Memahami transformasi geometri adalah salah satu pilar penting dalam pembelajaran matematika di kelas 11 SMA. Materi ini mencakup berbagai konsep seperti translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian), yang semuanya membutuhkan pemahaman konsep yang kuat serta kemampuan aplikasi dalam berbagai bentuk soal. Artikel ini hadir untuk menjadi panduan komprehensif bagi Anda, para siswa kelas 11 SMA, dengan menyajikan kumpulan contoh soal matematika kelas 11 SMA transformasi geometri yang beragam dan bervariasi.
Setiap soal dirancang untuk menguji pemahaman Anda mulai dari tingkat dasar hingga menengah, mencakup aplikasi konsep pada titik, garis, maupun bangun datar. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membantu Anda menguasai materi transformasi geometri secara mendalam, melatih kemampuan analisis, serta meningkatkan kecepatan dan ketepatan dalam menyelesaikan soal. Dengan berlatih menggunakan contoh-contoh soal yang kami sediakan, Anda tidak hanya akan lebih siap menghadapi ulangan harian, ujian tengah semester, maupun ujian akhir semester, tetapi juga membangun fondasi yang kuat untuk materi matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Mari tingkatkan pemahaman dan raih nilai terbaik Anda dengan panduan soal-soal ini!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika kelas 11 SMA tentang transformasi geometri, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Titik A(3, -5) ditranslasikan oleh T(2, 4). Koordinat bayangan titik A’ adalah…
a. (5, -1)
b. (1, -9)
c. (6, -20)
d. (5, 9)
Jawaban: a
2. Bayangan titik P(-4, 7) setelah direfleksikan terhadap sumbu-x adalah…
a. (4, 7)
b. (-4, -7)
c. (4, -7)
d. (7, -4)
Jawaban: b
3. Titik Q(2, -3) dirotasikan 90° searah jarum jam mengelilingi titik asal O(0,0). Koordinat bayangan Q’ adalah…
a. (-3, -2)
b. (3, 2)
c. (3, -2)
d. (-2, -3)
Jawaban: a
4. Titik R(6, -8) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 1/2. Koordinat R’ adalah…
a. (12, -16)
b. (-6, 8)
c. (3, -4)
d. (3, 4)
Jawaban: c
5. Garis y = 3x – 2 ditranslasikan oleh T(1, -2). Persamaan bayangan garis tersebut adalah…
a. y = 3x – 7
b. y = 3x – 1
c. y = 3x – 3
d. y = 3x + 3
Jawaban: a
*(Penjelasan: Jika (x’, y’) adalah bayangan dari (x,y), maka x’ = x+1 -> x = x’-1 dan y’ = y-2 -> y = y’+2. Substitusi ke y = 3x – 2 menjadi y’+2 = 3(x’-1) – 2 -> y’ = 3x’ – 3 – 2 – 2 -> y’ = 3x’ – 7)*
6. Bayangan titik K(5, 2) setelah direfleksikan terhadap garis y = x adalah…
a. (5, -2)
b. (-5, 2)
c. (2, 5)
d. (-2, -5)
Jawaban: c
7. Titik L(-1, 4) dirotasikan 180° mengelilingi titik asal O(0,0). Koordinat bayangan L’ adalah…
a. (1, -4)
b. (-1, -4)
c. (4, -1)
d. (-4, 1)
Jawaban: a
8. Titik M(2, 3) dicerminkan terhadap garis x = 1. Koordinat bayangan M’ adalah…
a. (0, 3)
b. (-2, 3)
c. (2, -1)
d. (0, -3)
Jawaban: a
*(Penjelasan: Untuk refleksi terhadap x=k, (x,y) -> (2k-x, y). Di sini k=1, jadi (2*1 – 2, 3) = (0, 3))*
9. Jika titik B'(7, -4) adalah bayangan dari B(5, 1) oleh suatu translasi T, maka vektor translasi T adalah…
a. (2, -5)
b. (-2, 5)
c. (12, -3)
d. (2, 5)
Jawaban: a
10. Persamaan garis 2x + y – 3 = 0 didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2. Persamaan bayangannya adalah…
a. 4x + 2y – 6 = 0
b. x + 2y – 3 = 0
c. 2x + y – 6 = 0
d. x + y – 3 = 0
Jawaban: c
*(Penjelasan: Jika (x’, y’) adalah bayangan dari (x,y), maka x’ = 2x -> x = x’/2 dan y’ = 2y -> y = y’/2. Substitusi ke 2x + y – 3 = 0 menjadi 2(x’/2) + (y’/2) – 3 = 0 -> x’ + y’/2 – 3 = 0. Untuk menghilangkan pecahan, kalikan 2: 2x’ + y’ – 6 = 0)*
11. Bayangan titik C(4, 6) setelah direfleksikan terhadap garis y = -x adalah…
a. (6, 4)
b. (-6, -4)
c. (4, -6)
d. (-4, -6)
Jawaban: b
12. Titik D(-2, 5) dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal O(0,0). Koordinat bayangan D’ adalah…
a. (5, 2)
b. (-5, -2)
c. (2, -5)
d. (-5, 2)
Jawaban: b
*(Penjelasan: Untuk 90° berlawanan arah jarum jam (atau 270° searah jarum jam) mengelilingi O(0,0), (x,y) -> (-y, x). Jadi (-2, 5) -> (-5, -2))*
13. Titik E(1, 1) dicerminkan terhadap garis y = 2. Koordinat bayangan E’ adalah…
a. (1, 3)
b. (1, -1)
c. (-1, 1)
d. (3, 1)
Jawaban: a
*(Penjelasan: Untuk refleksi terhadap y=k, (x,y) -> (x, 2k-y). Di sini k=2, jadi (1, 2*2 – 1) = (1, 3))*
14. Jika titik F(3, -2) ditranslasikan oleh T₁(-1, 4) kemudian dilanjutkan oleh T₂(5, -3), maka koordinat bayangan akhir F” adalah…
a. (7, -1)
b. (9, 3)
c. (8, -5)
d. (7, -5)
Jawaban: a
*(Penjelasan: F'(3-1, -2+4) = (2, 2). Kemudian F”(2+5, 2-3) = (7, -1))*
15. Titik G(4, 0) dirotasikan 270° searah jarum jam mengelilingi titik asal O(0,0). Koordinat bayangan G’ adalah…
a. (0, 4)
b. (0, -4)
c. (-4, 0)
d. (4, 0)
Jawaban: a
*(Penjelasan: Rotasi 270° searah jarum jam sama dengan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam. (x,y) -> (-y, x). Jadi (4,0) -> (-0, 4) = (0, 4))*
16. Segitiga PQR dengan P(1,1), Q(3,1), R(2,3) didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3. Luas segitiga P’Q’R’ adalah…
a. 6 satuan luas
b. 9 satuan luas
c. 18 satuan luas
d. 27 satuan luas
Jawaban: c
*(Penjelasan: Luas PQR awal = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * (3-1) * (3-1) = 1/2 * 2 * 2 = 2 satuan luas. Setelah dilatasi dengan faktor skala k=3, luas bayangan = k² * Luas awal = 3² * 2 = 9 * 2 = 18 satuan luas.)*
17. Titik H(-2, -3) dicerminkan terhadap titik asal O(0,0). Koordinat bayangan H’ adalah…
a. (2, 3)
b. (-2, 3)
c. (2, -3)
d. (-3, -2)
Jawaban: a
*(Penjelasan: Refleksi terhadap titik asal (0,0) adalah (x,y) -> (-x, -y). Jadi (-2, -3) -> (2, 3))*
18. Persamaan lingkaran x² + y² = 4 ditranslasikan oleh T(-1, 3). Persamaan bayangan lingkaran adalah…
a. (x+1)² + (y-3)² = 4
b. (x-1)² + (y+3)² = 4
c. (x-1)² + (y-3)² = 4
d. (x+1)² + (y+3)² = 4
Jawaban: a
*(Penjelasan: Pusat lingkaran awal (0,0). Setelah translasi, pusatnya menjadi (0-1, 0+3) = (-1, 3). Jari-jari tetap 2. Jadi persamaan lingkarannya (x – (-1))² + (y – 3)² = 2² -> (x+1)² + (y-3)² = 4)*
19. Jika suatu titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = -x, kemudian dirotasikan 90° searah jarum jam mengelilingi titik asal, maka bayangan akhirnya adalah (3, 2). Koordinat titik A adalah…
a. (-2, 3)
b. (3, -2)
c. (-3, 2)
d. (2, -3)
Jawaban: b
*(Penjelasan: Kita kerjakan mundur. Jika A”(3,2) adalah hasil rotasi 90° searah jarum jam dari A’, maka A’ adalah hasil rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dari A”. Aturan 90° berlawanan arah jarum jam: (x,y) -> (-y,x). Jadi A’ = (-2, 3).
Selanjutnya, jika A'(-2,3) adalah hasil refleksi A(x,y) terhadap garis y = -x, maka A(x,y) adalah hasil refleksi A'(-2,3) terhadap garis y = -x juga. Aturan refleksi y=-x: (x,y) -> (-y, -x). Jadi A = (-3, -(-2)) = (-3, 2). Oh, ada kesalahan dalam penentuan jawaban sebelumnya, mari kita cek lagi.
Refleksi y=-x: (x,y) -> (-y, -x).
Rotasi 90° searah jarum jam: (x,y) -> (y, -x).
Misal A = (x,y).
Refleksi y=-x: A’ = (-y, -x).
Rotasi 90° searah jarum jam pada A’: A” = (-x, -(-y)) = (-x, y).
Kita tahu A” = (3, 2).
Jadi, -x = 3 -> x = -3.
y = 2.
Maka, A = (-3, 2).
Jawaban: c. (Saya salah hitung sebelumnya, jadi saya koreksi)*
20. Titik P(3, -4) ditransformasikan berturut-turut oleh rotasi 180° mengelilingi titik asal dan dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala -2. Koordinat bayangan akhir P” adalah…
a. (6, -8)
b. (-6, 8)
c. (-6, -8)
d. (6, 8)
Jawaban: b
*(Penjelasan: Rotasi 180°: P'(3, -4) -> (-3, 4).
Dilatasi dengan faktor skala -2: P” = (-2 * -3, -2 * 4) = (6, -8).
Ah, saya salah lagi. -2 * 4 = -8. Jadi (-3, 4) didilatasi dengan k = -2 menjadi (6, -8).
Jawaban: a. (Tampaknya saya harus lebih teliti).
Mari kita periksa ulang:
1. P(3, -4) dirotasikan 180° sekitar O(0,0).
Aturan: (x,y) -> (-x, -y).
P’ = (-3, -(-4)) = (-3, 4).
2. P'(-3, 4) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -2.
Aturan: (x,y) -> (kx, ky).
P” = (-2 * -3, -2 * 4) = (6, -8).
Jadi, jawaban saya yang pertama benar. a. (6, -8))*
—
## Soal Isian Singkat
1. Jika titik M'(6, -1) adalah bayangan dari M(2, 3) oleh translasi T, maka vektor translasi T adalah (…, …).
Jawaban: (4, -4)
2. Bayangan dari garis x = 5 setelah direfleksikan terhadap garis y = -1 adalah garis x = …
Jawaban: 5
*(Penjelasan: Refleksi terhadap garis horizontal y=k tidak mengubah koordinat x.)*
3. Titik N(-3, 2) didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 4. Koordinat bayangan N’ adalah (…, …).
Jawapan: (-12, 8)
4. Persamaan garis y = x + 4 dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal O(0,0). Persamaan bayangan garis tersebut adalah …
Jawaban: y = -x – 4
*(Penjelasan: Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam: (x,y) -> (-y, x). Jadi x’ = -y -> y = -x’ dan y’ = x -> x = y’. Substitusi: -x’ = y’ + 4 -> y’ = -x’ – 4.)*
5. Sebuah persegi panjang ABCD dengan A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2) dicerminkan terhadap sumbu-y. Luas bayangan persegi panjang A’B’C’D’ adalah … satuan luas.
Jawaban: 8
*(Penjelasan: Refleksi tidak mengubah luas bangun datar. Luas persegi panjang ABCD adalah panjang * lebar = 4 * 2 = 8. Jadi luas bayangannya tetap 8.)*
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan secara singkat konsep translasi dalam transformasi geometri dan berikan contoh penerapannya pada suatu titik P(x,y).
Jawaban:
Translasi adalah pergeseran atau pemindahan setiap titik pada suatu bidang dengan jarak dan arah yang sama. Transformasi ini tidak mengubah bentuk dan ukuran objek, hanya posisinya.
Contoh: Jika titik P(x,y) ditranslasikan oleh vektor T(a,b), maka koordinat bayangannya P'(x’,y’) adalah P'(x+a, y+b).
Misalnya, titik P(5, -3) ditranslasikan oleh T(2, 4), maka bayangannya P’ adalah (5+2, -3+4) = (7, 1).
2. Tentukan persamaan bayangan parabola y = x² – 4x + 5 setelah direfleksikan terhadap garis x = 3.
Jawaban:
Untuk refleksi terhadap garis x = k, koordinat (x, y) akan menjadi (2k-x, y).
Di sini, k = 3. Jadi, x’ = 2(3) – x => x’ = 6 – x => x = 6 – x’.
Koordinat y tetap, y’ = y.
Substitusikan x = 6 – x’ ke dalam persamaan parabola y = x² – 4x + 5:
y’ = (6 – x’)² – 4(6 – x’) + 5
y’ = (36 – 12x’ + (x’)²) – (24 – 4x’) + 5
y’ = x’² – 12x’ + 4x’ + 36 – 24 + 5
y’ = x’² – 8x’ + 17
Jadi, persamaan bayangan parabola adalah y = x² – 8x + 17.
3. Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat A(2,1), B(5,1), dan C(3,4). Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut setelah dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik P(1,1).
Jawaban:
Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik (a,b):
(x,y) -> (a – (y-b), b + (x-a)). Di sini (a,b) = (1,1).
* Titik A(2,1):
A’ = (1 – (1-1), 1 + (2-1))
A’ = (1 – 0, 1 + 1)
A’ = (1, 2)
* Titik B(5,1):
B’ = (1 – (1-1), 1 + (5-1))
B’ = (1 – 0, 1 + 4)
B’ = (1, 5)
* Titik C(3,4):
C’ = (1 – (4-1), 1 + (3-1))
C’ = (1 – 3, 1 + 2)
C’ = (-2, 3)
Jadi, koordinat bayangan segitiga adalah A'(1,2), B'(1,5), dan C'(-2,3).
4. Jelaskan perbedaan antara dilatasi dengan faktor skala positif dan dilatasi dengan faktor skala negatif. Berikan contoh untuk masing-masing.
Jawaban:
* Dilatasi dengan Faktor Skala Positif (k > 0):
Ketika faktor skala (k) positif, objek akan didilatasi dengan orientasi yang sama dengan objek aslinya. Jika k > 1, objek akan membesar. Jika 0 < k < 1, objek akan mengecil. Objek dan bayangannya berada pada sisi yang sama dari pusat dilatasi.
Contoh: Titik P(2,3) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan k=2. Bayangannya P'(2*2, 2*3) = P'(4,6). P’ berada pada arah yang sama dari O seperti P.
* Dilatasi dengan Faktor Skala Negatif (k < 0):
Ketika faktor skala (k) negatif, objek akan didilatasi dan mengalami pembalikan orientasi (rotasi 180°). Objek dan bayangannya akan berada pada sisi yang berlawanan dari pusat dilatasi.
Contoh: Titik P(2,3) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan k=-2. Bayangannya P'(-2*2, -2*3) = P'(-4,-6). P’ berada di sisi berlawanan dari O dibandingkan P, dan orientasinya terbalik.
5. Suatu titik A(x,y) ditranslasikan oleh T(-2, 5), kemudian bayangannya A’ dicerminkan terhadap garis y = -1 menghasilkan A”(3, 0). Tentukan koordinat titik A(x,y) semula.
Jawaban:
Kita akan bekerja mundur dari A” ke A.
1. Dari A”(3, 0) ke A’ (refleksi terhadap y = -1):
Jika A'(x’,y’) dicerminkan terhadap y = -1 menghasilkan A”(3,0), maka kita gunakan rumus refleksi y=k: (x,y) -> (x, 2k-y).
Jadi, x” = x’ dan y” = 2(-1) – y’.
Dari A”(3,0):
3 = x’ => x’ = 3
0 = 2(-1) – y’ => 0 = -2 – y’ => y’ = -2
Jadi, A’ adalah (3, -2).
2. Dari A'(3, -2) ke A(x,y) (translasi oleh T(-2, 5)):
Jika A(x,y) ditranslasikan oleh T(-2, 5) menghasilkan A'(3, -2), maka:
x’ = x + (-2) => 3 = x – 2 => x = 3 + 2 => x = 5
y’ = y + 5 => -2 = y + 5 => y = -2 – 5 => y = -7
Jadi, koordinat titik A semula adalah (5, -7).
—
