Selamat datang di sumber belajar terbaik untuk menguasai materi Program Linear! Bagi Anda siswa/i kelas 11 SMA yang sedang berjuang memahami seluk-beluk optimasi dengan batasan, artikel ini adalah jawabannya. Kami menyajikan koleksi lengkap contoh soal matematika kelas 11 SMA program linear yang dirancang khusus untuk memperdalam pemahaman Anda dari dasar hingga tingkat lanjut. Mulai dari merumuskan model matematika dari soal cerita, menentukan daerah penyelesaian, mengidentifikasi titik pojok, hingga menemukan nilai optimum fungsi tujuan, setiap aspek program linear akan dibedah tuntas melalui soal-soal bervariasi. Latihan soal ini tidak hanya berfungsi sebagai alat uji kemampuan, tetapi juga panduan belajar yang efektif. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan yang detail dan langkah demi langkah, memungkinkan Anda untuk memahami logika di balik setiap solusi, bukan hanya sekadar mendapatkan jawaban akhir. Tujuannya jelas: agar Anda tidak hanya mampu mengerjakan soal, tetapi juga menguasai konsep program linear secara mendalam, siap menghadapi ulangan harian, ujian sekolah, bahkan persiapan menuju jenjang pendidikan lebih tinggi. Tingkatkan kepercayaan diri Anda dalam menaklukkan program linear dan raih nilai terbaik!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika kelas 11 SMA program linear, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
# Soal Pilihan Ganda
1. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12, dan 4x + y ≤ 10 adalah…
a. Suatu daerah di kuadran I
b. Suatu daerah di kuadran II
c. Suatu daerah di kuadran III
d. Suatu daerah di kuadran IV
Jawaban: a
2. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, x ≥ 0, dan y ≥ 0 dapat digambarkan sebagai daerah…
a. Segitiga
b. Segiempat
c. Pentagon
d. Tak terbatas
Jawaban: b
3. Fungsi tujuan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan dalam program linear disebut juga…
a. Fungsi kendala
b. Fungsi objektif
c. Fungsi batasan
d. Fungsi linier
Jawaban: b
4. Jika diketahui fungsi tujuan f(x,y) = 3x + 4y dan titik pojok daerah penyelesaian adalah (0,0), (5,0), (0,3), dan (2,2), maka nilai maksimumnya adalah…
a. 0
b. 15
c. 12
d. 14
Jawaban: d
5. Titik potong antara garis 2x + y = 8 dan x + 2y = 7 adalah…
a. (3,2)
b. (2,3)
c. (1,6)
d. (4,0)
Jawaban: a
6. Daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 10, jika x ≥ 0 dan y ≥ 0, terletak di bawah garis x + 2y = 10 dan pada kuadran…
a. II
b. III
c. IV
d. I
Jawaban: d
7. Sistem pertidaksamaan linear yang sesuai untuk daerah yang dibatasi oleh titik (0,0), (4,0), (0,6), dan (2,3) adalah…
a. 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
b. 3x + 2y ≤ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
c. 3x + 2y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
d. 3x + 2y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0
Jawaban: a
8. Sebuah pabrik roti memproduksi dua jenis roti: roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 200 gram tepung dan 25 gram mentega. Roti B membutuhkan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Persediaan tepung adalah 4 kg dan mentega 1,25 kg. Model matematika untuk masalah ini jika x adalah jumlah roti A dan y adalah jumlah roti B adalah…
a. 200x + 100y ≤ 4000, 25x + 50y ≤ 1250, x ≥ 0, y ≥ 0
b. 200x + 100y ≥ 4000, 25x + 50y ≥ 1250, x ≥ 0, y ≥ 0
c. 200x + 100y ≤ 4, 25x + 50y ≤ 1.25, x ≥ 0, y ≥ 0
d. 2x + y ≤ 40, x + 2y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0
Jawaban: a
9. Nilai minimum dari fungsi f(x,y) = 5x + 2y pada daerah penyelesaian yang memiliki titik pojok (0,4), (2,0), dan (4,0) adalah…
a. 8
b. 10
c. 20
d. 4
Jawaban: b
10. Suatu pedagang buah memiliki modal Rp1.500.000,00. Ia ingin membeli apel dan pisang. Harga beli apel per kg adalah Rp15.000,00 dan pisang per kg adalah Rp10.000,00. Kapasitas maksimum toko hanya dapat menampung 120 kg buah. Jika x adalah banyak apel (kg) dan y adalah banyak pisang (kg), maka sistem pertidaksamaan yang tepat adalah…
a. 15.000x + 10.000y ≤ 1.500.000; x + y ≤ 120; x ≥ 0; y ≥ 0
b. 15.000x + 10.000y ≥ 1.500.000; x + y ≥ 120; x ≥ 0; y ≥ 0
c. 15x + 10y ≤ 1500; x + y ≤ 120; x ≥ 0; y ≥ 0
d. 3x + 2y ≤ 300; x + y ≤ 120; x ≥ 0; y ≥ 0
Jawaban: d (setelah disederhanakan 15x + 10y ≤ 1500)
11. Jika pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12 digambarkan pada koordinat kartesius, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah yang mengandung titik…
a. (5,0)
b. (0,7)
c. (1,1)
d. (4,3)
Jawaban: c
12. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan x ≥ 2 adalah daerah di sebelah…
a. Kiri sumbu y
b. Kanan garis x = 2
c. Bawah garis y = 2
d. Atas garis y = 2
Jawaban: b
13. Titik pojok dari daerah yang dibatasi oleh x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, dan x + 2y ≤ 8 adalah…
a. (0,0), (6,0), (0,4), (4,2)
b. (0,0), (8,0), (0,6), (4,2)
c. (0,0), (6,0), (0,4), (2,4)
d. (0,0), (6,0), (0,4), (2,3)
Jawaban: a
14. Untuk memaksimumkan fungsi tujuan Z = 4x + 5y, jika daerah feasible adalah poligon dengan titik pojok (0,0), (10,0), (5,5), dan (0,8), maka nilai maksimumnya adalah…
a. 40
b. 50
c. 45
d. 40 (dari (0,8))
Jawaban: c (dari (5,5) -> 4(5) + 5(5) = 20 + 25 = 45)
15. Dalam suatu model program linear, fungsi kendala merepresentasikan…
a. Keuntungan yang ingin dicapai
b. Batasan sumber daya atau kapasitas
c. Jumlah produk yang dihasilkan
d. Harga jual produk
Jawaban: b
16. Persamaan garis yang melalui titik (0,6) dan (4,0) adalah…
a. 6x + 4y = 24
b. 3x + 2y = 12
c. 2x + 3y = 12
d. 4x + 6y = 24
Jawaban: b
17. Jika suatu daerah penyelesaian memiliki titik pojok (0,0), (10,0), dan (0,15), maka nilai minimum dari fungsi tujuan f(x,y) = 2x + 3y adalah…
a. 0
b. 20
c. 45
d. 5
Jawaban: a
18. Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5. Daerah penyelesaiannya adalah…
a. Segitiga dengan titik (0,0), (5,0), (0,5)
b. Segitiga dengan titik (0,0), (5,0), (5,5)
c. Segitiga dengan titik (0,0), (0,5), (5,5)
d. Segiempat dengan titik (0,0), (5,0), (5,5), (0,5)
Jawaban: a
19. Sebuah toko membuat dua jenis kue. Kue jenis I memerlukan 150 gram tepung dan 50 gram gula. Kue jenis II memerlukan 75 gram tepung dan 25 gram gula. Persediaan tepung 2.25 kg dan gula 1 kg. Jika x adalah banyak kue jenis I dan y adalah banyak kue jenis II, maka salah satu kendalanya adalah…
a. 150x + 75y ≤ 2250
b. 150x + 75y ≥ 2250
c. 50x + 25y ≥ 1000
d. 150x + 75y ≤ 2.25
Jawaban: a
20. Metode yang digunakan untuk menemukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan dalam program linear adalah…
a. Metode eliminasi
b. Metode substitusi
c. Metode titik pojok
d. Metode grafik linier
Jawaban: c
—
# Soal Isian Singkat
1. Daerah himpunan penyelesaian dari x ≥ 0, y ≥ 0, dan x + y ≤ 4 adalah daerah di kuadran I yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat dan garis x + y = 4. Titik-titik pojoknya adalah (0,0), (4,0), dan …
Jawaban: (0,4)
2. Nilai f(x,y) = 2x + 5y pada titik (3,2) adalah …
Jawaban: 16 (2(3) + 5(2) = 6 + 10 = 16)
3. Pertidaksamaan yang menyatakan daerah di bawah garis 3x + 4y = 12 (termasuk garis) dan di kuadran I adalah 3x + 4y ≤ 12, x ≥ 0, dan y … 0.
Jawaban: ≥
4. Titik potong garis x + y = 7 dengan sumbu x adalah …
Jawaban: (7,0)
5. Sebuah produsen sepatu membuat dua model sepatu, model A dan model B. Model A memerlukan 2 jam kerja potong dan 3 jam kerja rakit. Model B memerlukan 4 jam kerja potong dan 2 jam kerja rakit. Waktu yang tersedia untuk kerja potong adalah 20 jam dan kerja rakit 18 jam. Jika x adalah jumlah sepatu model A dan y adalah jumlah sepatu model B, maka salah satu kendala waktu kerjanya adalah 2x + 4y ≤ …
Jawaban: 20
—
# Soal Uraian
1. Sebuah pesawat memiliki kapasitas 48 penumpang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat tersebut hanya dapat membawa bagasi maksimum 1440 kg. Harga tiket kelas utama Rp300.000,00 dan kelas ekonomi Rp200.000,00.
Buatlah model matematika untuk masalah ini agar pendapatan dari penjualan tiket maksimum.
Jawaban:
Misalkan:
x = jumlah penumpang kelas utama
y = jumlah penumpang kelas ekonomi
Fungsi Tujuan (Pendapatan Maksimum):
Z = 300.000x + 200.000y
Fungsi Kendala:
1. Kapasitas penumpang: x + y ≤ 48
2. Kapasitas bagasi: 60x + 20y ≤ 1440 (dapat disederhanakan menjadi 3x + y ≤ 72)
3. Batasan non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Model matematika lengkap:
Maksimumkan Z = 300.000x + 200.000y
Dengan kendala:
x + y ≤ 48
3x + y ≤ 72
x ≥ 0
y ≥ 0
2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut: x + y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0. Kemudian, tentukan semua titik pojok dari daerah tersebut.
Jawaban:
Langkah-langkah menggambar:
1. Gambar garis x + y = 6. Titik potong sumbu: (6,0) dan (0,6).
2. Gambar garis 2x + y = 8. Titik potong sumbu: (4,0) dan (0,8).
3. Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan (uji titik (0,0) untuk pertidaksamaan ≤).
* x + y ≤ 6: daerah di bawah garis x + y = 6.
* 2x + y ≤ 8: daerah di bawah garis 2x + y = 8.
* x ≥ 0: daerah di sebelah kanan sumbu y.
* y ≥ 0: daerah di atas sumbu x.
4. Irisan dari semua daerah tersebut adalah DHP.
Titik Pojok:
1. (0,0)
2. Titik potong garis x + y = 6 dengan sumbu x: (6,0) -> Tapi ini di luar DHP karena 2(6) + 0 = 12 > 8. Batasan sumbu x yang memenuhi DHP adalah dari garis 2x + y = 8 yaitu (4,0). Jadi, (4,0).
3. Titik potong garis 2x + y = 8 dengan sumbu y: (0,8) -> Tapi ini di luar DHP karena 0 + 8 = 8 > 6. Batasan sumbu y yang memenuhi DHP adalah dari garis x + y = 6 yaitu (0,6). Jadi, (0,6).
4. Titik potong antara garis x + y = 6 dan 2x + y = 8.
Eliminasi y:
(2x + y = 8) – (x + y = 6) = x = 2
Substitusi x = 2 ke x + y = 6:
2 + y = 6 => y = 4
Titik potong: (2,4)
Jadi, titik-titik pojoknya adalah (0,0), (4,0), (2,4), dan (0,6).
*(Catatan: Gambar DHP diperlukan untuk visualisasi, namun untuk jawaban tertulis ini, titik pojok adalah kunci utama.)*
3. Sebuah peternak memiliki 100 ekor ayam dan 200 ekor bebek. Makanan ayam per hari membutuhkan 0,1 kg pakan jagung dan 0,05 kg pakan kedelai. Makanan bebek per hari membutuhkan 0,2 kg pakan jagung dan 0,1 kg pakan kedelai. Persediaan pakan jagung 20 kg dan pakan kedelai 10 kg. Jika keuntungan per ekor ayam Rp5.000,00 dan per ekor bebek Rp7.000,00, tentukan berapa jumlah ayam dan bebek yang harus diberi pakan agar keuntungan maksimum.
Jawaban:
Misalkan:
x = jumlah ayam yang diberi pakan
y = jumlah bebek yang diberi pakan
Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):
Z = 5.000x + 7.000y
Fungsi Kendala:
1. Pakan Jagung: 0,1x + 0,2y ≤ 20 (dikalikan 10 menjadi x + 2y ≤ 200)
2. Pakan Kedelai: 0,05x + 0,1y ≤ 10 (dikalikan 20 menjadi x + 2y ≤ 200)
*Penting: Kedua kendala pakan ini sama, jadi cukup gunakan salah satu.*
3. Jumlah Ayam: x ≤ 100
4. Jumlah Bebek: y ≤ 200
5. Non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Daerah Penyelesaian (DHP) dibatasi oleh:
x + 2y = 200
x = 100
y = 200
x = 0
y = 0
Titik-titik pojok DHP:
1. (0,0) -> Z = 0
2. Potongan x = 100 dengan x + 2y = 200:
100 + 2y = 200
2y = 100
y = 50
Titik: (100,50) -> Z = 5.000(100) + 7.000(50) = 500.000 + 350.000 = 850.000
3. Potongan y = 0 dengan x + 2y = 200:
x + 2(0) = 200
x = 200
Titik: (200,0) -> Z = 5.000(200) + 7.000(0) = 1.000.000
*(Perhatikan bahwa x ≤ 100, jadi (200,0) tidak termasuk dalam DHP yang valid)*
4. Potongan x = 0 dengan x + 2y = 200:
0 + 2y = 200
y = 100
Titik: (0,100) -> Z = 5.000(0) + 7.000(100) = 700.000
5. Karena x ≤ 100 dan y ≤ 200, maka titik-titik lain yang relevan adalah (100,0) dan (0,100).
* (100,0) -> Z = 5.000(100) + 7.000(0) = 500.000
* (0,100) -> Z = 5.000(0) + 7.000(100) = 700.000
* (100,50) -> Z = 850.000 (ini adalah perpotongan x=100 dengan x+2y=200, dan memenuhi y<=200)
* Titik pojok yang valid: (0,0), (100,0), (100,50), (0,100).
* Perhatikan bahwa garis x + 2y = 200 memotong x = 100 di (100,50) dan y = 0 di (200,0). Karena x <= 100, maka titik (200,0) tidak masuk. Garis x + 2y = 200 memotong y = 100 (jika y nya 100) di (0,100)
* Garis x=100. Garis y=200. Garis x+2y=200.
Titik-titik pojok DHP yang benar adalah:
* (0,0)
* (100,0) (dari x ≤ 100, y=0)
* (100,50) (dari perpotongan x = 100 dan x + 2y = 200)
* (0,100) (dari perpotongan x = 0 dan x + 2y = 200)
Menghitung nilai Z pada titik pojok:
* (0,0) → Z = 5.000(0) + 7.000(0) = 0
* (100,0) → Z = 5.000(100) + 7.000(0) = 500.000
* (100,50) → Z = 5.000(100) + 7.000(50) = 500.000 + 350.000 = 850.000
* (0,100) → Z = 5.000(0) + 7.000(100) = 700.000
Nilai maksimum adalah Rp850.000,00. Ini tercapai jika peternak memberi pakan 100 ekor ayam dan 50 ekor bebek.
4. Jelaskan langkah-langkah umum dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik.
Jawaban:
Langkah-langkah umum dalam menyelesaikan masalah program linear dengan metode grafik adalah sebagai berikut:
1. Membuat Model Matematika: Identifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan (objektif) yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan, dan semua fungsi kendala (batasan) dalam bentuk pertidaksamaan linear. Pastikan juga ada kendala non-negatif (variabel harus ≥ 0).
2. Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP):
* Untuk setiap pertidaksamaan kendala, ubah menjadi persamaan garis (misal: ax + by ≤ c menjadi ax + by = c).
* Gambar setiap garis pada bidang koordinat kartesius, biasanya dengan mencari titik potong sumbu-x dan sumbu-y.
* Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan (uji titik, misalnya (0,0), untuk mengetahui sisi mana dari garis yang merupakan daerah penyelesaian).
* Tentukan daerah irisan dari semua pertidaksamaan, termasuk x ≥ 0 dan y ≥ 0. Daerah irisan inilah yang disebut Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) atau daerah feasible.
3. Menentukan Titik Pojok DHP: Identifikasi semua titik sudut (pojok) dari DHP. Titik-titik ini bisa berupa perpotongan garis kendala dengan sumbu koordinat atau perpotongan antar garis kendala.
4. Menguji Titik Pojok pada Fungsi Tujuan: Substitusikan koordinat setiap titik pojok yang ditemukan pada langkah 3 ke dalam fungsi tujuan Z = ax + by.
5. Menentukan Nilai Optimum:
* Untuk masalah maksimisasi, nilai terbesar dari hasil substitusi pada langkah 4 adalah nilai maksimum fungsi tujuan.
* Untuk masalah minimisasi, nilai terkecil dari hasil substitusi pada langkah 4 adalah nilai minimum fungsi tujuan.
6. Menyimpulkan Hasil: Nyatakan hasil optimal dalam konteks masalah asli.
5. Sebuah produsen mebel membuat meja dan kursi. Satu meja membutuhkan 2 jam untuk memotong dan 4 jam untuk merakit. Satu kursi membutuhkan 1 jam untuk memotong dan 3 jam untuk merakit. Produsen memiliki 10 jam waktu memotong dan 18 jam waktu merakit setiap hari. Jika keuntungan satu meja adalah Rp150.000,00 dan satu kursi Rp100.000,00, berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh produsen tersebut?
Jawaban:
Misalkan:
x = jumlah meja
y = jumlah kursi
Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):
Z = 150.000x + 100.000y
Fungsi Kendala:
1. Waktu memotong: 2x + y ≤ 10
2. Waktu merakit: 4x + 3y ≤ 18
3. Non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0
Titik Pojok DHP:
1. (0,0) -> Z = 0
2. Potongan 2x + y = 10 dengan sumbu x (y=0):
2x = 10 => x = 5
Titik: (5,0) -> Z = 150.000(5) + 100.000(0) = 750.000
3. Potongan 4x + 3y = 18 dengan sumbu y (x=0):
3y = 18 => y = 6
Titik: (0,6) -> Z = 150.000(0) + 100.000(6) = 600.000
4. Titik potong antara garis 2x + y = 10 dan 4x + 3y = 18:
Dari 2x + y = 10 => y = 10 – 2x
Substitusi ke 4x + 3y = 18:
4x + 3(10 – 2x) = 18
4x + 30 – 6x = 18
-2x = 18 – 30
-2x = -12
x = 6
Substitusi x = 6 ke y = 10 – 2x:
y = 10 – 2(6) = 10 – 12 = -2
*(Perhatian: Titik (6,-2) tidak valid karena y harus ≥ 0. Ini berarti titik pojoknya bukan hasil perpotongan ini, melainkan dibatasi oleh kendala non-negatif dan garis-garis lain.)*
Mari cek DHP dengan lebih teliti.
Garis 2x + y = 10: memotong sumbu x di (5,0), sumbu y di (0,10).
Garis 4x + 3y = 18: memotong sumbu x di (4.5,0), sumbu y di (0,6).
Titik Pojok yang Valid:
* (0,0)
* (4.5,0) (karena 4.5 < 5, jadi garis 4x+3y=18 lebih membatasi di sumbu x)
* (0,6) (dari garis 4x+3y=18, karena 6 < 10, jadi garis 4x+3y=18 lebih membatasi di sumbu y)
* Perpotongan 2x + y = 10 dan 4x + 3y = 18:
Kali persamaan (1) dengan 3: 6x + 3y = 30
Kurangkan dengan persamaan (2): (6x + 3y = 30) – (4x + 3y = 18)
2x = 12
x = 6
Substitusi x = 6 ke 2x + y = 10:
2(6) + y = 10 => 12 + y = 10 => y = -2.
Seperti yang ditemukan, titik ini (6,-2) tidak berada di kuadran I. Ini menandakan bahwa DHP tidak memiliki titik pojok dari perpotongan kedua garis tersebut di kuadran I, karena salah satu garis membatasi yang lain sehingga perpotongan terjadi di luar daerah yang valid.
Dalam kasus ini, DHP adalah poligon yang dibentuk oleh (0,0), (4.5,0), dan (0,6).
Mari kita evaluasi ulang:
Titik-titik pojok DHP adalah:
1. (0,0)
2. Titik potong garis 4x + 3y = 18 dengan sumbu x: (4.5,0)
3. Titik potong garis 2x + y = 10 dengan sumbu y: (0,10) *tetapi* garis 4x+3y=18 memotong sumbu y di (0,6) dan (0,6) memenuhi 2x+y <= 10 (0+6<=10), maka (0,6) adalah titik pojok yang valid.
Jadi, titik-titik pojok DHP adalah (0,0), (4.5,0), dan (0,6).
Evaluasi Fungsi Tujuan Z = 150.000x + 100.000y:
* (0,0) → Z = 150.000(0) + 100.000(0) = 0
* (4.5,0) → Z = 150.000(4.5) + 100.000(0) = 675.000
* (0,6) → Z = 150.000(0) + 100.000(6) = 600.000
Nilai maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp675.000,00, dengan membuat 4.5 meja dan 0 kursi. Karena tidak mungkin membuat setengah meja, kita harus mempertimbangkan titik bulat terdekat. Dalam kasus ini, kita mungkin perlu mengevaluasi titik-titik integer (x,y) di sekitar (4.5,0) yang masih dalam DHP. Titik integer terdekat adalah (4,0).
Jika x = 4, y = 0: Z = 150.000(4) + 100.000(0) = 600.000.
Jika x = 3, y = 4 (memenuhi 2(3)+4=10 dan 4(3)+3(4)=12+12=24 (tidak memenuhi 24 > 18)).
Jika x=3, 2x+y <= 10 -> y <= 4. 4x+3y <= 18 -> 12+3y <= 18 -> 3y <= 6 -> y <= 2. Jadi y <= 2.
Untuk x=3, y=2: Z = 150.000(3) + 100.000(2) = 450.000 + 200.000 = 650.000.
Ini adalah contoh di mana solusi optimal bukan di titik pojok integer.
Namun, jika soal tidak mensyaratkan bilangan bulat, maka (4.5,0) adalah titik optimal.
Jika diasumsikan meja dan kursi harus bilangan bulat (umumnya di program linear real world), kita perlu memeriksa titik-titik integer di sekitar DHP.
* (4,0): Z = 600.000
* (3,0): Z = 450.000
* (2,0): Z = 300.000
* (0,5): Z = 500.000 (2(0)+5 <= 10, 4(0)+3(5) = 15 <= 18)
* (1,4): Z = 150.000(1) + 100.000(4) = 150.000 + 400.000 = 550.000 (2(1)+4=6 <= 10, 4(1)+3(4)=16 <= 18)
* (2,?) : 2x+y<=10 -> y <= 6. 4x+3y<=18 -> 8+3y<=18 -> 3y<=10 -> y <= 3.33. Jadi (2,3)
(2,3): Z = 150.000(2) + 100.000(3) = 300.000 + 300.000 = 600.000
* (3,?) : 2x+y<=10 -> y <= 4. 4x+3y<=18 -> 12+3y<=18 -> 3y<=6 -> y <= 2. Jadi (3,2)
(3,2): Z = 150.000(3) + 100.000(2) = 450.000 + 200.000 = 650.000
Dengan asumsi x dan y bisa bilangan real (sesuai standar program linear SMA jika tidak ada integer programming), maka keuntungan maksimum adalah Rp675.000,00 dengan memproduksi 4.5 meja dan 0 kursi.
Namun, jika secara praktis meja harus jumlah bulat, maka kita harus membandingkan nilai Z dari titik-titik integer terdekat. Dalam kasus ini, dari evaluasi titik pojok (4.5,0) memberikan 675.000. Titik integer (3,2) memberikan 650.000 dan (4,0) memberikan 600.000.
Sebagai latihan program linear standar SMA, kita akan mengikuti aturan titik pojok tanpa integer programming.
Jadi, keuntungan maksimum adalah Rp675.000,00 dengan membuat 4.5 meja dan 0 kursi.
