Persiapan menghadapi Ujian Tulis Berbasis Komputer (UTBK) atau Seleksi Nasional Berbasis Tes (SNBT) merupakan tantangan besar bagi siswa kelas 12 SMA, terutama pada mata pelajaran krusial seperti Matematika. Artikel ini hadir sebagai panduan dan solusi tepat bagi Anda yang tengah mencari contoh soal matematika kelas 12 SMA persiapan UTBK berkualitas. Kami menyajikan serangkaian soal pilihan yang dirancang secara cermat untuk menguji pemahaman Anda pada materi-materi esensial dan paling sering muncul dalam UTBK, seperti kalkulus (turunan dan integral), statistika, peluang, fungsi kuadrat, trigonometri, hingga barisan dan deret. Setiap soal disusun dengan format yang mirip dengan soal UTBK asli, lengkap dengan tingkat kesulitan bervariasi, mulai dari yang dasar hingga tingkat lanjut, untuk mengasah kemampuan analitis dan kecepatan berpikir Anda.
Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membantu Anda mengidentifikasi area mana yang masih memerlukan perhatian dan penguatan konsep, sekaligus memperkuat materi-materi yang sudah Anda kuasai dengan baik. Dengan mengerjakan berbagai tipe soal yang disajikan, Anda akan lebih terbiasa dengan pola pertanyaan UTBK, mampu mengembangkan strategi penyelesaian yang efektif, serta meningkatkan ketepatan dan kecepatan dalam menjawab soal. Materi pembelajaran yang dicakup meliputi bab-bab penting di kelas 12 SMA, memastikan Anda mendapatkan gambaran menyeluruh tentang apa yang harus dipersiapkan. Manfaatkan contoh soal matematika kelas 12 SMA persiapan UTBK ini sebagai jembatan komprehensif untuk meningkatkan kepercayaan diri dan kesiapan Anda dalam menghadapi seleksi masuk perguruan tinggi impian Anda.
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika kelas 12 SMA persiapan UTBK, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Nilai dari lim_(x→2) (x² – 5x + 6) / (x – 2) adalah…
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
Jawaban: b
Pembahasan:
lim_(x→2) (x² – 5x + 6) / (x – 2)
= lim_(x→2) (x – 2)(x – 3) / (x – 2)
= lim_(x→2) (x – 3)
= 2 – 3 = -1
2. Turunan pertama dari fungsi f(x) = (3x² – 5)⁴ adalah f'(x) = …
a. 4(3x² – 5)³
b. 6x(3x² – 5)³
c. 12x(3x² – 5)³
d. 24x(3x² – 5)³
e. 48x(3x² – 5)³
Jawaban: d
Pembahasan:
Misalkan u = 3x² – 5, maka du/dx = 6x.
f(x) = u⁴
f'(x) = 4u³ * du/dx
f'(x) = 4(3x² – 5)³ * 6x
f'(x) = 24x(3x² – 5)³
3. Gradien garis singgung kurva y = x³ – 3x² + 2x – 1 di titik dengan absis x = 1 adalah…
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
Jawaban: b
Pembahasan:
y = f(x) = x³ – 3x² + 2x – 1
f'(x) = 3x² – 6x + 2
Gradien garis singgung (m) di x = 1 adalah f'(1).
m = 3(1)² – 6(1) + 2 = 3 – 6 + 2 = -1
4. Jika ∫(3x² – 4x + 5) dx = Ax³ + Bx² + Cx + D, maka nilai A + B + C adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Jawaban: d
Pembahasan:
∫(3x² – 4x + 5) dx = (3/(2+1))x^(2+1) – (4/(1+1))x^(1+1) + 5x + D
= x³ – 2x² + 5x + D
Maka, A = 1, B = -2, C = 5.
A + B + C = 1 + (-2) + 5 = 4
5. Nilai dari ∫₀² (3x² – 2x + 1) dx adalah…
a. 4
b. 6
c. 8
d. 10
e. 12
Jawaban: b
Pembahasan:
∫₀² (3x² – 2x + 1) dx = [x³ – x² + x]₀²
= (2³ – 2² + 2) – (0³ – 0² + 0)
= (8 – 4 + 2) – 0
= 6
6. Suku ke-7 dari barisan aritmatika yang suku pertamanya 5 dan bedanya 3 adalah…
a. 20
b. 23
c. 26
d. 29
e. 32
Jawaban: b
Pembahasan:
Barisan aritmatika: Un = a + (n – 1)b
Diketahui a = 5, b = 3.
U₇ = 5 + (7 – 1)3
U₇ = 5 + 6 × 3
U₇ = 5 + 18 = 23
7. Jumlah deret geometri tak hingga 12 + 6 + 3 + … adalah…
a. 18
b. 20
c. 24
d. 28
e. 30
Jawaban: c
Pembahasan:
Deret geometri tak hingga: S∞ = a / (1 – r)
Diketahui a = 12, r = 6/12 = 1/2.
S∞ = 12 / (1 – 1/2) = 12 / (1/2) = 12 × 2 = 24
8. Dari 7 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan, akan dipilih 3 siswa untuk mengikuti lomba. Banyaknya cara memilih jika 2 di antaranya harus laki-laki adalah…
a. 70
b. 105
c. 140
d. 175
e. 210
Jawaban: b
Pembahasan:
Memilih 2 laki-laki dari 7 = C(7, 2) = 7! / (2! 5!) = (7 × 6) / (2 × 1) = 21 cara.
Memilih 1 perempuan dari 5 (total 3 siswa, 2 laki-laki, berarti 1 perempuan) = C(5, 1) = 5! / (1! 4!) = 5 cara.
Total cara = 21 × 5 = 105 cara.
9. Sebuah kantong berisi 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua bola sekaligus secara acak, peluang terambil kedua bola berwarna sama adalah…
a. 5/14
b. 3/14
c. 8/28
d. 13/28
e. 15/28
Jawaban: d
Pembahasan:
Total bola = 5 + 3 = 8 bola.
Total cara mengambil 2 bola dari 8 = C(8, 2) = 8! / (2! 6!) = (8 × 7) / (2 × 1) = 28 cara.
Cara mengambil 2 bola merah dari 5 = C(5, 2) = 5! / (2! 3!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10 cara.
Cara mengambil 2 bola biru dari 3 = C(3, 2) = 3! / (2! 1!) = 3 cara.
Peluang kedua bola berwarna sama = (10 + 3) / 28 = 13/28
10. Diketahui matriks A = [[2, 1], [3, 4]] dan B = [[-1, 5], [0, 2]]. Hasil dari A + 2B adalah…
a. [[0, 11], [3, 8]]
b. [[0, 6], [3, 6]]
c. [[4, 11], [3, 8]]
d. [[4, 6], [3, 6]]
e. [[2, 10], [0, 4]]
Jawaban: a
Pembahasan:
2B = 2 × [[-1, 5], [0, 2]] = [[-2, 10], [0, 4]]
A + 2B = [[2, 1], [3, 4]] + [[-2, 10], [0, 4]]
= [[2 + (-2), 1 + 10], [3 + 0, 4 + 4]]
= [[0, 11], [3, 8]]
11. Jika f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x² + 1, maka (g o f)(x) adalah…
a. 2x² – 1
b. 4x² – 12x + 10
c. 4x² – 12x + 9
d. 4x² + 10
e. 2x² – 5
Jawaban: b
Pembahasan:
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(2x – 3)
= (2x – 3)² + 1
= (4x² – 12x + 9) + 1
= 4x² – 12x + 10
12. Invers dari fungsi f(x) = (3x – 1) / (x + 2), untuk x ≠ -2, adalah f⁻¹(x) = …
a. (2x – 1) / (3 – x)
b. (-2x – 1) / (x – 3)
c. (-2x + 1) / (x – 3)
d. (2x + 1) / (x – 3)
e. (2x – 1) / (x – 3)
Jawaban: b
Pembahasan:
Misal y = (3x – 1) / (x + 2)
y(x + 2) = 3x – 1
xy + 2y = 3x – 1
xy – 3x = -1 – 2y
x(y – 3) = -1 – 2y
x = (-1 – 2y) / (y – 3)
Maka f⁻¹(x) = (-1 – 2x) / (x – 3) = (-2x – 1) / (x – 3)
13. Nilai x yang memenuhi persamaan 3^(2x – 1) = 27 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Jawaban: b
Pembahasan:
3^(2x – 1) = 27
3^(2x – 1) = 3³
2x – 1 = 3
2x = 4
x = 2
14. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma log(x – 1) + log(x – 2) ≥ log 2 adalah…
a. {x | x ≥ 3}
b. {x | 1 < x < 3}
c. {x | x > 2}
d. {x | x > 2 dan x ≤ 3}
e. {x | 2 < x ≤ 3}
Jawaban: a
Pembahasan:
Syarat numerus:
x – 1 > 0 → x > 1
x – 2 > 0 → x > 2
Irisan kedua syarat: x > 2
Pertidaksamaan:
log(x – 1)(x – 2) ≥ log 2
(x – 1)(x – 2) ≥ 2 (karena basis log > 1)
x² – 3x + 2 ≥ 2
x² – 3x ≥ 0
x(x – 3) ≥ 0
Pembuat nol: x = 0 atau x = 3.
Uji titik:
Untuk x = -1: (-1)(-4) = 4 ≥ 0 (Benar)
Untuk x = 1: (1)(-2) = -2 ≥ 0 (Salah)
Untuk x = 4: (4)(1) = 4 ≥ 0 (Benar)
Penyelesaian pertidaksamaan: x ≤ 0 atau x ≥ 3.
Gabungkan dengan syarat numerus (x > 2):
(x ≤ 0 atau x ≥ 3) IRIS (x > 2)
Hasil irisan adalah x ≥ 3.
15. Turunan pertama dari f(x) = cos(4x – π/3) adalah…
a. 4 sin(4x – π/3)
b. -4 sin(4x – π/3)
c. -sin(4x – π/3)
d. sin(4x – π/3)
e. 4 cos(4x – π/3)
Jawaban: b
Pembahasan:
Menggunakan aturan rantai. Jika f(x) = cos(u), maka f'(x) = -sin(u) * u’.
u = 4x – π/3 → u’ = 4.
f'(x) = -sin(4x – π/3) * 4
f'(x) = -4 sin(4x – π/3)
16. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2, -3) dan menyinggung sumbu X adalah…
a. (x – 2)² + (y + 3)² = 4
b. (x – 2)² + (y + 3)² = 9
c. (x + 2)² + (y – 3)² = 4
d. (x + 2)² + (y – 3)² = 9
e. (x – 2)² + (y + 3)² = 16
Jawaban: b
Pembahasan:
Pusat lingkaran (a, b) = (2, -3).
Lingkaran menyinggung sumbu X, berarti jari-jari (r) adalah nilai mutlak dari koordinat y pusat, yaitu r = |-3| = 3.
Persamaan lingkaran: (x – a)² + (y – b)² = r²
(x – 2)² + (y – (-3))² = 3²
(x – 2)² + (y + 3)² = 9
17. Translasi titik P(-3, 5) oleh T = [2, -4] menghasilkan titik P’ yaitu…
a. (-1, 1)
b. (-5, 9)
c. (1, -1)
d. (-1, 9)
e. (5, -1)
Jawaban: a
Pembahasan:
Jika titik P(x, y) ditranslasikan oleh T = [a, b], maka P'(x’, y’) = (x + a, y + b).
P’ = (-3 + 2, 5 + (-4))
P’ = (-1, 1)
18. Diketahui vektor a = [3, -1, 2] dan b = [1, 2, -3]. Hasil dari a • b (dot product) adalah…
a. 1
b. -1
c. -2
d. -3
e. -4
Jawaban: d
Pembahasan:
a • b = (3)(1) + (-1)(2) + (2)(-3)
= 3 – 2 – 6
= -5
19. Jika f(x) = 2x + 1 dan (f o g)(x) = 4x² + 4x + 3, maka g(x) adalah…
a. 2x² + x + 1
b. 2x² + 2x + 1
c. 2x² + 2x + 2
d. 2x² + 2x
e. 2x² + 1
Jawaban: b
Pembahasan:
(f o g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) + 1
Kita tahu 2g(x) + 1 = 4x² + 4x + 3
2g(x) = 4x² + 4x + 3 – 1
2g(x) = 4x² + 4x + 2
g(x) = (4x² + 4x + 2) / 2
g(x) = 2x² + 2x + 1
20. Dalam suatu kotak terdapat 6 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Jika diambil 3 kelereng secara acak, peluang terambil 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih adalah…
a. 1/5
b. 3/10
c. 1/2
d. 3/5
e. 2/3
Jawaban: c
Pembahasan:
Total kelereng = 6 + 4 = 10.
Total cara mengambil 3 kelereng dari 10 = C(10, 3) = 10! / (3! 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 cara.
Cara mengambil 2 kelereng merah dari 6 = C(6, 2) = 6! / (2! 4!) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15 cara.
Cara mengambil 1 kelereng putih dari 4 = C(4, 1) = 4! / (1! 3!) = 4 cara.
Jumlah cara terambil 2 merah dan 1 putih = 15 × 4 = 60 cara.
Peluang = 60 / 120 = 1/2.
—
## Soal Isian Singkat
1. Jika f(x) = 3x³ – 2x² + 4x – 1, nilai f'(1) adalah …
Jawaban: 9
Pembahasan:
f'(x) = 9x² – 4x + 4
f'(1) = 9(1)² – 4(1) + 4 = 9 – 4 + 4 = 9
2. Hasil dari ∫ (4x³ – 6x + 2) dx adalah …
Jawaban: x⁴ – 3x² + 2x + C
Pembahasan:
∫ (4x³ – 6x + 2) dx = (4/4)x⁴ – (6/2)x² + 2x + C = x⁴ – 3x² + 2x + C
3. Dalam sebuah rapat, terdapat 8 orang yang saling berjabat tangan satu sama lain. Banyaknya jabat tangan yang terjadi adalah …
Jawaban: 28
Pembahasan:
Ini adalah masalah kombinasi karena urutan jabat tangan tidak penting (A berjabat tangan dengan B sama dengan B berjabat tangan dengan A).
C(8, 2) = 8! / (2! 6!) = (8 × 7) / (2 × 1) = 28.
4. Suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah 3^(n-1). Suku ke-5 dari barisan tersebut adalah …
Jawaban: 81
Pembahasan:
Un = 3^(n-1)
U₅ = 3^(5-1) = 3⁴ = 81
5. Diketahui matriks A = [[3, -2], [1, 4]]. Determinan matriks A adalah …
Jawaban: 14
Pembahasan:
det(A) = (3 × 4) – (-2 × 1) = 12 – (-2) = 12 + 2 = 14
—
## Soal Uraian
1. Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya total C(x) = x³ – 3x² + 5x + 100 ribu rupiah. Tentukan jumlah unit barang yang harus diproduksi agar biaya marginal (biaya per unit) minimum.
Jawaban:
Biaya marginal (MC) adalah turunan pertama dari biaya total terhadap x.
MC(x) = C'(x) = d/dx (x³ – 3x² + 5x + 100) = 3x² – 6x + 5.
Untuk mencari nilai minimum biaya marginal, kita harus mencari turunan pertama dari MC(x) dan menyamakannya dengan nol.
MC'(x) = d/dx (3x² – 6x + 5) = 6x – 6.
Atur MC'(x) = 0:
6x – 6 = 0
6x = 6
x = 1.
Untuk memastikan ini adalah nilai minimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua:
MC”(x) = d/dx (6x – 6) = 6.
Karena MC”(1) = 6 > 0, maka pada x = 1, MC(x) mencapai nilai minimum.
Jadi, perusahaan harus memproduksi 1 unit barang agar biaya marginal minimum.
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 4 dan sumbu X.
Jawaban:
Pertama, kita cari titik potong kurva dengan sumbu X, yaitu saat y = 0.
x² – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2.
Jadi, daerah dibatasi dari x = -2 sampai x = 2.
Pada interval ini, kurva y = x² – 4 berada di bawah sumbu X (misalnya, untuk x=0, y=-4). Maka, luas daerahnya adalah negatif dari integralnya, atau menggunakan nilai mutlak.
Luas = |∫₋₂² (x² – 4) dx|
= |[1/3 x³ – 4x]₋₂²|
= |(1/3 (2)³ – 4(2)) – (1/3 (-2)³ – 4(-2))|
= |(8/3 – 8) – (-8/3 + 8)|
= |(8/3 – 24/3) – (-8/3 + 24/3)|
= |-16/3 – 16/3|
= |-32/3|
= 32/3 satuan luas.
3. Sebuah kotak berisi 10 bola, di antaranya 4 bola merah dan 6 bola biru. Dari kotak tersebut akan diambil 3 bola sekaligus secara acak. Tentukan peluang terambilnya setidaknya 2 bola merah.
Jawaban:
Total bola = 10.
Total cara mengambil 3 bola dari 10 = C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120 cara.
Kejadian “setidaknya 2 bola merah” berarti bisa 2 bola merah (dan 1 biru) atau 3 bola merah (dan 0 biru).
* Kasus 1: Terambil 2 bola merah dan 1 bola biru.
Cara mengambil 2 bola merah dari 4 = C(4, 2) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6 cara.
Cara mengambil 1 bola biru dari 6 = C(6, 1) = 6 cara.
Jumlah cara = 6 × 6 = 36 cara.
* Kasus 2: Terambil 3 bola merah dan 0 bola biru.
Cara mengambil 3 bola merah dari 4 = C(4, 3) = 4 cara.
Cara mengambil 0 bola biru dari 6 = C(6, 0) = 1 cara.
Jumlah cara = 4 × 1 = 4 cara.
Jumlah cara terambil setidaknya 2 bola merah = 36 + 4 = 40 cara.
Peluang terambil setidaknya 2 bola merah = (Jumlah cara setidaknya 2 bola merah) / (Total cara)
Peluang = 40 / 120 = 1/3.
4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 12 meter dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan total bola sampai berhenti.
Jawaban:
Ini adalah masalah deret geometri tak hingga.
Lintasan bola terdiri dari lintasan saat turun dan lintasan saat naik.
Ketinggian awal (saat turun pertama kali) = a = 12 meter.
Rasio pantulan = r = 2/3.
Panjang lintasan turun:
Deret geometri tak hingga: 12 + 12(2/3) + 12(2/3)² + …
S_turun = a / (1 – r) = 12 / (1 – 2/3) = 12 / (1/3) = 36 meter.
Panjang lintasan naik:
Lintasan naik dimulai setelah pantulan pertama, yaitu 12(2/3) = 8 meter.
Deret geometri tak hingga: 8 + 8(2/3) + 8(2/3)² + …
S_naik = a’ / (1 – r) = 8 / (1 – 2/3) = 8 / (1/3) = 24 meter.
Panjang lintasan total = S_turun + S_naik = 36 + 24 = 60 meter.
5. Diketahui vektor u = 2i + 3j – k dan vektor v = i – 2j + 3k. Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor u pada vektor v.
Jawaban:
Proyeksi skalar ortogonal vektor u pada vektor v (sering dilambangkan dengan |proj_v u|) dihitung dengan rumus:
|proj_v u| = (u • v) / |v|
Langkah 1: Hitung dot product (u • v)
u • v = (2)(1) + (3)(-2) + (-1)(3)
u • v = 2 – 6 – 3 = -7
Langkah 2: Hitung panjang (magnitudo) vektor v (|v|)
|v| = √(1² + (-2)² + 3²)
|v| = √(1 + 4 + 9)
|v| = √14
Langkah 3: Hitung proyeksi skalar
|proj_v u| = (-7) / √14
Untuk merasionalkan penyebut:
|proj_v u| = (-7 / √14) × (√14 / √14)
|proj_v u| = -7√14 / 14
|proj_v u| = -√14 / 2
Proyeksi skalar ortogonal vektor u pada vektor v adalah -√14 / 2. (Nilai negatif menunjukkan arah yang berlawanan dengan vektor v).
