Menguasai materi volume benda putar seringkali menjadi tantangan tersendiri dalam pelajaran matematika, khususnya kalkulus. Artikel ini hadir sebagai solusi praktis bagi Anda yang mencari panduan komprehensif. Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika volume benda putar yang dirancang untuk memperdalam pemahaman Anda, mulai dari konsep dasar hingga aplikasi yang lebih kompleks. Setiap contoh soal akan dibahas secara detail, mencakup metode cakram (disk method), metode cincin (washer method), dan metode kulit tabung (shell method), lengkap dengan langkah-langkah penyelesaian yang mudah diikuti dan visualisasi jika diperlukan untuk membantu Anda membayangkan proses putarannya.
Tujuan utama dari kumpulan latihan soal ini adalah untuk membantu siswa SMA, mahasiswa, atau siapa pun yang tertarik dengan kalkulus, agar tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi juga memahami logika di balik setiap metode. Anda akan diajak untuk mengidentifikasi daerah yang diputar, menentukan batas-batas integrasi, dan memilih metode yang paling efisien untuk mendapatkan volume yang akurat. Dengan berlatih menggunakan beragam jenis soal yang kami sajikan, mulai dari benda putar yang terbentuk dari fungsi tunggal hingga fungsi yang dibatasi oleh dua kurva, Anda diharapkan mampu menguasai materi ini dengan percaya diri. Latihan intensif ini akan mempersiapkan Anda menghadapi ujian dengan lebih baik dan meningkatkan kemampuan problem-solving Anda dalam bidang matematika.
Berikut adalah 30 contoh soal tentang volume benda putar, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1, sumbu-x, garis x = 1, dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 116π/15
b. 117π/15
c. 118π/15
d. 119π/15
e. 121π/15
Jawaban: c
2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu-x, dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu-x.
a. 3π
b. 6π
c. 9π
d. 12π
e. 15π
Jawaban: c
3. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x², sumbu-y, dan garis y = 4 diputar mengelilingi sumbu-y. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 4π
b. 6π
c. 8π
d. 16π
e. 32π
Jawaban: c
4. Daerah yang dibatasi oleh y = x + 1, sumbu-x, garis x = 0, dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang dihasilkan adalah…
a. 14π/3
b. 16π/3
c. 18π/3
d. 20π/3
e. 22π/3
Jawaban: b
5. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, garis y = 2, dan sumbu-y diputar mengelilingi sumbu-y, volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 8π/3
b. 10π/3
c. 12π/3
d. 14π/3
e. 16π/3
Jawaban: a
6. Daerah yang dibatasi oleh y = x², y = 2x, diputar mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 32π/15
b. 64π/15
c. 128π/15
d. 256π/15
e. 512π/15
Jawaban: b
7. Tentukan volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh y = √x, sumbu-x, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu-x.
a. 4π
b. 6π
c. 8π
d. 12π
e. 16π
Jawaban: c
8. Daerah yang dibatasi oleh y = x³ dan sumbu-x dari x = 0 sampai x = 1 diputar mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. π/7
b. π/6
c. π/5
d. π/4
e. π/3
Jawaban: a
9. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbu-x, dan garis x = 0 serta x = 1 diputar mengelilingi sumbu-y, volume benda putar yang terbentuk adalah… (Gunakan metode kulit silinder)
a. 7π/3
b. 8π/3
c. 10π/3
d. 11π/3
e. 13π/3
Jawaban: c
10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x², sumbu-x, sumbu-y di kuadran pertama, diputar mengelilingi sumbu-y adalah…
a. 4π
b. 6π
c. 8π
d. 10π
e. 12π
Jawaban: c
11. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x, y = x, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. π/3
b. 2π/3
c. π
d. 4π/3
e. 5π/3
Jawaban: c
12. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah di antara kurva y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu-x.
a. π/30
b. π/15
c. π/10
d. π/6
e. π/5
Jawaban: c
13. Daerah yang dibatasi oleh y = x², y = 0, dan x = 2 diputar mengelilingi garis x = 2. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 8π/15
b. 16π/15
c. 24π/15
d. 32π/15
e. 48π/15
Jawaban: d
14. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 1/x, sumbu-x, x = 1, dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu-x adalah…
a. π/2
b. π
c. 3π/2
d. 2π
e. 5π/2
Jawaban: a
15. Daerah yang dibatasi oleh y = x³ + 1, x = 0, x = 1, dan sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar adalah…
a. 15π/7
b. 17π/7
c. 21π/7
d. 23π/7
e. 25π/7
Jawaban: e
16. Jika daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu-y, volume benda putar yang terbentuk adalah… (Gunakan metode kulit silinder)
a. π/6
b. π/5
c. π/4
d. π/3
e. π/2
Jawaban: a
17. Tentukan volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh y = x² dan garis y = 1 diputar mengelilingi garis y = 1.
a. 8π/15
b. 16π/15
c. 32π/15
d. 64π/15
e. 128π/15
Jawaban: b
18. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 4x – x² dan sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x adalah…
a. 128π/15
b. 256π/15
c. 512π/15
d. 1024π/15
e. 2048π/15
Jawaban: b
19. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = √x, sumbu-y, dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu-y. Volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 16π/5
b. 32π/5
c. 48π/5
d. 64π/5
e. 96π/5
Jawaban: b
20. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = y² dan garis x = 1 diputar mengelilingi garis x = 1, volume benda putar yang terbentuk adalah…
a. 8π/15
b. 16π/15
c. 32π/15
d. 64π/15
e. 128π/15
Jawaban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x, sumbu-x, dan x = 1 diputar mengelilingi sumbu-x adalah …
Jawaban: 4π/3
2. Daerah yang dibatasi oleh y = 1/2 x² dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu-y. Volume benda putar yang dihasilkan adalah …
Jawaban: 8π
3. Tuliskan integral untuk menghitung volume benda putar yang dibentuk oleh daerah yang dibatasi y = x² + 1, y = 10, diputar mengelilingi sumbu-x.
Jawaban: π integral dari -3 sampai 3 ((10)² – (x² + 1)²) dx
4. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x³, y = 0, dari x = 0 sampai x = 2 diputar mengelilingi sumbu-x adalah …
Jawaban: 128π/7
5. Jika daerah yang dibatasi oleh x = y, x = 0, y = 3 diputar mengelilingi sumbu-y, maka volume benda putar yang terbentuk adalah …
Jawaban: 9π
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan perbedaan antara metode cakram (disk method) dan metode cincin (washer method) dalam menghitung volume benda putar, serta kapan masing-masing metode tersebut digunakan.
Jawaban:
Metode cakram digunakan ketika daerah yang diputar bersentuhan langsung dengan sumbu putar di seluruh rentangnya, sehingga tidak ada ‘lubang’ di tengah benda putar. Rumus umumnya adalah V = π ∫ [f(x)]² dx (untuk putaran sumbu-x) atau V = π ∫ [g(y)]² dy (untuk putaran sumbu-y).
Metode cincin digunakan ketika terdapat celah antara daerah yang diputar dan sumbu putar, atau ketika daerah tersebut dibatasi oleh dua kurva yang keduanya tidak menyentuh sumbu putar. Hal ini menghasilkan benda putar dengan ‘lubang’ di tengah (seperti cincin atau piringan berlubang). Rumus umumnya adalah V = π ∫ ([f(x)]² – [g(x)]²) dx (untuk putaran sumbu-x) atau V = π ∫ ([f(y)]² – [g(y)]²) dy (untuk putaran sumbu-y), di mana f(x) atau f(y) adalah jari-jari luar dan g(x) atau g(y) adalah jari-jari dalam.
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu-y.
Jawaban:
Langkah 1: Tentukan titik potong kedua kurva.
x² = 2x
x² – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2.
Untuk putaran sumbu-y, kita perlu menyatakan x dalam y: x = √y dan x = y/2.
Batas integrasi untuk y adalah dari y = 0 sampai y = 2(2) = 4.
Langkah 2: Identifikasi jari-jari luar dan dalam.
Pada interval y dari 0 sampai 4, kurva x = √y berada di sebelah kanan (lebih jauh dari sumbu-y) dibandingkan x = y/2.
Jadi, R(y) = √y dan r(y) = y/2.
Langkah 3: Terapkan metode cincin untuk putaran sumbu-y.
V = π ∫[a, b] ([R(y)]² – [r(y)]²) dy
V = π ∫[0, 4] ( (√y)² – (y/2)² ) dy
V = π ∫[0, 4] ( y – y²/4 ) dy
Langkah 4: Hitung integralnya.
V = π [ ½y² – y³/12 ] dari 0 sampai 4
V = π [ (½(4)² – (4)³/12) – (0) ]
V = π [ (½(16) – 64/12) ]
V = π [ (8 – 16/3) ]
V = π [ (24/3 – 16/3) ]
V = 8π/3
Jadi, volume benda putar adalah 8π/3 satuan kubik.
3. Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah yang dibatasi kurva y = x + 1, sumbu-x, dan garis x = 3, diputar mengelilingi garis y = -1.
Jawaban:
Langkah 1: Identifikasi fungsi dan sumbu putar.
Kurva: y = x + 1. Batas: sumbu-x (y=0) dan x = 3. Sumbu putar: y = -1.
Langkah 2: Tentukan jari-jari luar dan dalam relatif terhadap sumbu putar y = -1.
Jari-jari luar (R) adalah jarak dari kurva terjauh ke sumbu putar: R(x) = (x + 1) – (-1) = x + 2.
Jari-jari dalam (r) adalah jarak dari kurva terdekat (sumbu-x) ke sumbu putar: r(x) = 0 – (-1) = 1.
Batas integrasi adalah dari x = 0 (perpotongan y = x+1 dengan y=0 adalah x=-1, tapi kita juga dibatasi sumbu-x, jadi daerah yang relevan adalah dari x = -1 sampai x = 3) namun soal juga menyebutkan sumbu-x dan garis x=3, sehingga daerah yang dimaksud adalah dari x=-1 sampai x=3. Kita ambil rentang yang dibatasi oleh sumbu-x dan x=3, jadi x dari 0 sampai 3 (jika y=x+1 di atas sumbu-x). Karena y=x+1 selalu di atas y=0 untuk x positif, kita bisa gunakan batas integrasi dari x = 0 sampai x = 3.
Langkah 3: Terapkan metode cincin.
V = π ∫[a, b] ([R(x)]² – [r(x)]²) dx
V = π ∫[0, 3] ( (x + 2)² – (1)² ) dx
V = π ∫[0, 3] ( x² + 4x + 4 – 1 ) dx
V = π ∫[0, 3] ( x² + 4x + 3 ) dx
Langkah 4: Hitung integralnya.
V = π [ ⅓x³ + 2x² + 3x ] dari 0 sampai 3
V = π [ (⅓(3)³ + 2(3)² + 3(3)) – (0) ]
V = π [ (⅓(27) + 2(9) + 9) ]
V = π [ (9 + 18 + 9) ]
V = 36π
Jadi, volume benda putar adalah 36π satuan kubik.
4. Jelaskan kapan lebih cocok menggunakan metode kulit silinder (shell method) daripada metode cakram/cincin (disk/washer method) untuk menghitung volume benda putar. Berikan contoh skenario.
Jawaban:
Metode kulit silinder (shell method) seringkali lebih cocok digunakan ketika:
1. Sumbu putar dan variabel integrasi berbeda: Misalnya, jika daerah diputar mengelilingi sumbu-y, dan fungsi lebih mudah dinyatakan dalam y (y = f(x)), menggunakan metode kulit silinder dengan integral dx bisa lebih sederhana. Sebaliknya, jika putaran mengelilingi sumbu-x dan fungsi mudah dinyatakan dalam x (x = g(y)), maka integral dy dengan shell method akan lebih mudah.
2. Menyatakan x dalam y (atau sebaliknya) sulit: Jika kurva y = f(x) sulit untuk diubah menjadi x = g(y), tetapi diputar mengelilingi sumbu-y, metode kulit silinder (integral dx) akan lebih praktis. Jika menggunakan metode cakram/cincin, kita harus menyatakan x dalam y, yang mungkin rumit atau tidak mungkin secara aljabar.
3. Batas integrasi lebih sederhana: Kadang-kadang, batas integrasi untuk satu variabel lebih mudah ditentukan atau melibatkan lebih sedikit interval daripada batas untuk variabel lainnya.
Contoh skenario: Hitung volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh y = x – x³, sumbu-x, di kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu-y.
Jika kita menggunakan metode cakram/cincin, kita harus menyatakan x dalam y dari persamaan y = x – x³, yang sangat sulit. Namun, dengan metode kulit silinder, kita menggunakan integral dx:
V = 2π ∫[a, b] x * f(x) dx
V = 2π ∫[0, 1] x(x – x³) dx (batas x = 0 sampai x = 1 karena x – x³ = 0 -> x(1-x²)=0 -> x=0, x=1 di kuadran 1)
Ini jauh lebih mudah untuk diselesaikan daripada metode cakram/cincin.
5. Hitung volume benda putar yang dihasilkan ketika daerah yang dibatasi oleh kurva y = eˣ, y = 0, x = 0, dan x = 1 diputar mengelilingi sumbu-x.
Jawaban:
Langkah 1: Identifikasi fungsi dan sumbu putar.
Kurva: y = eˣ. Batas: y = 0 (sumbu-x), x = 0, dan x = 1. Sumbu putar: sumbu-x.
Karena daerah menyentuh sumbu putar (sumbu-x) di seluruh rentangnya (y=eˣ selalu positif), kita dapat menggunakan metode cakram.
Langkah 2: Terapkan metode cakram.
V = π ∫[a, b] [f(x)]² dx
V = π ∫[0, 1] (eˣ)² dx
V = π ∫[0, 1] e²ˣ dx
Langkah 3: Hitung integralnya.
V = π [ ½e²ˣ ] dari 0 sampai 1
V = π [ (½e²(1)) – (½e²(0)) ]
V = π [ (½e²) – (½e⁰) ]
V = π [ ½e² – ½(1) ]
V = π/2 (e² – 1)
Jadi, volume benda putar adalah π/2 (e² – 1) satuan kubik.
