumlah pilihan hidangan utama × Jumlah pilihan makanan penutup. Total pilihan = 4 × 5 × 3 = 60. Jadi, ada 60 pilihan menu lengkap yang berbeda yang bisa dibuat pelanggan.