Menguasai integral bukan hanya tentang memahami rumus, tetapi juga bagaimana konsep ini diterapkan dalam berbagai skenario dunia nyata. Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif yang menyajikan contoh soal matematika aplikasi integral yang beragam, dirancang khusus untuk memperdalam pemahaman Anda dari level dasar hingga menengah. Kami akan menjelajahi berbagai tema pembelajaran, mulai dari perhitungan luas area di bawah kurva, volume benda putar, hingga aplikasi dalam fisika seperti gerak, usaha, dan pusat massa. Tak hanya itu, kita juga akan melihat penerapannya dalam ekonomi, seperti menghitung surplus konsumen dan produsen, serta dalam bidang lain seperti biologi dan teknik. Setiap soal disajikan dengan langkah-langkah penyelesaian yang jelas, detail, dan mudah diikuti, memastikan Anda tidak hanya mendapatkan jawaban tetapi juga mengerti proses berpikir dan konsep di baliknya. Tujuan utama dari kumpulan latihan soal ini adalah untuk menjembatani kesenjangan antara teori integral yang dipelajari di kelas dengan tantangan praktis yang akan Anda temui. Dengan berlatih menggunakan contoh soal matematika aplikasi integral ini, Anda akan membangun intuisi matematis yang kuat, meningkatkan kemampuan pemecahan masalah, dan mempersiapkan diri dengan lebih baik untuk ujian atau aplikasi di lapangan. Mari kita selami bagaimana integral menjadi alat yang powerful untuk memecahkan persoalan kompleks di sekitar kita!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika aplikasi integral:
## Soal Pilihan Ganda (20 soal)
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1, sumbu X, garis x = 0, dan garis x = 2 adalah…
a. 10/3 satuan luas
b. 8/3 satuan luas
c. 6/3 satuan luas
d. 4/3 satuan luas
Jawaban: a
*(Penjelasan: Integral dari (x² + 1) dari 0 sampai 2 adalah [x³/3 + x] dari 0 sampai 2 = (2³/3 + 2) – (0³/3 + 0) = 8/3 + 2 = 8/3 + 6/3 = 14/3. Mohon maaf, ada kesalahan perhitungan, seharusnya 14/3. Mari koreksi soal atau pilihan. Saya akan ubah pilihan menjadi lebih tepat atau soalnya disesuaikan. Mari gunakan y = x² – x + 2 untuk mendapatkan jawaban yang ada, atau ganti pilihan.)*
*Koreksi soal agar jawaban ada di pilihan:*
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + x, sumbu X, garis x = 0, dan garis x = 2 adalah…
a. 10/3 satuan luas
b. 14/3 satuan luas
c. 20/3 satuan luas
d. 22/3 satuan luas
Jawaban: b
*(Penjelasan: Integral dari (x² + x) dx dari 0 sampai 2 adalah [x³/3 + x²/2] dari 0 sampai 2 = (2³/3 + 2²/2) – (0³/3 + 0²/2) = (8/3 + 4/2) = 8/3 + 2 = 8/3 + 6/3 = 14/3).*
2. Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, sumbu X, dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X adalah…
a. 8π/3 satuan volume
b. 4π satuan volume
c. 2π/3 satuan volume
d. π satuan volume
Jawaban: a
*(Penjelasan: Volume = π ∫y² dx dari 0 sampai 2 = π ∫x² dx dari 0 sampai 2 = π [x³/3] dari 0 sampai 2 = π (2³/3 – 0³/3) = π (8/3) = 8π/3).*
3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = (3t² – 4t + 5) m/s. Jika posisi awal partikel adalah s(0) = 2 m, maka posisi partikel pada t = 2 detik adalah…
a. 10 m
b. 12 m
c. 14 m
d. 16 m
Jawaban: d
*(Penjelasan: s(t) = ∫v(t) dt = ∫(3t² – 4t + 5) dt = t³ – 2t² + 5t + C. Karena s(0) = 2, maka 0³ – 2(0)² + 5(0) + C = 2, sehingga C = 2. Jadi, s(t) = t³ – 2t² + 5t + 2. Untuk t = 2, s(2) = 2³ – 2(2)² + 5(2) + 2 = 8 – 8 + 10 + 2 = 12 m. Mohon maaf, ada kesalahan perhitungan, seharusnya 12m. Pilihan akan saya sesuaikan.*
*Koreksi soal atau pilihan:*
3. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = (3t² – 4t + 5) m/s. Jika posisi awal partikel adalah s(0) = 2 m, maka posisi partikel pada t = 2 detik adalah…
a. 8 m
b. 10 m
c. 12 m
d. 14 m
Jawaban: c
*(Penjelasan: s(t) = ∫v(t) dt = ∫(3t² – 4t + 5) dt = t³ – 2t² + 5t + C. Karena s(0) = 2, maka 0³ – 2(0)² + 5(0) + C = 2, sehingga C = 2. Jadi, s(t) = t³ – 2t² + 5t + 2. Untuk t = 2, s(2) = 2³ – 2(2)² + 5(2) + 2 = 8 – 8 + 10 + 2 = 12 m).*
4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² dan y = x adalah…
a. 1/6 satuan luas
b. 1/3 satuan luas
c. 1/2 satuan luas
d. 2/3 satuan luas
Jawaban: a
*(Penjelasan: Titik potong: x² = x → x² – x = 0 → x(x – 1) = 0 → x = 0 atau x = 1. Luas = ∫(x – x²) dx dari 0 sampai 1 = [x²/2 – x³/3] dari 0 sampai 1 = (1²/2 – 1³/3) – (0²/2 – 0³/3) = 1/2 – 1/3 = 3/6 – 2/6 = 1/6).*
5. Jika biaya marjinal suatu produk adalah C'(x) = 6x + 4, dan biaya tetap (fixed cost) adalah Rp 10.000, maka fungsi biaya total C(x) adalah…
a. C(x) = 3x² + 4x
b. C(x) = 3x² + 4x + 10.000
c. C(x) = 6x² + 4x + 10.000
d. C(x) = 6x² + 4x
Jawaban: b
*(Penjelasan: C(x) = ∫C'(x) dx = ∫(6x + 4) dx = 3x² + 4x + K. Biaya tetap adalah nilai C(x) saat x = 0, jadi C(0) = 10.000. 3(0)² + 4(0) + K = 10.000 → K = 10.000. Maka C(x) = 3x² + 4x + 10.000).*
6. Nilai rata-rata fungsi f(x) = x³ pada interval [0, 2] adalah…
a. 1
b. 2
c. 4
d. 8
Jawaban: b
*(Penjelasan: Rata-rata = (1/(b-a)) ∫f(x) dx dari a sampai b = (1/(2-0)) ∫x³ dx dari 0 sampai 2 = (1/2) [x⁴/4] dari 0 sampai 2 = (1/2) (2⁴/4 – 0⁴/4) = (1/2) (16/4) = (1/2) * 4 = 2).*
7. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = √x, sumbu Y, dan y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y adalah…
a. 8π satuan volume
b. 16π/3 satuan volume
c. 32π/5 satuan volume
d. 64π/5 satuan volume
Jawaban: c
*(Penjelasan: Jika y = √x, maka x = y². Diputar mengelilingi sumbu Y dari y = 0 sampai y = 2. Volume = π ∫x² dy dari 0 sampai 2 = π ∫(y²)² dy dari 0 sampai 2 = π ∫y⁴ dy dari 0 sampai 2 = π [y⁵/5] dari 0 sampai 2 = π (2⁵/5 – 0⁵/5) = π (32/5) = 32π/5).*
8. Sebuah gaya F(x) = (3x² – x) Newton bekerja pada suatu benda. Usaha yang dilakukan untuk memindahkan benda dari x = 1 meter ke x = 3 meter adalah…
a. 18 Joule
b. 20 Joule
c. 22 Joule
d. 24 Joule
Jawaban: c
*(Penjelasan: Usaha W = ∫F(x) dx dari 1 sampai 3 = ∫(3x² – x) dx dari 1 sampai 3 = [x³ – x²/2] dari 1 sampai 3 = (3³ – 3²/2) – (1³ – 1²/2) = (27 – 9/2) – (1 – 1/2) = (54/2 – 9/2) – (2/2 – 1/2) = 45/2 – 1/2 = 44/2 = 22).*
9. Jika pendapatan marjinal suatu perusahaan adalah MR(x) = 200 – 4x, maka fungsi pendapatan total R(x) adalah (asumsi R(0) = 0)…
a. R(x) = 200x – 2x²
b. R(x) = 200 – 4x²
c. R(x) = 200x – 4x²
d. R(x) = 200x – 2x² + C
Jawaban: a
*(Penjelasan: R(x) = ∫MR(x) dx = ∫(200 – 4x) dx = 200x – 2x² + C. Karena R(0) = 0, maka 200(0) – 2(0)² + C = 0, sehingga C = 0. Jadi, R(x) = 200x – 2x²).*
10. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² – 4 dan sumbu X adalah…
a. 16/3 satuan luas
b. 32/3 satuan luas
c. 64/3 satuan luas
d. 8 satuan luas
Jawaban: b
*(Penjelasan: Kurva y = x² – 4 memotong sumbu X saat x² – 4 = 0 → (x – 2)(x + 2) = 0 → x = -2 atau x = 2. Karena daerah berada di bawah sumbu X, luas = -∫(x² – 4) dx dari -2 sampai 2 = ∫(4 – x²) dx dari -2 sampai 2 = [4x – x³/3] dari -2 sampai 2 = (4(2) – 2³/3) – (4(-2) – (-2)³/3) = (8 – 8/3) – (-8 + 8/3) = (24/3 – 8/3) – (-24/3 + 8/3) = 16/3 – (-16/3) = 16/3 + 16/3 = 32/3).*
11. Sebuah mobil melaju dengan percepatan a(t) = (6t + 2) m/s². Jika kecepatan awal mobil adalah v(0) = 5 m/s, maka kecepatan mobil pada t = 1 detik adalah…
a. 10 m/s
b. 12 m/s
c. 15 m/s
d. 20 m/s
Jawaban: a
*(Penjelasan: v(t) = ∫a(t) dt = ∫(6t + 2) dt = 3t² + 2t + C. Karena v(0) = 5, maka 3(0)² + 2(0) + C = 5, sehingga C = 5. Jadi, v(t) = 3t² + 2t + 5. Untuk t = 1, v(1) = 3(1)² + 2(1) + 5 = 3 + 2 + 5 = 10 m/s).*
12. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x + 2 dan y = x² adalah…
a. 7/6 satuan luas
b. 9/2 satuan luas
c. 9/4 satuan luas
d. 9/1 satuan luas
Jawaban: b
*(Penjelasan: Titik potong: x² = x + 2 → x² – x – 2 = 0 → (x – 2)(x + 1) = 0 → x = -1 atau x = 2. Luas = ∫((x + 2) – x²) dx dari -1 sampai 2 = [x²/2 + 2x – x³/3] dari -1 sampai 2 = (2²/2 + 2(2) – 2³/3) – ((-1)²/2 + 2(-1) – (-1)³/3) = (2 + 4 – 8/3) – (1/2 – 2 + 1/3) = (6 – 8/3) – (-3/2 + 1/3) = (18/3 – 8/3) – (-9/6 + 2/6) = 10/3 – (-7/6) = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2).*
13. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = x diputar mengelilingi sumbu X adalah…
a. 2π/15 satuan volume
b. 4π/15 satuan volume
c. 8π/15 satuan volume
d. 16π/15 satuan volume
Jawaban: b
*(Penjelasan: Titik potong: x² = x → x = 0 atau x = 1. Volume = π ∫(y₁² – y₂²) dx dari 0 sampai 1 = π ∫(x² – (x²)²) dx dari 0 sampai 1 = π ∫(x² – x⁴) dx dari 0 sampai 1 = π [x³/3 – x⁵/5] dari 0 sampai 1 = π ((1³/3 – 1⁵/5) – (0³/3 – 0⁵/5)) = π (1/3 – 1/5) = π (5/15 – 3/15) = 2π/15).*
14. Panas yang dihasilkan oleh sebuah elemen pemanas adalah P(t) = (100 – 2t) Watt, dengan t dalam menit. Total energi panas yang dihasilkan dalam 10 menit pertama adalah…
a. 900 Joule
b. 1000 Joule
c. 1100 Joule
d. 1200 Joule
Jawaban: a
*(Penjelasan: Energi = ∫P(t) dt dari 0 sampai 10 = ∫(100 – 2t) dt dari 0 sampai 10 = [100t – t²] dari 0 sampai 10 = (100(10) – 10²) – (100(0) – 0²) = (1000 – 100) – 0 = 900 Joule).*
15. Jika laju perubahan populasi bakteri adalah P'(t) = 100e⁰·⁵ᵗ, maka peningkatan populasi dari t = 0 sampai t = 2 adalah…
a. 100(e – 1)
b. 200(e – 1)
c. 50(e – 1)
d. 200e
Jawaban: b
*(Penjelasan: Peningkatan populasi = ∫P'(t) dt dari 0 sampai 2 = ∫100e⁰·⁵ᵗ dt dari 0 sampai 2. Gunakan substitusi u = 0.5t, du = 0.5 dt, dt = 2 du. Maka ∫100eᵘ (2du) = 200∫eᵘ du = 200eᵘ. Kembali ke t: 200e⁰·⁵ᵗ dari 0 sampai 2 = 200(e⁰·⁵⁽²⁾ – e⁰·⁵⁽⁰⁾) = 200(e¹ – e⁰) = 200(e – 1).)*
16. Panjang busur kurva y = (2/3)x³/² dari x = 0 sampai x = 3 adalah…
a. 7/3 satuan
b. 14/3 satuan
c. 28/3 satuan
d. 35/3 satuan
Jawaban: b
*(Penjelasan: dy/dx = (2/3) * (3/2) * x¹/² = x¹/². (dy/dx)² = x. Panjang busur = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx dari 0 sampai 3 = ∫√(1 + x) dx dari 0 sampai 3. Misal u = 1 + x, du = dx. ∫√u du = ∫u¹/² du = (2/3)u³/². Kembali ke x: (2/3)(1 + x)³/² dari 0 sampai 3 = (2/3)(1 + 3)³/² – (2/3)(1 + 0)³/² = (2/3)(4)³/² – (2/3)(1)³/² = (2/3)(8) – (2/3)(1) = 16/3 – 2/3 = 14/3).*
17. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ dan sumbu X dari x = 0 sampai x = 1 diputar mengelilingi sumbu X adalah…
a. π/7 satuan volume
b. π/4 satuan volume
c. π/3 satuan volume
d. 2π/7 satuan volume
Jawaban: a
*(Penjelasan: Volume = π ∫y² dx dari 0 sampai 1 = π ∫(x³) ² dx dari 0 sampai 1 = π ∫x⁶ dx dari 0 sampai 1 = π [x⁷/7] dari 0 sampai 1 = π (1⁷/7 – 0⁷/7) = π/7).*
18. Perubahan total dalam suatu kuantitas dari waktu t₁ ke t₂ dapat dihitung dengan…
a. Integral tak tentu dari laju perubahan
b. Integral tentu dari laju perubahan
c. Turunan dari laju perubahan
d. Nilai rata-rata laju perubahan
Jawaban: b
*(Penjelasan: Integral tentu dari laju perubahan (fungsi turunan) memberikan perubahan total dalam fungsi aslinya selama interval tersebut, berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus).*
19. Sebuah wadah berbentuk kerucut terbalik dengan tinggi 10 cm dan jari-jari alas 5 cm. Jika wadah diisi air hingga ketinggian h cm, maka volume air dalam wadah adalah…
a. (π/12)h³
b. (π/3)h³
c. (π/4)h³
d. (π/2)h³
Jawaban: a
*(Penjelasan: Dengan menggunakan segitiga sebangun, r/h = 5/10 = 1/2, jadi r = h/2. Volume kerucut V = (1/3)πr²h. Untuk mencari volume air dengan integral, kita bisa memotong kerucut menjadi cakram-cakram. Radius cakram pada ketinggian y adalah r = y/2. Volume = ∫πr² dy dari 0 sampai h = ∫π(y/2)² dy dari 0 sampai h = ∫π(y²/4) dy dari 0 sampai h = (π/4) [y³/3] dari 0 sampai h = (π/4) (h³/3) = (π/12)h³).*
20. Jika kecepatan suatu benda adalah v(t) = 6t – 2 dan pada t = 0 posisi benda adalah 10 meter, maka persamaan posisi benda s(t) adalah…
a. s(t) = 3t² – 2t + 10
b. s(t) = 6t² – 2t + 10
c. s(t) = 3t² – 2t
d. s(t) = 6t² – 2t
Jawasan: a
*(Penjelasan: s(t) = ∫v(t) dt = ∫(6t – 2) dt = 3t² – 2t + C. Karena s(0) = 10, maka 3(0)² – 2(0) + C = 10, sehingga C = 10. Jadi, s(t) = 3t² – 2t + 10).*
—
## Soal Isian Singkat (5 soal)
1. Luas daerah yang dibatasi oleh y = √x, sumbu X, dan garis x = 4 adalah … satuan luas.
Jawaban: 16/3
*(Penjelasan: Luas = ∫√x dx dari 0 sampai 4 = ∫x¹/² dx dari 0 sampai 4 = [(2/3)x³/²] dari 0 sampai 4 = (2/3)(4)³/² – (2/3)(0)³/² = (2/3)(8) – 0 = 16/3).*
2. Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh y = x² dan sumbu X dari x = 0 sampai x = 1 diputar mengelilingi sumbu X adalah … π satuan volume.
Jawaban: 1/5
*(Penjelasan: Volume = π ∫y² dx dari 0 sampai 1 = π ∫(x²)² dx dari 0 sampai 1 = π ∫x⁴ dx dari 0 sampai 1 = π [x⁵/5] dari 0 sampai 1 = π (1⁵/5 – 0⁵/5) = π/5. Jadi jawabannya 1/5).*
3. Sebuah benda bergerak dengan percepatan a(t) = (4t – 6) m/s². Jika kecepatan awal v(0) = 10 m/s, maka kecepatan benda pada t = 3 detik adalah … m/s.
Jawaban: 16
*(Penjelasan: v(t) = ∫a(t) dt = ∫(4t – 6) dt = 2t² – 6t + C. Karena v(0) = 10, maka C = 10. Jadi v(t) = 2t² – 6t + 10. Untuk t = 3, v(3) = 2(3)² – 6(3) + 10 = 2(9) – 18 + 10 = 18 – 18 + 10 = 10 m/s. Mohon maaf ada kesalahan perhitungan. Jawaban seharusnya 10. Saya akan sesuaikan soalnya agar jawaban menghasilkan 16. Atau biarkan 10 dan koreksi jawabannya).*
*Koreksi soal agar menghasilkan jawaban 16:*
3. Sebuah benda bergerak dengan percepatan a(t) = (2t + 4) m/s². Jika kecepatan awal v(0) = 5 m/s, maka kecepatan benda pada t = 3 detik adalah … m/s.
Jawaban: 20
*(Penjelasan: v(t) = ∫a(t) dt = ∫(2t + 4) dt = t² + 4t + C. Karena v(0) = 5, maka C = 5. Jadi v(t) = t² + 4t + 5. Untuk t = 3, v(3) = 3² + 4(3) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26 m/s. Mohon maaf lagi. Perlu hati-hati. Ok, saya akan cari yang hasilnya bulat dan mudah).*
*Coba soal lain:*
3. Sebuah benda bergerak dengan percepatan a(t) = (6t – 2) m/s². Jika kecepatan awal v(0) = 5 m/s, maka kecepatan benda pada t = 2 detik adalah … m/s.
Jawaban: 13
*(Penjelasan: v(t) = ∫a(t) dt = ∫(6t – 2) dt = 3t² – 2t + C. Karena v(0) = 5, maka C = 5. Jadi v(t) = 3t² – 2t + 5. Untuk t = 2, v(2) = 3(2)² – 2(2) + 5 = 3(4) – 4 + 5 = 12 – 4 + 5 = 8 + 5 = 13 m/s).*
4. Jika laju produksi suatu barang adalah P'(t) = 300 – 2t unit per hari, maka total produksi dalam 5 hari pertama adalah … unit.
Jawaban: 1475
*(Penjelasan: Total produksi = ∫P'(t) dt dari 0 sampai 5 = ∫(300 – 2t) dt dari 0 sampai 5 = [300t – t²] dari 0 sampai 5 = (300(5) – 5²) – (300(0) – 0²) = (1500 – 25) – 0 = 1475).*
5. Nilai rata-rata fungsi f(x) = 2x + 1 pada interval [1, 3] adalah …
Jawaban: 5
*(Penjelasan: Rata-rata = (1/(3-1)) ∫(2x + 1) dx dari 1 sampai 3 = (1/2) [x² + x] dari 1 sampai 3 = (1/2) ((3² + 3) – (1² + 1)) = (1/2) ((9 + 3) – (1 + 1)) = (1/2) (12 – 2) = (1/2) * 10 = 5).*
—
## Soal Uraian (5 soal)
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ – x, sumbu X, dari x = -1 sampai x = 1.
Jawaban:
Untuk menentukan luas daerah ini, kita perlu mengetahui apakah kurva berada di atas atau di bawah sumbu X pada interval tersebut.
Faktorkan y = x³ – x = x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1).
Titik potong sumbu X adalah x = -1, x = 0, dan x = 1.
* Pada interval [-1, 0], misalnya ambil x = -0.5: y = (-0.5)³ – (-0.5) = -0.125 + 0.5 = 0.375 (positif, di atas sumbu X).
* Pada interval [0, 1], misalnya ambil x = 0.5: y = (0.5)³ – (0.5) = 0.125 – 0.5 = -0.375 (negatif, di bawah sumbu X).
Maka, luas total adalah jumlah dari integral absolut di setiap interval:
Luas = |∫ (x³ – x) dx dari -1 sampai 0| + |∫ (x³ – x) dx dari 0 sampai 1|
Hitung integral tak tentu: ∫ (x³ – x) dx = x⁴/4 – x²/2.
* Untuk interval [-1, 0]:
[x⁴/4 – x²/2] dari -1 sampai 0 = (0⁴/4 – 0²/2) – ((-1)⁴/4 – (-1)²/2) = 0 – (1/4 – 1/2) = 0 – (1/4 – 2/4) = -(-1/4) = 1/4.
Luas₁ = 1/4.
* Untuk interval [0, 1]:
[x⁴/4 – x²/2] dari 0 sampai 1 = (1⁴/4 – 1²/2) – (0⁴/4 – 0²/2) = (1/4 – 1/2) – 0 = -1/4.
Luas₂ = |-1/4| = 1/4.
Total Luas = Luas₁ + Luas₂ = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 satuan luas.
2. Jelaskan langkah-langkah untuk menghitung volume benda putar jika daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = √x diputar mengelilingi sumbu X, kemudian hitung volumenya.
Jawaban:
Langkah-langkah:
1. Temukan titik potong: Tentukan batas integrasi dengan mencari titik di mana kedua kurva berpotongan.
x² = √x
x⁴ = x
x⁴ – x = 0
x(x³ – 1) = 0
x(x – 1)(x² + x + 1) = 0
Titik potong adalah x = 0 dan x = 1 (karena x² + x + 1 tidak memiliki akar real).
2. Identifikasi kurva atas dan kurva bawah: Di antara x = 0 dan x = 1, tentukan kurva mana yang berada di atas. Ambil titik uji, misalnya x = 0.5:
y = (0.5)² = 0.25
y = √0.5 ≈ 0.707
Jadi, y = √x (atas) dan y = x² (bawah) pada interval [0, 1].
3. Tentukan metode integrasi: Karena diputar mengelilingi sumbu X dan ada dua kurva, gunakan metode cincin (washer method). Rumusnya adalah V = π ∫[ (R(x))² – (r(x))² ] dx, di mana R(x) adalah jari-jari luar dan r(x) adalah jari-jari dalam.
R(x) = √x
r(x) = x²
4. Atur integral: V = π ∫₀¹ [ (√x)² – (x²)² ] dx = π ∫₀¹ [ x – x⁴ ] dx.
5. Hitung integral:
V = π [ x²/2 – x⁵/5 ] dari 0 sampai 1
V = π [ (1²/2 – 1⁵/5) – (0²/2 – 0⁵/5) ]
V = π [ (1/2 – 1/5) – 0 ]
V = π [ (5/10 – 2/10) ]
V = π [ 3/10 ]
V = 3π/10
Volume benda putar tersebut adalah 3π/10 satuan volume.
3. Sebuah roket diluncurkan secara vertikal dari tanah. Laju kenaikan ketinggiannya pada waktu t (dalam detik) diberikan oleh v(t) = 100 – 9.8t meter per detik. Tentukan ketinggian maksimum yang dicapai roket tersebut.
Jawaban:
1. Cari waktu saat kecepatan nol (ketinggian maksimum): Ketinggian maksimum dicapai saat kecepatan roket menjadi nol (roket berhenti sesaat sebelum jatuh kembali).
v(t) = 0
100 – 9.8t = 0
9.8t = 100
t = 100 / 9.8 ≈ 10.204 detik
2. Temukan fungsi posisi s(t): Ketinggian s(t) adalah integral dari kecepatan v(t).
s(t) = ∫v(t) dt = ∫(100 – 9.8t) dt
s(t) = 100t – (9.8/2)t² + C
s(t) = 100t – 4.9t² + C
3. Tentukan konstanta C: Karena roket diluncurkan dari tanah, posisi awal pada t = 0 adalah 0.
s(0) = 0
100(0) – 4.9(0)² + C = 0
C = 0
Jadi, fungsi ketinggian adalah s(t) = 100t – 4.9t².
4. Hitung ketinggian maksimum: Substitusikan waktu t saat kecepatan nol ke dalam fungsi s(t).
t ≈ 10.204 detik
s(10.204) = 100(10.204) – 4.9(10.204)²
s(10.204) = 1020.4 – 4.9(104.121616)
s(10.204) = 1020.4 – 510.196
s(10.204) ≈ 510.204 meter
Ketinggian maksimum yang dicapai roket adalah sekitar 510.204 meter.
4. Sebuah perusahaan memiliki fungsi biaya marjinal C'(x) = 50 – 0.2x, di mana x adalah jumlah unit yang diproduksi. Jika biaya tetap (fixed cost) adalah Rp 20.000, hitunglah total biaya untuk memproduksi 100 unit barang.
Jawaban:
1. Temukan fungsi biaya total C(x): Fungsi biaya total adalah integral dari fungsi biaya marjinal.
C(x) = ∫C'(x) dx = ∫(50 – 0.2x) dx
C(x) = 50x – (0.2/2)x² + K
C(x) = 50x – 0.1x² + K
2. Gunakan informasi biaya tetap untuk menemukan K: Biaya tetap adalah biaya saat x = 0.
C(0) = 20.000
50(0) – 0.1(0)² + K = 20.000
K = 20.000
Jadi, fungsi biaya total adalah C(x) = 50x – 0.1x² + 20.000.
3. Hitung total biaya untuk 100 unit: Substitusikan x = 100 ke dalam C(x).
C(100) = 50(100) – 0.1(100)² + 20.000
C(100) = 5000 – 0.1(10.000) + 20.000
C(100) = 5000 – 1000 + 20.000
C(100) = 4000 + 20.000
C(100) = 24.000
Total biaya untuk memproduksi 100 unit barang adalah Rp 24.000.
5. Jelaskan konsep “nilai rata-rata fungsi” dan bagaimana integral tentu digunakan untuk menghitungnya. Berikan contoh perhitungan nilai rata-rata dari f(x) = x² pada interval [0, 3].
Jawaban:
Konsep Nilai Rata-rata Fungsi:
Nilai rata-rata fungsi f(x) pada suatu interval tertutup [a, b] adalah nilai tunggal y yang, jika dikalikan dengan panjang interval (b – a), akan menghasilkan area yang sama dengan area di bawah kurva f(x) pada interval tersebut. Secara intuitif, ini adalah “ketinggian rata-rata” dari fungsi tersebut di atas interval yang diberikan. Konsep ini sangat berguna dalam berbagai bidang seperti fisika (misalnya, mencari suhu rata-rata selama sehari), ekonomi (pendapatan rata-rata), dan teknik.
Penggunaan Integral Tentu:
Nilai rata-rata fungsi f(x) pada interval [a, b] dihitung menggunakan rumus:
f_rata-rata = (1/(b – a)) * ∫f(x) dx dari a sampai b
Di sini, ∫f(x) dx dari a sampai b merepresentasikan area di bawah kurva f(x) dari x = a hingga x = b. Kemudian, area ini dibagi dengan panjang interval (b – a) untuk mendapatkan nilai rata-rata fungsi.
Contoh Perhitungan:
Hitung nilai rata-rata dari f(x) = x² pada interval [0, 3].
Dalam kasus ini, a = 0 dan b = 3.
f_rata-rata = (1/(3 – 0)) * ∫x² dx dari 0 sampai 3
f_rata-rata = (1/3) * [x³/3] dari 0 sampai 3
f_rata-rata = (1/3) * ( (3³/3) – (0³/3) )
f_rata-rata = (1/3) * ( (27/3) – 0 )
f_rata-rata = (1/3) * 9
f_rata-rata = 3
Jadi, nilai rata-rata fungsi f(x) = x² pada interval [0, 3] adalah 3.
