Logaritma seringkali menjadi salah satu topik dalam matematika yang dianggap menantang oleh banyak siswa. Namun, dengan pendekatan yang tepat dan latihan soal yang terarah, materi ini sebenarnya sangat bisa dikuasai. Artikel ini didedikasikan untuk membantu Anda menaklukkan kesulitan tersebut melalui kumpulan ‘contoh soal matematika logaritma’ yang komprehensif dan mudah dipahami. Kami menyajikan berbagai jenis soal, mulai dari konsep dasar definisi logaritma, penggunaan sifat-sifat logaritma seperti sifat perkalian, pembagian, perpangkatan, hingga perubahan basis yang esensial untuk memecahkan soal-soal yang lebih kompleks.
Fokus utama dari konten pembelajaran ini adalah untuk membangun pemahaman yang kuat, bukan sekadar menghafal rumus. Setiap contoh soal disertai dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail, memungkinkan Anda untuk mengikuti alur berpikir matematis dan memahami logika di balik setiap solusi. Anda akan menemukan soal-soal yang menguji kemampuan Anda dalam menyelesaikan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma, serta aplikasi logaritma dalam konteks masalah nyata. Tujuan dari latihan soal ini adalah untuk meningkatkan kepercayaan diri Anda, mengasah kemampuan analisis, dan mempersiapkan Anda secara optimal untuk menghadapi berbagai evaluasi, mulai dari ulangan harian, ujian semester, hingga persiapan seleksi masuk perguruan tinggi seperti UTBK. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan kumpulan soal ini, Anda akan siap menghadapi tantangan logaritma dengan lebih percaya diri dan hasil yang memuaskan.
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang logaritma, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
# Soal Pilihan Ganda
1. Bentuk eksponen dari ³log 81 = 4 adalah…
a. 4³ = 81
b. 81⁴ = 3
c. 3⁴ = 81
d. 81³ = 4
Jawaban: c
2. Nilai dari ²log 32 adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Jawaban: d
3. Hasil dari ⁵log 25 + ⁵log 1 adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: c
4. Jika log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477, maka nilai dari log 6 adalah…
a. 0,176
b. 0,778
c. 1,570
d. 0,602
Jawaban: b
5. Nilai dari ³log 27 – ³log 9 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
6. Bentuk sederhana dari ²log 8 + ²log 4 adalah…
a. ²log 12
b. ²log 32
c. ²log 2
d. ²log 16
Jawaban: b
7. Jika ²log x = 3, maka nilai x adalah…
a. 4
b. 6
c. 8
d. 9
Jawaban: c
8. Nilai dari ²log (1/8) adalah…
a. -3
b. -2
c. 2
d. 3
Jawaban: a
9. Hasil dari (²log 3) × (³log 8) adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Jawaban: b
10. Jika ⁴log x = 2, maka nilai x adalah…
a. 2
b. 4
c. 8
d. 16
Jawaban: d
11. Nilai dari log 1000 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
12. Jika ²log 5 = p, maka nilai dari ²log 25 adalah…
a. p²
b. 2p
c. p/2
d. 5p
Jawaban: b
13. Hasil dari ⁷log 49 + ⁷log (1/7) adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: b
14. Jika ᵃlog b = c, maka b dapat dinyatakan sebagai…
a. aᶜ
b. cᵃ
c. a/c
d. c/a
Jawaban: a
15. Mana yang BUKAN merupakan sifat logaritma?
a. ᵃlog (b × c) = ᵃlog b + ᵃlog c
b. ᵃlog (b ÷ c) = ᵃlog b – ᵃlog c
c. ᵃlog bⁿ = n × ᵃlog b
d. ᵃlog (b + c) = ᵃlog b + ᵃlog c
Jawaban: d
16. Nilai dari ³log 5 + ³log 15 – ³log 25 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
17. Bentuk lain dari ᵃlog b adalah…
a. ᵇlog a
b. 1 / ᵇlog a
c. -ᵃlog b
d. bᵃ
Jawaban: b
18. Jika ⁹log 27 = x, maka nilai x adalah…
a. 1/2
b. 2/3
c. 3/2
d. 2
Jawaban: c
19. Diberikan ²log 3 = a dan ²log 5 = b. Nilai dari ²log 45 adalah…
a. 2a + b
b. a + 2b
c. a²b
d. a + b
Jawaban: a
20. Jika ⁵log (x-2) = 1, maka nilai x adalah…
a. 3
b. 5
c. 7
d. 9
Jawaban: c
—
# Soal Isian Singkat
1. Nilai dari ⁶log 36 adalah …
Jawaban: 2
2. Jika ⁷log x = 0, maka nilai x adalah …
Jawaban: 1
3. Hasil dari ⁴log 64 adalah …
Jawaban: 3
4. Bentuk logaritma dari 5³ = 125 adalah …
Jawaban: ⁵log 125 = 3
5. Jika ²log 6 – ²log 3 = y, maka nilai y adalah …
Jawaban: 1
—
# Soal Uraian
1. Jelaskan pengertian dasar dari logaritma ᵃlog b = c dan bagaimana hubungannya dengan bentuk eksponen.
Jawaban: Logaritma adalah invers dari eksponen. Pengertian dasar dari ᵃlog b = c adalah bahwa `a` dipangkatkan dengan `c` akan menghasilkan `b`. Dengan kata lain, `aᶜ = b`. Dalam ekspresi ini, `a` disebut basis logaritma (syarat `a > 0` dan `a ≠ 1`), `b` disebut numerus (syarat `b > 0`), dan `c` adalah nilai logaritma atau eksponennya.
2. Sebutkan dan jelaskan dua sifat dasar logaritma yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian, lalu berikan contoh untuk masing-masing sifat.
Jawaban:
Dua sifat dasar logaritma tersebut adalah:
* Sifat Perkalian: Logaritma dari perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan.
Rumus: `ᵃlog (b × c) = ᵃlog b + ᵃlog c`
Contoh: ²log (4 × 8) = ²log 4 + ²log 8 = 2 + 3 = 5. (Verifikasi: ²log 32 = 5)
* Sifat Pembagian: Logaritma dari pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan.
Rumus: `ᵃlog (b ÷ c) = ᵃlog b – ᵃlog c`
Contoh: ³log (81 ÷ 3) = ³log 81 – ³log 3 = 4 – 1 = 3. (Verifikasi: ³log 27 = 3)
3. Tentukan nilai x dari persamaan: ²log (x+1) + ²log (x-1) = 3.
Jawaban:
²log (x+1) + ²log (x-1) = 3
Menggunakan sifat `ᵃlog b + ᵃlog c = ᵃlog (b × c)`:
²log ((x+1)(x-1)) = 3
²log (x² – 1) = 3
Mengubah ke bentuk eksponen:
x² – 1 = 2³
x² – 1 = 8
x² = 8 + 1
x² = 9
x = ±√9
x = 3 atau x = -3
Namun, logaritma memiliki syarat numerus harus positif.
Untuk `x+1 > 0`, maka `x > -1`.
Untuk `x-1 > 0`, maka `x > 1`.
Kedua syarat ini harus dipenuhi, sehingga `x > 1`.
Oleh karena itu, nilai x = -3 tidak memenuhi syarat.
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3.
4. Skala pH digunakan untuk mengukur keasaman atau kebasaan suatu larutan, yang didefinisikan sebagai pH = -log [H⁺], di mana [H⁺] adalah konsentrasi ion hidrogen dalam molar. Jika konsentrasi ion hidrogen dalam suatu larutan adalah 10⁻⁴ M, hitunglah pH larutan tersebut. Jelaskan juga artinya.
Jawaban:
Diberikan [H⁺] = 10⁻⁴ M.
Menggunakan rumus pH = -log [H⁺]:
pH = -log (10⁻⁴)
pH = -(-4)
pH = 4
Artinya, larutan tersebut memiliki pH sebesar 4. Dalam skala pH (yang umumnya berkisar dari 0 hingga 14), pH kurang dari 7 menunjukkan larutan bersifat asam. Oleh karena itu, larutan dengan pH 4 ini bersifat asam.
5. Tunjukkan bahwa ᵃlog b = (log b) / (log a), dengan menggunakan basis 10. (Asumsikan sifat `a^(ᵃlog b) = b` sudah diketahui).
Jawaban:
Untuk menunjukkan sifat perubahan basis logaritma `ᵃlog b = (log b) / (log a)`:
Misalkan `x = ᵃlog b`.
Berdasarkan definisi logaritma, bentuk ini dapat diubah menjadi bentuk eksponen:
`aˣ = b`
Selanjutnya, kita ambil logaritma dengan basis 10 (logaritma umum) pada kedua sisi persamaan:
`log (aˣ) = log b`
Menggunakan sifat logaritma `log Mⁿ = n log M`:
`x × log a = log b`
Kemudian, kita isolasi `x`:
`x = (log b) / (log a)`
Karena kita mendefinisikan `x = ᵃlog b` di awal, kita bisa substitusikan kembali `x` dengan `ᵃlog b`:
`ᵃlog b = (log b) / (log a)`
Ini membuktikan sifat perubahan basis logaritma.
