Apakah Anda sedang mencari cara terbaik untuk menguasai materi sistem persamaan linear dalam matematika? Artikel ini hadir sebagai panduan lengkap yang menyajikan berbagai contoh soal matematika sistem persamaan linear yang dirancang khusus untuk memperdalam pemahaman Anda. Kami akan mengupas tuntas mulai dari dasar-dasar sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) hingga tantangan yang melibatkan tiga variabel (SPLTV), bahkan soal cerita yang merefleksikan aplikasi nyata dalam kehidupan sehari-hari. Setiap contoh soal dilengkapi dengan penjelasan langkah demi langkah yang detail, meliputi metode substitusi, eliminasi, hingga penyelesaian grafis, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya tetapi juga memahami proses di baliknya.
Tujuan utama dari kumpulan latihan soal ini adalah untuk membantu Anda membangun fondasi yang kuat dalam aljabar linear, meningkatkan kemampuan analisis, dan mempersiapkan diri menghadapi ujian atau kuis dengan percaya diri. Baik Anda seorang siswa SMP yang baru belajar dasar-dasarnya, siswa SMA yang ingin memperkuat materi, maupun mahasiswa yang membutuhkan penyegaran, konten ini dirancang untuk semua tingkatan. Dengan berlatih secara konsisten melalui contoh soal matematika sistem persamaan linear yang variatif ini, Anda akan mampu mengidentifikasi jenis soal, memilih metode penyelesaian yang paling efisien, dan mengatasi setiap kendala dengan logika yang tepat. Mari bersama-sama taklukkan sistem persamaan linear dan jadikan matematika lebih mudah serta menyenangkan!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai sistem persamaan linear, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
### Soal Pilihan Ganda
1. Manakah dari pilihan berikut yang merupakan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)?
a. 2x + 3y > 6
b. x² + y = 5
c. 4x – y = 7
d. x – 2y = 3 dan 3x + y = 10
Jawaban: d
2. Titik potong dari dua garis yang merepresentasikan suatu SPLDV adalah …
a. Himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut
b. Koefisien dari SPLDV tersebut
c. Konstanta dari SPLDV tersebut
d. Variabel dari SPLDV tersebut
Jawaban: a
3. Diberikan sistem persamaan: x + y = 5 dan x – y = 1. Nilai x adalah …
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Jawaban: b
4. Diberikan sistem persamaan: 2x + y = 7 dan x – y = 2. Nilai y adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
5. Jika 3x + 2y = 12 dan x – y = 1, maka nilai dari x + y adalah …
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
Jawaban: c
6. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6 adalah …
a. (4, 2)
b. (2, 4)
c. (5, 1.5)
d. (1.5, 5)
Jawaban: a
7. Sistem persamaan linear yang memiliki tak hingga banyak penyelesaian secara grafis digambarkan sebagai …
a. Dua garis sejajar
b. Dua garis berpotongan di satu titik
c. Dua garis yang saling berimpit
d. Dua garis yang tegak lurus
Jawaban: c
8. Sistem persamaan linear yang tidak memiliki penyelesaian secara grafis digambarkan sebagai …
a. Dua garis sejajar
b. Dua garis berpotongan di satu titik
c. Dua garis yang saling berimpit
d. Dua garis yang tegak lurus
Jawaban: a
9. Metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan mengganti satu variabel dengan ekspresi variabel lain dari persamaan yang berbeda disebut metode …
a. Eliminasi
b. Substitusi
c. Grafik
d. Campuran
Jawaban: b
10. Harga 2 buah pensil dan 3 buah buku adalah Rp 13.000. Harga 1 buah pensil dan 2 buah buku adalah Rp 8.000. Jika x adalah harga pensil dan y adalah harga buku, maka SPLDV yang tepat adalah …
a. 2x + 3y = 13.000 dan x + 2y = 8.000
b. 3x + 2y = 13.000 dan 2x + y = 8.000
c. 2x + 3y = 8.000 dan x + 2y = 13.000
d. 3x + 2y = 8.000 dan 2x + y = 13.000
Jawaban: a
11. Diberikan sistem persamaan: 4x – 2y = 10 dan 2x + y = 7. Nilai dari x adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
12. Jika x = 2y dan x + y = 9, maka nilai x adalah …
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
Jawaban: b
13. Penyelesaian dari sistem persamaan 1/2x + 1/3y = 4 dan x – 1/3y = 2 adalah (x, y). Nilai dari y adalah …
a. 3
b. 4
c. 6
d. 9
Jawaban: c
14. Diketahui 5a – b = 10 dan a + b = 8. Nilai dari a adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
15. Jika x dan y adalah penyelesaian dari 2x + 3y = 13 dan x – y = -1, maka nilai dari 2x – y adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
16. Sebuah toko menjual 5 kemeja dan 4 celana dengan harga Rp 500.000. Di toko yang sama, 3 kemeja dan 2 celana dijual dengan harga Rp 280.000. Jika harga 1 kemeja adalah x dan 1 celana adalah y, berapakah harga 1 kemeja?
a. Rp 60.000
b. Rp 70.000
c. Rp 80.000
d. Rp 90.000
Jawaban: a
17. Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV):
x + y + z = 6
2x – y + z = 3
3x + 2y – z = 6
Nilai x adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
18. Jika (x, y) adalah solusi dari sistem persamaan 3x – 2y = 1 dan 2x + y = 8, maka nilai dari xy adalah …
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
Jawaban: b
19. Keliling suatu persegi panjang adalah 20 cm. Jika panjangnya 2 cm lebih dari lebarnya, maka SPLDV yang menggambarkan situasi ini adalah …
a. 2(p + l) = 20 dan p = l + 2
b. p + l = 20 dan p = l – 2
c. 2p + l = 20 dan p + l = 2
d. p × l = 20 dan p = l + 2
Jawaban: a
20. Jika sistem persamaan mx + 3y = 9 dan 2x + 6y = 18 memiliki tak hingga banyak penyelesaian, maka nilai m adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
—
### Soal Isian Singkat
1. Jika 2x + y = 10 dan x – y = 2, maka nilai x adalah …
Jawaban: 4
2. Himpunan penyelesaian dari 3x + y = 7 dan 2x – y = 3 adalah (x, y). Nilai dari x + y adalah …
Jawaban: 5
3. Hasil kali dari nilai x dan y pada sistem persamaan x + y = 7 dan x – y = 3 adalah …
Jawaban: 10
4. Diberikan sistem persamaan: 5x – y = 12 dan x + y = 6. Titik potong kedua garis ini adalah (x, y). Nilai dari y adalah …
Jawaban: 3
5. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka. Jumlah kedua angka adalah 8. Jika angka pertama adalah x dan angka kedua adalah y, maka SPLDV yang menyatakan jumlah kedua angka tersebut adalah x + y = …
Jawaban: 8
—
### Soal Uraian
1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode substitusi:
x + 2y = 10
3x – y = 9
Jawaban:
Dari persamaan pertama, kita bisa nyatakan x dalam y: x = 10 – 2y.
Substitusikan x ke persamaan kedua:
3(10 – 2y) – y = 9
30 – 6y – y = 9
30 – 7y = 9
-7y = 9 – 30
-7y = -21
y = 3
Substitusikan nilai y = 3 ke x = 10 – 2y:
x = 10 – 2(3)
x = 10 – 6
x = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (4, 3).
2. Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi:
2x + 3y = 16
x – 2y = -6
Jawaban:
Untuk mengeliminasi x, kalikan persamaan kedua dengan 2:
2x + 3y = 16
2(x – 2y) = 2(-6) => 2x – 4y = -12
Kurangkan persamaan (2x + 3y = 16) dengan (2x – 4y = -12):
(2x + 3y) – (2x – 4y) = 16 – (-12)
2x + 3y – 2x + 4y = 16 + 12
7y = 28
y = 4
Substitusikan nilai y = 4 ke salah satu persamaan, misalnya x – 2y = -6:
x – 2(4) = -6
x – 8 = -6
x = -6 + 8
x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2, 4).
3. Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut:
x + y + z = 9 (1)
2x – y + z = 6 (2)
x + 2y – 3z = -2 (3)
Jawaban:
* Langkah 1: Eliminasi y dari (1) dan (2)
(x + y + z = 9) + (2x – y + z = 6)
3x + 2z = 15 (4)
* Langkah 2: Eliminasi y dari (1) dan (3)
Kalikan (1) dengan 2: 2(x + y + z) = 2(9) => 2x + 2y + 2z = 18
Kurangkan dengan (3): (2x + 2y + 2z = 18) – (x + 2y – 3z = -2)
(2x – x) + (2y – 2y) + (2z – (-3z)) = 18 – (-2)
x + 5z = 20 (5)
* Langkah 3: Selesaikan SPLDV dari (4) dan (5)
3x + 2z = 15 (4)
x + 5z = 20 (5)
Dari (5), x = 20 – 5z. Substitusikan ke (4):
3(20 – 5z) + 2z = 15
60 – 15z + 2z = 15
60 – 13z = 15
-13z = 15 – 60
-13z = -45
z = 45/13 (Terjadi kesalahan dalam membuat soal, sehingga hasilnya pecahan. Mari kita koreksi soal agar hasilnya bulat untuk kemudahan.)
Revisi Soal Uraian 3 (untuk hasil bulat):
x + y + z = 6 (1)
2x – y + z = 3 (2)
3x + 2y – z = 6 (3)
Jawaban (Revisi Soal 3):
* Langkah 1: Eliminasi y dari (1) dan (2)
(x + y + z = 6) + (2x – y + z = 3)
3x + 2z = 9 (4)
* Langkah 2: Eliminasi y dari (1) dan (3)
Kalikan (1) dengan 2: 2(x + y + z) = 2(6) => 2x + 2y + 2z = 12
Kurangkan dengan (3): (2x + 2y + 2z = 12) – (3x + 2y – z = 6)
(2x – 3x) + (2y – 2y) + (2z – (-z)) = 12 – 6
-x + 3z = 6 (5)
* Langkah 3: Selesaikan SPLDV dari (4) dan (5)
3x + 2z = 9 (4)
-x + 3z = 6 (5)
Dari (5), x = 3z – 6. Substitusikan ke (4):
3(3z – 6) + 2z = 9
9z – 18 + 2z = 9
11z – 18 = 9
11z = 27
z = 27/11 (Masih pecahan, ada masalah dalam pembuatan angka. Mari kita coba lagi dengan SPLTV yang terbukti bulat.)
Revisi Soal Uraian 3 (SPLTV yang umum dan bulat):
x + y + z = 6
x – y + z = 2
x + y – z = 0
Jawaban (Revisi Soal 3 Final):
* Langkah 1: Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2)
(x + y + z = 6) + (x – y + z = 2)
2x + 2z = 8
x + z = 4 (4)
* Langkah 2: Eliminasi y dari persamaan (1) dan (3)
(x + y + z = 6) – (x + y – z = 0)
(x – x) + (y – y) + (z – (-z)) = 6 – 0
2z = 6
z = 3
* Langkah 3: Substitusikan nilai z = 3 ke persamaan (4)
x + 3 = 4
x = 1
* Langkah 4: Substitusikan nilai x = 1 dan z = 3 ke persamaan (1)
1 + y + 3 = 6
4 + y = 6
y = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (1, 2, 3).
4. Ibu membeli 3 kg apel dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 65.000. Di tempat yang sama, Adik membeli 2 kg apel dan 4 kg jeruk dengan harga Rp 90.000. Berapakah harga 1 kg apel dan 1 kg jeruk secara terpisah?
Jawaban:
Misalkan harga 1 kg apel = x dan harga 1 kg jeruk = y.
Kita dapat membentuk SPLDV:
3x + 2y = 65.000 (1)
2x + 4y = 90.000 (2)
* Langkah 1: Eliminasi y
Kalikan persamaan (1) dengan 2: 2(3x + 2y) = 2(65.000) => 6x + 4y = 130.000
Kurangkan persamaan ini dengan persamaan (2):
(6x + 4y = 130.000) – (2x + 4y = 90.000)
4x = 40.000
x = 10.000
* Langkah 2: Substitusikan x ke salah satu persamaan
Gunakan persamaan (1): 3(10.000) + 2y = 65.000
30.000 + 2y = 65.000
2y = 65.000 – 30.000
2y = 35.000
y = 17.500
Jadi, harga 1 kg apel adalah Rp 10.000 dan harga 1 kg jeruk adalah Rp 17.500.
5. Jelaskan secara grafis dan aljabar kapan suatu sistem persamaan linear dua variabel memiliki ‘tidak ada penyelesaian’ (no solution) dan ‘tak hingga banyak penyelesaian’ (infinite solutions).
Jawaban:
* Tidak ada penyelesaian (No Solution):
* Secara Grafis: Ini terjadi ketika dua garis yang merepresentasikan persamaan-persamaan dalam sistem tersebut adalah sejajar dan tidak berimpit. Karena garis-garis sejajar tidak akan pernah berpotongan, maka tidak ada titik (x, y) yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.
* Secara Aljabar: Ini terjadi ketika, setelah melakukan operasi aljabar (seperti eliminasi atau substitusi), kita mendapatkan suatu pernyataan yang kontradiktif atau salah. Contoh: `0 = 5` atau `2x + 3y = 7` dan `2x + 3y = 10`. Koefisien variabelnya proporsional, tetapi konstantanya tidak.
* Tak hingga banyak penyelesaian (Infinite Solutions):
* Secara Grafis: Ini terjadi ketika dua garis yang merepresentasikan persamaan-persamaan dalam sistem tersebut adalah saling berimpit. Artinya, kedua persamaan sebenarnya menggambarkan garis yang sama. Setiap titik pada garis tersebut adalah solusi untuk kedua persamaan.
* Secara Aljabar: Ini terjadi ketika, setelah melakukan operasi aljabar, kita mendapatkan suatu pernyataan yang selalu benar atau identitas. Contoh: `0 = 0` atau `2x + 3y = 7` dan `4x + 6y = 14`. Semua koefisien dan konstanta proporsional, artinya satu persamaan hanyalah kelipatan dari yang lain.
