Apakah Anda sering merasa tertantang saat mempelajari determinan matriks dalam matematika? Artikel ini hadir sebagai solusi dengan menyajikan kumpulan contoh soal matematika determinan matriks yang komprehensif dan mudah dipahami. Fokus utama kami adalah memberikan beragam latihan soal yang mencakup berbagai tingkat kesulitan dan ordo matriks, mulai dari matriks 2×2 yang menjadi dasar hingga matriks 3×3 yang membutuhkan pemahaman metode Sarrus atau ekspansi kofaktor. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail dan jelas, memastikan Anda tidak hanya mendapatkan jawabannya, tetapi juga memahami proses dan konsep di baliknya.
Tujuan dari latihan soal ini adalah untuk memperkuat pemahaman Anda mengenai definisi, sifat-sifat, dan metode perhitungan determinan matriks. Dengan berlatih secara intensif, Anda akan mampu mengidentifikasi pola, menerapkan rumus dengan tepat, dan menyelesaikan masalah terkait determinan matriks dengan lebih cepat dan akurat. Konten ini sangat ideal bagi siswa SMA/SMK, mahasiswa, atau siapa pun yang ingin menguasai materi determinan matriks sebagai persiapan ujian, ulangan harian, atau sekadar ingin meningkatkan kemampuan aljabar linier. Melalui “contoh soal matematika determinan matriks” ini, kami berharap Anda akan merasa lebih percaya diri dan kompeten dalam menghadapi berbagai jenis soal matriks di masa mendatang.
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai determinan matriks, terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
***
## Soal Pilihan Ganda
1. Jika matriks A = [[3, 5], [1, 2]], maka determinan matriks A adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: a
2. Berapakah nilai determinan dari matriks B = [[-2, 3], [4, 1]]?
a. 10
b. -10
c. -14
d. 14
Jawaban: c
3. Matriks C = [[x, 2], [3, 4]] memiliki determinan sama dengan 6. Nilai x adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: d
4. Sebuah matriks dikatakan singular jika determinannya bernilai nol. Manakah nilai y yang membuat matriks D = [[5, 10], [y, 2]] menjadi matriks singular?
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: b
5. Diketahui matriks E = [[-1, 0], [5, -4]]. Determinan matriks E adalah…
a. -4
b. 0
c. 4
d. 5
Jawaban: c
6. Determinan dari matriks F = [[2, 1, 0], [1, 3, 2], [0, 2, 1]] adalah…
a. 6
b. 3
c. -3
d. -6
Jawaban: c
7. Berapakah determinan dari matriks segitiga atas G = [[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]?
a. 12
b. 24
c. 36
d. 48
Jawaban: b
8. Jika H = [[2, 0, 0], [3, -1, 0], [4, 5, 3]], maka det(H) adalah…
a. -6
b. -2
c. 2
d. 6
Jawaban: a
9. Diketahui matriks I = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]. Determinan matriks I adalah…
a. 0
b. 3
c. 6
d. 9
Jawaban: a
10. Matriks J = [[3, -1, 2], [0, 4, -3], [1, 0, 5]]. Determinan matriks J adalah…
a. 50
b. 53
c. 58
d. 60
Jawaban: b
11. Jika det(A) = 5 untuk suatu matriks A berordo 2×2, maka det(3A) adalah…
a. 15
b. 25
c. 30
d. 45
Jawaban: d
12. Diketahui det(P) = 4 dan det(Q) = -2. Maka det(PQ) adalah…
a. -8
b. -2
c. 2
d. 8
Jawaban: a
13. Jika det(M) = 7, maka det(Mᵀ) (determinan transpos matriks M) adalah…
a. -7
b. 1/7
c. 7
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: c
14. Untuk matriks K dengan det(K) = 1/2, maka det(K⁻¹) adalah…
a. -2
b. -1/2
c. 1/2
d. 2
Jawaban: d
15. Berapakah determinan dari matriks identitas I₃ (ordo 3×3)?
a. -1
b. 0
c. 1
d. 3
Jawaban: c
16. Jika matriks R adalah matriks 3×3 dengan det(R) = 3, maka det(2R) adalah…
a. 6
b. 12
c. 24
d. 54
Jawaban: c
17. Nilai x agar matriks S = [[x, 4], [4, x]] menjadi singular adalah…
a. 0
b. 2
c. ±2
d. ±4
Jawaban: d
18. Diketahui det(X) = 2 dan det(Y) = 3. Maka det(X²Y) adalah…
a. 6
b. 12
c. 18
d. 36
Jawaban: b
19. Jika det(A) = 5 untuk matriks 3×3, dan matriks B diperoleh dengan menukarkan dua baris dari matriks A, maka det(B) adalah…
a. -5
b. -1/5
c. 1/5
d. 5
Jawaban: a
20. Diketahui matriks T = [[2, m], [3, 4]]. Jika det(T) = 2, maka nilai m adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: c
—
## Soal Isian Singkat
1. Determinan matriks [[4, 6], [1, 2]] adalah …
Jawaban: 2
2. Jika matriks P = [[3, 0, 0], [1, 2, 0], [4, 5, 1]], maka det(P) adalah …
Jawaban: 6
3. Diketahui det(K) = 5. Maka det(K⁻¹) adalah …
Jawaban: 1/5
4. Matriks A berordo 2×2 memiliki det(A) = 6. Jika matriks B = 2A, maka det(B) adalah …
Jawaban: 24
5. Nilai x yang membuat matriks [[x+1, 2], [3, x]] menjadi matriks singular adalah …
Jawaban: -3 atau 2
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan langkah-langkah menghitung determinan matriks ordo 2×2 dan ordo 3×3. Berikan contoh untuk masing-masing.
Jawaban:
* Determinan Matriks Ordo 2×2:
Untuk matriks A = [[a, b], [c, d]], determinannya dihitung dengan rumus ad – bc.
Contoh: Matriks A = [[2, 3], [1, 4]]. det(A) = (2 × 4) – (3 × 1) = 8 – 3 = 5.
* Determinan Matriks Ordo 3×3:
Untuk matriks B = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]], determinannya dapat dihitung menggunakan metode Sarrus.
det(B) = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i).
Contoh: Matriks B = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]].
det(B) = (1×1×0 + 2×4×5 + 3×0×6) – (3×1×5 + 1×4×6 + 2×0×0)
det(B) = (0 + 40 + 0) – (15 + 24 + 0)
det(B) = 40 – 39 = 1.
2. Diberikan matriks M = [[p, 3], [2, p-1]]. Tentukan semua nilai p agar det(M) = 0.
Jawaban:
det(M) = p(p-1) – 3(2)
det(M) = p² – p – 6
Agar det(M) = 0, maka p² – p – 6 = 0.
Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: (p – 3)(p + 2) = 0.
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p = 3 atau p = -2.
3. Diketahui matriks A adalah matriks 3×3 dengan det(A) = -5. Hitunglah det(4A⁻¹).
Jawaban:
Kita tahu sifat determinan: det(kA) = kⁿ det(A) dan det(A⁻¹) = 1/det(A).
Karena A adalah matriks 3×3, maka n = 3.
det(4A⁻¹) = 4³ × det(A⁻¹)
det(4A⁻¹) = 64 × (1/det(A))
det(4A⁻¹) = 64 × (1/(-5))
det(4A⁻¹) = -64/5
4. Apa yang dimaksud dengan matriks singular? Jelaskan kaitannya dengan nilai determinan. Berikan contoh matriks singular ordo 2×2.
Jawaban:
* Matriks singular adalah matriks persegi yang tidak memiliki invers. Artinya, tidak ada matriks lain yang, ketika dikalikan dengannya, menghasilkan matriks identitas.
* Kaitannya dengan nilai determinan: Sebuah matriks adalah singular jika dan hanya jika nilai determinannya adalah nol. Jika determinan suatu matriks bukan nol, maka matriks tersebut adalah matriks non-singular (invertible).
* Contoh Matriks Singular Ordo 2×2:
Misalkan matriks A = [[2, 4], [1, 2]].
det(A) = (2 × 2) – (4 × 1) = 4 – 4 = 0.
Karena det(A) = 0, maka matriks A adalah matriks singular.
5. Diberikan matriks P = [[1, 2], [3, 4]] dan Q = [[-1, 0], [2, 1]]. Hitunglah det(P) dan det(Q). Kemudian, hitunglah det(P+Q). Apakah det(P+Q) = det(P) + det(Q)?
Jawaban:
* Hitung det(P):
det(P) = (1 × 4) – (2 × 3) = 4 – 6 = -2.
* Hitung det(Q):
det(Q) = (-1 × 1) – (0 × 2) = -1 – 0 = -1.
* Hitung det(P+Q):
Terlebih dahulu hitung P+Q:
P+Q = [[1+(-1), 2+0], [3+2, 4+1]] = [[0, 2], [5, 5]]
det(P+Q) = (0 × 5) – (2 × 5) = 0 – 10 = -10.
* Bandingkan det(P+Q) dengan det(P) + det(Q):
det(P) + det(Q) = -2 + (-1) = -3.
Karena -10 ≠ -3, maka det(P+Q) ≠ det(P) + det(Q).
