Menguasai persamaan rasional adalah langkah krusial dalam perjalanan belajar matematika Anda. Artikel ini didedikasikan untuk membantu Anda mengasah kemampuan tersebut melalui serangkaian contoh soal matematika persamaan rasional yang dirancang secara komprehensif. Kami menyajikan berbagai jenis soal, mulai dari yang dasar untuk membangun pondasi pemahaman Anda, hingga soal-soal tingkat menengah yang memerlukan pemikiran kritis dan penerapan berbagai teknik aljabar. Setiap soal dilengkapi dengan langkah-langkah penyelesaian yang detail dan mudah diikuti, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami ‘mengapa’ dan ‘bagaimana’ setiap langkah diambil.
Fokus pembelajaran kami adalah pada identifikasi domain persamaan, eliminasi penyebut, mencari nilai variabel, serta yang terpenting, memeriksa solusi asing (ekstraneous solutions) yang seringkali menjadi jebakan dalam persamaan rasional. Latihan soal ini bertujuan untuk memperkuat pemahaman Anda tentang konsep-konsep kunci, meningkatkan kecepatan dan akurasi dalam menyelesaikan persamaan rasional, dan membangun kepercayaan diri Anda dalam menghadapi ujian atau tugas. Baik Anda seorang siswa yang sedang mempersiapkan ujian, guru yang mencari materi tambahan, atau siapa pun yang ingin menyegarkan kembali keterampilan aljabar, kumpulan soal ini adalah sumber daya yang tak ternilai. Mari selami dunia persamaan rasional dan taklukkan setiap tantangannya bersama kami!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang persamaan rasional, yang terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Selesaikan persamaan rasional: 1/x = 3.
a. x = 1
b. x = 3
c. x = 1/3
d. x = -3
Jawaban: c
2. Tentukan nilai x dari persamaan: 2/(x-1) = 4.
a. x = 1/2
b. x = 3/2
c. x = 2
d. x = -1/2
Jawaban: b
3. Berapakah nilai x yang memenuhi persamaan: (x+2)/3 = 2x/5?
a. x = 10/11
b. x = 4/7
c. x = 10
d. x = 11/10
Jawaban: a
4. Selesaikan persamaan: 1/x + 1/2 = 3/x.
a. x = 2
b. x = 4
c. x = 6
d. x = -2
Jawaban: b
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan 5/(x+3) = 1 adalah…
a. {2}
b. {3}
c. {-2}
d. {4}
Jawaban: a
6. Jika 3/(x-2) = 2/(x+1), maka nilai x adalah…
a. x = -1
b. x = 7
c. x = 8
d. x = -7
Jawaban: c
7. Persamaan (x-1)/(x+2) = 0 memiliki solusi x = …
a. x = 1
b. x = -2
c. x = 0
d. x = 2
Jawaban: a
8. Tentukan nilai x yang memenuhi (x+3)/(x-1) = 2.
a. x = 5
b. x = 1
c. x = -5
d. x = 4
Jawaban: a
9. Solusi dari 7/(x-2) = 7/2 adalah…
a. x = 2
b. x = 4
c. x = 0
d. x = -4
Jawaban: b
10. Persamaan x/(x-3) = 2x/(x-3) memiliki solusi…
a. x = 0
b. x = 3
c. x = 0 atau x = 3
d. Tidak ada solusi
Jawaban: a
11. Jika 1/(x-2) – 1/(x+2) = 4/(x²-4), berapakah nilai x?
a. x = 1
b. x = 0
c. Tidak ada solusi
d. x = 4
Jawaban: c
12. Himpunan penyelesaian dari (x-4)/(x-2) = (x-2)/(x-4) adalah…
a. {3}
b. {0}
c. {3, 0}
d. Tidak ada solusi
Jawaban: a
13. Nilai x yang memenuhi 1/(x+1) + 1/(x-1) = 2/x adalah…
a. x = 0
b. x = 1
c. x = -1
d. x = 2
Jawaban: d
14. Tentukan solusi dari persamaan x/(x+1) = (x+2)/(x-1).
a. x = -2
b. x = 1
c. x = -1/2
d. x = 1/2
Jawaban: c
15. Persamaan (x²-9)/(x-3) = 6 memiliki solusi x = …
a. x = 3
b. x = 6
c. x = 9
d. Tidak ada solusi
Jawaban: a
16. Batasan nilai x agar persamaan 1/(x-2) + 2/(x+1) = 5 valid adalah…
a. x ≠ 2 dan x ≠ -1
b. x ≠ 2 saja
c. x ≠ -1 saja
d. x sembarang bilangan real
Jawaban: a
17. Selesaikan persamaan: 6/(x-1) = x.
a. x = 2
b. x = 3
c. x = 2 atau x = -3
d. x = 3 atau x = -2
Jawaban: d
18. Jika (x+1)/(x-3) = (x-1)/(x+3), maka nilai x adalah…
a. x = 0
b. x = 3
c. x = -3
d. x = 1
Jawaban: a
19. Persamaan 1/x + 2/(x-1) = 0 memiliki solusi…
a. x = 1/3
b. x = -1/3
c. x = 0
d. x = 1
Jawaban: a
20. Berapa nilai x yang memenuhi 5/(x²-x-6) = 1/(x-3)?
a. x = 2
b. x = -2
c. x = -1
d. x = 3
Jawaban: c
—
## Soal Isian Singkat
1. Nilai x yang memenuhi 3/(x+1) = 1 adalah …
Jawaban: 2
2. Jika (2x-1)/(x-3) = 3, maka nilai x adalah …
Jawaban: 8
3. Solusi dari persamaan 4/x – 1 = 3 adalah …
Jawaban: 1
4. Batasan nilai x agar ekspresi 5/((x-2)(x+3)) terdefinisi adalah x ≠ … dan x ≠ …
Jawaban: 2, -3
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan (x²-1)/(x-1) = 4 adalah …
Jawaban: {3}
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan rasional 3/(x-2) = 5/x dan berikan solusinya.
Jawaban:
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Tentukan pembatasan domain: Penyebut tidak boleh nol. Jadi, x-2 ≠ 0 → x ≠ 2, dan x ≠ 0.
2. Cari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut: KPK dari (x-2) dan x adalah x(x-2).
3. Kalikan kedua sisi persamaan dengan KPK:
x(x-2) * [3/(x-2)] = x(x-2) * [5/x]
3x = 5(x-2)
4. Selesaikan persamaan linear yang dihasilkan:
3x = 5x – 10
10 = 5x – 3x
10 = 2x
x = 5
5. Periksa solusi terhadap pembatasan domain: x = 5 tidak melanggar x ≠ 2 dan x ≠ 0.
Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah x = 5.
2. Selesaikan persamaan rasional 1/(x-1) + 1/(x+1) = 2 dan jelaskan apakah ada solusi asing (extraneous solution).
Jawaban:
1. Pembatasan domain: x-1 ≠ 0 → x ≠ 1, dan x+1 ≠ 0 → x ≠ -1.
2. KPK dari penyebut: (x-1)(x+1) = x²-1.
3. Kalikan kedua sisi dengan KPK:
(x²-1) * [1/(x-1)] + (x²-1) * [1/(x+1)] = 2 * (x²-1)
(x+1) + (x-1) = 2x² – 2
2x = 2x² – 2
4. Selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:
2x² – 2x – 2 = 0
x² – x – 1 = 0
Gunakan rumus ABC: x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a
x = [1 ± √((-1)² – 4(1)(-1))] / 2(1)
x = [1 ± √(1 + 4)] / 2
x = [1 ± √5] / 2
Jadi, solusinya adalah x₁ = (1 + √5)/2 dan x₂ = (1 – √5)/2.
5. Periksa solusi asing: Kedua solusi (1 + √5)/2 dan (1 – √5)/2 tidak sama dengan 1 atau -1. Oleh karena itu, tidak ada solusi asing dalam kasus ini.
3. Dua pipa air, Pipa A dan Pipa B, digunakan untuk mengisi sebuah tangki. Pipa A sendiri dapat mengisi tangki dalam 3 jam. Jika Pipa A dan Pipa B dibuka bersamaan, tangki dapat terisi penuh dalam 2 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan Pipa B sendiri untuk mengisi tangki?
Jawaban:
Misalkan:
* Waktu Pipa A mengisi tangki = 3 jam.
* Kecepatan Pipa A = 1/3 bagian tangki per jam.
* Waktu Pipa B mengisi tangki = t jam.
* Kecepatan Pipa B = 1/t bagian tangki per jam.
* Waktu Pipa A dan B mengisi tangki bersama = 2 jam.
* Kecepatan gabungan = 1/2 bagian tangki per jam.
Persamaan yang terbentuk adalah: Kecepatan Pipa A + Kecepatan Pipa B = Kecepatan Gabungan
1/3 + 1/t = 1/2
Selesaikan persamaan untuk t:
1. Pembatasan domain: t ≠ 0.
2. KPK dari penyebut: 6t.
3. Kalikan kedua sisi dengan KPK:
6t * (1/3) + 6t * (1/t) = 6t * (1/2)
2t + 6 = 3t
4. Selesaikan persamaan linear:
6 = 3t – 2t
6 = t
5. Periksa solusi: t = 6 tidak melanggar t ≠ 0.
Jadi, Pipa B sendiri membutuhkan waktu 6 jam untuk mengisi tangki.
4. Tentukan semua solusi dari persamaan rasional (x+1)/(x²-4) + 1/(x-2) = 3/(x+2) dan nyatakan batasan nilai x yang valid.
Jawaban:
1. Faktorkan penyebut: x²-4 = (x-2)(x+2).
Persamaan menjadi: (x+1)/((x-2)(x+2)) + 1/(x-2) = 3/(x+2)
2. Pembatasan domain: x-2 ≠ 0 → x ≠ 2, dan x+2 ≠ 0 → x ≠ -2.
3. KPK dari penyebut: (x-2)(x+2).
4. Kalikan seluruh persamaan dengan KPK:
(x-2)(x+2) * [(x+1)/((x-2)(x+2))] + (x-2)(x+2) * [1/(x-2)] = (x-2)(x+2) * [3/(x+2)]
(x+1) + (x+2) = 3(x-2)
2x + 3 = 3x – 6
5. Selesaikan persamaan linear:
3 + 6 = 3x – 2x
9 = x
6. Periksa solusi terhadap pembatasan domain: Solusi x = 9 tidak melanggar x ≠ 2 dan x ≠ -2.
Jadi, solusi dari persamaan adalah x = 9, dengan batasan x ≠ 2 dan x ≠ -2.
5. Selesaikan persamaan x/(x-2) – 2/(x+1) = 6/(x²-x-2) dan tunjukkan apakah ada solusi yang tidak valid.
Jawaban:
1. Faktorkan penyebut: x²-x-2 = (x-2)(x+1).
Persamaan menjadi: x/(x-2) – 2/(x+1) = 6/((x-2)(x+1))
2. Pembatasan domain: x-2 ≠ 0 → x ≠ 2, dan x+1 ≠ 0 → x ≠ -1.
3. KPK dari penyebut: (x-2)(x+1).
4. Kalikan seluruh persamaan dengan KPK:
(x-2)(x+1) * [x/(x-2)] – (x-2)(x+1) * [2/(x+1)] = (x-2)(x+1) * [6/((x-2)(x+1))]
x(x+1) – 2(x-2) = 6
x² + x – 2x + 4 = 6
x² – x + 4 = 6
5. Selesaikan persamaan kuadrat:
x² – x – 2 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x-2)(x+1) = 0
Ini memberikan dua solusi potensial: x = 2 atau x = -1.
6. Periksa solusi terhadap pembatasan domain:
* Jika x = 2, maka x-2 = 0, yang berarti penyebut akan nol. Solusi x = 2 tidak valid.
* Jika x = -1, maka x+1 = 0, yang berarti penyebut akan nol. Solusi x = -1 tidak valid.
Karena kedua solusi potensial melanggar pembatasan domain, maka tidak ada solusi yang valid untuk persamaan ini. Semua solusi yang ditemukan adalah solusi asing (extraneous solution).
