Apakah Anda sedang mencari panduan lengkap dan latihan soal untuk menguasai konsep fungsi invers? Artikel ini adalah sumber yang tepat untuk Anda! Kami menghadirkan kumpulan contoh soal matematika fungsi invers yang dirancang secara sistematis untuk membantu siswa dari berbagai tingkatan memahami materi ini dengan lebih mendalam. Fungsi invers seringkali menjadi salah satu topik yang menantang dalam pelajaran matematika, namun dengan pendekatan yang tepat dan latihan yang konsisten, Anda pasti bisa menguasainya.
Artikel ini menyajikan beragam jenis soal, mulai dari fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi rasional, hingga fungsi eksponensial sederhana, yang semuanya dilengkapi dengan pembahasan dan langkah-langkah penyelesaian yang detail. Orientasi dari contoh soal ini adalah untuk tidak hanya memberikan jawaban, tetapi juga menjelaskan proses berpikir dan konsep di balik setiap langkah, sehingga Anda dapat membangun pemahaman konseptual yang kuat. Tema pembelajaran berfokus pada definisi fungsi invers, syarat keberadaan fungsi invers, metode aljabar untuk menentukan fungsi invers, serta sifat-sifat dasar yang menyertainya.
Tujuan utama dari serangkaian latihan soal ini adalah untuk memperkuat pemahaman Anda tentang prinsip-prinsip fungsi invers, meningkatkan kemampuan Anda dalam melakukan manipulasi aljabar, dan mempersiapkan Anda untuk menghadapi ujian atau tugas sekolah dengan percaya diri. Dengan rajin berlatih menggunakan contoh soal matematika fungsi invers yang kami sajikan, Anda akan merasa lebih siap dan mampu menyelesaikan berbagai permasalahan terkait fungsi invers dengan lancar dan akurat. Mari selami dan kuasai materi penting ini bersama kami!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai fungsi invers, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Jika f(x) = 2x – 3, maka f⁻¹(x) adalah…
a. (x + 3) / 2
b. (x – 3) / 2
c. 2x + 3
d. x / 2 + 3
Jawaban: a
2. Fungsi g(x) = 5x + 10. Invers dari g(x) adalah…
a. (x – 10) / 5
b. (x + 10) / 5
c. 5x – 10
d. 1 / 5x + 10
Jawaban: a
3. Tentukan f⁻¹(x) dari f(x) = (x + 4) / (x – 2), dengan x ≠ 2.
a. (2x + 4) / (x – 1)
b. (2x – 4) / (x + 1)
c. (x + 4) / (x + 2)
d. (x – 4) / (x – 2)
Jawaban: a
4. Jika h(x) = 3x – 1, maka nilai dari h⁻¹(5) adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
Jawaban: a
5. Fungsi f(x) = x² untuk x ≥ 0. Invers dari f(x) adalah…
a. √x
b. -√x
c. ±√x
d. x⁻²
Jawaban: a
6. Manakah di antara fungsi berikut yang tidak memiliki fungsi invers pada seluruh domain bilangan real?
a. f(x) = 2x + 1
b. g(x) = x³
c. h(x) = x²
d. k(x) = 1 / x
Jawaban: c
7. Domain dari fungsi f(x) adalah [1, 5] dan range-nya adalah [2, 10]. Maka domain dari f⁻¹(x) adalah…
a. [1, 5]
b. [2, 10]
c. [1/5, 1/1]
d. [1/10, 1/2]
Jawaban: b
8. Jika f(x) = 4ˣ, maka f⁻¹(x) adalah…
a. log₄(x)
b. x⁴
c. 4 / x
d. ln(x) / ln(4)
Jawaban: a
9. Invers dari g(x) = log₃(x) adalah…
a. 3ˣ
b. x³
c. 1 / log₃(x)
d. logₓ(3)
Jawaban: a
10. Jika f(x) = (2x + 1) / 3, maka f⁻¹(x) adalah…
a. 3x – 1 / 2
b. (3x – 1) / 2
c. (2x – 1) / 3
d. (2x + 1) / 3
Jawaban: b
11. Grafik dari suatu fungsi dan inversnya simetris terhadap garis…
a. sumbu-x
b. sumbu-y
c. y = x
d. y = -x
Jawaban: c
12. Apa syarat agar suatu fungsi memiliki fungsi invers?
a. Fungsi harus genap.
b. Fungsi harus ganjil.
c. Fungsi harus satu-satu (bijektif).
d. Fungsi harus kontinu.
Jawaban: c
13. Diberikan f(x) = x + 7. Maka f(f⁻¹(x)) adalah…
a. x
b. x + 7
c. x – 7
d. 1
Jawaban: a
14. Jika f(x) = 1 / x, maka f⁻¹(x) adalah…
a. x
b. 1 / x
c. -x
d. x⁻¹
Jawaban: b
15. Tentukan invers dari fungsi f(x) = x – 5.
a. f⁻¹(x) = x + 5
b. f⁻¹(x) = 5 – x
c. f⁻¹(x) = 1 / (x – 5)
d. f⁻¹(x) = x / 5
Jawaban: a
16. Jika f(x) = ³√(x + 1), maka f⁻¹(x) adalah…
a. x³ – 1
b. x³ + 1
c. (x + 1)³
d. 1 / ³√(x + 1)
Jawaban: a
17. Fungsi f(x) = √(x – 2) dengan domain x ≥ 2. Invers dari f(x) adalah…
a. x² + 2, dengan x ≥ 0
b. x² – 2, dengan x ≥ 0
c. (x – 2)², dengan x ≥ 0
d. x² + 2, dengan x ≥ 2
Jawaban: a
18. Diberikan f(x) = 3x. Jika f⁻¹(x) = ax, maka nilai a adalah…
a. 3
b. 1/3
c. -3
d. 1
Jawaban: b
19. Jika f(x) = (ax + b) / (cx + d), maka inversnya adalah…
a. (-dx + b) / (cx – a)
b. (dx + b) / (cx + a)
c. (ax – b) / (cx – d)
d. (ax + d) / (cx + b)
Jawaban: a
20. Diketahui f⁻¹(x) = (x – 2) / 3. Maka f(x) adalah…
a. 3x – 2
b. 3x + 2
c. (x + 2) / 3
d. 2x – 3
Jawaban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Tentukan fungsi invers dari f(x) = 4x + 7.
Jawaban: f⁻¹(x) = (x – 7) / 4
2. Jika f(x) = 2x³ – 5, tentukan f⁻¹(11).
Jawaban: 2
3. Fungsi g(x) = (2x + 3) / (x – 1), dengan x ≠ 1. Tentukan g⁻¹(x).
Jawaban: g⁻¹(x) = (x + 3) / (x – 2)
4. Diketahui domain fungsi f(x) adalah (-∞, 0] dan range-nya adalah [1, ∞). Tentukan domain dan range dari f⁻¹(x).
Jawaban: Domain f⁻¹(x) adalah [1, ∞) dan Range f⁻¹(x) adalah (-∞, 0].
5. Jika f(x) = (1/2)ˣ, tentukan f⁻¹(8).
Jawaban: -3
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan langkah-langkah untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi f(x). Berikan contoh dengan mencari invers dari f(x) = (3x + 2) / (x – 4), untuk x ≠ 4.
Jawaban:
Langkah-langkah untuk menentukan fungsi invers dari f(x):
1. Ganti f(x) dengan y: Tulis ulang persamaan menjadi y = f(x).
2. Tukar posisi x dan y: Persamaan menjadi x = f(y).
3. Selesaikan persamaan untuk y: Ubah persamaan x = f(y) menjadi bentuk y = …
4. Ganti y dengan f⁻¹(x): Hasil akhir adalah fungsi invers f⁻¹(x).
Contoh: f(x) = (3x + 2) / (x – 4)
1. y = (3x + 2) / (x – 4)
2. x = (3y + 2) / (y – 4)
3. x(y – 4) = 3y + 2
xy – 4x = 3y + 2
xy – 3y = 4x + 2
y(x – 3) = 4x + 2
y = (4x + 2) / (x – 3)
4. f⁻¹(x) = (4x + 2) / (x – 3), untuk x ≠ 3.
2. Bagaimana hubungan grafik suatu fungsi dengan grafik fungsi inversnya? Gambarkan secara singkat dan berikan penjelasan.
Jawaban:
Grafik suatu fungsi f(x) dan grafik fungsi inversnya f⁻¹(x) adalah simetris atau merupakan pencerminan satu sama lain terhadap garis y = x. Artinya, jika kita melipat kertas sepanjang garis y = x, grafik f(x) akan tumpang tindih dengan grafik f⁻¹(x). Setiap titik (a, b) pada grafik f(x) akan memiliki titik (b, a) pada grafik f⁻¹(x).
3. Buktikan bahwa f(f⁻¹(x)) = x untuk fungsi f(x) = 5x – 8.
Jawaban:
Langkah 1: Cari f⁻¹(x).
Misalkan y = 5x – 8.
Tukar x dan y: x = 5y – 8.
Selesaikan untuk y: 5y = x + 8
y = (x + 8) / 5
Jadi, f⁻¹(x) = (x + 8) / 5.
Langkah 2: Hitung f(f⁻¹(x)).
f(f⁻¹(x)) = f((x + 8) / 5)
Substitusikan (x + 8) / 5 ke dalam f(x) = 5x – 8:
f((x + 8) / 5) = 5 * ((x + 8) / 5) – 8
= (x + 8) – 8
= x
Terbukti bahwa f(f⁻¹(x)) = x.
4. Jelaskan apa syarat agar suatu fungsi memiliki fungsi invers. Berikan contoh fungsi yang tidak memiliki invers dan jelaskan mengapa.
Jawaban:
Syarat agar suatu fungsi memiliki fungsi invers adalah fungsi tersebut harus merupakan fungsi satu-satu (injektif) dan pada (surjektif), atau secara singkat, fungsi bijektif.
* Fungsi satu-satu (injektif): Setiap elemen di domain berpasangan dengan elemen yang berbeda di kodomain. Artinya, jika f(x₁) = f(x₂), maka x₁ = x₂. Secara grafis, fungsi satu-satu akan melewati Uji Garis Horizontal (Horizontal Line Test), di mana setiap garis horizontal hanya memotong grafik fungsi paling banyak satu kali.
* Fungsi pada (surjektif): Setiap elemen di kodomain memiliki setidaknya satu pasangan di domain. Artinya, range fungsi sama dengan kodomainnya.
Contoh fungsi yang tidak memiliki invers:
Fungsi f(x) = x² tidak memiliki invers pada seluruh domain bilangan real.
Penjelasan:
Fungsi f(x) = x² bukan fungsi satu-satu karena nilai output yang sama bisa dihasilkan dari input yang berbeda. Misalnya, f(2) = 2² = 4 dan f(-2) = (-2)² = 4. Karena 2 ≠ -2 tetapi f(2) = f(-2), fungsi ini tidak satu-satu. Oleh karena itu, ia tidak akan lulus Uji Garis Horizontal, dan karena bukan fungsi satu-satu, maka tidak memiliki fungsi invers secara global.
5. Diketahui f(x) = √(x + 3) dengan domain x ≥ -3. Tentukan fungsi inversnya f⁻¹(x) dan tentukan juga domain serta range dari f⁻¹(x).
Jawaban:
Langkah 1: Tentukan f⁻¹(x).
Misalkan y = √(x + 3).
Karena √(x+3) selalu non-negatif, maka range dari f(x) adalah y ≥ 0.
Tukar x dan y: x = √(y + 3).
Selesaikan untuk y:
x² = y + 3 (Agar ini berlaku, x harus non-negatif, x ≥ 0)
y = x² – 3
Jadi, f⁻¹(x) = x² – 3.
Langkah 2: Tentukan domain dan range dari f⁻¹(x).
Domain dari f⁻¹(x) adalah range dari f(x).
Dari f(x) = √(x + 3) dengan domain x ≥ -3, nilai terkecil dari √(x+3) adalah √(-3+3) = 0. Jadi, range dari f(x) adalah [0, ∞).
Maka, Domain f⁻¹(x) adalah [0, ∞).
Range dari f⁻¹(x) adalah domain dari f(x).
Domain f(x) diberikan sebagai x ≥ -3, atau [-3, ∞).
Maka, Range f⁻¹(x) adalah [-3, ∞).
