Apakah Anda sering merasa tertantang saat menghadapi soal matematika yang menuntut Anda untuk menata atau menyusun objek dengan urutan tertentu? Konsep permutasi adalah fondasi penting dalam matematika kombinatorik yang membantu kita memahami berbagai kemungkinan penataan ini. Artikel ini dirancang khusus untuk Anda yang ingin memperdalam pemahaman dan menguasai materi permutasi. Kami menyajikan serangkaian contoh soal matematika permutasi yang bervariasi, mulai dari tingkat dasar hingga menengah, memastikan Anda mendapatkan gambaran komprehensif tentang bagaimana konsep ini diterapkan dalam berbagai skenario. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail dan mudah dipahami, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya tetapi juga mengerti logika dan proses berpikir di baliknya.
Tema pembelajaran yang kami bahas meliputi permutasi dengan unsur yang berbeda, permutasi dengan unsur yang sama (multi-set), hingga permutasi siklis yang seringkali menjadi jebakan. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membekali Anda dengan kemampuan analisis yang kuat, mengasah keterampilan pemecahan masalah, dan meningkatkan kepercayaan diri dalam mengaplikasikan rumus serta konsep permutasi. Baik Anda seorang pelajar yang sedang mempersiapkan ujian, mahasiswa yang mendalami matematika diskrit, atau siapa saja yang tertarik pada logika kombinatorik, koleksi soal ini akan menjadi panduan berharga. Mari selami dunia permutasi dan taklukkan setiap tantangan matematikanya!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal mengenai permutasi dalam matematika, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Definisi permutasi yang paling tepat adalah…
a. Cara menyusun objek tanpa memperhatikan urutan.
b. Cara memilih objek tanpa memperhatikan urutan.
c. Cara menyusun objek dengan memperhatikan urutan.
d. Cara memilih objek dengan memperhatikan urutan.
Jawaban: c
2. Rumus umum untuk permutasi n objek diambil r objek pada satu waktu adalah…
a. n! / r!
b. n! / (n-r)!
c. r! / (n-r)!
d. nCr = n! / (r!(n-r)!)
Jawaban: b
3. Berapa banyak cara menyusun 3 buku yang berbeda di atas sebuah rak buku?
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
Jawaban: b (3! = 3 × 2 × 1 = 6)
4. Sebuah panitia yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara akan dipilih dari 5 kandidat. Berapa banyak susunan panitia yang mungkin?
a. 10
b. 20
c. 60
d. 120
Jawaban: c (P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60)
5. Hitung nilai dari P(7, 2).
a. 14
b. 21
c. 42
d. 49
Jawaban: c (P(7, 2) = 7! / (7-2)! = 7! / 5! = 7 × 6 = 42)
6. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata “MATA” jika semua huruf harus digunakan?
a. 6
b. 12
c. 24
d. 48
Jawaban: b (Ada 4 huruf, huruf ‘A’ berulang 2 kali. Jadi, 4! / 2! = (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 24 / 2 = 12)
7. Di sebuah kompetisi lari, ada 8 peserta. Jika hanya posisi juara 1, 2, dan 3 yang dicatat, berapa banyak kemungkinan urutan pemenang?
a. 56
b. 336
c. 512
d. 40320
Jawaban: b (P(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336)
8. Berapa banyak cara 4 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar?
a. 4
b. 6
c. 12
d. 24
Jawaban: b ((4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6)
9. Jika nP3 = 60, maka nilai n adalah…
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
Jawaban: b (nP3 = n(n-1)(n-2) = 60. Jika n=5, maka 5 × 4 × 3 = 60)
10. Berapa banyak bilangan 3 digit yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5, tanpa ada angka yang berulang?
a. 20
b. 60
c. 120
d. 125
Jawaban: b (P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 = 60)
11. Sebuah sandi terdiri dari 4 karakter yang disusun dari 6 huruf berbeda. Berapa banyak sandi yang dapat dibuat jika huruf boleh berulang?
a. 6P4
b. 6⁴
c. 4⁶
d. 6!
Jawaban: b (Ini adalah permutasi dengan pengulangan, 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴)
12. Berapa banyak cara menempatkan 5 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan dalam satu baris, jika semua siswa laki-laki harus duduk berdampingan?
a. 5! × 3!
b. 6! × 5!
c. 8!
d. 5! × 4!
Jawaban: b (Anggap 5 siswa laki-laki sebagai 1 blok, ditambah 3 siswa perempuan, jadi ada 4 ‘objek’ untuk diatur (blok LLLLL, P1, P2, P3) = 4!. Internal blok LLLLL bisa diatur 5! cara. Jadi 4! × 5! = 24 × 120 = 2880. Oh, wait, the solution is 6! * 5! from my initial thought. Let me re-evaluate. If 5 boys are a block (call it B), and there are 3 girls (G1, G2, G3). We are arranging (B, G1, G2, G3). This is 4! ways. Inside block B, the 5 boys can be arranged in 5! ways. So, it’s 4! * 5!. Let’s check the options. None of the options directly match 4! * 5!. This question might be misphrased or options are wrong, or I misunderstood “6! × 5!”.
Rethink: 5 boys (L) and 3 girls (P). Total 8 people. If L must sit together, consider the 5 L as one unit (X). Now we arrange X, P1, P2, P3. This is 4! ways. Within the unit X, the 5 L can be arranged in 5! ways. So, total ways = 4! * 5!.
4! = 24
5! = 120
24 * 120 = 2880.
Let’s check the options again.
a. 5! × 3! = 120 * 6 = 720
b. 6! × 5! = 720 * 120 = 86400 (This is too large)
c. 8! = 40320
d. 5! × 4! (Same as a, just order swapped) = 720
There seems to be an issue with the options provided for this question, or my interpretation of a common permutation problem type.
Let’s reconsider the standard solution for “n objects, with k specific objects always together”. Treat k objects as a single unit. Total objects to arrange become (n-k+1). Arrange these (n-k+1) objects: (n-k+1)! ways. Then arrange the k objects within their unit: k! ways. Total = (n-k+1)! * k!.
Here n=8 (5L+3P), k=5 (5L always together). So, (8-5+1)! * 5! = (4)! * 5! = 24 * 120 = 2880.
None of the options lead to 2880.
Let me assume option B is meant to be 4! * 5! or I’ve made a mistake in interpreting “6! * 5!”.
If the question was “5 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan”, then (5L as 1 unit) + 1P = 2 units. 2! * 5! = 2 * 120 = 240.
If the question meant “6! ways to arrange people, then 5! for something else”, it doesn’t fit standard problems.
Let’s assume there’s a typo in the options and the intended answer is 4! × 5!. If I must pick one of the existing options and force it, it’s problematic.
I’ll regenerate this question or provide a more fitting option set.
Let’s re-frame this question to fit one of the common problem types, or check if any of the given options can be derived.
The most common answer format for “k items together” is (n-k+1)! * k!.
Here (8-5+1)! * 5! = 4! * 5! = 2880.
Let’s re-create a question with options that make sense.
New Q12: Berapa banyak cara menempatkan 5 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan dalam satu baris, jika semua siswa laki-laki harus duduk berdampingan?
a. 720
b. 1440
c. 2880
d. 5760
Jawaban: c (5 siswa laki-laki dianggap 1 unit. Jadi ada 1 unit laki-laki + 3 perempuan = 4 unit. Ini bisa disusun dalam 4! cara. Sementara itu, 5 siswa laki-laki dalam unit tersebut bisa disusun dalam 5! cara. Total = 4! × 5! = 24 × 120 = 2880)
This makes sense now. I will use this version.
13. Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MISSISSIPPI”?
a. 11!
b. 11! / (4! × 4! × 2!)
c. 11! / (4! × 4! × 2! × 1!)
d. 11! / (4! × 3! × 2!)
Jawaban: b (Total 11 huruf. M=1, I=4, S=4, P=2. Jadi 11! / (1! × 4! × 4! × 2!) = 11! / (4! × 4! × 2!))
14. Jika P(n, 1) = 7, maka nilai n adalah…
a. 1
b. 7
c. 14
d. Tidak bisa ditentukan
Jawaban: b (P(n, 1) = n! / (n-1)! = n. Jadi n = 7)
15. Berapa banyak cara 5 orang duduk berjajar di sebuah bangku panjang?
a. 5
b. 10
c. 20
d. 120
Jawaban: d (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120)
16. Dari 10 karyawan, akan dipilih 3 karyawan untuk jabatan Direktur, Manajer, dan Supervisor. Berapa banyak cara pemilihan yang mungkin?
a. 120
b. 240
c. 720
d. 1000
Jawaban: c (P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720)
17. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata “BUKU”?
a. 6
b. 12
c. 24
d. 48
Jawaban: b (Total 4 huruf. B=1, U=2, K=1. Jadi 4! / 2! = (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 24 / 2 = 12)
18. P(n, n) ekuivalen dengan…
a. n
b. n!
c. 1
d. 0
Jawaban: b (P(n, n) = n! / (n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!)
19. Jika terdapat 4 kunci yang berbeda, berapa banyak cara untuk menyusunnya pada gantungan kunci melingkar?
a. 4
b. 6
c. 12
d. 24
Jawaban: b ((4-1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6)
20. Berapa banyak bilangan genap 3 digit yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 tanpa pengulangan?
a. 60
b. 90
c. 120
d. 180
Jawaban: a (Untuk bilangan genap, digit terakhir harus 2, 4, atau 6 (ada 3 pilihan).
Pilih digit terakhir: 3 cara.
Pilih digit pertama (dari sisa 5 angka): 5 cara.
Pilih digit kedua (dari sisa 4 angka): 4 cara.
Total = 3 × 5 × 4 = 60 cara.)
—
## Soal Isian Singkat
1. Hitung nilai dari 6! ÷ 3!.
Jawaban: 120 (6! = 720, 3! = 6. 720 ÷ 6 = 120)
2. Berapa nilai dari P(9, 1)?
Jawaban: 9 (P(9, 1) = 9)
3. Sebuah loker memiliki kode 4 digit yang dibuat dari angka 0-9. Jika setiap digit harus berbeda, berapa banyak kode yang mungkin?
Jawaban: 5040 (P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040)
4. Jika P(n, 2) = 30, maka nilai n adalah…
Jawaban: 6 (P(n, 2) = n(n-1) = 30. n² – n – 30 = 0. (n-6)(n+5) = 0. Karena n harus positif, n = 6)
5. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata “PAPUA”?
Jawaban: 60 (Total 5 huruf. P=2, A=2, U=1. Jadi 5! / (2! × 2!) = 120 / (2 × 2) = 120 / 4 = 30. Oh wait, 5!/(2!*2!) = 120/4 = 30. Let me check the count for PAPUA: P=2, A=2, U=1. Total 5. 5!/(2!2!) = 120/(2*2) = 120/4 = 30. My previous mental calculation gave 60. Corrected to 30.)
Okay, let’s re-calculate:
P, A, P, U, A
n=5
P occurs 2 times (n₁=2)
A occurs 2 times (n₂=2)
U occurs 1 time (n₃=1)
Formula: n! / (n₁! n₂! n₃!)
5! / (2! * 2! * 1!) = 120 / (2 * 2 * 1) = 120 / 4 = 30.
The answer is 30.
I need to be careful with calculations. Let’s make sure the example matches the formula for short answer.
5. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf pada kata “AYAM”?
Jawaban: 12 (Total 4 huruf. A=2, Y=1, M=1. Jadi 4! / 2! = 24 / 2 = 12)
This is a better one for quick calculation.
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi, serta berikan satu contoh soal untuk masing-masing.
Jawaban:
Perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi terletak pada “urutan”.
* Permutasi: Adalah cara menyusun atau mengatur objek di mana urutan itu penting. Jika urutan objek berubah, maka susunan tersebut dianggap berbeda.
* Contoh soal permutasi: Berapa banyak cara untuk memilih Ketua dan Sekretaris dari 4 orang kandidat? (P(4, 2) = 4 × 3 = 12 cara)
* Kombinasi: Adalah cara memilih atau mengambil objek di mana urutan tidak penting. Jika urutan objek berubah, susunan tersebut tetap dianggap sama.
* Contoh soal kombinasi: Berapa banyak cara untuk memilih 2 orang perwakilan dari 4 orang kandidat? (C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6 cara)
2. Sebuah keluarga yang terdiri dari ayah, ibu, dan 3 anak ingin berfoto bersama. Berapa banyak cara mereka bisa berpose dalam satu baris jika ayah dan ibu harus selalu berdampingan? Jelaskan langkah-langkah penyelesaiannya.
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Identifikasi objek: Ada 5 anggota keluarga (Ayah, Ibu, Anak1, Anak2, Anak3).
2. Kelompokkan objek yang harus bersama: Ayah dan Ibu harus selalu berdampingan. Anggap Ayah dan Ibu sebagai satu unit (AI).
3. Susun unit dan objek lainnya: Sekarang kita memiliki 4 “objek” untuk diatur dalam satu baris: (AI), Anak1, Anak2, Anak3.
4. Hitung permutasi objek-objek tersebut: 4 objek ini dapat diatur dalam 4! cara = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara.
5. Hitung permutasi di dalam unit: Ayah dan Ibu dalam unit (AI) juga bisa bertukar posisi (AI atau IA). Ini adalah 2! cara = 2 × 1 = 2 cara.
6. Kalikan hasilnya: Jumlah total cara adalah hasil perkalian permutasi objek-objek tersebut dengan permutasi di dalam unit.
Total cara = (4! cara) × (2! cara) = 24 × 2 = 48 cara.
Jadi, ada 48 cara mereka bisa berpose jika ayah dan ibu harus selalu berdampingan.
3. Berikan satu contoh situasi nyata di mana permutasi dengan objek berulang digunakan, dan hitunglah kemungkinannya.
Jawaban:
Situasi nyata: Menentukan berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA”.
Langkah-langkah penghitungan:
1. Hitung total huruf: Kata “MATEMATIKA” memiliki 10 huruf.
2. Identifikasi huruf yang berulang:
* M muncul 2 kali
* A muncul 3 kali
* T muncul 2 kali
* E, I, K muncul 1 kali
3. Gunakan rumus permutasi dengan objek berulang: n! / (n₁! n₂! … nk!)
* Di mana n = 10 (total huruf)
* n₁ = 2 (untuk M)
* n₂ = 3 (untuk A)
* n₃ = 2 (untuk T)
4. Lakukan perhitungan:
10! / (2! × 3! × 2! × 1! × 1! × 1!)
= 3.628.800 / (2 × 6 × 2)
= 3.628.800 / 24
= 151.200
Jadi, ada 151.200 susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MATEMATIKA”.
4. Jelaskan konsep permutasi siklis (melingkar) dan bagaimana rumusnya diturunkan dari permutasi linear. Berikan contoh.
Jawaban:
Konsep Permutasi Siklis:
Permutasi siklis adalah cara menyusun objek-objek dalam sebuah lingkaran. Dalam permutasi siklis, tidak ada posisi “awal” atau “akhir” yang tetap seperti pada susunan linear. Rotasi dari susunan yang sama dianggap sebagai susunan yang identik. Misalnya, jika 3 orang duduk di meja bundar, susunan ABC, BCA, dan CAB dianggap sama karena merupakan rotasi dari satu sama lain.
Penurunan Rumus:
Untuk n objek yang disusun secara linear, ada n! cara. Namun, ketika objek-objek ini disusun secara melingkar, setiap susunan linear akan memiliki n “kembaran” yang hanya berbeda dalam hal rotasi (misalnya, ABC, BCA, CAB adalah 3 kembaran dari susunan yang sama untuk 3 objek). Oleh karena itu, untuk menghilangkan redundansi ini, kita perlu membagi total permutasi linear (n!) dengan jumlah rotasi yang mungkin (n).
Sehingga, rumus permutasi siklis adalah: P(siklis) = n! / n = (n-1)!.
Contoh:
Berapa banyak cara 5 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar?
Menggunakan rumus: (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara.
Ini berarti ada 24 cara berbeda 5 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar, di mana setiap rotasi dari susunan yang sama dianggap satu cara.
5. Sebuah bilangan 4 digit akan dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk jika digit pertama harus genap dan tidak ada digit yang boleh berulang? Tunjukkan langkah-langkah penyelesaiannya.
Jawaban:
Langkah-langkah penyelesaian:
1. Identifikasi total angka yang tersedia: Angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (total 7 angka).
2. Identifikasi syarat: Bilangan 4 digit, digit pertama genap, tidak ada digit berulang.
3. Pilih digit pertama (Ribuan): Digit pertama harus genap. Angka genap yang tersedia adalah 2, 4, 6. Ada 3 pilihan.
4. Pilih digit kedua (Ratusan): Setelah 1 angka genap digunakan untuk digit pertama, tersisa 6 angka (dari 7 total dikurangi 1 yang sudah dipakai). Ada 6 pilihan.
5. Pilih digit ketiga (Puluhan): Setelah 2 angka digunakan, tersisa 5 angka. Ada 5 pilihan.
6. Pilih digit keempat (Satuan): Setelah 3 angka digunakan, tersisa 4 angka. Ada 4 pilihan.
7. Kalikan semua pilihan: Jumlah total bilangan yang dapat dibentuk adalah 3 × 6 × 5 × 4.
Total = 3 × 6 × 5 × 4 = 18 × 20 = 360.
Jadi, ada 360 bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dengan syarat tersebut.
