Geometri seringkali menjadi tantangan menarik, terutama ketika memasuki konsep proyeksi. Memahami bagaimana suatu objek ‘jatuh’ atau ‘diproyeksikan’ ke bidang atau garis lain adalah fundamental dalam banyak aplikasi matematika dan fisika. Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif yang menyajikan contoh soal matematika proyeksi dalam geometri yang dirancang untuk memperdalam pemahaman Anda. Kami akan membahas berbagai skenario proyeksi, mulai dari proyeksi vektor pada vektor lain, proyeksi titik ke garis, hingga proyeksi suatu objek ke bidang dalam ruang dua dan tiga dimensi. Setiap contoh soal dirancang untuk mengasah kemampuan analitis dan visualisasi spasial Anda, membantu Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus tetapi benar-benar memahami inti dari konsep proyeksi. Tema pembelajaran yang diangkat meliputi penggunaan vektor, persamaan garis dan bidang, serta perhitungan jarak dan sudut yang esensial. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membangun kepercayaan diri Anda dalam menghadapi soal-soal proyeksi yang kompleks, mempersiapkan Anda menghadapi ujian dengan lebih matang, serta meningkatkan kemampuan Anda dalam menerapkan teori geometri ke dalam pemecahan masalah nyata. Bersiaplah untuk menaklukkan proyeksi dan melihat geometri dari perspektif yang baru!
Berikut adalah 30 contoh soal tentang proyeksi dalam geometri, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Proyeksi sebuah titik P pada suatu garis L adalah…
a. Garis yang melewati P dan tegak lurus L.
b. Titik pada L yang paling dekat dengan P.
c. Jarak dari P ke L.
d. Sebuah garis sejajar L yang melewati P.
Jawaban: b
2. Jika vektor a = (3, 4) dan vektor b = (1, 0), panjang proyeksi skalar vektor a pada vektor b adalah…
a. 3
b. 4
c. 5
d. 1
Jawaban: a
*(Penjelasan: Panjang proyeksi = (a ⋅ b) / |b| = (3*1 + 4*0) / √(1² + 0²) = 3 / 1 = 3)*
3. Vektor proyeksi vektor u pada vektor v diberikan oleh rumus…
a. `((u ⋅ v) / |v|) * v`
b. `((u ⋅ v) / |v|²) * v`
c. `((u ⋅ v) / |u|) * u`
d. `((u ⋅ v) / |u|²) * v`
Jawaban: b
4. Jika vektor p = (2, -1) dan vektor q = (3, 4), maka hasil dari p ⋅ q adalah…
a. 10
b. 6
c. 2
d. -2
Jawaban: c
*(Penjelasan: p ⋅ q = (2)(3) + (-1)(4) = 6 – 4 = 2)*
5. Titik (5, 3) diproyeksikan secara ortogonal ke sumbu X. Koordinat titik hasil proyeksi adalah…
a. (0, 3)
b. (5, 0)
c. (0, 0)
d. (5, 3)
Jawaban: b
6. Apa yang terjadi dengan panjang suatu vektor jika diproyeksikan secara ortogonal pada vektor lain yang tegak lurus dengannya?
a. Panjangnya menjadi sama.
b. Panjangnya menjadi nol.
c. Panjangnya menjadi dua kali lipat.
d. Panjangnya tidak berubah.
Jawaban: b
*(Penjelasan: Jika dua vektor tegak lurus, sudutnya 90°, cos 90° = 0, sehingga proyeksi skalar dan vektor proyeksinya adalah nol.)*
7. Jika vektor a = (1, 2) dan vektor b = (2, 4), maka panjang proyeksi skalar vektor a pada vektor b adalah…
a. √5
b. 2√5
c. 5
d. 1
Jawaban: a
*(Penjelasan: |b| = √(2² + 4²) = √20 = 2√5. a ⋅ b = (1)(2) + (2)(4) = 2 + 8 = 10. Panjang proyeksi = (a ⋅ b) / |b| = 10 / (2√5) = 5/√5 = √5)*
8. Vektor proyeksi dari vektor i pada vektor j adalah…
a. i
b. j
c. 0
d. i + j
Jawaban: c
*(Penjelasan: Vektor i = (1, 0) dan j = (0, 1) saling tegak lurus, sehingga proyeksinya adalah vektor nol.)*
9. Sebuah segmen garis AB memiliki panjang 10 satuan. Jika segmen tersebut membentuk sudut 60° dengan sebuah garis L, maka panjang proyeksi segmen AB pada garis L adalah…
a. 10 satuan
b. 5 satuan
c. 5√3 satuan
d. 10√3 satuan
Jawaban: b
*(Penjelasan: Panjang proyeksi = |AB| cos θ = 10 * cos 60° = 10 * (1/2) = 5)*
10. Dalam geometri, proyeksi ortogonal sering disebut juga sebagai…
a. Proyeksi miring
b. Proyeksi tegak lurus
c. Proyeksi sejajar
d. Proyeksi bayangan
Jawaban: b
11. Misalkan vektor u = (1, 1, 0) dan vektor v = (0, 1, 1). Komponen skalar proyeksi u pada v adalah…
a. 1/√2
b. 1/2
c. √2
d. 1
Jawaban: a
*(Penjelasan: u ⋅ v = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1. |v| = √(0² + 1² + 1²) = √2. Komponen skalar = (u ⋅ v) / |v| = 1 / √2)*
12. Manakah pernyataan berikut yang benar tentang proyeksi vektor?
a. Panjang vektor proyeksi selalu lebih besar dari panjang vektor aslinya.
b. Vektor proyeksi selalu memiliki arah yang sama dengan vektor yang diproyeksikan.
c. Vektor proyeksi selalu sejajar dengan vektor tempat ia diproyeksikan.
d. Vektor proyeksi tidak pernah bisa menjadi nol.
Jawaban: c
13. Jika vektor a = (x, 2) dan vektor b = (3, 6) saling tegak lurus, maka nilai x adalah…
a. -4
b. 4
c. -12
d. 12
Jawaban: a
*(Penjelasan: Jika tegak lurus, a ⋅ b = 0. (x)(3) + (2)(6) = 0 => 3x + 12 = 0 => 3x = -12 => x = -4)*
14. Proyeksi titik P(2, 3) pada garis y = x adalah…
a. (2, 2)
b. (3, 3)
c. (2.5, 2.5)
d. (0, 0)
Jawaban: c
*(Penjelasan: Titik P(x₀, y₀) ke garis y = x (atau x – y = 0). Titik proyeksi adalah ((x₀+y₀)/2, (x₀+y₀)/2). Maka ((2+3)/2, (2+3)/2) = (2.5, 2.5))*
15. Suatu segmen garis PQ memiliki panjang 8 cm. Jika proyeksi PQ pada sebuah bidang adalah 4√3 cm, maka sudut antara segmen garis PQ dan bidang tersebut adalah…
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
Jawaban: a
*(Penjelasan: Panjang proyeksi = |PQ| cos θ => 4√3 = 8 cos θ => cos θ = 4√3 / 8 = √3 / 2. Maka θ = 30°)*
16. Proyeksi vektor v = (4, -2) pada sumbu Y adalah…
a. (4, 0)
b. (0, -2)
c. (0, 0)
d. (4, -2)
Jawaban: b
17. Jika vektor a adalah (5, 0) dan vektor b adalah (0, 7), maka vektor proyeksi a pada b adalah…
a. (5, 0)
b. (0, 7)
c. (0, 0)
d. (5, 7)
Jawaban: c
*(Penjelasan: Karena a dan b tegak lurus, proyeksi salah satu pada yang lain adalah vektor nol.)*
18. Sebuah garis L melalui titik asal dan memiliki vektor arah d = (1, 1). Jika titik P(3, 1) diproyeksikan ke garis L, maka vektor yang menghubungkan titik asal ke titik proyeksi P adalah…
a. (1, 1)
b. (2, 2)
c. (3, 3)
d. (4, 4)
Jawaban: b
*(Penjelasan: Misalkan vektor OP = p = (3, 1). Vektor proyeksi p pada d adalah `((p ⋅ d) / |d|²) * d`.
p ⋅ d = (3)(1) + (1)(1) = 4.
|d|² = 1² + 1² = 2.
Vektor proyeksi = (4/2) * (1, 1) = 2 * (1, 1) = (2, 2).)*
19. Yang bukan merupakan sifat dasar proyeksi ortogonal adalah…
a. Proyeksi titik pada garis menghasilkan titik.
b. Proyeksi garis lurus pada garis lurus bisa menghasilkan titik atau segmen garis.
c. Proyeksi sudut pada bidang selalu menghasilkan sudut yang sama.
d. Proyeksi segmen garis yang tegak lurus bidang akan menghasilkan titik.
Jawaban: c
*(Penjelasan: Proyeksi sudut pada bidang umumnya tidak menghasilkan sudut yang sama, kecuali jika bidang asalnya sejajar dengan bidang proyeksi atau sudutnya 90°.)*
20. Jika vektor u = (6, -8) dan vektor v = (3, 0), maka vektor proyeksi u pada v adalah…
a. (6, 0)
b. (3, 0)
c. (2, 0)
d. (0, 0)
Jawapan: a
*(Penjelasan: u ⋅ v = (6)(3) + (-8)(0) = 18. |v|² = 3² + 0² = 9.
Vektor proyeksi = ((u ⋅ v) / |v|²) * v = (18 / 9) * (3, 0) = 2 * (3, 0) = (6, 0).)*
—
## Soal Isian Singkat
1. Jika vektor a = (5, 12), panjang proyeksi vektor a pada sumbu X adalah …
Jawaban: 5
*(Penjelasan: Proyeksi pada sumbu X berarti mencari komponen horizontalnya, yaitu 5.)*
2. Proyeksi vektor x pada vektor y adalah vektor nol jika vektor x dan vektor y … satu sama lain (asumsi y bukan vektor nol).
Jawaban: tegak lurus / ortogonal
3. Titik (4, -2) diproyeksikan secara ortogonal pada sumbu Y. Koordinat hasil proyeksi adalah …
Jawaban: (0, -2)
4. Jika panjang sebuah segmen garis adalah 12 cm dan ia tegak lurus terhadap suatu bidang, maka panjang proyeksi segmen garis tersebut pada bidang adalah … cm.
Jawaban: 0
*(Penjelasan: Jika segmen garis tegak lurus bidang, proyeksinya adalah sebuah titik.)*
5. Vektor proyeksi a = (1, 1) pada b = (1, 0) adalah …
Jawaban: (1, 0)
*(Penjelasan: a ⋅ b = (1)(1) + (1)(0) = 1. |b|² = 1² + 0² = 1. Vektor proyeksi = (1/1) * (1, 0) = (1, 0).)*
—
## Soal Uraian
1. Hitunglah vektor proyeksi dari vektor u = (4, 2, -1) pada vektor v = (1, -1, 2).
Jawaban:
Untuk menghitung vektor proyeksi u pada v, kita gunakan rumus:
`proj_v u = ((u ⋅ v) / |v|²) * v`
Langkah-langkah:
1. Hitung hasil perkalian titik (dot product) u ⋅ v:
u ⋅ v = (4)(1) + (2)(-1) + (-1)(2)
u ⋅ v = 4 – 2 – 2
u ⋅ v = 0
2. Hitung kuadrat panjang vektor v (`|v|²`):
`|v|²` = 1² + (-1)² + 2²
`|v|²` = 1 + 1 + 4
`|v|²` = 6
3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus vektor proyeksi:
`proj_v u = (0 / 6) * (1, -1, 2)`
`proj_v u = 0 * (1, -1, 2)`
`proj_v u = (0, 0, 0)`
Jadi, vektor proyeksi dari u pada v adalah vektor nol (0, 0, 0). Ini menunjukkan bahwa vektor u dan v saling tegak lurus.
2. Tentukan koordinat titik proyeksi P(5, -3) pada garis L yang memiliki persamaan y = 2x + 1.
Jawaban:
Untuk menemukan titik proyeksi P'(x’, y’) dari P(5, -3) pada garis L: y = 2x + 1, kita lakukan langkah-langkah berikut:
1. Tentukan gradien garis L:
Dari persamaan y = 2x + 1, gradien `m_L = 2`.
2. Tentukan gradien garis yang tegak lurus L dan melewati P:
Garis proyeksi PP’ akan tegak lurus dengan L. Jika `m_L = 2`, maka gradien garis proyeksi `m_PP’` harus memenuhi `m_L * m_PP’ = -1`.
`2 * m_PP’ = -1`
`m_PP’ = -1/2`.
3. Tentukan persamaan garis proyeksi PP’:
Garis PP’ melewati P(5, -3) dengan gradien `m_PP’ = -1/2`.
Gunakan rumus `y – y₁ = m(x – x₁)`:
`y – (-3) = -1/2 (x – 5)`
`y + 3 = -1/2 x + 5/2`
`y = -1/2 x + 5/2 – 3`
`y = -1/2 x – 1/2` (Persamaan 1)
4. Cari titik potong antara garis L dan garis PP’ (ini adalah titik proyeksi P’):
Kita punya dua persamaan:
Garis L: `y = 2x + 1` (Persamaan 2)
Garis PP’: `y = -1/2 x – 1/2` (Persamaan 1)
Substitusikan Persamaan 2 ke Persamaan 1:
`2x + 1 = -1/2 x – 1/2`
Kalikan semua dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
`4x + 2 = -x – 1`
`4x + x = -1 – 2`
`5x = -3`
`x = -3/5`
Sekarang cari nilai y menggunakan `x = -3/5` di Persamaan 2:
`y = 2(-3/5) + 1`
`y = -6/5 + 5/5`
`y = -1/5`
Jadi, koordinat titik proyeksi P'(x’, y’) adalah (-3/5, -1/5).
3. Jelaskan konsep proyeksi ortogonal dalam konteks bangun ruang (misalnya, kubus). Berikan contoh bagaimana proyeksi ortogonal dapat digunakan untuk mencari panjang segmen garis atau sudut.
Jawaban:
Konsep Proyeksi Ortogonal dalam Bangun Ruang:
Proyeksi ortogonal (tegak lurus) dalam bangun ruang adalah proses “menjatuhkan” suatu objek (titik, garis, bidang) dari ruang tiga dimensi ke sebuah bidang atau garis, sedemikian rupa sehingga garis-garis proyektor (garis yang menghubungkan objek asli ke proyeksinya) tegak lurus dengan bidang atau garis tempat proyeksi dilakukan. Hasil proyeksi ini sering disebut sebagai “bayangan” objek tersebut jika sumber cahaya datang dari arah yang tegak lurus terhadap bidang proyeksi.
Contoh Penggunaan:
Pertimbangkan sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk ‘s’.
1. Proyeksi Titik pada Bidang:
* Proyeksi titik E pada bidang alas ABCD adalah titik A. Karena garis EA tegak lurus terhadap bidang ABCD.
2. Proyeksi Segmen Garis pada Bidang:
* Proyeksi rusuk: Proyeksi rusuk EG (diagonal sisi atas) pada bidang alas ABCD adalah segmen garis AC. Panjang AC adalah diagonal bidang, yaitu `s√2`.
* Proyeksi diagonal ruang: Proyeksi diagonal ruang AG pada bidang alas ABCD adalah segmen garis AC.
3. Mencari Panjang Proyeksi Segmen Garis:
Misalkan kita ingin mencari panjang proyeksi segmen garis BG (diagonal sisi BCGF) pada bidang alas ABCD.
* Garis BG memiliki titik B pada bidang ABCD.
* Untuk G, proyeksinya pada bidang ABCD adalah C.
* Maka, proyeksi segmen BG pada bidang ABCD adalah segmen BC.
* Panjang proyeksi BC = panjang rusuk kubus = `s`.
4. Mencari Sudut Antara Garis dan Bidang Menggunakan Proyeksi:
Mari kita cari sudut antara diagonal ruang AG dan bidang alas ABCD.
* Diagonal ruang AG memiliki titik A pada bidang ABCD.
* Proyeksi G pada bidang ABCD adalah C.
* Jadi, proyeksi diagonal ruang AG pada bidang ABCD adalah diagonal bidang AC.
* Sekarang kita memiliki segitiga siku-siku AGC, dengan sudut siku-siku di C (karena GC tegak lurus bidang ABCD).
* Panjang AC = `s√2` (diagonal bidang).
* Panjang GC = `s` (rusuk kubus).
* Panjang AG = `s√3` (diagonal ruang).
* Sudut θ antara AG dan bidang ABCD adalah sudut GAC.
* Kita bisa menggunakan fungsi trigonometri:
`cos θ = (panjang proyeksi AC) / (panjang garis asli AG)`
`cos θ = (s√2) / (s√3)`
`cos θ = √2 / √3 = √6 / 3`
Maka, `θ = arccos(√6 / 3)`.
Kesimpulan: Proyeksi ortogonal membantu menyederhanakan masalah geometri ruang menjadi masalah geometri bidang atau garis, memungkinkan perhitungan panjang, jarak, dan sudut dengan lebih mudah.
4. Diberikan dua vektor, a = (3, -2, 4) dan b = (-1, 5, 2). Tentukan panjang komponen skalar proyeksi vektor a pada vektor b.
Jawaban:
Panjang komponen skalar proyeksi vektor a pada b (sering juga disebut panjang proyeksi skalar) diberikan oleh rumus:
`|proj_b a| = |(a ⋅ b) / |b||`
Langkah-langkah:
1. Hitung hasil perkalian titik (dot product) a ⋅ b:
a ⋅ b = (3)(-1) + (-2)(5) + (4)(2)
a ⋅ b = -3 – 10 + 8
a ⋅ b = -5
2. Hitung panjang (magnitudo) vektor b (`|b|`):
`|b| = √((-1)² + 5² + 2²)`
`|b| = √(1 + 25 + 4)`
`|b| = √30`
3. Hitung panjang komponen skalar proyeksi:
`|proj_b a| = |(-5) / √30|`
`|proj_b a| = 5 / √30`
Untuk merasionalkan penyebut:
`|proj_b a| = (5 / √30) * (√30 / √30)`
`|proj_b a| = 5√30 / 30`
`|proj_b a| = √30 / 6`
Jadi, panjang komponen skalar proyeksi vektor a pada vektor b adalah √30 / 6.
5. Buktikan bahwa jika proyeksi vektor u pada vektor v adalah vektor nol (0), maka vektor u dan v saling tegak lurus, dengan asumsi v bukan vektor nol.
Jawaban:
Diketahui bahwa vektor proyeksi u pada v adalah 0.
Rumus vektor proyeksi u pada v adalah:
`proj_v u = ((u ⋅ v) / |v|²) * v`
Jika `proj_v u = 0`, maka:
`((u ⋅ v) / |v|²) * v = 0`
Kita tahu bahwa v bukan vektor nol (yaitu, `|v| ≠ 0`, sehingga `|v|² ≠ 0`).
Untuk hasil perkalian skalar dengan vektor menghasilkan vektor nol, salah satu dari dua kondisi harus terpenuhi:
1. Skalar tersebut adalah nol.
2. Vektor v adalah vektor nol.
Karena kita mengasumsikan v bukan vektor nol, maka skalar yang mengalikan v haruslah nol.
Jadi, kita harus memiliki:
`(u ⋅ v) / |v|² = 0`
Karena `|v|² ≠ 0`, satu-satunya cara agar pecahan ini menjadi nol adalah jika pembilangnya nol.
Maka, `u ⋅ v = 0`.
Menurut definisi perkalian titik (dot product), jika hasil perkalian titik dua vektor adalah nol, maka kedua vektor tersebut saling tegak lurus (ortogonal), dengan asumsi tidak ada vektor yang merupakan vektor nol.
Dengan demikian, terbukti bahwa jika proyeksi vektor u pada vektor v adalah vektor nol (dan v bukan vektor nol), maka vektor u dan v saling tegak lurus.
