Apakah Anda sering merasa kesulitan memahami materi fungsi komposisi dalam matematika? Artikel ini hadir sebagai solusi tepat bagi Anda! Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika fungsi komposisi yang dirancang secara sistematis, mulai dari tingkat dasar untuk membangun pondasi kuat, hingga soal-soal tingkat menengah dan tantangan yang lebih kompleks untuk menguji pemahaman Anda secara mendalam. Setiap soal dilengkapi dengan langkah-langkah penyelesaian yang jelas dan mudah diikuti, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami logika di baliknya. Topik yang dibahas mencakup definisi fungsi komposisi, cara menentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x), serta aplikasi konsep dalam berbagai konteks matematika. Tujuan utama dari kumpulan soal ini adalah untuk membantu siswa memperkuat penguasaan materi fungsi komposisi, melatih kemampuan analitis dan pemecahan masalah, serta meningkatkan kepercayaan diri dalam menghadapi ujian sekolah maupun ujian masuk perguruan tinggi. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan kumpulan soal ini, diharapkan Anda dapat menguasai fungsi komposisi dengan lebih baik dan siap menaklukkan soal-soal serupa di masa depan. Jangan biarkan fungsi komposisi menjadi momok, mari berlatih bersama dan jadikan materi ini mudah dipahami!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai fungsi komposisi, yang terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x – 3. Rumus fungsi (f o g)(x) adalah …
a. 2x + 2
b. 2x – 1
c. 2x + 8
d. x + 2
Jawaban: b
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 3) = 2(x – 3) + 5 = 2x – 6 + 5 = 2x – 1.
2. Jika f(x) = x² + 1 dan g(x) = 3x – 2, maka (g o f)(x) adalah …
a. 3x² + 1
b. 3x² + 3
c. 3x² – 2
d. 3x² + 1
Jawaban: a
Penjelasan: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x² + 1) = 3(x² + 1) – 2 = 3x² + 3 – 2 = 3x² + 1.
3. Diberikan f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x. Nilai dari (f o g)(4) adalah …
a. 23
b. 21
c. 11
d. 7
Jawaban: b
Penjelasan: g(4) = 2(4) = 8. (f o g)(4) = f(g(4)) = f(8) = 3(8) – 1 = 24 – 1 = 23. (Terdapat kesalahan perhitungan di awal, seharusnya 23 bukan 21)
Mari kita periksa ulang: g(4) = 2 * 4 = 8. f(g(4)) = f(8) = 3 * 8 – 1 = 24 – 1 = 23.
Maka jawaban yang benar adalah a. 23.
4. Jika f(x) = x² – 3 dan g(x) = 2x + 1, maka (g o f)(1) adalah …
a. -5
b. -3
c. -1
d. 3
Jawaban: b
Penjelasan: f(1) = 1² – 3 = 1 – 3 = -2. (g o f)(1) = g(f(1)) = g(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3.
5. Diketahui f(x) = x + 2 dan (f o g)(x) = 2x + 7. Fungsi g(x) adalah …
a. 2x + 5
b. 2x + 9
c. x + 5
d. x + 9
Jawaban: a
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2. Kita punya g(x) + 2 = 2x + 7. Maka g(x) = 2x + 7 – 2 = 2x + 5.
6. Jika g(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = 6x – 5, maka fungsi f(x) adalah …
a. 2x – 3
b. 2x – 4
c. 2x + 3
d. 2x + 4
Jawaban: a
Penjelasan: Misalkan g(x) = y, maka y = 3x – 1. x = (y + 1)/3.
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(y) = 6x – 5.
Substitusikan x: f(y) = 6((y + 1)/3) – 5 = 2(y + 1) – 5 = 2y + 2 – 5 = 2y – 3.
Jadi, f(x) = 2x – 3.
7. Fungsi f(x) = x – 5. Maka (f o f)(x) adalah …
a. x
b. x – 5
c. x – 10
d. x + 10
Jawaban: c
Penjelasan: (f o f)(x) = f(f(x)) = f(x – 5) = (x – 5) – 5 = x – 10.
8. Diberikan fungsi f(x) = 2x, g(x) = x + 3, dan h(x) = x². Maka (h o g o f)(x) adalah …
a. 4x² + 12x + 9
b. 4x² + 9
c. 2x² + 3
d. (2x + 3)²
Jawaban: a
Penjelasan: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 3.
(h o (g o f))(x) = h(2x + 3) = (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.
9. Jika f(x) = x + 4 dan g(x) = √x, maka (g o f)(x) adalah …
a. √(x + 4)
b. √x + 4
c. x + 2
d. √(x + 2)
Jawakan: a
Penjelasan: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x + 4) = √(x + 4).
10. Diketahui f(x) = 1/(x – 1) dan g(x) = x + 2. Maka (f o g)(x) adalah …
a. 1/(x + 1)
b. 1/(x – 1)
c. x + 1
d. (x + 2)/(x – 1)
Jawaban: a
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 1/((x + 2) – 1) = 1/(x + 1).
11. Jika (f o g)(x) = 4x² + 8x + 1 dan f(x) = x² – 3, maka g(x) adalah …
a. 2x + 2
b. 2x + 4
c. 2x + 1
d. 2x – 2
Jawaban: a
Penjelasan: (f o g)(x) = (g(x))² – 3.
Kita punya (g(x))² – 3 = 4x² + 8x + 1.
(g(x))² = 4x² + 8x + 4 = (2x + 2)².
Maka g(x) = 2x + 2 (dengan asumsi g(x) adalah fungsi positif).
12. Diketahui f(x) = x² – 2x + 3 dan g(x) = x – 1. Nilai dari (f o g)(2) adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
Penjelasan: g(2) = 2 – 1 = 1.
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(1) = 1² – 2(1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2.
13. Jika f(x) = 2x – 1 dan (g o f)(x) = 4x² – 4x + 3, maka g(x) adalah …
a. x² + 2
b. x² + x + 2
c. x² – x + 2
d. x² + 2x + 2
Jawaban: a
Penjelasan: Misalkan f(x) = y, maka y = 2x – 1. x = (y + 1)/2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(y) = 4x² – 4x + 3.
Substitusikan x: g(y) = 4((y + 1)/2)² – 4((y + 1)/2) + 3
g(y) = 4((y² + 2y + 1)/4) – 2(y + 1) + 3
g(y) = y² + 2y + 1 – 2y – 2 + 3
g(y) = y² + 2.
Jadi, g(x) = x² + 2.
14. Diketahui f(x) = 3x + a dan g(x) = 2x – 1. Jika (f o g)(x) = 6x – 2, maka nilai a adalah …
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x – 1) = 3(2x – 1) + a = 6x – 3 + a.
Kita punya 6x – 3 + a = 6x – 2.
-3 + a = -2.
a = -2 + 3 = 1.
15. Jika f(x) = x + 3, g(x) = x² dan h(x) = 2x – 1, maka (f o h o g)(x) adalah …
a. 2x² + 2
b. 2x² + 3
c. 2x² + 5
d. 2x² – 1
Jawaban: a
Penjelasan: (h o g)(x) = h(g(x)) = h(x²) = 2x² – 1.
(f o (h o g))(x) = f(2x² – 1) = (2x² – 1) + 3 = 2x² + 2.
16. Diketahui f(x) = x² dan g(x) = x – 1. Domain dari (f o g)(x) adalah …
a. Semua bilangan real
b. x ≠ 1
c. x ≥ 1
d. x ≤ 1
Jawaban: a
Penjelasan: (f o g)(x) = f(x – 1) = (x – 1)². Domain dari fungsi kuadrat adalah semua bilangan real. Tidak ada pembatasan untuk x dalam fungsi g(x) maupun f(x).
17. Jika (f o g)(x) = x² – 4x + 6 dan g(x) = x – 2, maka f(x) adalah …
a. x² + 2
b. x² + 4
c. x² + 2x + 2
d. x² + 4x + 2
Jawaban: a
Penjelasan: Misalkan g(x) = y, maka y = x – 2. Jadi x = y + 2.
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(y) = x² – 4x + 6.
Substitusikan x = y + 2:
f(y) = (y + 2)² – 4(y + 2) + 6
f(y) = (y² + 4y + 4) – (4y + 8) + 6
f(y) = y² + 4y + 4 – 4y – 8 + 6
f(y) = y² + 2.
Jadi, f(x) = x² + 2.
18. Diberikan f(x) = 5x dan g(x) = x / 5. Maka (f o g)(x) adalah …
a. 25x
b. x
c. x / 25
d. 1
Jawaban: b
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x / 5) = 5(x / 5) = x.
19. Jika f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 1. Nilai x agar (f o g)(x) = (g o f)(x) adalah …
a. 0
b. 1
c. 2
d. Tidak ada nilai x
Jawaban: c
Penjelasan:
(f o g)(x) = f(2x – 1) = (2x – 1) + 1 = 2x.
(g o f)(x) = g(x + 1) = 2(x + 1) – 1 = 2x + 2 – 1 = 2x + 1.
Agar (f o g)(x) = (g o f)(x):
2x = 2x + 1
0 = 1 (Ini tidak mungkin)
Oops, let me re-check this.
(f o g)(x) = 2x
(g o f)(x) = 2x + 1
2x = 2x + 1 –> 0 = 1. This means there is NO solution for x.
So, the correct answer should be “d. Tidak ada nilai x”. I will change the question or the answer options to make it solvable, or keep it as it is if it’s meant to show such a case. Let’s make it solvable by changing one function.
Let’s modify: f(x) = x + 1, g(x) = x + 2.
(f o g)(x) = f(x + 2) = x + 2 + 1 = x + 3.
(g o f)(x) = g(x + 1) = (x + 1) + 2 = x + 3.
In this case, (f o g)(x) = (g o f)(x) for all x. This is trivial.
Let’s stick to the original functions and ensure the options are suitable or change the question.
If the question is: “Nilai x agar (f o g)(x) = (g o f)(x) adalah…” and the result is 0=1, then the correct option would be “Tidak ada nilai x”. I will change the options for question 19, or change the question. Let’s change the question to make it solvable and one of the options correct.
19. Jika f(x) = x + 1, g(x) = 2x. Nilai x agar (f o g)(x) = (g o f)(x) adalah …
a. 0
b. -1
c. 1
d. 2
Jawaban: b
Penjelasan:
(f o g)(x) = f(2x) = 2x + 1.
(g o f)(x) = g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2.
Agar (f o g)(x) = (g o f)(x):
2x + 1 = 2x + 2
1 = 2.
Still leads to no solution. Let’s rethink.
I need to make sure the functions will produce a solution for x.
Let f(x) = x + a and g(x) = bx + c.
(f o g)(x) = f(bx + c) = bx + c + a.
(g o f)(x) = g(x + a) = b(x + a) + c = bx + ab + c.
For (f o g)(x) = (g o f)(x):
bx + c + a = bx + ab + c
a = ab.
If a = 0, then 0 = 0 (always true).
If a ≠ 0, then 1 = b.
So if b=1, they are equal.
Let f(x) = x + 1 and g(x) = x + 2. This works, but is trivial.
Let’s try f(x) = 2x and g(x) = x + 3.
(f o g)(x) = f(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6.
(g o f)(x) = g(2x) = 2x + 3.
2x + 6 = 2x + 3 => 6 = 3 (No solution).
Let f(x) = 3x – 1 and g(x) = x + 2.
(f o g)(x) = f(x + 2) = 3(x + 2) – 1 = 3x + 6 – 1 = 3x + 5.
(g o f)(x) = g(3x – 1) = (3x – 1) + 2 = 3x + 1.
3x + 5 = 3x + 1 => 5 = 1 (No solution).
Okay, let’s pick some functions that would lead to a solution for x.
Consider f(x) = x² and g(x) = x + 1.
(f o g)(x) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.
(g o f)(x) = x² + 1.
x² + 2x + 1 = x² + 1
2x = 0
x = 0.
This one works!
19. Jika f(x) = x² dan g(x) = x + 1. Nilai x agar (f o g)(x) = (g o f)(x) adalah …
a. -1
b. 0
c. 1
d. 2
Jawaban: b
Penjelasan:
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1.
Agar (f o g)(x) = (g o f)(x):
x² + 2x + 1 = x² + 1
2x = 0
x = 0.
20. Diketahui f(x) = 2x + 3. Maka (f o f o f)(x) adalah …
a. 8x + 9
b. 8x + 15
c. 8x + 21
d. 8x + 27
Jawaban: c
Penjelasan:
(f o f)(x) = f(2x + 3) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 6 + 3 = 4x + 9.
(f o f o f)(x) = f((f o f)(x)) = f(4x + 9) = 2(4x + 9) + 3 = 8x + 18 + 3 = 8x + 21.
—
## Soal Isian Singkat
1. Jika f(x) = 3x – 2 dan g(x) = x² + 1, maka nilai dari (f o g)(1) adalah …
Jawaban: 4
Penjelasan: g(1) = 1² + 1 = 2. (f o g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 3(2) – 2 = 6 – 2 = 4.
2. Diberikan f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 4x – 1. Hasil dari (g o f)(x) adalah …
Jawaban: 8x + 19
Penjelasan: (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 5) = 4(2x + 5) – 1 = 8x + 20 – 1 = 8x + 19.
3. Jika f(x) = x – 3 dan g(x) = x + 4, serta (f o g)(x) = 7, maka nilai x adalah …
Jawaban: 6
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = (x + 4) – 3 = x + 1.
Kita punya x + 1 = 7. Maka x = 7 – 1 = 6.
4. Diberikan fungsi f(x) = 1/x dan g(x) = x – 2. Hasil dari (f o g)(x) adalah …
Jawaban: 1/(x – 2)
Penjelasan: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 2) = 1/(x – 2).
5. Jika g(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x² + 6x + 7, tentukan f(x).
Jawaban: x² – 2
Penjelasan: Misalkan g(x) = y, maka y = x + 3. Jadi x = y – 3.
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(y) = x² + 6x + 7.
Substitusikan x = y – 3:
f(y) = (y – 3)² + 6(y – 3) + 7
f(y) = (y² – 6y + 9) + (6y – 18) + 7
f(y) = y² – 6y + 9 + 6y – 18 + 7
f(y) = y² – 2.
Jadi, f(x) = x² – 2.
—
## Soal Uraian
1. Diberikan fungsi f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x² – 4. Tentukan (f o g)(x) dan (g o f)(x) beserta langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah 1: Menentukan (f o g)(x)
Fungsi komposisi (f o g)(x) berarti kita memasukkan fungsi g(x) ke dalam fungsi f(x).
(f o g)(x) = f(g(x))
Substitusikan g(x) = x² – 4 ke dalam f(x):
(f o g)(x) = f(x² – 4)
Karena f(x) = 3x + 2, ganti setiap ‘x’ di f(x) dengan (x² – 4):
(f o g)(x) = 3(x² – 4) + 2
(f o g)(x) = 3x² – 12 + 2
(f o g)(x) = 3x² – 10
Langkah 2: Menentukan (g o f)(x)
Fungsi komposisi (g o f)(x) berarti kita memasukkan fungsi f(x) ke dalam fungsi g(x).
(g o f)(x) = g(f(x))
Substitusikan f(x) = 3x + 2 ke dalam g(x):
(g o f)(x) = g(3x + 2)
Karena g(x) = x² – 4, ganti setiap ‘x’ di g(x) dengan (3x + 2):
(g o f)(x) = (3x + 2)² – 4
(g o f)(x) = (9x² + 12x + 4) – 4
(g o f)(x) = 9x² + 12x
2. Jelaskan konsep fungsi komposisi (f o g)(x) dan berikan satu contoh. Mengapa urutan komposisi penting?
Jawaban:
Konsep Fungsi Komposisi (f o g)(x):
Fungsi komposisi (f o g)(x) adalah sebuah operasi yang menggabungkan dua fungsi f dan g sedemikian rupa sehingga output dari fungsi g menjadi input untuk fungsi f. Secara matematis, ini ditulis sebagai (f o g)(x) = f(g(x)). Artinya, kita pertama-tama menghitung nilai fungsi g untuk input x, kemudian hasil dari g(x) tersebut digunakan sebagai input untuk fungsi f.
Contoh:
Misalkan f(x) = x + 3 dan g(x) = 2x.
Untuk mencari (f o g)(x):
(f o g)(x) = f(g(x))
(f o g)(x) = f(2x)
(f o g)(x) = (2x) + 3
(f o g)(x) = 2x + 3
Pentingnya Urutan Komposisi:
Urutan komposisi sangat penting karena (f o g)(x) umumnya tidak sama dengan (g o f)(x). Ini berarti urutan di mana fungsi-fungsi tersebut diterapkan akan menghasilkan hasil yang berbeda.
Menggunakan contoh di atas:
(g o f)(x) = g(f(x))
(g o f)(x) = g(x + 3)
(g o f)(x) = 2(x + 3)
(g o f)(x) = 2x + 6
Dari contoh ini, terlihat bahwa (f o g)(x) = 2x + 3, sedangkan (g o f)(x) = 2x + 6. Karena 2x + 3 ≠ 2x + 6, maka (f o g)(x) ≠ (g o f)(x). Ini menunjukkan bahwa urutan operasi dalam komposisi fungsi sangat mempengaruhi hasilnya.
3. Jika f(x) = x – 5 dan (f o g)(x) = x² – 10x + 23, tentukan fungsi g(x) dengan menunjukkan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Kita tahu bahwa (f o g)(x) = f(g(x)).
Diberikan f(x) = x – 5 dan (f o g)(x) = x² – 10x + 23.
1. Substitusikan g(x) ke dalam f(x):
f(g(x)) = g(x) – 5
2. Sama ratakan dengan (f o g)(x) yang diketahui:
g(x) – 5 = x² – 10x + 23
3. Selesaikan untuk g(x):
Tambahkan 5 ke kedua sisi persamaan:
g(x) = x² – 10x + 23 + 5
g(x) = x² – 10x + 28
Jadi, fungsi g(x) adalah x² – 10x + 28.
4. Sebuah pabrik mainan memproduksi boneka melalui dua tahap. Tahap pertama (pembuatan kerangka) mengikuti fungsi M = f(x) = 3x + 10, di mana x adalah jumlah bahan baku (dalam kg) dan M adalah jumlah kerangka yang dihasilkan. Tahap kedua (finishing) mengikuti fungsi N = g(M) = 2M – 5, di mana M adalah jumlah kerangka dan N adalah jumlah boneka jadi. Berapa banyak boneka jadi yang dihasilkan jika pabrik menggunakan 50 kg bahan baku? Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah 1: Tentukan fungsi komposisi (g o f)(x)
Untuk mengetahui jumlah boneka jadi langsung dari bahan baku, kita perlu mencari fungsi komposisi (g o f)(x) = g(f(x)).
Kita memiliki:
f(x) = 3x + 10 (fungsi tahap pertama)
g(M) = 2M – 5 (fungsi tahap kedua)
Substitusikan f(x) ke dalam g(M) (mengganti M dengan f(x)):
(g o f)(x) = g(3x + 10)
(g o f)(x) = 2(3x + 10) – 5
(g o f)(x) = 6x + 20 – 5
(g o f)(x) = 6x + 15
Langkah 2: Hitung jumlah boneka jadi dengan 50 kg bahan baku
Sekarang kita punya fungsi (g o f)(x) yang langsung menghubungkan bahan baku (x) dengan boneka jadi (N).
Jika x = 50 kg, substitusikan nilai ini ke dalam (g o f)(x):
N = (g o f)(50) = 6(50) + 15
N = 300 + 15
N = 315
Jadi, jika pabrik menggunakan 50 kg bahan baku, akan dihasilkan 315 boneka jadi.
5. Diberikan f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan nilai x agar (f o g)(x) = (g o f)(x). Jelaskan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah 1: Tentukan (f o g)(x)
(f o g)(x) = f(g(x))
(f o g)(x) = f(2x – 3)
Substitusikan (2x – 3) ke dalam f(x) = x + 2:
(f o g)(x) = (2x – 3) + 2
(f o g)(x) = 2x – 1
Langkah 2: Tentukan (g o f)(x)
(g o f)(x) = g(f(x))
(g o f)(x) = g(x + 2)
Substitusikan (x + 2) ke dalam g(x) = 2x – 3:
(g o f)(x) = 2(x + 2) – 3
(g o f)(x) = 2x + 4 – 3
(g o f)(x) = 2x + 1
Langkah 3: Sama ratakan kedua fungsi komposisi untuk menemukan nilai x
Kita ingin mencari nilai x agar (f o g)(x) = (g o f)(x):
2x – 1 = 2x + 1
Kurangi 2x dari kedua sisi:
-1 = 1
Persamaan -1 = 1 adalah pernyataan yang salah. Ini berarti tidak ada nilai x yang memenuhi kondisi (f o g)(x) = (g o f)(x) untuk fungsi f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 3.
