Limit fungsi seringkali menjadi salah satu topik paling menantang dalam pembelajaran matematika, baik di tingkat SMA maupun perkuliahan. Untuk membantu Anda menguasai konsep krusial ini secara menyeluruh, kami hadirkan koleksi lengkap *contoh soal matematika limit fungsi* yang dirancang khusus untuk memperdalam pemahaman dan mengasah kemampuan Anda dalam menyelesaikan berbagai permasalahan. Artikel ini menyajikan beragam jenis soal, mulai dari limit fungsi aljabar sederhana, limit tak hingga, hingga limit fungsi trigonometri yang lebih kompleks, semuanya dilengkapi dengan pembahasan yang detail dan mudah dipahami langkah demi langkah.
Setiap *latihan soal limit fungsi* yang kami berikan tidak hanya bertujuan untuk menguji pengetahuan Anda, tetapi juga untuk membantu Anda mengidentifikasi pola-pola penyelesaian, menerapkan berbagai teorema limit, dan mengembangkan strategi efektif dalam menghadapi soal ujian. Dengan berlatih secara teratur menggunakan *kumpulan soal limit matematika* ini, Anda akan mampu mengatasi kesulitan, meningkatkan kepercayaan diri, serta mempersiapkan diri dengan lebih baik untuk berbagai evaluasi dan ujian. Baik Anda seorang siswa SMA yang sedang mempersiapkan Ujian Nasional atau UTBK, mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus, atau siapa pun yang ingin memperdalam pemahaman tentang *materi limit fungsi*, sumber ini adalah panduan esensial untuk mencapai penguasaan penuh. Mari mulai berlatih dan taklukkan limit fungsi bersama kami!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai limit fungsi matematika, dibagi menjadi 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Nilai dari lim (2x + 5) saat x mendekati 3 adalah…
a. 7
b. 8
c. 9
d. 11
Jawaban: d
2. Hasil dari lim (x² – 4) / (x – 2) saat x mendekati 2 adalah…
a. 0
b. 2
c. 4
d. Tidak ada
Jawaban: c
3. Tentukan nilai lim (x² – 9) / (x + 3) saat x mendekati -3.
a. -6
b. -3
c. 0
d. 6
Jawaban: a
4. Nilai dari lim (√(x + 1) – 2) / (x – 3) saat x mendekati 3 adalah…
a. 1/4
b. 1/2
c. 1
d. 2
Jawaban: a
5. lim (3x² – 2x + 1) saat x mendekati ∞ adalah…
a. 0
b. 1
c. 3
d. ∞
Jawaban: d
6. Hasil dari lim (2x³ + x) / (x³ – 5x) saat x mendekati ∞ adalah…
a. 0
b. 1/5
c. 2
d. ∞
Jawaban: c
7. Tentukan nilai lim (4x + 1) / (x² + 3) saat x mendekati ∞.
a. 0
b. 1
c. 4
d. ∞
Jawaban: a
8. Nilai dari lim (sin x / x) saat x mendekati 0 adalah…
a. 0
b. 1/2
c. 1
d. Tidak ada
Jawaban: c
9. Hasil dari lim (tan 2x / x) saat x mendekati 0 adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. ∞
Jawaban: c
10. lim (1 – cos x) / x saat x mendekati 0 adalah…
a. 0
b. 1/2
c. 1
d. -1
Jawaban: a
11. Tentukan lim (x + |x|) / x saat x mendekati 0⁻.
a. -2
b. 0
c. 2
d. Tidak ada
Jawaban: b
12. Nilai dari lim (x² – 1) / (x – 1) saat x mendekati 1 adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. Tidak ada
Jawaban: c
13. Hasil dari lim (x³ – 8) / (x – 2) saat x mendekati 2 adalah…
a. 0
b. 4
c. 8
d. 12
Jawaban: d
14. Tentukan lim (5x + 3) saat x mendekati -1.
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
Jawaban: a
15. Nilai dari lim (x² + x – 6) / (x – 2) saat x mendekati 2 adalah…
a. 0
b. 3
c. 5
d. 6
Jawapan: c
16. Hasil dari lim (√(x – 1) – 1) / (x – 2) saat x mendekati 2 adalah…
a. 0
b. 1/2
c. 1
d. 2
Jawaban: b
17. Tentukan nilai lim (3x² – 5x + 2) / (x² + x – 6) saat x mendekati ∞.
a. 0
b. 1/3
c. 3
d. ∞
Jawaban: c
18. Nilai dari lim (sin 4x / 2x) saat x mendekati 0 adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 4
Jawaban: c
19. Hasil dari lim (x³ + 2x² – x – 2) / (x + 2) saat x mendekati -2 adalah…
a. -3
b. -1
c. 0
d. 1
Jawaban: a
20. Diberikan fungsi f(x) = { 2x jika x < 1, 3 - x jika x ≥ 1 }. Nilai lim f(x) saat x mendekati 1 adalah...
a. 1
b. 2
c. 3
d. Tidak ada
Jawaban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Nilai dari lim (4x – 5) saat x mendekati 2 adalah …
Jawaban: 3
2. Hasil dari lim (x² + 5x + 6) / (x + 2) saat x mendekati -2 adalah …
Jawaban: 1
3. lim (tan 3x / x) saat x mendekati 0 adalah …
Jawaban: 3
4. Tentukan nilai lim (2x + 1) / (x – 3) saat x mendekati ∞.
Jawaban: 2
5. Jika lim (x² – ax + 4) / (x – 2) memiliki nilai saat x mendekati 2, maka nilai a adalah …
Jawaban: 4
—
## Soal Uraian
1. Hitunglah nilai dari lim (x² – 5x + 6) / (x – 2) saat x mendekati 2. Jelaskan langkah-langkah penyelesaiannya.
Jawaban:
Langkah-langkahnya:
1. Substitusi langsung x = 2 ke dalam fungsi menghasilkan (2² – 5(2) + 6) / (2 – 2) = (4 – 10 + 6) / 0 = 0/0. Ini adalah bentuk tak tentu, jadi perlu metode lain.
2. Faktorkan pembilang: x² – 5x + 6 dapat difaktorkan menjadi (x – 2)(x – 3).
3. Tulis ulang limitnya: lim (x – 2)(x – 3) / (x – 2) saat x mendekati 2.
4. Batalkan faktor (x – 2) di pembilang dan penyebut (karena x mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2, maka x – 2 ≠ 0).
5. Fungsi menjadi lim (x – 3) saat x mendekati 2.
6. Substitusi x = 2 ke dalam (x – 3) menghasilkan 2 – 3 = -1.
Jadi, nilai limitnya adalah -1.
2. Jelaskan konsep limit fungsi di suatu titik secara intuitif.
Jawaban:
Secara intuitif, limit fungsi f(x) saat x mendekati suatu titik c adalah nilai yang “didekati” oleh f(x) ketika x semakin mendekat ke c (dari kedua sisi, yaitu dari kiri dan dari kanan), tetapi tidak harus sama dengan f(c). Ini seperti kita ingin mengetahui ke mana nilai fungsi itu “menuju” saat inputnya mendekati suatu angka tertentu, bahkan jika fungsi tersebut mungkin tidak terdefinisi di angka tersebut atau memiliki nilai yang berbeda di titik itu.
3. Tentukan apakah lim f(x) ada di x=1 untuk fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai berikut: f(x) = { x² jika x < 1, 2x - 1 jika x ≥ 1 }. Jelaskan alasan Anda.
Jawaban:
Untuk menentukan apakah limit ada, kita harus memeriksa limit kiri dan limit kanan.
1. Limit kiri (x mendekati 1 dari sisi kiri): lim f(x) saat x→1⁻ = lim x² saat x→1⁻ = 1² = 1.
2. Limit kanan (x mendekati 1 dari sisi kanan): lim f(x) saat x→1⁺ = lim (2x – 1) saat x→1⁺ = 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1.
Karena limit kiri (1) sama dengan limit kanan (1), maka lim f(x) saat x mendekati 1 ada, dan nilainya adalah 1.
4. Hitunglah lim (√(x² + 4x) – x) saat x mendekati ∞.
Jawaban:
Langkah-langkahnya:
1. Ini adalah bentuk tak tentu (∞ – ∞). Kita kalikan dengan bentuk sekawannya:
lim [(√(x² + 4x) – x) * (√(x² + 4x) + x) / (√(x² + 4x) + x)] saat x→∞.
2. Pembilang menjadi (x² + 4x) – x² = 4x.
3. Penyebut menjadi √(x² + 4x) + x.
4. Limit menjadi lim [4x / (√(x² + 4x) + x)] saat x→∞.
5. Bagi semua suku dengan x (atau √x² untuk di bawah akar):
lim [4x/x / (√(x²/x² + 4x/x²) + x/x)] saat x→∞.
lim [4 / (√(1 + 4/x) + 1)] saat x→∞.
6. Saat x mendekati ∞, 4/x mendekati 0.
7. Substitusi nilai: 4 / (√(1 + 0) + 1) = 4 / (√1 + 1) = 4 / (1 + 1) = 4 / 2 = 2.
Jadi, nilai limitnya adalah 2.
5. Jelaskan mengapa limit dari (1/x) saat x mendekati 0 tidak ada.
Jawaban:
Limit dari (1/x) saat x mendekati 0 tidak ada karena limit kiri dan limit kanan memiliki nilai yang berbeda (dan tak terhingga):
1. Limit kiri (x mendekati 0 dari sisi negatif): Saat x mendekati 0 dari nilai-nilai negatif (misalnya -0.1, -0.01, -0.001), nilai 1/x akan menjadi semakin kecil (negatif) menuju -∞. Jadi, lim (1/x) saat x→0⁻ = -∞.
2. Limit kanan (x mendekati 0 dari sisi positif): Saat x mendekati 0 dari nilai-nilai positif (misalnya 0.1, 0.01, 0.001), nilai 1/x akan menjadi semakin besar (positif) menuju +∞. Jadi, lim (1/x) saat x→0⁺ = +∞.
Karena limit kiri (-∞) tidak sama dengan limit kanan (+∞), maka limit fungsi (1/x) saat x mendekati 0 tidak ada.
