Apakah Anda sedang mencari sumber latihan terbaik untuk menguasai ‘persamaan irasional’? Artikel ini adalah panduan lengkap Anda! Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika persamaan irasional yang dirancang khusus untuk membantu Anda memahami konsep dasar hingga tingkat yang lebih kompleks. Setiap soal dilengkapi dengan langkah-langkah penyelesaian yang detail dan mudah diikuti, memastikan Anda tidak hanya mendapatkan jawaban tetapi juga memahami logikanya. Dari menentukan domain fungsi, mengkuadratkan kedua ruas, hingga memeriksa validitas solusi (solusi asing), semua aspek penting dalam menyelesaikan persamaan irasional akan dibahas tuntas.
Latihan soal ini berorientasi pada peningkatan kemampuan analitis dan pemecahan masalah Anda dalam topik matematika ini. Dengan berfokus pada pemahaman mendalam tentang sifat-sifat bilangan irasional dan teknik aljabar yang tepat, Anda akan diajak untuk berpikir kritis dalam setiap langkah penyelesaian. Tujuan utama kami adalah membekali Anda dengan kepercayaan diri untuk menghadapi ujian sekolah, UTBK, atau kompetisi matematika lainnya yang melibatkan topik ini. Segera perdalam pemahaman Anda dan taklukkan tantangan persamaan irasional dengan koleksi soal terlengkap kami, mulai dari tingkat dasar hingga tingkat yang lebih menantang!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal mengenai ‘persamaan irasional’ dalam format yang Anda minta:
—
# Soal Pilihan Ganda
1. Himpunan penyelesaian dari persamaan √(x – 3) = 4 adalah…
a. {13}
b. {16}
c. {19}
d. {7}
Jawaban: c
2. Nilai x yang memenuhi persamaan √(2x + 1) = 3 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: d
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari √(x + 5) = x – 1.
a. {-1}
b. {4}
c. {-1, 4}
d. { } (tidak ada solusi)
Jawaban: b
4. Persamaan √(3x – 2) = x memiliki solusi x₁ dan x₂. Maka nilai x₁ + x₂ adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
5. Domain dari persamaan √(x – 4) = 2x – 10 adalah…
a. x ≥ 0
b. x ≥ 4
c. x ≥ 5
d. x ≥ 10
Jawaban: b
6. Solusi dari √(x + 7) = x + 1 adalah…
a. x = -3
b. x = 2
c. x = -3 atau x = 2
d. Tidak ada solusi real
Jawaban: b
7. Himpunan penyelesaian dari √(x² – 9) = 4 adalah…
a. {5}
b. {-5}
c. {-5, 5}
d. {3, -3}
Jawaban: c
8. Nilai x yang memenuhi √(2x + 6) = √(x + 8) adalah…
a. x = 1
b. x = 2
c. x = 3
d. x = 4
Jawaban: b
9. Jika √(x² – 4x + 4) = 5, maka nilai x yang memenuhi adalah…
a. x = 7
b. x = -3
c. x = 7 atau x = -3
d. x = 2
Jawaban: c
10. Berapakah nilai x yang memenuhi persamaan √(2x – 1) = x – 2?
a. x = 5
b. x = 1
c. x = 1 atau x = 5
d. Tidak ada solusi
Jawaban: a
11. Himpunan penyelesaian dari √(x + 2) + 1 = 4 adalah…
a. {7}
b. {11}
c. {13}
d. {16}
Jawapan: a
12. Solusi dari persamaan √(x² – 6x + 9) = 2 adalah…
a. x = 1
b. x = 5
c. x = 1 atau x = 5
d. x = 3
Jawaban: c
13. Tentukan himpunan penyelesaian dari √(x – 1) = √(2x – 5).
a. {4}
b. {2}
c. {3}
d. { } (tidak ada solusi)
Jawaban: a
14. Persamaan √(x + 3) = -2x memiliki himpunan penyelesaian…
a. {1}
b. {-3/4}
c. {1, -3/4}
d. { } (tidak ada solusi)
Jawaban: d
15. Nilai x yang memenuhi √(x + 4) = 0 adalah…
a. 4
b. -4
c. 0
d. 2
Jawaban: b
16. Persamaan √(x – 2) + √(x + 3) = 5 memiliki satu solusi x. Berapakah nilai x tersebut?
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
Jawaban: a
17. Domain yang tepat untuk persamaan √(5 – x) = x – 3 adalah…
a. x ≥ 3
b. x ≤ 5
c. 3 ≤ x ≤ 5
d. x sembarang bilangan real
Jawaban: b
18. Berapakah solusi real dari persamaan √(x² + 5) = x – 1?
a. x = 2
b. x = -2
c. x = 3
d. Tidak ada solusi real
Jawaban: d
19. Jika √(x + 10) = x – 2, maka nilai x adalah…
a. 6
b. -1
c. 6 atau -1
d. 3
Jawaban: a
20. Persamaan √(x + 5) – √(x) = 1 memiliki himpunan penyelesaian…
a. {4}
b. {3}
c. {2}
d. {1}
Jawaban: a
—
# Soal Isian Singkat
1. Jika √(x – 5) = 2, maka nilai x adalah …
Jawaban: 9
2. Solusi dari persamaan √(3x + 4) = √(x + 12) adalah x = …
Jawaban: 4
3. Nilai x yang memenuhi persamaan √(x² + 1) = √10 adalah … atau …
Jawaban: 3 atau -3
4. Himpunan penyelesaian dari persamaan √(4x – 3) = 5 adalah {…}.
Jawaban: {7}
5. Jika √(x – 2) = x – 4, maka nilai x yang valid adalah …
Jawaban: 6
—
# Soal Uraian
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan √(2x + 4) = x – 2.
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Tentukan domain: 2x + 4 ≥ 0 → 2x ≥ -4 → x ≥ -2. Serta x – 2 ≥ 0 → x ≥ 2. Jadi, domain gabungannya adalah x ≥ 2.
2. Kuadratkan kedua ruas: (√(2x + 4))² = (x – 2)²
2x + 4 = x² – 4x + 4
3. Pindahkan semua suku ke satu ruas: x² – 6x = 0
4. Faktorkan: x(x – 6) = 0
5. Dapatkan calon solusi: x₁ = 0 atau x₂ = 6
6. Periksa calon solusi ke domain dan persamaan asli:
– Untuk x₁ = 0: Tidak memenuhi domain x ≥ 2. Juga √(2(0) + 4) = 2 dan 0 – 2 = -2 (2 ≠ -2). Jadi x = 0 bukan solusi.
– Untuk x₂ = 6: Memenuhi domain x ≥ 2. Periksa ke persamaan asli: √(2(6) + 4) = √(12 + 4) = √16 = 4. Sisi kanan: 6 – 2 = 4. Karena 4 = 4, maka x = 6 adalah solusi.
Himpunan penyelesaiannya adalah {6}.
2. Jelaskan mengapa penting untuk memeriksa kembali solusi yang didapat setelah mengkuadratkan kedua ruas dalam menyelesaikan persamaan irasional.
Jawaban:
Penting untuk memeriksa kembali solusi karena proses pengkuadratan kedua ruas dapat menghasilkan “solusi ekstran” atau “solusi palsu” yang tidak memenuhi persamaan asli. Ini terjadi karena pengkuadratan menghilangkan informasi tanda (misalnya, jika A = B, maka A² = B², tetapi jika A = -B, maka A² = B² juga). Dalam persamaan irasional, terutama yang melibatkan akar kuadrat, kita harus memastikan bahwa:
1. Nilai di bawah tanda akar tidak negatif (domain).
2. Nilai ruas yang tidak memiliki akar (jika ada) atau hasil akar itu sendiri tidak negatif jika akarnya didefinisikan sebagai nilai positif (misalnya √x ≥ 0).
Pemeriksaan ini memastikan bahwa solusi yang ditemukan adalah solusi yang valid untuk persamaan irasional yang diberikan.
3. Tentukan domain dari persamaan √(x – 3) + √(7 – x) = 1 dan kemudian temukan himpunan penyelesaiannya.
Jawaban:
1. Tentukan domain:
– Untuk √(x – 3): x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3
– Untuk √(7 – x): 7 – x ≥ 0 → x ≤ 7
Domain gabungan adalah 3 ≤ x ≤ 7.
2. Selesaikan persamaan: √(x – 3) + √(7 – x) = 1
(√(x – 3) + √(7 – x))² = 1²
(x – 3) + (7 – x) + 2√((x – 3)(7 – x)) = 1
4 + 2√(7x – x² – 21 + 3x) = 1
4 + 2√(-x² + 10x – 21) = 1
2√(-x² + 10x – 21) = -3
√(-x² + 10x – 21) = -3/2
Karena nilai akar kuadrat tidak bisa negatif, maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan ini.
Himpunan penyelesaiannya adalah { } (himpunan kosong).
4. Diberikan persamaan √(x² + 4x + 4) = 3. Jelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikannya dan tentukan nilai x yang memenuhi.
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Perhatikan bentuk di bawah akar: x² + 4x + 4 adalah bentuk kuadrat sempurna (x + 2)².
Jadi persamaan menjadi √((x + 2)²) = 3.
2. Sifat akar kuadrat: √a² = |a|.
Maka persamaan menjadi |x + 2| = 3.
3. Selesaikan persamaan nilai mutlak:
– Kasus 1: x + 2 = 3 → x = 1
– Kasus 2: x + 2 = -3 → x = -5
4. Periksa solusi (dalam kasus ini, tidak perlu memeriksa domain karena |x+2| selalu terdefinisi, dan hasil akarnya adalah 3 yang non-negatif):
– Untuk x = 1: √((1)² + 4(1) + 4) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. (Benar)
– Untuk x = -5: √((-5)² + 4(-5) + 4) = √(25 – 20 + 4) = √9 = 3. (Benar)
Nilai x yang memenuhi adalah 1 atau -5.
5. Cari semua solusi real dari persamaan √(x + 1) = √(2x – 1) – 1.
Jawaban:
1. Tentukan domain:
– x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
– 2x – 1 ≥ 0 → 2x ≥ 1 → x ≥ 1/2
Domain gabungan adalah x ≥ 1/2.
2. Pindahkan -1 ke ruas kiri: √(x + 1) + 1 = √(2x – 1)
3. Kuadratkan kedua ruas: (√(x + 1) + 1)² = (√(2x – 1))²
(x + 1) + 1 + 2√(x + 1) = 2x – 1
x + 2 + 2√(x + 1) = 2x – 1
4. Isolasi suku yang memiliki akar: 2√(x + 1) = 2x – 1 – x – 2
2√(x + 1) = x – 3
5. Tentukan syarat tambahan untuk ruas kanan (karena √(x+1) ≥ 0, maka x-3 juga harus ≥ 0):
x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3.
Dengan domain awal x ≥ 1/2, maka domain yang berlaku adalah x ≥ 3.
6. Kuadratkan kedua ruas lagi: (2√(x + 1))² = (x – 3)²
4(x + 1) = x² – 6x + 9
4x + 4 = x² – 6x + 9
7. Pindahkan semua suku ke satu ruas: x² – 10x + 5 = 0
8. Gunakan rumus kuadrat untuk mencari x: x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
x = [10 ± √((-10)² – 4(1)(5))] / 2(1)
x = [10 ± √(100 – 20)] / 2
x = [10 ± √80] / 2
x = [10 ± 4√5] / 2
x = 5 ± 2√5
9. Periksa calon solusi dengan domain x ≥ 3:
– x₁ = 5 + 2√5 ≈ 5 + 2(2.23) = 5 + 4.46 = 9.46. Memenuhi x ≥ 3.
– x₂ = 5 – 2√5 ≈ 5 – 4.46 = 0.54. Tidak memenuhi x ≥ 3.
10. Periksa x₁ = 5 + 2√5 ke persamaan asli:
√( (5 + 2√5) + 1 ) = √(6 + 2√5)
√( 2(5 + 2√5) – 1 ) – 1 = √(10 + 4√5 – 1) – 1 = √(9 + 4√5) – 1
Ini adalah bagian yang sulit untuk dicek secara manual tanpa kalkulator. Namun, kita sudah memastikan domain dan syarat x-3 >= 0.
Solusi yang valid adalah x = 5 + 2√5.
