Memahami konsep turunan fungsi adalah salah satu pilar penting dalam pembelajaran matematika tingkat SMA, khususnya bagi siswa kelas 11. Materi ini tidak hanya mendasari banyak topik lanjutan dalam kalkulus, tetapi juga memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Artikel ini didedikasikan untuk membantu Anda menguasai turunan fungsi melalui kumpulan contoh soal matematika kelas 11 SMA turunan fungsi yang komprehensif dan bervariasi. Dari soal-soal dasar yang menguji pemahaman Anda tentang aturan-aturan turunan (seperti aturan pangkat, perkalian, pembagian, dan rantai), hingga soal-soal yang lebih kompleks melibatkan aplikasi turunan. Anda akan menemukan latihan soal yang mencakup penentuan gradien garis singgung, fungsi naik dan turun, titik stasioner, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi, hingga masalah optimasi dalam konteks nyata. Setiap soal dirancang untuk memperdalam pemahaman konsep Anda, melatih kemampuan analitis, serta meningkatkan kecepatan dan akurasi dalam menyelesaikan masalah. Latihan soal ini bertujuan untuk menjadi panduan belajar yang efektif, membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, ujian semester, bahkan persiapan untuk jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Dengan berlatih secara rutin menggunakan kumpulan soal ini, diharapkan Anda tidak hanya sekadar hafal rumus, tetapi benar-benar mengerti esensi dan aplikasi dari turunan fungsi. Mari kita taklukkan materi turunan fungsi dan raih prestasi terbaik Anda di matematika!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai ‘turunan fungsi’ untuk siswa SMA kelas 11, dilengkapi dengan kunci jawaban.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Jika f(x) = 5x⁴, maka f'(x) adalah…
a. 20x⁴
b. 20x³
c. 5x³
d. 4x³
Jawaban: b
2. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 3x² – 2x + 7 adalah…
a. 6x – 2
b. 6x + 7
c. 3x – 2
d. 6x² – 2
Jawaban: a
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi g(x) = (2x + 1)(x – 3).
a. 2x – 5
b. 4x – 5
c. 2x² – 5x – 3
d. 4x² – 5
Jawaban: b
4. Jika y = 4/x, maka dy/dx adalah…
a. 4
b. -4/x²
c. 4/x²
d. -4x⁻²
Jawaban: b
5. Turunan pertama dari f(x) = (3x – 2)⁵ adalah…
a. 5(3x – 2)⁴
b. 3(3x – 2)⁴
c. 15(3x – 2)⁴
d. 15x(3x – 2)⁴
Jawaban: c
6. Gradien garis singgung kurva y = x³ – 3x² + 2x – 1 di titik x = 2 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
7. Jika h(x) = x√x, maka h'(x) adalah…
a. 3/2 √x
b. 1/2 √x
c. x^(3/2)
d. 3/2 x^(1/2)
Jawaban: a
8. Turunan pertama dari fungsi f(x) = (x² + 1)³ adalah…
a. 3(x² + 1)²
b. 6x(x² + 1)²
c. 2x(x² + 1)²
d. 3x²(x² + 1)²
Jawaban: b
9. Diketahui f(x) = (x – 2) / (x + 3). Nilai f'(1) adalah…
a. 1/16
b. 5/16
c. -1/16
d. 1
Jawaban: b
10. Turunan pertama dari y = (x² – 3x)³ adalah…
a. 3(x² – 3x)² (2x – 3)
b. 3(x² – 3x)²
c. (2x – 3)³
d. (x² – 3x)² (2x – 3)
Jawaban: a
11. Jika f(x) = 1/3 x³ – 2x² + 5x – 10, maka f'(x) adalah…
a. x² – 4x + 5
b. 3x² – 4x + 5
c. x² – 2x + 5
d. x³ – 4x² + 5x
Jawaban: a
12. Nilai stasioner dari fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x adalah…
a. x = 0 atau x = 3
b. x = 1 atau x = 3
c. x = 0 atau x = 1
d. x = 1 atau x = -3
Jawaban: b
13. Kurva y = x² – 5x + 6 akan naik pada interval…
a. x < 5/2
b. x > 5/2
c. x < 2
d. x > 3
Jawaban: b
14. Jika f(x) = 7, maka f'(x) adalah…
a. 7
b. x
c. 0
d. 7x
Jawaban: c
15. Turunan dari y = ∛(x²) adalah…
a. 2/3 x^(1/3)
b. 2/3 x^(-1/3)
c. 3/2 x^(1/3)
d. 1/3 x^(-2/3)
Jawaban: b
16. Persamaan garis singgung kurva y = x² + 2x di titik dengan absis x = 1 adalah…
a. y = 4x – 1
b. y = 4x + 1
c. y = 2x + 2
d. y = 4x – 2
Jawaban: a
17. Fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x – 5 akan mencapai nilai maksimum lokal di x = …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
18. Jika f(x) = (x³ + 2x) / (x² – 1), maka f'(x) adalah…
a. (x⁴ – 5x² – 2) / (x² – 1)²
b. (x⁴ + 5x² – 2) / (x² – 1)²
c. (x⁴ – 5x² + 2) / (x² – 1)²
d. (x⁴ + 5x² + 2) / (x² – 1)²
Jawaban: a
19. Turunan dari f(x) = (x + 1) (x + 2)² adalah…
a. (x + 2) (3x + 4)
b. (x + 2)² (3x + 4)
c. (x + 1) (x + 2) (3x + 4)
d. 3(x + 1) (x + 2)²
Jawaban: a
20. Kecepatan suatu benda yang bergerak dinyatakan dengan v(t) = 3t² – 6t + 5 (meter/detik). Percepatan benda pada saat t = 2 detik adalah…
a. 6 m/s²
b. 12 m/s²
c. 18 m/s²
d. 3 m/s²
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
21. Jika f(x) = 2x⁵ – 3x² + 1, maka f'(x) = …
Jawaban: 10x⁴ – 6x
22. Turunan pertama dari y = (x² – 5)⁴ adalah …
Jawaban: 8x(x² – 5)³
23. Gradien garis singgung kurva f(x) = 2x³ – x + 5 di x = -1 adalah …
Jawaban: 5
24. Fungsi f(x) = x³ – 12x + 7 mencapai titik minimum lokal pada x = …
Jawaban: 2
25. Diketahui y = x³ – 3x. Nilai dy/dx saat x = -2 adalah …
Jawaban: 9
—
## Soal Uraian
26. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = (4x² – 3) / (x + 1) menggunakan aturan pembagian.
Jawaban:
Misalkan u = 4x² – 3 dan v = x + 1.
Maka u’ = 8x dan v’ = 1.
Menggunakan aturan (u/v)’ = (u’v – uv’) / v², kita dapatkan:
f'(x) = (8x(x + 1) – (4x² – 3)(1)) / (x + 1)²
f'(x) = (8x² + 8x – 4x² + 3) / (x + 1)²
f'(x) = (4x² + 8x + 3) / (x + 1)²
27. Jelaskan bagaimana turunan pertama dapat digunakan untuk menentukan interval di mana suatu fungsi naik atau turun.
Jawaban:
Turunan pertama, f'(x), memberikan informasi tentang kemiringan (gradien) garis singgung pada kurva f(x).
– Jika f'(x) > 0 pada suatu interval, maka fungsi f(x) naik pada interval tersebut.
– Jika f'(x) < 0 pada suatu interval, maka fungsi f(x) turun pada interval tersebut.
– Jika f'(x) = 0 pada suatu titik, maka titik tersebut adalah titik stasioner (potensial titik balik atau titik belok).
28. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x² – 4x + 5 yang melalui titik (1, 2).
Jawaban:
1. Cek titik: Substitusi x = 1 ke y = x² – 4x + 5, y = 1² – 4(1) + 5 = 1 – 4 + 5 = 2. Jadi, titik (1, 2) memang pada kurva.
2. Cari gradien (m): Turunkan fungsi y = x² – 4x + 5 untuk mendapatkan gradien m = dy/dx.
dy/dx = 2x – 4.
Substitusikan x = 1 ke dy/dx: m = 2(1) – 4 = 2 – 4 = -2.
3. Gunakan rumus persamaan garis: y – y₁ = m(x – x₁).
y – 2 = -2(x – 1)
y – 2 = -2x + 2
y = -2x + 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = -2x + 4.
29. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan posisi s(t) = t³ – 6t² + 9t, di mana s dalam meter dan t dalam detik. Kapan partikel itu berhenti sesaat?
Jawaban:
Partikel berhenti sesaat ketika kecepatannya (v(t)) adalah nol.
1. Cari fungsi kecepatan: Kecepatan adalah turunan pertama dari posisi terhadap waktu, v(t) = s'(t).
s'(t) = d/dt (t³ – 6t² + 9t) = 3t² – 12t + 9.
2. Set kecepatan sama dengan nol:
3t² – 12t + 9 = 0
Bagi dengan 3:
t² – 4t + 3 = 0
3. Faktorkan persamaan kuadrat:
(t – 1)(t – 3) = 0
Maka t = 1 atau t = 3.
Jadi, partikel itu berhenti sesaat pada t = 1 detik dan t = 3 detik.
30. Tentukan semua titik stasioner (titik kritis) dari fungsi f(x) = 1/3 x³ – 2x² + 3x – 1.
Jawaban:
Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama fungsi sama dengan nol, yaitu f'(x) = 0.
1. Hitung f'(x):
f'(x) = d/dx (1/3 x³ – 2x² + 3x – 1)
f'(x) = x² – 4x + 3
2. Set f'(x) = 0 dan selesaikan untuk x:
x² – 4x + 3 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat:
(x – 1)(x – 3) = 0
Maka x = 1 atau x = 3.
3. Cari nilai y (f(x)) untuk setiap nilai x:
Untuk x = 1:
f(1) = 1/3 (1)³ – 2(1)² + 3(1) – 1
f(1) = 1/3 – 2 + 3 – 1 = 1/3.
Jadi, titik stasioner pertama adalah (1, 1/3).
Untuk x = 3:
f(3) = 1/3 (3)³ – 2(3)² + 3(3) – 1
f(3) = 1/3 (27) – 2(9) + 9 – 1
f(3) = 9 – 18 + 9 – 1 = -1.
Jadi, titik stasioner kedua adalah (3, -1).
Titik-titik stasioner dari fungsi tersebut adalah (1, 1/3) dan (3, -1).
