Selamat datang di sumber belajar terlengkap untuk menguasai ekuivalensi logika dalam matematika! Artikel ini khusus dirancang untuk membantu Anda memahami secara mendalam konsep kunci dalam logika matematika melalui serangkaian contoh soal matematika ekuivalensi logika yang bervariasi. Dari tingkat dasar hingga menengah, setiap soal akan mengupas berbagai teknik pembuktian ekuivalensi, mulai dari penggunaan tabel kebenaran yang sistematis, penerapan hukum-hukum logika dasar seperti hukum De Morgan, distributif, asosiatif, hingga implikasi, serta pembuktian dengan substitusi dan penalaran logis.
Fokus utama pembelajaran kita adalah memastikan Anda tidak hanya sekadar hafal rumus, tetapi benar-benar mengerti mengapa dua pernyataan logis bisa dikatakan ekuivalen. Ini adalah keterampilan krusial yang membentuk dasar pemikiran komputasi, pengembangan algoritma, dan bahkan penalaran dalam kehidupan sehari-hari. Tujuan dari latihan soal ini adalah untuk meningkatkan kemampuan analitis Anda, mempertajam intuisi logis, serta mempersiapkan Anda menghadapi ujian atau tantangan akademis yang berkaitan dengan logika matematika. Dengan penyelesaian langkah demi langkah yang jelas, Anda akan dibimbing untuk memahami setiap konsep dan strategi. Mari selami dunia logika matematika dan kuasai ekuivalensi logika dengan percaya diri!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal mengenai ekuivalensi logika, dibagi menjadi 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Manakah dari pernyataan berikut yang ekuivalen secara logika dengan p → q?
a. ¬p ∨ q
b. p ∧ ¬q
c. ¬p ∧ q
d. p ∨ ¬q
Jawaban: a
2. Hukum De Morgan menyatakan bahwa ¬(p ∧ q) ekuivalen dengan…
a. p ∨ q
b. ¬p ∧ ¬q
c. ¬p ∨ ¬q
d. p ∧ ¬q
Jawaban: c
3. Pernyataan (p ∨ q) ∧ ¬p ekuivalen secara logika dengan…
a. p
b. q
c. ¬p
d. ¬q
Jawaban: b
4. Jika p adalah “Hari ini hujan” dan q adalah “Saya membawa payung”, maka pernyataan “Jika hari ini hujan, maka saya membawa payung” secara ekuivalen dapat dinyatakan sebagai…
a. Hari ini tidak hujan atau saya membawa payung.
b. Hari ini hujan dan saya tidak membawa payung.
c. Hari ini tidak hujan dan saya membawa payung.
d. Hari ini hujan atau saya tidak membawa payung.
Jawaban: a
5. Pernyataan p ↔ q ekuivalen secara logika dengan…
a. (p → q) ∨ (q → p)
b. (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
c. (p → q) ∧ (q → p)
d. (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
Jawaban: c
6. Hukum asosiatif untuk disjungsi adalah…
a. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
b. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
c. p ∨ q ≡ q ∨ p
d. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Jawaban: b
7. Manakah dari pernyataan berikut yang merupakan tautologi?
a. p ∧ ¬p
b. p ∨ ¬p
c. p → ¬p
d. ¬p → p
Jawaban: b
8. Pernyataan ¬(¬p ∨ q) ekuivalen dengan…
a. p ∧ ¬q
b. p ∨ ¬q
c. ¬p ∧ q
d. ¬p ∨ ¬q
Jawaban: a
9. Hukum absorpsi menyatakan bahwa p ∧ (p ∨ q) ekuivalen dengan…
a. q
b. p
c. p ∨ q
d. p ∧ q
Jawaban: b
10. Pernyataan p ∨ (p ∧ q) ekuivalen dengan…
a. p
b. q
c. p ∧ q
d. p ∨ q
Jawaban: a
11. Kontraposisi dari p → q adalah…
a. q → p
b. ¬q → ¬p
c. ¬p → ¬q
d. p → ¬q
Jawaban: b
12. Pernyataan (p ∧ q) → p adalah sebuah…
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Tidak ada yang benar
Jawaban: c
13. Manakah dari hukum berikut yang menyatakan p ∧ T ≡ p (dengan T adalah tautologi)?
a. Hukum Idempoten
b. Hukum Distributif
c. Hukum Identitas
d. Hukum Komplemen
Jawaban: c
14. Negasi dari p ∨ (q ∧ r) adalah…
a. ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
b. ¬p ∨ (¬q ∧ ¬r)
c. ¬p ∧ (q ∨ r)
d. ¬p ∨ (q ∧ r)
Jawaban: a
15. Pernyataan (p → q) ∧ (p → r) ekuivalen dengan…
a. p → (q ∨ r)
b. p → (q ∧ r)
c. (p ∧ q) → r
d. (p ∨ q) → r
Jawaban: b
16. Hukum distributif untuk konjungsi terhadap disjungsi adalah…
a. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
b. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
c. p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
d. p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
Jawaban: b
17. Jika p ∧ ¬q adalah benar, maka manakah pernyataan berikut yang juga pasti benar?
a. p → q
b. ¬(p → q)
c. q → p
d. p ↔ q
Jawaban: b
18. Pernyataan ¬p ∨ ¬q ekuivalen dengan…
a. ¬(p ∧ q)
b. ¬(p ∨ q)
c. p → ¬q
d. q → ¬p
Jawaban: a
19. Manakah dari berikut ini yang ekuivalen dengan ¬(p ↔ q)?
a. p ↔ ¬q
b. ¬p ↔ q
c. (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
d. Semua pilihan di atas benar
Jawaban: d
20. Jika p adalah “Saya lapar” dan q adalah “Saya akan makan”, maka “Saya tidak lapar atau saya akan makan” ekuivalen dengan…
a. Jika saya lapar, maka saya akan makan.
b. Jika saya tidak lapar, maka saya tidak akan makan.
c. Saya lapar dan saya tidak akan makan.
d. Saya tidak akan makan jika saya lapar.
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
1. Pernyataan p ∨ ¬p selalu memiliki nilai kebenaran …, sehingga disebut tautologi.
Jawaban: Benar
2. Berdasarkan Hukum De Morgan, ¬(p ∨ q) ekuivalen secara logika dengan …
Jawaban: ¬p ∧ ¬q
3. Pernyataan p ∧ F (dengan F adalah kontradiksi) ekuivalen secara logika dengan …
Jawaban: F (kontradiksi)
4. Hukum komutatif untuk konjungsi menyatakan bahwa p ∧ q ekuivalen dengan …
Jawaban: q ∧ p
5. Pernyataan p → F (dengan F adalah kontradiksi) ekuivalen secara logika dengan …
Jawaban: ¬p
—
## Soal Uraian (5 Soal)
1. Buktikan bahwa pernyataan p → q ekuivalen secara logika dengan ¬p ∨ q menggunakan tabel kebenaran.
Jawaban:
Untuk membuktikan ekuivalensi, kita perlu menunjukkan bahwa kolom nilai kebenaran untuk p → q dan ¬p ∨ q adalah identik.
| p | q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
|—|—|—-|——-|——–|
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Karena kolom nilai kebenaran untuk p → q dan ¬p ∨ q sama persis, maka kedua pernyataan tersebut ekuivalen secara logika.
2. Buktikan ekuivalensi (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) menggunakan hukum-hukum logika.
Jawaban:
(p ∧ q) → r
≡ ¬(p ∧ q) ∨ r (Hukum Implikasi: X → Y ≡ ¬X ∨ Y)
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ r (Hukum De Morgan)
≡ ¬p ∨ (¬q ∨ r) (Hukum Asosiatif untuk Disjungsi)
≡ ¬p ∨ (q → r) (Hukum Implikasi terbalik)
≡ (p → r) ∨ (q → r) (Hukum Distributif Implikasi, atau dapat juga ditulis ¬p ∨ (q → r) ≡ (¬p ∨ q) ∨ (¬p ∨ r) lalu ubah kembali ke bentuk implikasi)
*Koreksi langkah terakhir:*
Dari ¬p ∨ (¬q ∨ r)
≡ (¬p ∨ r) ∨ ¬q (Hukum Komutatif dan Asosiatif)
≡ (p → r) ∨ ¬q (Hukum Implikasi)
Ini tidak menuju ke (p → r) ∨ (q → r) secara langsung. Mari kita coba jalur lain.
Koreksi jawaban untuk soal 2:
Kita akan membuktikan (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)
Langkah-langkah pembuktian dari sisi kiri:
(p ∧ q) → r
≡ ¬(p ∧ q) ∨ r (Hukum Implikasi: X → Y ≡ ¬X ∨ Y)
≡ (¬p ∨ ¬q) ∨ r (Hukum De Morgan)
≡ ¬p ∨ ¬q ∨ r (Hukum Asosiatif)
Langkah-langkah pembuktian dari sisi kanan:
(p → r) ∨ (q → r)
≡ (¬p ∨ r) ∨ (¬q ∨ r) (Hukum Implikasi)
≡ ¬p ∨ r ∨ ¬q ∨ r (Hukum Asosiatif)
≡ ¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ r (Hukum Komutatif)
≡ ¬p ∨ ¬q ∨ r (Hukum Idempoten: X ∨ X ≡ X)
Karena kedua sisi menghasilkan ¬p ∨ ¬q ∨ r, maka (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) terbukti ekuivalen.
3. Sederhanakan pernyataan logika berikut menggunakan hukum-hukum logika: p ∧ (¬p ∨ q).
Jawaban:
p ∧ (¬p ∨ q)
≡ (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) (Hukum Distributif)
≡ F ∨ (p ∧ q) (Hukum Komplemen/Negasi: p ∧ ¬p ≡ F)
≡ p ∧ q (Hukum Identitas: F ∨ X ≡ X)
Jadi, p ∧ (¬p ∨ q) ekuivalen dengan p ∧ q.
4. Jelaskan apa yang dimaksud dengan tautologi, kontradiksi, dan kontingensi dalam konteks logika proposisional, berikan contoh singkat untuk masing-masing.
Jawaban:
* Tautologi: Sebuah pernyataan logika yang selalu bernilai BENAR, tidak peduli nilai kebenaran dari proposisi atomiknya.
* Contoh: p ∨ ¬p (p atau bukan p).
* Kontradiksi: Sebuah pernyataan logika yang selalu bernilai SALAH, tidak peduli nilai kebenaran dari proposisi atomiknya.
* Contoh: p ∧ ¬p (p dan bukan p).
* Kontingensi: Sebuah pernyataan logika yang bukan tautologi maupun kontradiksi, artinya nilai kebenarannya bisa BENAR atau SALAH tergantung pada nilai kebenaran proposisi atomiknya.
* Contoh: p → q (jika p maka q).
5. Buktikan bahwa pernyataan ¬(p ↔ q) ekuivalen secara logika dengan (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) menggunakan hukum-hukum logika.
Jawaban:
¬(p ↔ q)
≡ ¬((p → q) ∧ (q → p)) (Definisi Biimplikasi)
≡ ¬((¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)) (Hukum Implikasi)
≡ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ p) (Hukum De Morgan)
≡ (¬(¬p) ∧ ¬q) ∨ (¬(¬q) ∧ ¬p) (Hukum De Morgan)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p) (Hukum Negasi Ganda)
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (Hukum Komutatif)
Dengan demikian, terbukti bahwa ¬(p ↔ q) ekuivalen dengan (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
