Matematika kombinasi seringkali menjadi momok bagi banyak siswa, padahal konsepnya sangat aplikatif dalam kehidupan sehari-hari dan fundamental dalam ilmu peluang serta statistika. Artikel ini hadir sebagai solusi bagi Anda yang ingin menguasai materi ini dengan lebih mendalam. Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika kombinasi yang dirancang khusus untuk memperkuat pemahaman Anda, mulai dari tingkat dasar hingga soal-soal yang lebih menantang. Setiap soal disajikan dengan pembahasan yang lugas dan mudah dipahami, menjelaskan langkah demi langkah cara mengidentifikasi apakah suatu masalah memerlukan kombinasi atau permutasi, serta bagaimana menerapkan rumus kombinasi dengan tepat.
Fokus pembelajaran dalam latihan soal ini adalah untuk membangun intuisi Anda terhadap konsep ‘tanpa memperhatikan urutan’, yang merupakan ciri khas kombinasi. Anda akan menemukan soal-soal yang beragam, seperti pemilihan tim, pembentukan panitia, pemilihan buah, hingga skenario undian, semuanya dirancang untuk merefleksikan berbagai situasi nyata. Tujuan utama dari seri latihan soal ini adalah agar Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami filosofi di balik kombinasi. Dengan latihan yang terstruktur ini, Anda diharapkan mampu meningkatkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah Anda, mempersiapkan diri lebih matang menghadapi ujian sekolah, UTBK, maupun kompetisi matematika, serta menumbuhkan kepercayaan diri dalam menaklukkan soal-soal kombinasi.
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal tentang kombinasi matematika, dibagi menjadi pilihan ganda, isian singkat, dan uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
# Soal-soal Matematika Kombinasi
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Berapa banyak cara memilih 3 siswa dari 8 siswa yang tersedia untuk mengikuti lomba cerdas cermat?
a. 24
b. 56
c. 112
d. 336
Jawaban: b
2. Sebuah klub bulutangkis memiliki 10 anggota. Berapa banyak pasangan ganda (2 orang) yang dapat dibentuk dari anggota klub tersebut?
a. 20
b. 45
c. 90
d. 180
Jawaban: b
3. Dari 7 jenis buah yang berbeda, Budi ingin membuat salad buah yang terdiri dari 4 jenis buah. Berapa banyak variasi salad buah yang dapat dibuat?
a. 21
b. 35
c. 70
d. 210
Jawaban: b
4. Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Jika diambil 2 kelereng secara acak, berapa banyak cara untuk mendapatkan 1 kelereng merah dan 1 kelereng biru?
a. 8
b. 10
c. 15
d. 20
Jawaban: c
5. Sebuah panitia yang terdiri dari 4 orang akan dipilih dari 6 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia tersebut jika harus terdiri dari 2 pria dan 2 wanita?
a. 15
b. 20
c. 30
d. 150
Jawaban: d
*Perhitungan: C(6,2) × C(5,2) = 15 × 10 = 150.*
6. Dari satu set kartu bridge (52 kartu), diambil 3 kartu secara acak. Berapa banyak cara untuk mendapatkan 3 kartu King?
a. 1
b. 4
c. 6
d. 24
Jawaban: b
*Perhitungan: Ada 4 kartu King dalam satu set. C(4,3) = 4.*
7. Mana dari situasi berikut yang paling tepat menggunakan konsep kombinasi?
a. Menyusun angka sandi dari 4 digit yang berbeda.
b. Memilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 10 kandidat.
c. Memilih 3 perwakilan dari 15 siswa untuk mengikuti seminar.
d. Menyusun jadwal pelajaran untuk 5 mata pelajaran.
Jawaban: c
8. Sebuah restoran menawarkan 8 pilihan lauk. Jika seorang pelanggan ingin memesan 3 lauk yang berbeda, berapa banyak kombinasi lauk yang bisa dipilihnya?
a. 24
b. 56
c. 112
d. 336
Jawaban: b
*Perhitungan: C(8,3) = (8 × 7 × 6) / (3 × 2 × 1) = 56.*
9. Sebuah toko roti memiliki 6 jenis roti manis dan 4 jenis roti tawar. Jika seorang pembeli ingin membeli 2 jenis roti manis dan 1 jenis roti tawar, berapa banyak pilihan yang tersedia?
a. 15
b. 20
c. 30
d. 60
Jawaban: d
*Perhitungan: C(6,2) × C(4,1) = 15 × 4 = 60.*
10. Berapa nilai dari C(9, 2)?
a. 18
b. 36
c. 72
d. 81
Jawaban: b
*Perhitungan: C(9,2) = (9 × 8) / (2 × 1) = 36.*
11. Dari 12 buku yang berbeda, Amir ingin meminjam 4 buku. Berapa banyak cara Amir dapat memilih buku-buku tersebut?
a. 48
b. 220
c. 495
d. 11.880
Jawaban: c
*Perhitungan: C(12,4) = (12 × 11 × 10 × 9) / (4 × 3 × 2 × 1) = 495.*
12. Dalam sebuah kelas terdapat 10 siswa laki-laki dan 15 siswa perempuan. Akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti lomba pidato. Berapa banyak cara memilih jika minimal ada 1 siswa laki-laki?
a. 1845
b. 1950
c. 2000
d. 2300
Jawaban: a
*Perhitungan:*
Total cara memilih 3 siswa dari 25 siswa = C(25,3) = 2300.
Cara memilih 3 siswa perempuan semua (tidak ada laki-laki) = C(15,3) = 455.
Cara memilih minimal 1 siswa laki-laki = C(25,3) – C(15,3) = 2300 – 455 = 1845.
13. Berapa banyak garis lurus berbeda yang dapat dibuat dari 7 titik yang tidak ada 3 titik pun yang segaris?
a. 7
b. 14
c. 21
d. 42
Jawaban: c
*Perhitungan: Untuk membentuk garis lurus diperlukan 2 titik. C(7,2) = (7 × 6) / (2 × 1) = 21.*
14. Jika C(n, 2) = 28, berapakah nilai n?
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
Jawaban: c
*Perhitungan: C(n,2) = n(n-1)/2 = 28 => n(n-1) = 56. Karena n dan n-1 adalah bilangan berurutan, maka n=8 (karena 8 × 7 = 56).*
15. Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 3 bola secara acak, berapa banyak cara untuk mendapatkan 2 bola merah dan 1 bola putih?
a. 24
b. 48
c. 60
d. 120
Jawaban: c
*Perhitungan: C(6,2) × C(4,1) = 15 × 4 = 60.*
16. Sebuah tim beranggotakan 5 orang akan dibentuk dari 7 pria dan 8 wanita. Berapa banyak cara membentuk tim tersebut jika setidaknya ada 3 wanita?
a. 1722
b. 1720
c. 1650
d. 1500
Jawaban: a
*Perhitungan:*
* 3 Wanita dan 2 Pria: C(8,3) × C(7,2) = 56 × 21 = 1176
* 4 Wanita dan 1 Pria: C(8,4) × C(7,1) = 70 × 7 = 490
* 5 Wanita dan 0 Pria: C(8,5) × C(7,0) = 56 × 1 = 56
Total = 1176 + 490 + 56 = 1722.
17. Berapa banyak cara memilih 2 huruf vokal dan 2 huruf konsonan dari 3 huruf vokal berbeda dan 4 huruf konsonan berbeda?
a. 18
b. 24
c. 36
d. 48
Jawaban: a
*Perhitungan: C(3,2) × C(4,2) = 3 × 6 = 18.*
18. Terdapat 10 titik pada sebuah lingkaran. Berapa banyak segi empat yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut?
a. 120
b. 210
c. 240
d. 480
Jawaban: b
*Perhitungan: Segi empat dibentuk dari 4 titik. C(10,4) = (10 × 9 × 8 × 7) / (4 × 3 × 2 × 1) = 210.*
19. Dari 5 orang mahasiswa, akan dipilih 3 orang untuk mengikuti program pertukaran pelajar. Berapa banyak cara pemilihan yang mungkin?
a. 5
b. 10
c. 15
d. 20
Jawaban: b
*Perhitungan: C(5,3) = C(5,2) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10.*
20. Konsep kombinasi digunakan ketika:
a. Urutan pemilihan sangat penting.
b. Setiap elemen harus unik dan tidak boleh diulang.
c. Urutan pemilihan tidak berpengaruh pada hasil akhir.
d. Total elemen lebih kecil dari elemen yang dipilih.
Jawaban: c
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
1. Hasil dari C(6, 3) adalah …
Jawaban: 20
*Perhitungan: C(6,3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20.*
2. Sebuah rapat dihadiri oleh 8 orang. Jika setiap orang saling berjabat tangan satu sama lain, berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Jawaban: 28
*Perhitungan: C(8,2) = (8 × 7) / (2 × 1) = 28.*
3. Dari 10 siswa, akan dipilih 2 siswa untuk mewakili sekolah dalam lomba membaca puisi. Ada berapa cara pemilihan yang dapat dilakukan?
Jawaban: 45
*Perhitungan: C(10,2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45.*
4. Jika C(n, 1) = 7, maka nilai n adalah …
Jawaban: 7
*Perhitungan: C(n,1) selalu sama dengan n.*
5. Berapa banyak cara untuk memilih 3 rasa es krim dari 5 rasa yang berbeda?
Jawaban: 10
*Perhitungan: C(5,3) = C(5,2) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10.*
## Soal Uraian (5 Soal)
1. Jelaskan perbedaan mendasar antara konsep kombinasi dan permutasi dalam matematika, serta berikan satu contoh situasi untuk masing-masing.
Jawaban:
Perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi terletak pada urutan.
* Permutasi adalah cara menyusun atau mengatur item di mana urutan itu penting. Jika urutan item berubah, maka hasilnya dianggap berbeda.
* Contoh Permutasi: Memilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 5 kandidat (posisi yang berbeda membuat urutan penting). Urutan pemilihan A lalu B lalu C berbeda dengan B lalu A lalu C.
* Kombinasi adalah cara memilih item di mana urutan tidak penting. Mengubah urutan item yang dipilih tidak akan mengubah hasilnya.
* Contoh Kombinasi: Memilih 3 siswa dari 5 siswa untuk mewakili lomba (ketiga siswa memiliki posisi yang sama, urutan pemilihan tidak penting). Memilih siswa A, B, C sama dengan memilih siswa C, B, A.
2. Sebuah komite beranggotakan 5 orang akan dipilih dari 6 pria dan 4 wanita. Hitunglah berapa banyak cara pembentukan komite tersebut jika komite harus terdiri dari setidaknya 3 pria.
Jawaban:
Komite beranggotakan 5 orang dari total 6 pria dan 4 wanita.
Kondisi: setidaknya 3 pria. Ini berarti bisa ada 3 pria, 4 pria, atau 5 pria.
* Kasus 1: 3 Pria dan 2 Wanita
* Memilih 3 pria dari 6 pria: C(6, 3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20 cara.
* Memilih 2 wanita dari 4 wanita: C(4, 2) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6 cara.
* Total cara untuk kasus ini = C(6, 3) × C(4, 2) = 20 × 6 = 120 cara.
* Kasus 2: 4 Pria dan 1 Wanita
* Memilih 4 pria dari 6 pria: C(6, 4) = C(6, 2) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15 cara.
* Memilih 1 wanita dari 4 wanita: C(4, 1) = 4 cara.
* Total cara untuk kasus ini = C(6, 4) × C(4, 1) = 15 × 4 = 60 cara.
* Kasus 3: 5 Pria dan 0 Wanita
* Memilih 5 pria dari 6 pria: C(6, 5) = C(6, 1) = 6 cara.
* Memilih 0 wanita dari 4 wanita: C(4, 0) = 1 cara.
* Total cara untuk kasus ini = C(6, 5) × C(4, 0) = 6 × 1 = 6 cara.
Total cara pembentukan komite dengan setidaknya 3 pria adalah jumlah dari semua kasus:
120 + 60 + 6 = 186 cara.
3. Tuliskan rumus umum untuk menghitung kombinasi C(n, k) dan jelaskan makna dari setiap variabel dalam rumus tersebut.
Jawaban:
Rumus umum untuk menghitung kombinasi C(n, k) adalah:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
* n: Mewakili jumlah total item yang tersedia untuk dipilih.
* k: Mewakili jumlah item yang akan dipilih dari total item yang tersedia.
* ! (faktorial): Menunjukkan perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga bilangan tersebut. Misalnya, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Definisi 0! adalah 1.
Rumus ini digunakan ketika kita ingin mengetahui berapa banyak cara memilih k item dari n item tanpa mempertimbangkan urutan.
4. Dalam sebuah tim bola basket yang beranggotakan 12 orang, pelatih ingin memilih 5 pemain inti. Namun, ada 2 pemain yang pasti terpilih karena performa mereka yang sangat baik. Berapa banyak cara pelatih dapat memilih 5 pemain inti tersebut?
Jawaban:
Total anggota tim = 12 orang.
Jumlah pemain inti yang akan dipilih = 5 orang.
Jumlah pemain yang sudah pasti terpilih = 2 orang.
Karena 2 pemain sudah pasti terpilih, maka pelatih hanya perlu memilih sisa (5 – 2) = 3 pemain lagi.
Jumlah pemain yang tersisa untuk dipilih adalah (12 – 2) = 10 orang.
Jadi, pelatih perlu memilih 3 pemain dari 10 pemain yang tersisa. Ini adalah masalah kombinasi:
C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)
C(10, 3) = 10! / (3! * 7!)
C(10, 3) = (10 × 9 × 8 × 7!) / (3 × 2 × 1 × 7!)
C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1)
C(10, 3) = 10 × 3 × 4
C(10, 3) = 120 cara.
5. Berikan sebuah contoh masalah nyata di mana kombinasi digunakan, dan jelaskan mengapa itu adalah masalah kombinasi (bukan permutasi).
Jawaban:
Contoh Masalah:
Seorang koki memiliki 6 jenis sayuran berbeda di dapur. Dia ingin membuat sup yang menggunakan 3 jenis sayuran berbeda. Berapa banyak variasi sup yang bisa dia buat?
Penjelasan Mengapa Kombinasi:
Ini adalah masalah kombinasi karena urutan pemilihan sayuran tidak penting. Misalnya, jika koki memilih wortel, kentang, dan brokoli, sup yang dihasilkan akan sama dengan jika dia memilih brokoli, wortel, dan kentang. Yang penting adalah jenis sayuran apa saja yang masuk ke dalam sup, bukan urutan masuknya. Jika urutan penting (misalnya, membuat lapisan pada makanan, atau urutan penambahan bahan yang mempengaruhi rasa secara signifikan), barulah itu akan menjadi masalah permutasi. Namun, dalam konteks sup, semua bahan bercampur dan urutan penambahannya biasanya tidak mengubah kombinasi akhir bahan dalam mangkuk, maka kombinasi adalah konsep yang tepat.
*Perhitungan:* C(6,3) = (6 × 5 × 4) / (3 × 2 × 1) = 20 variasi sup.
