Panduan komprehensif dan latihan ujian ini dirancang untuk membantu Anda menguasai “suku banyak” atau polinomial, topik fundamental dalam matematika tingkat SMA. Memahami polinomial sangat penting untuk konsep aljabar lanjutan, kalkulus, dan berbagai aplikasi ilmiah. Artikel ini menguraikan konsep polinomial yang kompleks menjadi bagian-bagian yang mudah dipahami, menawarkan pembahasan mendalam tentang definisi, operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, serta teorema penting seperti Teorema Sisa dan Teorema Faktor. Kami juga menjelajahi teknik untuk menemukan akar-akar persamaan polinomial dan membuat sketsa grafiknya. Dengan total 32 pertanyaan beragam, termasuk 20 pilihan ganda, 5 isian singkat, 5 esai, dan 2 soal menjodohkan, sumber daya ini menyediakan banyak kesempatan untuk menguji pengetahuan Anda dan mengasah keterampilan pemecahan masalah Anda. Baik Anda sedang mempersiapkan ujian atau hanya ingin memperkuat pemahaman Anda, kuis “Soal Suku Banyak” ini adalah sumber daya utama Anda. Tingkatkan pemikiran analitis dan kemahiran matematika Anda hari ini!
1. Berapakah derajat dari suku banyak P(x) = 5x^4 – 2x^3 + 7x – 1?
- 1
- 2
- 3
- 4
Answer/Key: 4
2. Jika P(x) = 3x^2 – 2x + 5 dan Q(x) = x^2 + 4x – 3, maka P(x) + Q(x) adalah…
- 2x^2 – 6x + 8
- 4x^2 + 2x + 2
- 4x^2 – 2x + 2
- 3x^4 + 8x^2 – 15
Answer/Key: 4x^2 + 2x + 2
3. Hasil dari perkalian (x-2)(x^2 + 2x + 4) adalah…
- x^3 + 8
- x^3 – 8
- x^3 – 4x^2 + 8x – 8
- x^3 + 4x^2 – 8x – 8
Answer/Key: x^3 – 8
4. Sisa pembagian x^3 – 2x^2 + 3x – 1 oleh (x-1) adalah…
- -1
- 0
- 1
- 2
Answer/Key: 1
5. Jika (x+2) adalah faktor dari P(x) = x^3 + kx^2 – x – 2, maka nilai k adalah…
- -2
- -1
- 1
- 2
Answer/Key: 2
6. Koefisien dari x^2 pada suku banyak (2x-1)(x+3)(x-2) adalah…
- 5
- 1
- -1
- -7
Answer/Key: -7
7. Jika P(x) = x^4 – 5x^2 + 6 dibagi oleh (x-a), maka sisa pembagiannya adalah P(a). Pernyataan ini dikenal sebagai…
- Teorema Faktor
- Teorema Vieta
- Teorema Sisa
- Metode Horner
Answer/Key: Teorema Sisa
8. Salah satu akar dari persamaan x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 adalah 1. Jumlah akar-akar lainnya adalah…
- 3
- 4
- 5
- 6
Answer/Key: 5
9. Jika P(x) = 2x^3 – x^2 + 5x – 4, maka nilai P(2) adalah…
- 10
- 12
- 16
- 18
Answer/Key: 18
10. Suku banyak yang akar-akarnya adalah -1, 2, dan 3 adalah…
- x^3 + 4x^2 + x – 6
- x^3 – 4x^2 + x + 6
- x^3 – 4x^2 – x + 6
- x^3 + 4x^2 – x – 6
Answer/Key: x^3 – 4x^2 + x + 6
11. Jika P(x) = (x^2 – 4)(x+1) + (ax+b) memiliki sisa 3x-2 saat dibagi x^2-4, maka nilai a dan b adalah…
- a=1, b=3
- a=3, b=2
- a=3, b=-2
- a=-2, b=3
Answer/Key: a=3, b=-2
12. Berapakah hasil bagi dari (2x^3 – x^2 + 3x – 1) dibagi (x-2)?
- 2x^2 + 3x + 9
- 2x^2 – 5x + 13
- 2x^2 + 5x + 13
- 2x^2 – 3x + 9
Answer/Key: 2x^2 + 3x + 9
13. Jika suku banyak 2x^3 + ax^2 + bx – 2 habis dibagi oleh (x-1) dan (x+2), maka nilai a+b adalah…
- -1
- 0
- 1
- 2
Answer/Key: 1
14. Untuk P(x) = x^3 – 2x^2 + ax + 6, jika P(2) = 10, maka nilai a adalah…
- 2
- 3
- 4
- 5
Answer/Key: 4
15. Suku banyak berderajat 3 yang memiliki akar-akar x=1, x=-2, dan x=3 adalah…
- x^3 + 2x^2 – 5x – 6
- x^3 – 2x^2 – 5x + 6
- x^3 + 2x^2 + 5x + 6
- x^3 – 2x^2 + 5x – 6
Answer/Key: x^3 – 2x^2 – 5x + 6
16. Jika P(x) dan Q(x) adalah suku banyak dengan derajat P(x) = 3 dan derajat Q(x) = 2, maka derajat dari P(x) * Q(x) adalah…
- 6
- 5
- 3
- 2
Answer/Key: 5
17. Apa syarat agar (x-k) menjadi faktor dari suku banyak P(x)?
- P(k) > 0
- P(k) < 0
- P(k) = 0
- P(k) = 1
Answer/Key: P(k) = 0
18. Jika suku banyak 2x^3 – 3x^2 + ax + b dibagi (x-1) sisanya 1 dan dibagi (x+2) sisanya -36, maka nilai dari a+b adalah…
- 1
- 2
- 3
- 4
Answer/Key: 4
19. Konstanta bebas dari suku banyak (x^2+2x-3)(2x-1) adalah…
- -3
- 1
- 2
- 3
Answer/Key: 3
20. Jumlah akar-akar dari persamaan 2x^3 – x^2 – 7x + 6 = 0 adalah…
- -1/2
- 1/2
- 7/2
- -7/2
Answer/Key: 1/2
21. Sebutkan dan jelaskan secara singkat dua metode pembagian suku banyak!
Answer/Key: 1. Pembagian Bersusun: Mirip pembagian bilangan biasa, mengurangkan suku-suku dari derajat tertinggi. 2. Metode Horner (Pembagian Sintetis): Lebih cepat untuk pembagi berbentuk (x-k), hanya melibatkan koefisien.
22. Apa yang dimaksud dengan ‘akar ganda’ dalam konteks suku banyak?
Answer/Key: Akar ganda adalah akar suatu persamaan polinomial yang muncul lebih dari satu kali dalam faktorisasi polinomial tersebut. Misalnya, jika (x-a)^2 adalah faktor, maka ‘a’ adalah akar ganda.
23. Jika P(x) = x^4 – 3x^3 + 2x – 5, tentukan nilai P(-2).
Answer/Key: P(-2) = (-2)^4 – 3(-2)^3 + 2(-2) – 5 = 16 – 3(-8) – 4 – 5 = 16 + 24 – 4 – 5 = 31.
24. Bagaimana hubungan antara derajat suatu suku banyak dengan jumlah maksimum akar realnya?
Answer/Key: Suku banyak berderajat ‘n’ memiliki paling banyak ‘n’ akar real.
25. Tuliskan Teorema Sisa untuk pembagian suku banyak P(x) oleh (ax-b).
Answer/Key: Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (ax-b), maka sisanya adalah P(b/a).
26. Jelaskan langkah-langkah pembagian suku banyak P(x) oleh (x-k) menggunakan metode Horner dan berikan contohnya.
Answer/Key: Langkah-langkah metode Horner: 1. Tuliskan koefisien-koefisien suku banyak P(x) secara berurutan dari derajat tertinggi hingga konstanta. Jika ada pangkat yang tidak ada, tuliskan koefisien 0. 2. Tuliskan nilai ‘k’ (dari pembagi (x-k)) di sebelah kiri. 3. Turunkan koefisien pertama. 4. Kalikan koefisien yang diturunkan dengan ‘k’, lalu jumlahkan dengan koefisien berikutnya. Ulangi proses ini hingga semua koefisien terproses. 5. Angka terakhir adalah sisa pembagian, dan angka-angka sebelumnya (dari kiri ke kanan) adalah koefisien hasil bagi, dimulai dari derajat yang satu lebih rendah dari P(x). Contoh: (x^3 – 2x^2 + 3x – 1) dibagi (x-1). k=1. Koefisien: 1 -2 3 -1. 1 | 1 -2 3 -1 | 1 | 1 -1 2 —– | 1 -1 2 1 Hasil bagi: x^2 – x + 2. Sisa: 1.
27. Buktikan Teorema Faktor menggunakan Teorema Sisa.
Answer/Key: Teorema Sisa menyatakan bahwa jika suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x-k), maka sisanya adalah P(k). Teorema Faktor menyatakan bahwa (x-k) adalah faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0. Untuk membuktikan Teorema Faktor menggunakan Teorema Sisa: ‘Jika’ P(k) = 0: Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian P(x) oleh (x-k) adalah P(k). Jika P(k)=0, maka sisanya adalah 0. Ini berarti P(x) habis dibagi oleh (x-k), sehingga (x-k) adalah faktor dari P(x). ‘Hanya jika’ (x-k) adalah faktor dari P(x): Jika (x-k) adalah faktor dari P(x), berarti P(x) habis dibagi (x-k) atau dengan kata lain, sisa pembagian P(x) oleh (x-k) adalah 0. Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian tersebut adalah P(k). Jadi, jika sisanya 0, maka P(k) = 0. Dengan demikian, Teorema Faktor terbukti.
28. Bagaimana cara menentukan akar-akar rasional dari suku banyak berderajat tinggi? Jelaskan dengan contoh.
Answer/Key: Untuk menentukan akar-akar rasional dari suku banyak berderajat tinggi P(x) = a_n x^n + … + a_1 x + a_0, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika p/q adalah akar rasional dari P(x), maka ‘p’ haruslah faktor dari konstanta a_0 dan ‘q’ haruslah faktor dari koefisien utama a_n. Langkah-langkahnya: 1. Tentukan semua faktor dari a_0 (konstanta). Ini adalah nilai-nilai ‘p’. 2. Tentukan semua faktor dari a_n (koefisien utama). Ini adalah nilai-nilai ‘q’. 3. Bentuk semua kemungkinan pecahan p/q (positif dan negatif). 4. Uji setiap pecahan p/q menggunakan metode Horner atau substitusi langsung ke P(x). Jika P(p/q) = 0, maka p/q adalah akar rasional. Contoh: P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6. a_0 = -6, faktor p: {+/-1, +/-2, +/-3, +/-6}. a_n = 1, faktor q: {+/-1}. Kemungkinan akar rasional p/q: {+/-1, +/-2, +/-3, +/-6}. Uji P(1) = 1-6+11-6 = 0. Jadi x=1 adalah akar. Kemudian gunakan Horner untuk menemukan faktor kuadrat, lalu cari akar-akar lainnya.
29. Diskusikan hubungan antara derajat suku banyak, jumlah akar, dan bentuk umum grafiknya.
Answer/Key: Derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari variabelnya. Ini memiliki hubungan fundamental dengan jumlah akar dan karakteristik grafiknya. Secara umum, suku banyak berderajat ‘n’ akan memiliki tepat ‘n’ akar (termasuk akar real dan kompleks, serta menghitung multiplisitasnya). Untuk akar real, suku banyak berderajat ‘n’ memiliki paling banyak ‘n’ akar real. Bentuk umum grafik suku banyak sangat ditentukan oleh derajat dan koefisien utama. Jika derajat ‘n’ genap, dan koefisien utama positif, kedua ujung grafik akan mengarah ke atas (seperti parabola y=x^2). Jika koefisien utama negatif, kedua ujung grafik akan mengarah ke bawah. Grafik dapat memiliki hingga (n-1) titik belok/puncak. Jika derajat ‘n’ ganjil, dan koefisien utama positif, ujung kiri grafik mengarah ke bawah dan ujung kanan mengarah ke atas (seperti y=x^3). Jika koefisien utama negatif, ujung kiri mengarah ke atas dan ujung kanan mengarah ke bawah. Grafik dapat memiliki hingga (n-1) titik belok/puncak. Jumlah akar real suatu polinomial adalah jumlah perpotongan grafiknya dengan sumbu-x.
30. Jika P(x) dibagi (x-a) sisanya S1 dan dibagi (x-b) sisanya S2, bagaimana cara mencari sisa P(x) dibagi (x-a)(x-b)? Jelaskan prosesnya.
Answer/Key: Jika P(x) dibagi oleh (x-a)(x-b), karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya akan berderajat paling tinggi 1. Misalkan sisa pembagian tersebut adalah S(x) = px + q. Menurut algoritma pembagian, P(x) = H(x) . (x-a)(x-b) + (px + q). Dari Teorema Sisa, kita tahu bahwa: 1. P(a) = S1. Substitusikan x=a ke persamaan di atas: P(a) = H(a) . (a-a)(a-b) + (pa + q) = 0 + pa + q. Jadi, pa + q = S1. (Persamaan 1) 2. P(b) = S2. Substitusikan x=b ke persamaan di atas: P(b) = H(b) . (b-a)(b-b) + (pb + q) = 0 + pb + q. Jadi, pb + q = S2. (Persamaan 2) Kita sekarang memiliki sistem persamaan linear dua variabel: (1) pa + q = S1 (2) pb + q = S2 Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini (misalnya dengan eliminasi atau substitusi), kita dapat menemukan nilai ‘p’ dan ‘q’. Setelah ‘p’ dan ‘q’ ditemukan, sisa pembagian P(x) oleh (x-a)(x-b) adalah px + q.
31. Jodohkan istilah-istilah di bawah ini dengan definisi atau penjelasannya yang tepat!
| Polinomial | … | Bentuk aljabar dengan variabel berpangkat bilangan bulat non-negatif dan koefisien bilangan real |
| Derajat Suku Banyak | … | Pangkat tertinggi dari variabel dalam suku banyak |
| Koefisien Utama | … | Koefisien dari suku dengan derajat tertinggi dalam suku banyak |
| Teorema Sisa | … | Jika P(x) dibagi (x-k), sisanya P(k) |
| Akar Suku Banyak | … | Nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 |
Answer/Key: Polinomial: Bentuk aljabar dengan variabel berpangkat bilangan bulat non-negatif dan koefisien bilangan real. Derajat Suku Banyak: Pangkat tertinggi dari variabel dalam suku banyak. Koefisien Utama: Koefisien dari suku dengan derajat tertinggi dalam suku banyak. Teorema Sisa: Jika P(x) dibagi (x-k), sisanya P(k). Akar Suku Banyak: Nilai x yang menyebabkan P(x) = 0.
32. Jodohkan operasi atau konsep suku banyak berikut dengan hasil atau keterangannya yang sesuai!
| (x+1)(x-2) | … | x^2 – x – 2 |
| 2x^2 + 3x – 1 dibagi x | … | Hasil bagi 2x+3, sisa -1 |
| P(x) = x^3 – 2x + 1, P(1) | … | 0 |
| Jika (x-a) adalah faktor P(x) | … | P(a) = 0 |
| Jumlah akar x^2 – 5x + 6 = 0 | … | 5 |
Answer/Key: (x+1)(x-2): x^2 – x – 2. 2x^2 + 3x – 1 dibagi x: Hasil bagi 2x+3, sisa -1. P(x) = x^3 – 2x + 1, P(1): 0. Jika (x-a) adalah faktor P(x): P(a) = 0. Jumlah akar x^2 – 5x + 6 = 0: 5.