Apakah Anda sedang kesulitan memahami konsep koordinat Kartesius? Atau Anda membutuhkan latihan soal yang variatif untuk menguasai materi ini secara mendalam? Artikel ini hadir sebagai solusi tepat bagi Anda! Kami menyajikan kumpulan contoh soal matematika koordinat Kartesius yang dirancang khusus untuk memperdalam pemahaman Anda, mulai dari dasar hingga tingkat yang lebih menantang. Anda akan diajak menjelajahi berbagai aspek penting dalam sistem koordinat, seperti menentukan posisi titik, menghitung jarak antara dua titik, menemukan titik tengah, serta memahami gradien dan persamaan garis lurus.
Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas dan mudah dipahami, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga mengerti proses penyelesaiannya. Latihan soal ini bertujuan untuk membantu siswa SMP dan SMA menguasai konsep-konsep kunci dalam geometri analitik, meningkatkan kemampuan analisis spasial, dan mengembangkan keterampilan pemecahan masalah yang kuat. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan soal-soal ini, Anda akan merasa lebih percaya diri dalam menghadapi ujian atau tugas sekolah yang berkaitan dengan koordinat Kartesius. Siapkan diri Anda untuk menguasai materi ini dan membuka pintu menuju pemahaman matematika yang lebih luas!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang koordinat Kartesius, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Titik (4, -2) berada di kuadran ke berapa?
a. I
b. II
c. III
d. IV
Jawaban: d
2. Koordinat titik P yang berjarak 3 satuan ke kiri dari sumbu Y dan 5 satuan ke atas dari sumbu X adalah…
a. (3, 5)
b. (-3, 5)
c. (3, -5)
d. (-3, -5)
Jawaban: b
3. Titik yang memiliki absis -2 adalah…
a. (5, -2)
b. (-2, 0)
c. (0, -2)
d. (-2, 4)
Jawaban: d
4. Jarak titik (-6, 0) dari sumbu X adalah…
a. 6 satuan
b. 0 satuan
c. -6 satuan
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: b
5. Ordinat dari titik Q(1, -7) adalah…
a. 1
b. -7
c. (1, -7)
d. Q
Jawaban: b
6. Jarak antara titik A(1, 2) dan B(4, 6) adalah…
a. 3 satuan
b. 4 satuan
c. 5 satuan
d. 6 satuan
Jawaban: c
7. Titik K(x, 2) berjarak 5 satuan dari titik L(1, -2). Nilai x yang mungkin adalah…
a. -2 atau 4
b. -2 atau 0
c. -2 atau 3
d. 0 atau 4
Jawaban: a
*(Penjelasan: 5² = (x-1)² + (2 – (-2))² => 25 = (x-1)² + 4² => 25 = (x-1)² + 16 => 9 = (x-1)² => x-1 = ±3. Jika x-1 = 3, maka x=4. Jika x-1 = -3, maka x=-2.)*
8. Jika titik M(3, y) dan N(-1, 0) memiliki jarak √17 satuan, maka nilai y yang mungkin adalah…
a. -1 atau 1
b. -1 atau 2
c. -2 atau 1
d. -2 atau 2
Jawaban: a
*(Penjelasan: (√17)² = (3 – (-1))² + (y – 0)² => 17 = 4² + y² => 17 = 16 + y² => 1 = y² => y = ±1.)*
9. Koordinat titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik P(-3, 6) dan Q(7, -2) adalah…
a. (2, 2)
b. (2, 4)
c. (5, 4)
d. (5, 2)
Jawaban: a
*(Penjelasan: x_tengah = (-3+7)/2 = 4/2 = 2. y_tengah = (6+(-2))/2 = 4/2 = 2.)*
10. Titik K(-1, 4) adalah titik tengah ruas garis AB. Jika koordinat titik A adalah (3, 1), maka koordinat titik B adalah…
a. (-5, 7)
b. (1, 5/2)
c. (-2, 3/2)
d. (-5, 3)
Jawaban: a
*(Penjelasan: (-1) = (3+x_B)/2 => -2 = 3+x_B => x_B = -5. 4 = (1+y_B)/2 => 8 = 1+y_B => y_B = 7.)*
11. Gradien garis yang melalui titik (1, 3) dan (5, 11) adalah…
a. 1/2
b. 2
c. -1/2
d. -2
Jawaban: b
*(Penjelasan: m = (11-3)/(5-1) = 8/4 = 2.)*
12. Gradien garis dengan persamaan 2x + 3y = 6 adalah…
a. 2/3
b. -2/3
c. 3/2
d. -3/2
Jawaban: b
*(Penjelasan: 3y = -2x + 6 => y = (-2/3)x + 2. Gradien adalah koefisien x, yaitu -2/3.)*
13. Garis g melewati titik (0, 0) dan (4, a). Jika gradien garis g adalah -3/2, maka nilai a adalah…
a. -6
b. 6
c. -8
d. 8
Jawaban: a
*(Penjelasan: m = (a-0)/(4-0) = a/4. a/4 = -3/2 => a = -3/2 * 4 = -6.)*
14. Persamaan garis yang melalui titik (0, 5) dan memiliki gradien -1 adalah…
a. y = x + 5
b. y = -x + 5
c. y = x – 5
d. y = -x – 5
Jawaban: b
*(Penjelasan: Bentuk umum y = mx + c, di mana c adalah perpotongan sumbu Y. Jadi y = -1x + 5.)*
15. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 1) dan (2, 7) adalah…
a. y = 3/2 x + 4
b. y = 3/2 x – 4
c. y = 2x + 5
d. y = 2x – 5
Jawaban: a
*(Penjelasan: Gradien m = (7-1)/(2-(-2)) = 6/4 = 3/2. Menggunakan titik (-2, 1): y – 1 = (3/2)(x – (-2)) => y – 1 = (3/2)(x + 2) => y – 1 = (3/2)x + 3 => y = (3/2)x + 4.)*
16. Titik potong garis y = -3x + 9 dengan sumbu X adalah…
a. (0, 9)
b. (9, 0)
c. (3, 0)
d. (0, 3)
Jawaban: c
*(Penjelasan: Titik potong sumbu X berarti y = 0. 0 = -3x + 9 => 3x = 9 => x = 3.)*
17. Garis yang sejajar dengan garis y = 4x – 1 adalah…
a. y = -4x + 2
b. y = 1/4 x + 3
c. y = 4x + 5
d. y = -1/4 x – 1
Jawaban: c
*(Penjelasan: Garis sejajar memiliki gradien yang sama. Gradien garis y = 4x – 1 adalah 4.)*
18. Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 3 dan melalui titik (4, 1) adalah…
a. y = -2x + 9
b. y = 1/2 x – 1
c. y = -1/2 x + 3
d. y = 2x – 7
Jawaban: c
*(Penjelasan: Gradien garis y = 2x + 3 adalah 2. Gradien garis yang tegak lurus adalah -1/2. Menggunakan titik (4, 1): y – 1 = (-1/2)(x – 4) => y – 1 = (-1/2)x + 2 => y = (-1/2)x + 3.)*
19. Sebuah garis melewati titik (-1, 5) dan (2, -1). Garis lain sejajar dengan garis ini dan melewati titik (0, 0). Persamaan garis kedua adalah…
a. y = -2x
b. y = 2x
c. y = -1/2 x
d. y = 1/2 x
Jawaban: a
*(Penjelasan: Gradien garis pertama m = (-1-5)/(2-(-1)) = -6/3 = -2. Karena sejajar, gradien garis kedua juga -2. Karena melewati (0,0), persamaannya y = -2x.)*
20. Luas persegi panjang dengan titik sudut A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), dan D(1, 4) adalah…
a. 4 satuan luas
b. 6 satuan luas
c. 8 satuan luas
d. 12 satuan luas
Jawaban: d
*(Penjelasan: Panjang = |5-1| = 4. Lebar = |4-1| = 3. Luas = Panjang × Lebar = 4 × 3 = 12.)*
—
## Soal Isian Singkat
1. Titik A(2, -7) terletak di kuadran ke ….
Jawaban: IV
2. Tentukan jarak antara titik K(3, 8) dan L(3, 2).
Jawaban: 6 satuan
3. Titik P(4, 1) adalah titik tengah dari ruas garis AB. Jika koordinat titik A adalah (2, 5), maka koordinat titik B adalah ….
Jawaban: (6, -3)
*(Penjelasan: 4 = (2+x_B)/2 => 8 = 2+x_B => x_B = 6. 1 = (5+y_B)/2 => 2 = 5+y_B => y_B = -3.)*
4. Gradien garis yang melalui titik (-1, y) dan (3, 5) adalah 1/2. Tentukan nilai y.
Jawaban: 3
*(Penjelasan: 1/2 = (5-y)/(3-(-1)) => 1/2 = (5-y)/4 => 4 * (1/2) = 5-y => 2 = 5-y => y = 3.)*
5. Jika garis y = ax – 2 tegak lurus dengan garis y = 1/3 x + 5, berapa nilai a?
Jawaban: -3
*(Penjelasan: Gradien garis pertama adalah a, gradien garis kedua adalah 1/3. Karena tegak lurus, a × (1/3) = -1 => a = -3.)*
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan secara singkat apa itu sistem koordinat Kartesius dan mengapa ia penting dalam matematika dan kehidupan sehari-hari.
Jawaban: Sistem koordinat Kartesius adalah sebuah sistem dua dimensi yang menggunakan dua garis bilangan tegak lurus (sumbu X horizontal dan sumbu Y vertikal) yang saling berpotongan di titik asal (0,0). Sistem ini digunakan untuk menentukan posisi setiap titik di suatu bidang dengan sepasang bilangan terurut (x, y). Ini penting karena memungkinkan kita untuk memvisualisasikan data (melalui grafik), memecahkan masalah geometri secara aljabar, dan digunakan dalam berbagai aplikasi dunia nyata seperti peta, navigasi GPS, desain arsitektur, dan grafik komputer.
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(1, -2) dan Q(4, 4). Gambarlah garis tersebut secara konseptual.
Jawaban:
Langkah 1: Hitung gradien (m) garis.
m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) = (4 – (-2)) / (4 – 1) = (4 + 2) / 3 = 6 / 3 = 2.
Langkah 2: Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁). Menggunakan titik P(1, -2) dan m=2:
y – (-2) = 2(x – 1)
y + 2 = 2x – 2
y = 2x – 2 – 2
y = 2x – 4.
Jadi, persamaan garisnya adalah y = 2x – 4.
Untuk menggambarnya secara konseptual:
1. Buatlah sumbu X dan Y yang saling tegak lurus pada bidang.
2. Tandai titik P(1, -2) dan Q(4, 4) pada bidang Kartesius.
3. Hubungkan kedua titik tersebut dengan sebuah garis lurus. Perpanjang garis tersebut di kedua arah untuk menunjukkan bahwa itu adalah garis lurus tak terbatas.
3. Tiga titik K(0, 0), L(6, 0), dan M(3, 4) membentuk sebuah segitiga. Tentukan jenis segitiga KLM berdasarkan panjang sisinya (apakah sama sisi, sama kaki, atau sembarang).
Jawaban:
Hitung panjang masing-masing sisi menggunakan rumus jarak:
Panjang KL = √((6-0)² + (0-0)²) = √(6² + 0²) = √36 = 6 satuan.
Panjang LM = √((3-6)² + (4-0)²) = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 satuan.
Panjang MK = √((0-3)² + (0-4)²) = √((-3)² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5 satuan.
Karena panjang LM = MK = 5 satuan, maka segitiga KLM adalah segitiga sama kaki.
4. Sebuah mobil bergerak dari titik A(-3, -2) menuju titik B(5, -2), kemudian berbelok ke arah titik C(5, 4). Jika setiap satuan pada koordinat mewakili 50 meter, berapa total jarak yang ditempuh mobil tersebut?
Jawaban:
Jarak dari A(-3, -2) ke B(5, -2):
Karena koordinat Y sama, ini adalah pergerakan horizontal. Jarak AB = |x₂ – x₁| = |5 – (-3)| = |5 + 3| = 8 satuan.
Jarak dari B(5, -2) ke C(5, 4):
Karena koordinat X sama, ini adalah pergerakan vertikal. Jarak BC = |y₂ – y₁| = |4 – (-2)| = |4 + 2| = 6 satuan.
Total jarak dalam satuan = Jarak AB + Jarak BC = 8 + 6 = 14 satuan.
Karena 1 satuan = 50 meter, maka total jarak yang ditempuh mobil = 14 × 50 meter = 700 meter.
5. Jelaskan hubungan gradien antara dua garis yang saling sejajar dan dua garis yang saling tegak lurus. Berikan contoh persamaan garis untuk masing-masing kasus.
Jawaban:
* Garis Sejajar: Dua garis dikatakan sejajar jika memiliki arah kemiringan yang sama dan tidak akan pernah berpotongan. Dalam sistem koordinat Kartesius, dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
Contoh:
Garis p: y = 2x + 3 (gradien = 2)
Garis q: y = 2x – 1 (gradien = 2)
Kedua garis ini sejajar karena gradiennya sama.
* Garis Tegak Lurus: Dua garis dikatakan tegak lurus jika berpotongan membentuk sudut 90 derajat. Dalam sistem koordinat Kartesius, hasil kali gradien kedua garis yang tegak lurus adalah -1. Dengan kata lain, gradien satu garis adalah negatif kebalikan dari gradien garis lainnya.
Contoh:
Garis r: y = 3x + 5 (gradien = 3)
Garis s: y = -1/3 x + 2 (gradien = -1/3)
Kedua garis ini tegak lurus karena 3 × (-1/3) = -1.
