Apakah Anda sering merasa kesulitan saat dihadapkan dengan soal-soal pertidaksamaan dalam pelajaran matematika? Konsep pertidaksamaan, mulai dari bentuk linier hingga kuadrat, nilai mutlak, bahkan rasional, seringkali menjadi momok bagi banyak siswa. Padahal, pemahaman yang kuat tentang pertidaksamaan sangat krusial, tidak hanya untuk nilai di sekolah tetapi juga sebagai dasar untuk materi matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Artikel ini hadir sebagai solusi bagi Anda! Kami telah merangkum berbagai contoh soal matematika pertidaksamaan yang komprehensif, disajikan dengan pembahasan tuntas langkah demi langkah yang mudah dipahami. Anda tidak hanya akan menemukan beragam tipe soal, tetapi juga strategi dan trik khusus untuk menyelesaikannya dengan tepat dan efisien.
Orientasi contoh soal dalam artikel ini mencakup spektrum luas, mulai dari dasar-dasar pertidaksamaan linier satu variabel, ekspansi ke pertidaksamaan kuadrat yang memerlukan pemahaman tentang pemfaktoran dan grafik fungsi, hingga pertidaksamaan nilai mutlak dan rasional yang menuntut ketelitian dalam menentukan interval penyelesaian. Setiap soal dirancang untuk menguji pemahaman Anda terhadap konsep kunci, mulai dari penentuan titik kritis, pengujian interval, hingga interpretasi himpunan penyelesaian. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk memperdalam intuisi matematika Anda terhadap pertidaksamaan, membangun kepercayaan diri dalam menghadapi ujian, serta meningkatkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah. Dengan mempraktikkan contoh soal matematika pertidaksamaan yang kami sediakan, Anda akan siap menghadapi tantangan matematika apapun dengan lebih percaya diri dan kompeten. Jangan biarkan pertidaksamaan menjadi penghalang, mari kuasai bersama!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang pertidaksamaan dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Manakah di antara pernyataan berikut yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel?
a. 2x + 3 = 7
b. x² – 4 < 0
c. 3y – 1 ≥ 5
d. x + y > 10
Jawaban: c
2. Tanda ‘<' dalam pertidaksamaan memiliki arti...
a. Lebih dari atau sama dengan
b. Kurang dari
c. Lebih dari
d. Kurang dari atau sama dengan
Jawaban: b
3. Jika kita mengalikan kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan akan…
a. Tetap sama
b. Berbalik arah
c. Menjadi sama dengan
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: b
4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 3 > 7 adalah…
a. x < 5
b. x > 5
c. x ≤ 5
d. x ≥ 5
Jawaban: b
*Penjelasan:*
2x – 3 > 7
2x > 7 + 3
2x > 10
x > 10/2
x > 5
5. Nilai x yang memenuhi 5 – x ≥ 2 adalah…
a. x ≤ 3
b. x ≥ 3
c. x < 3
d. x > 3
Jawaban: a
*Penjelasan:*
5 – x ≥ 2
-x ≥ 2 – 5
-x ≥ -3
x ≤ 3 (tanda dibalik karena dikalikan -1)
6. Pertidaksamaan yang menyatakan “bilangan dua kali x ditambah lima tidak lebih dari 15” adalah…
a. 2x + 5 < 15
b. 2x + 5 > 15
c. 2x + 5 ≤ 15
d. 2x + 5 ≥ 15
Jawaban: c
7. Himpunan penyelesaian dari 3(x + 1) ≤ 9 adalah…
a. x ≤ 2
b. x ≥ 2
c. x ≤ 3
d. x ≥ 3
Jawaban: a
*Penjelasan:*
3(x + 1) ≤ 9
3x + 3 ≤ 9
3x ≤ 9 – 3
3x ≤ 6
x ≤ 6/3
x ≤ 2
8. Solusi dari 7 – 2x < 1 adalah...
a. x < 3
b. x > 3
c. x < -3
d. x > -3
Jawaban: b
*Penjelasan:*
7 – 2x < 1
-2x < 1 - 7
-2x < -6
x > -6/(-2)
x > 3 (tanda dibalik karena dibagi dengan -2)
9. Himpunan penyelesaian dari x² – 9 < 0 adalah...
a. x < -3 atau x > 3
b. -3 < x < 3
c. x ≤ -3 atau x ≥ 3
d. -3 ≤ x ≤ 3
Jawaban: b
*Penjelasan:*
x² – 9 < 0
(x – 3)(x + 3) < 0
Pembuat nol: x = 3 dan x = -3.
Uji titik:
Untuk x = -4: (-7)(-1) = 7 > 0 (positif)
Untuk x = 0: (-3)(3) = -9 < 0 (negatif)
Untuk x = 4: (1)(7) = 7 > 0 (positif)
Karena yang dicari < 0 (negatif), maka solusinya adalah -3 < x < 3.
10. Pertidaksamaan 1/2 x + 1 ≥ 4 memiliki himpunan penyelesaian…
a. x ≥ 6
b. x ≤ 6
c. x ≥ 10
d. x ≤ 10
Jawaban: a
*Penjelasan:*
1/2 x + 1 ≥ 4
1/2 x ≥ 4 – 1
1/2 x ≥ 3
x ≥ 3 * 2
x ≥ 6
11. Jika x adalah bilangan bulat dan -2 < x ≤ 3, maka nilai-nilai x yang mungkin adalah...
a. -2, -1, 0, 1, 2, 3
b. -1, 0, 1, 2, 3
c. -2, -1, 0, 1, 2
d. -1, 0, 1, 2
Jawaban: b
12. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5 adalah…
a. Segitiga pada kuadran I
b. Persegi panjang pada kuadran I
c. Garis lurus
d. Seluruh bidang koordinat
Jawaban: a
13. Manakah yang bukan merupakan pertidaksamaan kuadrat?
a. x² – 2x + 1 > 0
b. 3x² + 5x ≤ 0
c. x(x – 4) ≥ 0
d. 2x – 5 < 7
Jawaban: d
14. Himpunan penyelesaian dari |x – 2| < 3 adalah...
a. x < -1 atau x > 5
b. -1 < x < 5
c. x ≤ -1 atau x ≥ 5
d. -1 ≤ x ≤ 5
Jawaban: b
*Penjelasan:*
|x – 2| < 3 berarti -3 < x - 2 < 3.
-3 < x - 2 => -3 + 2 < x => -1 < x
x – 2 < 3 => x < 3 + 2 => x < 5
Jadi, -1 < x < 5.
15. Solusi dari (x + 1) / (x – 2) ≥ 0 adalah…
a. x < -1 atau x > 2
b. -1 ≤ x < 2
c. x ≤ -1 atau x > 2
d. -1 < x ≤ 2
Jawaban: c
*Penjelasan:*
Pembuat nol pembilang: x + 1 = 0 => x = -1
Pembuat nol penyebut: x – 2 = 0 => x = 2 (syarat x ≠ 2)
Uji titik:
Untuk x = -2: (-1)/(-4) = 1/4 ≥ 0 (positif)
Untuk x = 0: (1)/(-2) = -1/2 < 0 (negatif)
Untuk x = 3: (4)/(1) = 4 ≥ 0 (positif)
Karena yang dicari ≥ 0, maka solusinya x ≤ -1 atau x > 2. (Perhatikan x = 2 tidak termasuk)
16. Pertidaksamaan 2x + 3y > 6 merupakan pertidaksamaan…
a. Linear satu variabel
b. Linear dua variabel
c. Kuadrat satu variabel
d. Kuadrat dua variabel
Jawaban: b
17. Jika a > b dan c < 0, maka hubungan antara ac dan bc adalah...
a. ac < bc
b. ac > bc
c. ac = bc
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: a
*Penjelasan:* Jika dikalikan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berbalik arah.
18. Himpunan penyelesaian dari x(x – 4) ≤ 0 adalah…
a. x < 0 atau x > 4
b. 0 < x < 4
c. x ≤ 0 atau x ≥ 4
d. 0 ≤ x ≤ 4
Jawaban: d
*Penjelasan:*
Pembuat nol: x = 0 dan x = 4.
Uji titik:
Untuk x = -1: (-1)(-5) = 5 > 0 (positif)
Untuk x = 2: (2)(-2) = -4 < 0 (negatif)
Untuk x = 5: (5)(1) = 5 > 0 (positif)
Karena yang dicari ≤ 0 (negatif atau nol), maka solusinya 0 ≤ x ≤ 4.
19. Sebuah toko memberikan diskon 15% untuk pembelian di atas Rp200.000. Jika harga asli suatu barang adalah x rupiah dan setelah diskon harga barang tersebut kurang dari Rp300.000, maka pertidaksamaan yang tepat adalah…
a. 0.85x < 300.000
b. 0.85x > 300.000
c. x – 0.15x < 300.000
d. x – 0.15x > 300.000
Jawaban: a
*Penjelasan:* Harga setelah diskon adalah x – 0.15x = 0.85x. Harga ini kurang dari Rp300.000.
20. Jika 2x + 5 ≤ 15 dan x adalah bilangan asli, maka nilai x yang memenuhi adalah…
a. {1, 2, 3, 4, 5}
b. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
c. {0, 1, 2, 3, 4, 5}
d. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Jawaban: a
*Penjelasan:*
2x + 5 ≤ 15
2x ≤ 10
x ≤ 5
Karena x adalah bilangan asli, maka x ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
—
## Soal Isian Singkat
21. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 6 < 10 adalah...
Jawaban: x < 4
22. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear 3x + 7 ≥ 16, langkah pertama yang benar adalah mengurangi kedua sisi dengan angka …
Jawaban: 7
23. Jika harga sebuah buku adalah Rp25.000 dan seseorang memiliki uang kurang dari Rp100.000, maka pertidaksamaan yang menyatakan banyak buku (n) yang bisa dibeli adalah …
Jawaban: 25.000n < 100.000 (atau n < 4)
24. Pembuat nol dari pertidaksamaan kuadrat x² – 5x + 6 ≥ 0 adalah x = 2 dan x = …
Jawaban: 3
25. Solusi dari pertidaksamaan |x| > 4 adalah x < -4 atau x > …
Jawaban: 4
—
## Soal Uraian
26. Jelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel dan berikan satu contoh.
Jawaban:
Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel:
1. Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke satu sisi dan suku konstanta ke sisi lain dari pertidaksamaan. Lakukan ini dengan menambahkan atau mengurangi bilangan yang sama dari kedua sisi.
2. Sederhanakan kedua sisi pertidaksamaan.
3. Isolasi variabel dengan mengalikan atau membagi kedua sisi dengan koefisien variabel.
4. Perhatikan: Jika Anda mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik arahnya.
Contoh: Selesaikan 3x – 4 < 8
1. Tambahkan 4 ke kedua sisi: 3x – 4 + 4 < 8 + 4 → 3x < 12
2. Bagi kedua sisi dengan 3: 3x / 3 < 12 / 3 → x < 4
Jadi, solusinya adalah x < 4.
27. Bagaimana cara menentukan daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan kuadrat seperti ax² + bx + c > 0? Jelaskan dengan contoh.
Jawaban:
Untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c > 0 (atau < 0, ≤ 0, ≥ 0):
1. Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan kuadrat untuk mencari akar-akarnya (pembuat nol fungsi), yaitu ax² + bx + c = 0. Gunakan faktorisasi, rumus ABC, atau melengkapkan kuadrat sempurna.
2. Gambarlah garis bilangan dan tandai akar-akar yang ditemukan pada garis tersebut. Akar-akar ini membagi garis bilangan menjadi beberapa interval.
3. Uji titik pada setiap interval. Pilih sebuah nilai x di setiap interval (yang bukan akar) dan substitusikan ke dalam pertidaksamaan asli.
4. Tentukan tanda (positif atau negatif) dari pertidaksamaan di setiap interval.
5. Pilih interval yang memenuhi tanda pertidaksamaan awal. Jika pertidaksamaan menggunakan ‘>’ atau ‘<', titik akar tidak termasuk dalam solusi (gunakan kurung buka/lingkaran kosong). Jika menggunakan '≥' atau '≤', titik akar termasuk (gunakan kurung tutup/lingkaran penuh).
Contoh: Selesaikan x² – x – 6 > 0
1. Akar-akar dari x² – x – 6 = 0 adalah (x – 3)(x + 2) = 0, sehingga x = 3 atau x = -2.
2. Garis bilangan akan terbagi menjadi tiga interval: x < -2, -2 < x < 3, dan x > 3.
3. Uji titik:
* Untuk x < -2 (misal x = -3): (-3)² - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 (positif)
* Untuk -2 < x < 3 (misal x = 0): 0² - 0 - 6 = -6 < 0 (negatif)
* Untuk x > 3 (misal x = 4): 4² – 4 – 6 = 16 – 4 – 6 = 6 > 0 (positif)
4. Karena kita mencari x² – x – 6 > 0 (positif), maka daerah penyelesaiannya adalah x < -2 atau x > 3.
28. Berikan contoh situasi dalam kehidupan sehari-hari di mana konsep pertidaksamaan dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Tuliskan pertidaksamaannya dan solusinya.
Jawaban:
Situasi: Sebuah perusahaan taksi mengenakan tarif dasar Rp10.000 dan tambahan Rp3.000 per kilometer. Jika seorang pelanggan memiliki anggaran maksimal Rp55.000 untuk perjalanan taksi, berapa jarak maksimum (dalam kilometer) yang bisa ditempuh pelanggan tersebut?
Pertidaksamaan:
Misalkan `k` adalah jarak dalam kilometer.
Biaya total = Tarif dasar + (Tarif per km × Jarak)
Biaya total = 10.000 + 3.000k
Karena anggaran maksimal adalah Rp55.000, maka biaya total harus kurang dari atau sama dengan anggaran tersebut:
10.000 + 3.000k ≤ 55.000
Solusi:
10.000 + 3.000k ≤ 55.000
3.000k ≤ 55.000 – 10.000
3.000k ≤ 45.000
k ≤ 45.000 / 3.000
k ≤ 15
Jadi, jarak maksimum yang bisa ditempuh pelanggan adalah 15 kilometer.
29. Jelaskan perbedaan antara pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat, dan bagaimana cara umum menyelesaikannya.
Jawaban:
Pertidaksamaan Linear:
* Definisi: Pertidaksamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 1. Bentuk umumnya adalah ax + b > c (atau <, ≤, ≥).
* Cara Menyelesaikan:
1. Kelompokkan suku-suku variabel di satu sisi dan konstanta di sisi lain.
2. Lakukan operasi penjumlahan/pengurangan dan perkalian/pembagian untuk mengisolasi variabel.
3. Ingat untuk membalik tanda pertidaksamaan jika mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif.
* Contoh Solusi: x < 5, y ≥ -2.
Pertidaksamaan Kuadrat:
* Definisi: Pertidaksamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 2. Bentuk umumnya adalah ax² + bx + c > 0 (atau <, ≤, ≥), dengan a ≠ 0.
* Cara Menyelesaikan:
1. Pindahkan semua suku ke satu sisi sehingga satu sisi bernilai nol.
2. Cari akar-akar persamaan kuadrat terkait (ax² + bx + c = 0).
3. Gambarkan akar-akar tersebut pada garis bilangan, yang akan membagi garis bilangan menjadi interval-interval.
4. Uji titik pada setiap interval untuk menentukan tanda pertidaksamaan di setiap daerah.
5. Pilih interval yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan yang diminta.
* Contoh Solusi: -3 < x < 2, x ≤ 1 atau x ≥ 4.
Perbedaan utama terletak pada derajat variabel dan metode penyelesaiannya. Pertidaksamaan linear biasanya menghasilkan satu interval atau satu arah, sedangkan pertidaksamaan kuadrat bisa menghasilkan satu interval atau dua interval terpisah.
30. Selesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |2x – 1| ≥ 5 secara langkah demi langkah.
Jawaban:
Pertidaksamaan nilai mutlak |2x – 1| ≥ 5 dapat dipecah menjadi dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:
Kasus 1: 2x – 1 ≥ 5
Kasus 2: 2x – 1 ≤ -5
Langkah 1: Selesaikan Kasus 1
2x – 1 ≥ 5
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
2x ≥ 5 + 1
2x ≥ 6
Bagi kedua sisi dengan 2:
x ≥ 6 / 2
x ≥ 3
Langkah 2: Selesaikan Kasus 2
2x – 1 ≤ -5
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
2x ≤ -5 + 1
2x ≤ -4
Bagi kedua sisi dengan 2:
x ≤ -4 / 2
x ≤ -2
Langkah 3: Gabungkan solusi dari kedua kasus
Solusi dari Kasus 1 adalah x ≥ 3.
Solusi dari Kasus 2 adalah x ≤ -2.
Karena ini adalah kasus “lebih dari atau sama dengan” (≥), kita menggunakan operator “ATAU” untuk menggabungkan kedua solusi.
Jadi, himpunan penyelesaian dari |2x – 1| ≥ 5 adalah x ≤ -2 atau x ≥ 3.
