Menguasai grafik fungsi trigonometri seringkali menjadi tantangan tersendiri bagi banyak siswa SMA, padahal konsep ini fundamental dalam matematika tingkat lanjut. Artikel ini hadir sebagai solusi komprehensif, menyajikan beragam contoh soal matematika grafik fungsi trigonometri yang didesain khusus untuk menguji dan memperdalam pemahaman Anda. Dari soal-soal identifikasi parameter seperti amplitudo, periode, pergeseran fase, hingga pergeseran vertikal dari suatu fungsi, kami menyediakannya secara lengkap. Anda akan diajak berlatih untuk menggambarkan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen berdasarkan persamaan yang diberikan, serta menganalisis karakteristik grafik yang sudah ada. Tema pembelajaran yang diangkat meliputi transformasi grafik (translasi, dilatasi, refleksi), menentukan daerah asal dan daerah hasil, serta menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan grafik fungsi trigonometri. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membantu Anda membangun fondasi yang kuat dalam memahami perilaku fungsi periodik, meningkatkan keterampilan analisis grafis, dan mempersiapkan diri menghadapi ujian dengan lebih percaya diri. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan mendalam, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami langkah demi langkah penyelesaiannya. Mari selami dunia grafik fungsi trigonometri dan taklukkan setiap tantangannya!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai grafik fungsi trigonometri, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
### Soal Pilihan Ganda
1. Manakah dari fungsi trigonometri berikut yang memiliki periode 2π?
a. y = sin(2x)
b. y = cos(x/2)
c. y = tan(x)
d. y = cot(3x)
Jawaban: b
2. Amplitudo dari fungsi f(x) = 3 sin(x) adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 2π
Jawaban: c
3. Fungsi f(x) = 2 cos(x) + 1 memiliki nilai maksimum sebesar…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
4. Grafik fungsi y = sin(x – π/2) merupakan pergeseran dari grafik y = sin(x) sejauh…
a. π/2 ke kanan
b. π/2 ke kiri
c. π/2 ke atas
d. π/2 ke bawah
Jawaban: a
5. Titik potong grafik y = cos(x) dengan sumbu y adalah…
a. (0, 0)
b. (0, 1)
c. (1, 0)
d. (π/2, 0)
Jawaban: b
6. Periode dari fungsi g(x) = tan(2x) adalah…
a. π/2
b. π
c. 2π
d. 4π
Jawaban: a
7. Nilai minimum dari fungsi y = 4 cos(x) – 2 adalah…
a. -6
b. -4
c. -2
d. 2
Jawaban: a
8. Pergeseran vertikal pada fungsi h(x) = sin(x) – 3 adalah…
a. 3 satuan ke atas
b. 3 satuan ke bawah
c. 3 satuan ke kanan
d. 3 satuan ke kiri
Jawaban: b
9. Manakah fungsi berikut yang memiliki amplitudo 1 dan periode π?
a. y = sin(x)
b. y = cos(2x)
c. y = 2 sin(x)
d. y = cos(x/2)
Jawaban: b
10. Grafik fungsi y = -sin(x) adalah refleksi dari grafik y = sin(x) terhadap sumbu…
a. x
b. y
c. y = x
d. y = -x
Jawaban: a
11. Jika fungsi f(x) = A sin(Bx), dan amplitudonya adalah 5 serta periodenya adalah π, maka nilai A dan B berturut-turut adalah…
a. A = 5, B = 1
b. A = 5, B = 2
c. A = 1, B = 5
d. A = 2, B = 5
Jawaban: b
12. Pada interval [0, 2π], fungsi y = cos(x) bernilai positif pada interval…
a. (0, π/2) dan (3π/2, 2π)
b. (π/2, 3π/2)
c. (0, π)
d. (π, 2π)
Jawaban: a
13. Asimtot vertikal untuk fungsi y = tan(x) terjadi pada x = …
a. 0
b. π/2 + kπ, di mana k adalah bilangan bulat
c. π + kπ, di mana k adalah bilangan bulat
d. 2π
Jawaban: b
14. Domain dari fungsi y = sin(x) adalah…
a. Semua bilangan real
b. [ -1, 1 ]
c. [ 0, 2π ]
d. [ 0, ∞ )
Jawaban: a
15. Range dari fungsi y = 3 cos(2x) adalah…
a. [ -1, 1 ]
b. [ -2, 2 ]
c. [ -3, 3 ]
d. [ 0, 3 ]
Jawaban: c
16. Grafik fungsi y = sin(x) memotong sumbu x pada titik-titik yang berbentuk…
a. (kπ, 0), di mana k adalah bilangan bulat
b. (π/2 + kπ, 0), di mana k adalah bilangan bulat
c. (0, kπ), di mana k adalah bilangan bulat
d. (0, 0) saja
Jawaban: a
17. Fungsi f(x) = sin(x) dan g(x) = cos(x) akan berpotongan pada interval [0, 2π] pada nilai x…
a. π/4 dan 5π/4
b. π/2 dan 3π/2
c. 0 dan π
d. π/4 dan 3π/4
Jawaban: a
18. Apa yang terjadi pada grafik y = cos(x) ketika persamaannya diubah menjadi y = cos(-x)?
a. Terjadi refleksi terhadap sumbu x.
b. Terjadi refleksi terhadap sumbu y.
c. Tidak ada perubahan pada grafik.
d. Terjadi pergeseran ke kanan.
Jawaban: c (karena cos(-x) = cos(x))
19. Jika sebuah grafik fungsi trigonometri memiliki nilai maksimum 5 dan nilai minimum -1, maka pergeseran vertikalnya (nilai D) adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Jawaban: a (D = (maks + min)/2 = (5 + (-1))/2 = 4/2 = 2)
20. Berdasarkan grafik y = tan(x), manakah pernyataan yang benar?
a. Grafiknya simetris terhadap sumbu x.
b. Grafiknya kontinu untuk semua bilangan real.
c. Grafiknya memiliki asimtot vertikal.
d. Grafiknya memiliki amplitudo 1.
Jawaban: c
—
### Soal Isian Singkat
1. Nilai maksimum dari fungsi y = 5 sin(x) – 1 adalah …
Jawaban: 4
2. Periode dari fungsi f(x) = cos(3x) adalah …
Jawaban: 2π/3
3. Grafik fungsi y = sin(x) + 2 akan memotong sumbu y pada titik …
Jawaban: (0, 2)
4. Jika grafik fungsi y = sin(x) digeser π/3 radian ke kiri, persamaannya menjadi y = …
Jawaban: sin(x + π/3)
5. Amplitudo dari fungsi y = -2 cos(4x) adalah …
Jawaban: 2
—
### Soal Uraian
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan amplitudo pada grafik fungsi trigonometri dan bagaimana cara menentukannya dari persamaan y = A sin(Bx + C) + D.
Jawaban: Amplitudo adalah setengah dari selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi trigonometri. Ini mengukur seberapa jauh puncak gelombang (maksimum) atau lembah gelombang (minimum) dari garis tengah (sumbu horizontal). Dalam persamaan y = A sin(Bx + C) + D, amplitudo ditentukan oleh nilai mutlak dari koefisien A, yaitu |A|.
2. Bagaimana pengaruh koefisien B pada persamaan y = A cos(Bx + C) + D terhadap grafik fungsi? Jelaskan secara detail.
Jawaban: Koefisien B mempengaruhi periode (panjang satu siklus lengkap) dari grafik fungsi. Periode P dihitung dengan rumus P = 2π/|B| untuk fungsi sinus dan kosinus, dan P = π/|B| untuk fungsi tangen dan kotangen. Jika |B| > 1, grafik akan menjadi lebih rapat (periode lebih pendek) dibandingkan dengan fungsi dasar. Jika 0 < |B| < 1, grafik akan menjadi lebih renggang (periode lebih panjang). Semakin besar nilai |B|, semakin banyak siklus yang terjadi dalam interval standar 2π.
3. Tentukan langkah-langkah untuk membuat sketsa grafik fungsi y = 2 sin(x – π/2) dalam satu periode.
Jawaban:
1. Tentukan Amplitudo (A): A = 2. Ini berarti nilai maksimum adalah 2 dan minimum adalah -2.
2. Tentukan Periode (P): Koefisien B = 1, jadi P = 2π/1 = 2π.
3. Tentukan Pergeseran Fase (C/B): Fungsi berbentuk sin(x – π/2), jadi C/B = π/2. Karena bertanda minus, grafik bergeser sejauh π/2 ke kanan.
4. Tentukan Titik Awal dan Akhir Periode: Titik awal periode standar sin(x) adalah x = 0. Dengan pergeseran ke kanan π/2, titik awal menjadi x = 0 + π/2 = π/2. Titik akhir periode adalah x = π/2 + 2π = 5π/2.
5. Tentukan Titik Kritis: Bagi periode menjadi empat bagian yang sama:
* x₁ = π/2 (nilai y = 0 karena sin(0) = 0)
* x₂ = π/2 + (2π/4) = π/2 + π/2 = π (nilai y = A * sin(π/2) = 2 * 1 = 2, karena ini titik maksimum)
* x₃ = π + (2π/4) = π + π/2 = 3π/2 (nilai y = A * sin(π) = 2 * 0 = 0)
* x₄ = 3π/2 + (2π/4) = 3π/2 + π/2 = 2π (nilai y = A * sin(3π/2) = 2 * (-1) = -2, karena ini titik minimum)
* x₅ = 2π + (2π/4) = 2π + π/2 = 5π/2 (nilai y = A * sin(2π) = 2 * 0 = 0)
6. Sketsa Grafik: Plot titik-titik kritis (π/2, 0), (π, 2), (3π/2, 0), (2π, -2), (5π/2, 0) pada sistem koordinat dan hubungkan dengan kurva mulus.
4. Bandingkan dan jelaskan perbedaan utama antara grafik fungsi y = sin(x) dan y = cos(x).
Jawaban:
Perbedaan utama antara grafik y = sin(x) dan y = cos(x) adalah:
* Titik Awal (pada x=0): Grafik y = sin(x) dimulai dari (0, 0), sedangkan grafik y = cos(x) dimulai dari (0, 1). Ini berarti grafik cos(x) adalah grafik sin(x) yang digeser ke kiri sejauh π/2 (atau sin(x + π/2) = cos(x)).
* Puncak dan Lembah: Untuk sin(x), puncak pertama (nilai maksimum 1) terjadi pada x = π/2 dan lembah pertama (nilai minimum -1) pada x = 3π/2. Untuk cos(x), puncak pertama (nilai maksimum 1) terjadi pada x = 0 dan x = 2π, sementara lembah pertama (nilai minimum -1) pada x = π.
* Titik Potong Sumbu X: Grafik sin(x) memotong sumbu x pada kelipatan π (…, -π, 0, π, 2π, …). Grafik cos(x) memotong sumbu x pada kelipatan ganjil dari π/2 (…, -π/2, π/2, 3π/2, 5π/2, …).
* Bentuk Gelombang: Meskipun keduanya berbentuk gelombang sinusoida, “fase” atau posisi relatif puncaknya berbeda. Keduanya memiliki amplitudo 1, periode 2π, dan range [-1, 1].
5. Jelaskan bagaimana pergeseran vertikal (nilai D) mempengaruhi nilai maksimum dan minimum dari fungsi trigonometri y = A sin(Bx + C) + D.
Jawaban: Pergeseran vertikal, yang direpresentasikan oleh nilai D, akan menggeser seluruh grafik ke atas atau ke bawah tanpa mengubah bentuk gelombangnya.
* Jika D positif, grafik bergeser ke atas, sehingga garis tengah gelombang bukan lagi sumbu x tetapi garis y = D.
* Jika D negatif, grafik bergeser ke bawah, sehingga garis tengah gelombang adalah y = D.
Nilai maksimum baru dari fungsi akan menjadi (Amplitudo + D), yaitu |A| + D.
Nilai minimum baru dari fungsi akan menjadi (-Amplitudo + D), yaitu -|A| + D.
Jadi, D secara langsung menambahkan atau mengurangi nilai dari setiap titik pada grafik, termasuk nilai maksimum dan minimum.
