Selamat datang di sumber belajar terbaik untuk menguasai konsep kekontinuan fungsi! Artikel ini menyajikan kumpulan *contoh soal matematika kekontinuan fungsi* yang dirancang khusus untuk membantu Anda memperdalam pemahaman dan mengasah kemampuan analisis dalam materi krusial kalkulus ini. Kami menghadirkan beragam tipe soal, mulai dari definisi dasar kekontinuan pada suatu titik, menguji kekontinuan fungsi berdasarkan grafik, hingga soal-soal yang melibatkan fungsi sepotong-sepotong dan penerapannya dalam kasus yang lebih kompleks. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas, mudah dipahami, dan mendetail, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami proses pemikiran serta prinsip-prinsip matematika yang mendasarinya. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk memperkuat pemahaman Anda tentang syarat-syarat kekontinuan fungsi, melatih kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah, dan meningkatkan kepercayaan diri Anda dalam menghadapi ujian atau tugas sekolah. Baik Anda siswa SMA yang sedang mempersiapkan diri untuk ujian, mahasiswa yang mengambil mata kuliah kalkulus dasar, maupun siapa saja yang ingin menyegarkan kembali pemahaman tentang kekontinuan fungsi, panduan komprehensif ini akan sangat bermanfaat. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan *contoh soal kekontinuan fungsi* ini, Anda akan siap menghadapi tantangan matematika dengan lebih percaya diri dan kompeten.
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai kekontinuan fungsi, dibagi menjadi pilihan ganda, isian singkat, dan uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Agar fungsi f(x) = x² + 2x – 3 kontinu di setiap titik, nilai dari f(x) di x=1 harus sama dengan nilai limitnya di x=1. Berapakah nilai f(1)?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: a
2. Fungsi f(x) = (x² – 9) / (x – 3) tidak terdefinisi di x=3. Agar fungsi ini kontinu di x=3, berapakah nilai limit f(x) saat x mendekati 3?
a. 0
b. 3
c. 6
d. Tidak ada
Jawaban: c
3. Manakah dari pernyataan berikut yang BUKAN merupakan syarat kekontinuan fungsi f(x) di titik x=c?
a. f(c) terdefinisi.
b. lim (x→c) f(x) ada.
c. lim (x→c) f(x) = f(c).
d. f(x) diferensiabel di x=c.
Jawaban: d
4. Diketahui fungsi f(x) = 1/(x – 2). Fungsi ini memiliki diskontinuitas di x=2. Jenis diskontinuitas apakah ini?
a. Diskontinuitas dapat dihapus (removable discontinuity).
b. Diskontinuitas loncat (jump discontinuity).
c. Diskontinuitas tak hingga (infinite discontinuity).
d. Diskontinuitas titik (point discontinuity).
Jawaban: c
5. Untuk fungsi f(x) = { 2x + 1, jika x < 0 ; x² - 3, jika x ≥ 0 }. Di titik x=0, fungsi ini memiliki diskontinuitas. Apakah jenis diskontinuitasnya?
a. Diskontinuitas dapat dihapus.
b. Diskontinuitas loncat.
c. Diskontinuitas tak hingga.
d. Fungsi ini kontinu di x=0.
Jawaban: b
6. Fungsi f(x) = cos(x) adalah fungsi yang kontinu di seluruh domainnya. Domain fungsi cos(x) adalah…
a. [0, 2π]
b. (-∞, ∞)
c. [0, ∞)
d. (-∞, 0)
Jawaban: b
7. Tentukan nilai ‘a’ agar fungsi f(x) = { x + a, jika x < 1 ; 2x² - 1, jika x ≥ 1 } kontinu di x=1.
a. -2
b. -1
c. 0
d. 1
Jawaban: c
8. Di titik mana fungsi f(x) = (x + 2) / (x² – 4) TIDAK kontinu?
a. x = 2 saja
b. x = -2 saja
c. x = 2 dan x = -2
d. Fungsi ini kontinu di seluruh domainnya
Jawaban: c
9. Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang kontinu di titik x=c, maka pernyataan yang benar adalah…
a. f(x) / g(x) selalu kontinu di x=c.
b. f(x) + g(x) selalu kontinu di x=c.
c. f(g(x)) selalu kontinu di x=c.
d. Hanya jika f(c) = g(c) maka f(x) + g(x) kontinu.
Jawaban: b
10. Fungsi polinomial P(x) = ax³ + bx² + cx + d adalah fungsi yang selalu kontinu di…
a. Hanya untuk x > 0
b. Hanya untuk x < 0
c. Hanya untuk x = 0
d. Semua bilangan real
Jawaban: d
11. Fungsi f(x) = √(x – 4) kontinu pada interval…
a. (-∞, ∞)
b. (-∞, 4)
c. [4, ∞)
d. (4, ∞)
Jawaban: c
12. Diketahui f(x) = { 3x – 1, jika x ≠ 2 ; k, jika x = 2 }. Agar f(x) kontinu di x=2, berapakah nilai k?
a. 2
b. 3
c. 5
d. 6
Jawaban: c
13. Mengacu pada Teorema Nilai Antara, jika f(x) adalah fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b] dan f(a) < 0 serta f(b) > 0, maka…
a. f(c) = 0 untuk setidaknya satu c di luar interval [a, b].
b. f(c) = 0 untuk setidaknya satu c di dalam interval (a, b).
c. f(x) tidak memiliki akar dalam interval [a, b].
d. f(x) monoton naik pada interval tersebut.
Jawaban: b
14. Manakah dari fungsi berikut yang memiliki diskontinuitas dapat dihapus (removable discontinuity) di x=1?
a. f(x) = 1 / (x – 1)
b. f(x) = |x – 1| / (x – 1)
c. f(x) = (x² – 1) / (x – 1)
d. f(x) = { x, jika x ≠ 1 ; 0, jika x = 1 }
Jawaban: c
15. Jika suatu fungsi f(x) diferensiabel di x=c, maka dapat dipastikan bahwa…
a. f(x) tidak kontinu di x=c.
b. f(x) kontinu di x=c.
c. f(x) memiliki diskontinuitas loncat di x=c.
d. f(x) memiliki diskontinuitas tak hingga di x=c.
Jawaban: b
16. Fungsi f(x) = ln(x – 5) kontinu pada interval…
a. (-∞, ∞)
b. (5, ∞)
c. [5, ∞)
d. (-∞, 5)
Jawaban: b
17. Jika lim (x→c⁺) f(x) ≠ lim (x→c⁻) f(x), maka f(x) memiliki jenis diskontinuitas apa di x=c?
a. Diskontinuitas dapat dihapus.
b. Diskontinuitas loncat.
c. Diskontinuitas tak hingga.
d. Fungsi kontinu.
Jawaban: b
18. Diketahui fungsi f(x) = x³ – 4x + 1. Menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa ada akar di interval [0, 1]. Nilai f(0) dan f(1) adalah…
a. f(0) = 1, f(1) = -2
b. f(0) = -2, f(1) = 1
c. f(0) = 1, f(1) = 1
d. f(0) = -2, f(1) = -2
Jawaban: a
19. Jika f(x) = (x² + 5x + 6) / (x + 2), maka f(x) memiliki diskontinuitas dapat dihapus di x = …
a. -3
b. -2
c. 0
d. 2
Jawapan: b
20. Fungsi f(x) = tan(x) tidak kontinu pada titik-titik di mana cos(x) = 0. Salah satu titik di mana tan(x) tidak kontinu adalah…
a. x = 0
b. x = π/4
c. x = π/2
d. x = π
Jawaban: c
—
## Soal Isian Singkat
1. Tuliskan tiga syarat kekontinuan fungsi f(x) di titik x=c.
Jawaban: 1. f(c) terdefinisi, 2. lim (x→c) f(x) ada, 3. lim (x→c) f(x) = f(c).
2. Tentukan nilai ‘a’ agar fungsi f(x) = { 2x – 3, jika x < 1 ; ax + 1, jika x ≥ 1 } kontinu di x=1.
Jawaban: -4
3. Fungsi f(x) = (x² – 16) / (x – 4) memiliki diskontinuitas dapat dihapus di x = …
Jawaban: 4
4. Berikan satu contoh fungsi yang memiliki diskontinuitas tak hingga (infinite discontinuity) di x=0.
Jawaban: f(x) = 1/x (atau 1/x², atau sejenisnya)
5. Jika f(x) = 5x – 7, fungsi ini kontinu di setiap titik pada domainnya, yaitu pada interval …
Jawaban: (-∞, ∞)
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan secara rinci tiga syarat agar suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di suatu titik x=c.
Jawaban:
Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di suatu titik x=c jika memenuhi ketiga syarat berikut:
1. f(c) terdefinisi: Nilai fungsi f(x) harus ada di titik x=c. Ini berarti c harus berada dalam domain fungsi f.
2. lim (x→c) f(x) ada: Limit fungsi f(x) saat x mendekati c harus ada. Ini berarti limit kiri (lim (x→c⁻) f(x)) harus sama dengan limit kanan (lim (x→c⁺) f(x)).
3. lim (x→c) f(x) = f(c): Nilai limit fungsi f(x) saat x mendekati c harus sama dengan nilai fungsi di titik c itu sendiri.
2. Bedakan antara diskontinuitas dapat dihapus (removable discontinuity) dengan diskontinuitas loncat (jump discontinuity), beserta contoh fungsi untuk masing-masing.
Jawaban:
* Diskontinuitas Dapat Dihapus (Removable Discontinuity): Terjadi ketika limit fungsi di suatu titik ada, tetapi nilai fungsi di titik tersebut tidak terdefinisi atau tidak sama dengan nilai limitnya. Diskontinuitas ini “dapat dihapus” dengan mendefinisikan ulang atau menambahkan nilai fungsi di titik tersebut agar sama dengan limitnya.
* Contoh: f(x) = (x² – 4) / (x – 2). Fungsi ini tidak terdefinisi di x=2, tetapi lim (x→2) f(x) = lim (x→2) (x+2) = 4. Jika kita mendefinisikan f(2)=4, maka fungsi menjadi kontinu.
* Diskontinuitas Loncat (Jump Discontinuity): Terjadi ketika limit kiri fungsi di suatu titik tidak sama dengan limit kanan fungsi di titik tersebut. Akibatnya, limit fungsi secara keseluruhan tidak ada. Fungsi seolah-olah “meloncat” nilainya di titik tersebut.
* Contoh: f(x) = { x, jika x < 0 ; x + 2, jika x ≥ 0 }. Di x=0, lim (x→0⁻) f(x) = 0, sedangkan lim (x→0⁺) f(x) = 2. Karena limit kiri ≠ limit kanan, ini adalah diskontinuitas loncat.
3. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x² + 3 adalah fungsi yang kontinu untuk semua bilangan real.
Jawaban:
Fungsi f(x) = x² + 3 adalah fungsi polinomial. Sifat dasar dari fungsi polinomial adalah bahwa mereka kontinu di setiap titik dalam domainnya, yaitu semua bilangan real (-∞, ∞).
Untuk membuktikannya secara formal menggunakan definisi:
Misalkan c adalah bilangan real sembarang.
1. f(c) terdefinisi: f(c) = c² + 3, yang merupakan bilangan real. Jadi, f(c) terdefinisi untuk setiap c ∈ ℝ.
2. lim (x→c) f(x) ada:
lim (x→c) (x² + 3) = c² + 3. (Karena limit polinomial dapat dihitung dengan substitusi langsung).
Limit ini ada dan nilainya adalah c² + 3.
3. lim (x→c) f(x) = f(c):
Dari langkah 1 dan 2, kita melihat bahwa lim (x→c) f(x) = c² + 3 dan f(c) = c² + 3.
Jadi, lim (x→c) f(x) = f(c).
Karena ketiga syarat kekontinuan terpenuhi untuk setiap bilangan real c, maka fungsi f(x) = x² + 3 adalah fungsi yang kontinu untuk semua bilangan real.
4. Apa yang dimaksud dengan kekontinuan fungsi pada suatu interval? Jelaskan perbedaan antara kekontinuan pada interval terbuka (a, b) dan interval tertutup [a, b].
Jawaban:
* Kekontinuan fungsi pada suatu interval berarti fungsi tersebut kontinu di setiap titik dalam interval tersebut.
* Kekontinuan pada interval terbuka (a, b): Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval terbuka (a, b) jika f(x) kontinu di setiap titik c dalam interval tersebut (yaitu, untuk setiap c di mana a < c < b). Ini hanya melibatkan kekontinuan di dalam interval, tanpa mempertimbangkan titik-titik ujung.
* Kekontinuan pada interval tertutup [a, b]: Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval tertutup [a, b] jika:
1. f(x) kontinu pada interval terbuka (a, b).
2. f(x) kontinu kanan di titik a (yaitu, lim (x→a⁺) f(x) = f(a)).
3. f(x) kontinu kiri di titik b (yaitu, lim (x→b⁻) f(x) = f(b)).
Perbedaannya terletak pada penanganan titik-titik ujung interval. Untuk interval tertutup, kekontinuan di titik ujung didefinisikan menggunakan limit satu sisi yang mengarah ke dalam interval.
5. Jelaskan Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem) dan berikan satu aplikasi praktis dari teorema tersebut.
Jawaban:
Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem – TNA) menyatakan bahwa jika suatu fungsi f(x) adalah kontinu pada interval tertutup [a, b], dan L adalah bilangan apa pun antara f(a) dan f(b) (yaitu, f(a) < L < f(b) atau f(b) < L < f(a)), maka ada setidaknya satu bilangan c dalam interval terbuka (a, b) sedemikian rupa sehingga f(c) = L. Secara sederhana, ini berarti bahwa fungsi kontinu tidak dapat "melompati" nilai-nilai; jika ia melewati dua titik, ia harus melewati setiap nilai di antara nilai y dari dua titik tersebut.
Aplikasi Praktis:
Salah satu aplikasi praktis TNA adalah untuk menunjukkan keberadaan akar (nol) suatu fungsi. Jika kita memiliki fungsi f(x) yang kontinu pada interval [a, b] dan kita menemukan bahwa f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan (misalnya, f(a) < 0 dan f(b) > 0, atau sebaliknya), maka berdasarkan TNA, pasti ada setidaknya satu nilai c di antara a dan b sedemikian rupa sehingga f(c) = 0. Dengan kata lain, ada akar (nol) fungsi dalam interval tersebut.
Contoh: Untuk menunjukkan bahwa persamaan x³ – 3x + 1 = 0 memiliki akar antara x=0 dan x=1.
Misalkan f(x) = x³ – 3x + 1. Fungsi ini adalah polinomial, sehingga kontinu di mana-mana.
f(0) = 0³ – 3(0) + 1 = 1
f(1) = 1³ – 3(1) + 1 = 1 – 3 + 1 = -1
Karena f(0) = 1 (positif) dan f(1) = -1 (negatif), dan f(x) kontinu pada [0, 1], maka berdasarkan TNA, harus ada setidaknya satu nilai c di (0, 1) sedemikian rupa sehingga f(c) = 0. Ini membuktikan keberadaan akar untuk persamaan tersebut di antara 0 dan 1.
