Menguasai materi integral tentu merupakan salah satu kunci sukses dalam pelajaran Matematika Kelas 12 SMA. Untuk membantu Anda mencapai pemahaman yang mendalam dan siap menghadapi berbagai ujian, artikel ini hadir dengan koleksi komprehensif contoh soal matematika kelas 12 SMA integral tentu. Kami menyajikan soal-soal yang bervariasi, mulai dari perhitungan dasar integral tentu fungsi aljabar, hingga penerapannya dalam menentukan luas daerah di bawah kurva. Setiap soal dirancang dengan orientasi untuk menguji pemahaman konsep, keterampilan perhitungan, serta kecepatan Anda dalam memecahkan masalah. Tujuannya bukan hanya sekadar berlatih, melainkan juga untuk membangun intuisi matematika yang kuat terhadap integral tentu, memahami bagaimana batas-batas integrasi mempengaruhi hasil akhir, serta mengidentifikasi kesalahan umum yang sering terjadi. Dengan latihan yang terstruktur dan pembahasan yang jelas, Anda akan semakin percaya diri dalam menaklukkan soal-soal integral tentu, baik untuk persiapan ujian harian, ujian semester, maupun persiapan masuk perguruan tinggi seperti SNBT. Mari tingkatkan kemampuan matematika Anda bersama kami!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika kelas 12 SMA tentang integral tentu, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Hasil dari ∫₀² (3x² – 4x + 5) dx adalah …
a. 10
b. 12
c. 14
d. 16
e. 18
Jawaban: b
2. Nilai dari ∫₁³ (2x + 1) dx adalah …
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
e. 14
Jawaban: c
3. Jika f(x) = x³ – 2x + 1, maka nilai dari ∫₋₁¹ f(x) dx adalah …
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
Jawaban: c
4. Hasil dari ∫₀^π/2 (sin x + cos x) dx adalah …
a. 0
b. 1
c. √2
d. 2
e. π
Jawaban: d
5. Diketahui ∫₁⁵ f(x) dx = 8 dan ∫₃⁵ f(x) dx = 3. Maka nilai dari ∫₁³ f(x) dx adalah …
a. 2
b. 3
c. 5
d. 8
e. 11
Jawaban: c
6. Jika ∫ₐ³ (2x – 1) dx = 10, maka nilai a yang memenuhi adalah …
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
Jawaban: b
7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan sumbu X dari x = 0 sampai x = 2 adalah … satuan luas.
a. 2/3
b. 4/3
c. 8/3
d. 10/3
e. 16/3
Jawaban: c
8. Nilai dari ∫₁² (x² + 1/x²) dx adalah …
a. 17/6
b. 19/6
c. 21/6
d. 23/6
e. 25/6
Jawaban: a
9. Hasil dari ∫₀¹ (x – 1)(x + 2) dx adalah …
a. -1/6
b. -1/3
c. 0
d. 1/3
e. 1/6
Jawaban: b
10. Jika F(x) adalah anti-turunan dari f(x), maka ∫ₐᵇ f(x) dx = …
a. F(b) + F(a)
b. F(b) – F(a)
c. F(a) – F(b)
d. F'(b) – F'(a)
e. f(b) – f(a)
Jawaban: b
11. Integral tentu dari ∫₂⁴ (4x – 6) dx adalah …
a. 8
b. 10
c. 12
d. 14
e. 16
Jawaban: c
12. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 1, sumbu X, x = 0, dan x = 3 adalah … satuan luas.
a. 3/2
b. 5/2
c. 7/2
d. 9/2
e. 11/2
Jawaban: d
13. Hasil dari ∫₁² (6x² – 2x) dx adalah …
a. 10
b. 12
c. 14
d. 16
e. 18
Jawaban: c
14. Diketahui ∫₂⁴ f(x) dx = 7. Maka nilai dari ∫₄² f(x) dx adalah …
a. -7
b. -1/7
c. 0
d. 1/7
e. 7
Jawaban: a
15. Jika ∫₀³ (kx² + 2) dx = 33, maka nilai k adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Jawaban: c
16. Integral dari ∫₀^π (sin x) dx adalah …
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
e. 2
Jawaban: e
17. Hasil dari ∫₁² (3x² + 2x – 1) dx adalah …
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
e. 14
Jawaban: c
18. Jika ∫₁² f(x) dx = 4 dan ∫₂³ f(x) dx = 6, maka ∫₁³ f(x) dx adalah …
a. 2
b. 6
c. 8
d. 10
e. 12
Jawaban: d
19. Nilai dari ∫₁² (x³ – 1) dx adalah …
a. 7/4
b. 9/4
c. 11/4
d. 13/4
e. 15/4
Jawaban: b
20. Luas daerah di bawah kurva y = 4x – x² dan di atas sumbu X dari x = 0 sampai x = 4 adalah … satuan luas.
a. 8/3
b. 16/3
c. 20/3
d. 32/3
e. 64/3
Jawaban: d
—
## Soal Isian Singkat
1. Hasil dari ∫₀¹ (x⁴ – 3x² + 2) dx adalah …
Jawaban: 12/5
2. Nilai dari ∫₁² (3x² + 4x) dx adalah …
Jawaban: 18
3. Jika ∫₁³ (ax + 2) dx = 16, maka nilai a adalah …
Jawaban: 4
4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan sumbu X dari x = 0 sampai x = 3 adalah … satuan luas.
Jawaban: 9
5. Hasil dari ∫₀^π/2 (cos x) dx adalah …
Jawaban: 1
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan integral tentu dan bagaimana hubungannya dengan konsep luas daerah di bawah kurva.
Jawaban:
Integral tentu adalah nilai integral suatu fungsi pada interval tertentu, yaitu dari batas bawah ‘a’ sampai batas atas ‘b’. Secara geometris, integral tentu dari fungsi f(x) dari a ke b (∫ₐᵇ f(x) dx) merepresentasikan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, dan garis vertikal x = a serta x = b. Jika f(x) positif, luas daerah berada di atas sumbu X. Jika f(x) negatif, nilai integral tentu akan negatif, yang menunjukkan luas daerah berada di bawah sumbu X.
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 4 dan sumbu X.
Jawaban:
Langkah 1: Tentukan titik potong kurva dengan sumbu X (y = 0).
x² – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = -2 atau x = 2
Langkah 2: Integrasikan fungsi dari batas bawah (-2) sampai batas atas (2). Karena kurva y = x² – 4 berada di bawah sumbu X pada interval ini (y bernilai negatif), kita perlu mengambil nilai mutlak dari hasil integral atau mengalikan dengan -1.
Luas = |∫₋₂² (x² – 4) dx|
Luas = |[1/3 x³ – 4x]₋₂²|
Luas = |(1/3 (2)³ – 4(2)) – (1/3 (-2)³ – 4(-2))|
Luas = |(8/3 – 8) – (-8/3 + 8)|
Luas = |(8/3 – 24/3) – (-8/3 + 24/3)|
Luas = |-16/3 – 16/3|
Luas = |-32/3|
Luas = 32/3 satuan luas.
3. Tuliskan dan jelaskan tiga sifat penting integral tentu, lalu berikan satu contoh sederhana untuk masing-masing sifat.
Jawaban:
1. Sifat Penjumlahan/Pengurangan: Integral tentu dari penjumlahan atau pengurangan dua fungsi adalah penjumlahan atau pengurangan integral tentu masing-masing fungsi.
∫ₐᵇ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ₐᵇ f(x) dx ± ∫ₐᵇ g(x) dx
*Contoh:* ∫₀¹ (x + 2) dx = ∫₀¹ x dx + ∫₀¹ 2 dx = [1/2 x²]₀¹ + [2x]₀¹ = (1/2 – 0) + (2 – 0) = 1/2 + 2 = 5/2.
2. Sifat Perkalian dengan Konstanta: Konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral.
∫ₐᵇ c ∙ f(x) dx = c ∙ ∫ₐᵇ f(x) dx
*Contoh:* ∫₀¹ 3x² dx = 3 ∫₀¹ x² dx = 3 [1/3 x³]₀¹ = 3 (1/3 (1)³ – 1/3 (0)³) = 3 (1/3) = 1.
3. Sifat Penjumlahan Interval: Jika c adalah titik di antara a dan b, maka integral dari a ke b dapat dibagi menjadi integral dari a ke c ditambah integral dari c ke b.
∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫ᶜᵇ f(x) dx
*Contoh:* Jika ∫₁³ f(x) dx = 5 dan ∫₃⁵ f(x) dx = 7, maka ∫₁⁵ f(x) dx = 5 + 7 = 12.
4. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan v(t) = (3t² – 2t) m/s. Tentukan posisi total perubahan partikel dari t = 1 detik sampai t = 3 detik.
Jawaban:
Perubahan posisi total partikel adalah integral tentu dari fungsi kecepatan v(t) dari t = 1 sampai t = 3.
Perubahan Posisi = ∫₁³ v(t) dt = ∫₁³ (3t² – 2t) dt
= [t³ – t²]₁³
= ((3)³ – (3)²) – ((1)³ – (1)²)
= (27 – 9) – (1 – 1)
= 18 – 0
= 18
Jadi, perubahan posisi total partikel dari t = 1 detik sampai t = 3 detik adalah 18 meter.
5. Hitunglah hasil dari ∫₀^π/2 (cos 2x) dx.
Jawaban:
Langkah 1: Tentukan antiturunan dari cos 2x. Misal u = 2x, maka du = 2 dx, atau dx = 1/2 du.
∫ cos(u) (1/2 du) = 1/2 ∫ cos(u) du = 1/2 sin(u) + C
Maka, antiturunan dari cos 2x adalah 1/2 sin(2x).
Langkah 2: Evaluasi integral tentu menggunakan batas 0 dan π/2.
∫₀^π/2 (cos 2x) dx = [1/2 sin(2x)]₀^π/2
= (1/2 sin(2 ∙ π/2)) – (1/2 sin(2 ∙ 0))
= (1/2 sin(π)) – (1/2 sin(0))
= (1/2 ∙ 0) – (1/2 ∙ 0)
= 0 – 0
= 0
Jadi, hasil dari ∫₀^π/2 (cos 2x) dx adalah 0.
—
