Selami dunia logika matematika yang fundamental dengan koleksi contoh soal matematika modus ponens ini! Artikel ini dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai salah satu kaidah inferensi terpenting dalam logika proposisional. Kami menyajikan serangkaian soal yang bervariasi, mulai dari identifikasi premis dan konklusi sederhana hingga studi kasus yang memerlukan penalaran lebih mendalam. Setiap contoh soal dilengkapi dengan penjelasan langkah demi langkah yang gamblang, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami proses berpikir di baliknya.
Fokus pembelajaran kita adalah pada konsep Modus Ponens, yaitu aturan yang menyatakan bahwa jika kita memiliki suatu implikasi “Jika P maka Q” dan kita juga tahu bahwa “P” adalah benar, maka secara logis kita dapat menyimpulkan bahwa “Q” juga benar. Materi ini sangat relevan bagi siswa SMA, mahasiswa yang mengambil mata kuliah logika diskrit atau matematika dasar, serta siapa pun yang ingin meningkatkan kemampuan penalaran logisnya. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk memperkuat pemahaman Anda tentang prinsip Modus Ponens, melatih Anda dalam mengidentifikasi struktur argumen logis, dan meningkatkan akurasi Anda dalam menarik kesimpulan yang valid. Dengan berlatih melalui soal-soal ini, Anda akan siap menghadapi ujian dan mampu menerapkan penalaran Modus Ponens dalam berbagai konteks, baik akademis maupun praktis. Mari kita mulai asah kemampuan logika Anda!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang ‘modus ponens’, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Jika sebuah bilangan adalah kelipatan 3, maka jumlah digit-digitnya habis dibagi 3. Diketahui 27 adalah kelipatan 3. Manakah kesimpulan yang benar?
a. Jumlah digit 27 tidak habis dibagi 3.
b. 27 adalah bilangan prima.
c. Jumlah digit 27 habis dibagi 3.
d. 27 bukan kelipatan 3.
Jawaban: c
2. Jika x = 5, maka nilai dari 2x + 1 adalah 11. Diketahui x = 5. Berapakah nilai dari 2x + 1?
a. 10
b. 11
c. 12
d. 6
Jawaban: b
3. Jika sebuah bangun datar adalah persegi, maka semua sisinya sama panjang. Diketahui bangun ABCD adalah persegi. Manakah pernyataan yang pasti benar?
a. Sisi AB lebih panjang dari sisi BC.
b. Semua sisi bangun ABCD tidak sama panjang.
c. Semua sisi bangun ABCD sama panjang.
d. Bangun ABCD memiliki tiga sisi.
Jawaban: c
4. Jika f(x) = 3x – 2, maka f(4) = 10. Diketahui bahwa x = 4. Berapakah nilai f(x)?
a. 3
b. 10
c. 12
d. 14
Jawaban: b
5. Jika sebuah bilangan adalah bilangan genap, maka bilangan tersebut habis dibagi 2. Diketahui 18 adalah bilangan genap. Manakah kesimpulan yang tepat?
a. 18 tidak habis dibagi 2.
b. 18 adalah bilangan ganjil.
c. 18 habis dibagi 2.
d. 18 adalah bilangan prima.
Jawaban: c
6. Jika sebuah segitiga memiliki sudut 90°, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Segitiga PQR memiliki sudut P = 90°. Kesimpulan apa yang dapat diambil?
a. Segitiga PQR adalah segitiga sama sisi.
b. Segitiga PQR adalah segitiga lancip.
c. Segitiga PQR adalah segitiga tumpul.
d. Segitiga PQR adalah segitiga siku-siku.
Jawaban: d
7. Jika y = x², maka ketika x = 3, nilai y = 9. Diketahui x = 3. Berapakah nilai y?
a. 3
b. 6
c. 9
d. 12
Jawaban: c
8. Jika akar kuadrat dari sebuah bilangan adalah bilangan bulat, maka bilangan tersebut adalah bilangan kuadrat sempurna. Diketahui akar kuadrat dari 25 adalah 5 (bilangan bulat). Maka, 25 adalah …
a. Bilangan prima.
b. Bilangan ganjil.
c. Bilangan kuadrat sempurna.
d. Bilangan genap.
Jawaban: c
9. Jika a + b = 10, maka b = 10 – a. Diketahui a = 7 dan a + b = 10. Berapakah nilai b?
a. 3
b. 7
c. 10
d. 17
Jawaban: a
10. Jika suatu bilangan lebih besar dari 10, maka bilangan tersebut bukan bilangan satu digit. Diketahui 15 adalah suatu bilangan yang lebih besar dari 10. Manakah kesimpulan yang benar?
a. 15 adalah bilangan satu digit.
b. 15 adalah bilangan prima.
c. 15 bukan bilangan satu digit.
d. 15 adalah bilangan genap.
Jawaban: c
11. Jika dua sudut adalah sudut komplementer, maka jumlah kedua sudut tersebut adalah 90°. Diketahui sudut A dan sudut B adalah sudut komplementer. Berapakah jumlah sudut A dan B?
a. 180°
b. 90°
c. 45°
d. 360°
Jawaban: b
12. Jika sebuah fungsi adalah fungsi linier, maka grafiknya berupa garis lurus. Fungsi g(x) = 2x + 3 adalah fungsi linier. Bagaimana bentuk grafik dari g(x)?
a. Kurva parabola.
b. Garis lurus.
c. Lingkaran.
d. Titik tunggal.
Jawaban: b
13. Jika suatu persamaan memiliki bentuk ax + b = c dengan a ≠ 0, maka ada tepat satu solusi untuk x. Diketahui 2x + 5 = 11 adalah persamaan dengan a = 2, b = 5, c = 11. Berapa banyak solusi untuk x?
a. Tidak ada solusi.
b. Tak hingga solusi.
c. Tepat satu solusi.
d. Dua solusi.
Jawaban: c
14. Jika sebuah bilangan diakhiri dengan angka 0 atau 5, maka bilangan tersebut habis dibagi 5. Diketahui 40 diakhiri dengan angka 0. Manakah pernyataan yang benar?
a. 40 tidak habis dibagi 5.
b. 40 habis dibagi 5.
c. 40 adalah bilangan ganjil.
d. 40 adalah bilangan prima.
Jawaban: b
15. Jika luas sebuah persegi dengan sisi s adalah s², maka luas persegi dengan sisi 6 cm adalah 36 cm². Diketahui sisi sebuah persegi adalah 6 cm. Berapakah luasnya?
a. 12 cm²
b. 24 cm²
c. 36 cm²
d. 48 cm²
Jawaban: c
16. Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n! (n faktorial) adalah hasil kali n × (n-1) × … × 1. Diketahui n = 4. Berapakah nilai 4!?
a. 8
b. 12
c. 16
d. 24
Jawaban: d
17. Jika suatu persamaan kuadrat memiliki diskriminan positif, maka persamaan tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Persamaan x² – 5x + 6 = 0 memiliki diskriminan D = (-5)² – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 (positif). Manakah kesimpulan yang benar?
a. Persamaan memiliki satu akar real.
b. Persamaan memiliki akar imajiner.
c. Persamaan tidak memiliki akar real.
d. Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda.
Jawaban: d
18. Jika sebuah bangun datar memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut siku-siku, maka bangun tersebut adalah persegi. Diketahui bangun PQRS memiliki empat sisi yang sama panjang dan empat sudut siku-siku. Bangun apakah PQRS?
a. Persegi panjang
b. Jajar genjang
c. Persegi
d. Trapesium
Jawaban: c
19. Jika suatu angka dibagi 10, maka digit terakhirnya akan menjadi digit di belakang koma. Jika 75 dibagi 10, maka hasilnya adalah 7,5. Manakah pernyataan yang benar?
a. Digit terakhir dari 75 (yaitu 5) akan menjadi digit di belakang koma pada 7,5.
b. Digit terakhir dari 75 (yaitu 5) akan menjadi digit pertama di depan koma pada 7,5.
c. Hasil pembagian 75 oleh 10 adalah bilangan bulat.
d. 75 dibagi 10 menghasilkan 750.
Jawaban: a
20. Jika a = 2 dan b = 3, maka (a + b)² = 25. Diketahui a = 2 dan b = 3. Berapakah nilai dari (a + b)²?
a. 5
b. 10
c. 25
d. 36
Jawaban: c
—
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
21. Jika sebuah bilangan adalah bilangan prima, maka bilangan tersebut hanya memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Diketahui 7 adalah bilangan prima. Maka 7 hanya memiliki dua faktor, yaitu … dan …
Jawaban: 1, 7
22. Jika nilai rata-rata dari dua bilangan adalah 5, maka jumlah kedua bilangan tersebut adalah 10. Diketahui nilai rata-rata bilangan A dan B adalah 5. Maka jumlah A dan B adalah …
Jawaban: 10
23. Jika x = 2, maka nilai dari x³ adalah 8. Diketahui x = 2. Berapakah nilai dari x³?
Jawaban: 8
24. Jika suatu ekspresi adalah (a + b)(a – b), maka hasilnya adalah a² – b². Diketahui ekspresi yang diberikan adalah (5 + 3)(5 – 3). Maka hasilnya adalah 5² – 3², yaitu …
Jawaban: 16 (karena 25 – 9 = 16)
25. Jika sebuah bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan ganjil, maka hasilnya adalah bilangan ganjil. Diketahui 3 adalah bilangan ganjil dan 5 adalah bilangan ganjil. Maka hasil dari 3 × 5 adalah bilangan …
Jawaban: ganjil
—
## Soal Uraian (5 Soal)
26. Jelaskan bagaimana aturan Modus Ponens digunakan untuk menyimpulkan nilai dari 3x jika diketahui ‘Jika x = 4, maka 3x = 12’ dan ‘x = 4’.
Jawaban:
Aturan Modus Ponens memiliki struktur: Jika P, maka Q. Diketahui P. Maka disimpulkan Q.
Dalam soal ini:
* Pernyataan P adalah “x = 4”.
* Pernyataan Q adalah “3x = 12”.
* Premis 1: “Jika x = 4, maka 3x = 12” (P → Q).
* Premis 2: “x = 4” (P).
Berdasarkan Modus Ponens, karena premis “x = 4” adalah benar dan kita memiliki implikasi “Jika x = 4, maka 3x = 12”, maka kita dapat menyimpulkan bahwa “3x = 12” adalah benar.
27. Diberikan pernyataan: ‘Jika sebuah sudut adalah sudut lancip, maka besar sudut tersebut kurang dari 90°.’ Diketahui sudut C memiliki besar 45°. Jelaskan langkah-langkah penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens.
Jawaban:
1. Identifikasi Premis Mayor (P → Q): “Jika sebuah sudut adalah sudut lancip (P), maka besar sudut tersebut kurang dari 90° (Q).”
2. Identifikasi Premis Minor (P): Dari informasi “sudut C memiliki besar 45°”, kita tahu bahwa 45° < 90°. Ini berarti sudut C memenuhi kondisi 'kurang dari 90°', yang merupakan konsekuen (Q). Namun, untuk menggunakan modus ponens secara langsung, kita perlu membuktikan bahwa "sudut C adalah sudut lancip".
*Revisi untuk Modus Ponens yang tepat*:
Jika kita memiliki “sudut C adalah sudut lancip.” sebagai P.
Maka dari P → Q dan P, kita bisa simpulkan Q.
Untuk soal ini, agar Modus Ponens berlaku, premis minor harus langsung menyatakan P, yaitu “sudut C adalah sudut lancip”.
Jika soalnya adalah: “Jika sebuah sudut adalah sudut lancip, maka besar sudut tersebut kurang dari 90°. Diketahui sudut C adalah sudut lancip.”
Maka kesimpulannya adalah “Besar sudut C kurang dari 90°.”
*Jika mengikuti soal asli*: kita tahu sudut C = 45°. Ini adalah sebuah fakta. Kita tahu bahwa 45° < 90°. Karena 45° < 90°, maka kita bisa menyimpulkan bahwa sudut C adalah sudut lancip (menggunakan definisi sudut lancip), bukan modus ponens dari pernyataan awal.
Mari kita revisi soal agar tepat menggunakan Modus Ponens:
27. Diberikan pernyataan: ‘Jika sebuah sudut adalah sudut lancip, maka besar sudut tersebut kurang dari 90°.’ Diketahui sudut C adalah sudut lancip. Jelaskan langkah-langkah penarikan kesimpulan menggunakan Modus Ponens.
Jawaban (Revisi):
1. Premis 1 (P → Q): “Jika sebuah sudut adalah sudut lancip (P), maka besar sudut tersebut kurang dari 90° (Q).”
2. Premis 2 (P): “Sudut C adalah sudut lancip.”
3. Kesimpulan (Q): Dengan menerapkan Modus Ponens, karena kita tahu bahwa jika suatu sudut adalah lancip maka besarnya kurang dari 90°, dan kita juga tahu bahwa sudut C adalah lancip, maka kita dapat menyimpulkan bahwa “Besar sudut C kurang dari 90°.”
28. Diketahui aturan eksponen: ‘Jika suatu bilangan a berpangkat m dikalikan dengan bilangan a berpangkat n (aᵐ × aⁿ), maka hasilnya adalah a berpangkat (m+n) (aᵐ⁺ⁿ).’ Jika kita memiliki ekspresi 2³ × 2⁵, jelaskan bagaimana Modus Ponens membantu menemukan hasilnya.
Jawaban:
1. Identifikasi P → Q: “Jika suatu ekspresi berbentuk aᵐ × aⁿ (P), maka hasilnya adalah aᵐ⁺ⁿ (Q).”
2. Identifikasi P: Ekspresi yang diberikan adalah 2³ × 2⁵. Ini sesuai dengan bentuk aᵐ × aⁿ, di mana a=2, m=3, dan n=5.
3. Aplikasi Modus Ponens: Karena kita memiliki premis P (ekspresi adalah 2³ × 2⁵) dan kita tahu bahwa P mengimplikasikan Q (hasilnya adalah aᵐ⁺ⁿ), maka kita dapat menyimpulkan Q.
4. Kesimpulan (Q): Jadi, hasil dari 2³ × 2⁵ adalah 2³⁺⁵ = 2⁸.
29. Sebuah toko memberikan promosi: ‘Jika total belanjaan seorang pelanggan melebihi Rp100.000,00, maka pelanggan tersebut akan mendapatkan diskon 10%.’ Ibu Ani berbelanja di toko tersebut dengan total Rp150.000,00. Tentukan apakah Ibu Ani mendapatkan diskon dan jelaskan alasannya menggunakan prinsip Modus Ponens.
Jawaban:
1. Premis 1 (P → Q): “Jika total belanjaan seorang pelanggan melebihi Rp100.000,00 (P), maka pelanggan tersebut akan mendapatkan diskon 10% (Q).”
2. Premis 2 (P): “Ibu Ani berbelanja dengan total Rp150.000,00.” Karena Rp150.000,00 melebihi Rp100.000,00, maka kondisi P terpenuhi.
3. Kesimpulan (Q): Berdasarkan Modus Ponens, karena premis P adalah benar dan P mengimplikasikan Q, maka Q haruslah benar.
4. Jadi: Ibu Ani akan mendapatkan diskon 10% karena total belanjaannya (Rp150.000,00) memenuhi syarat untuk mendapatkan diskon.
30. Dalam geometri, terdapat pernyataan: ‘Jika sebuah bangun datar adalah segitiga sama sisi, maka ketiga sudutnya sama besar.’ Diketahui segitiga XYZ adalah segitiga sama sisi. Jelaskan kesimpulan apa yang dapat ditarik mengenai sudut-sudut segitiga XYZ menggunakan Modus Ponens.
Jawaban:
1. Premis 1 (P → Q): “Jika sebuah bangun datar adalah segitiga sama sisi (P), maka ketiga sudutnya sama besar (Q).”
2. Premis 2 (P): “Segitiga XYZ adalah segitiga sama sisi.”
3. Kesimpulan (Q): Menggunakan aturan Modus Ponens, karena premis “Segitiga XYZ adalah segitiga sama sisi” adalah benar, dan premis ini mengimplikasikan bahwa ketiga sudutnya sama besar, maka kita dapat menyimpulkan bahwa “Ketiga sudut segitiga XYZ sama besar.”
