Contoh Soal Kalkulus 2 dan Pembahasan Lengkap untuk Persiapan Ujian

1. Hitung nilai integral dari

$$\int x e^{2x} \, dx$$ (Pilihan Ganda)

• $\frac{1}{2}x e^{2x} – \frac{1}{4}e^{2x} + C$
• $\frac{1}{2}x e^{2x} – e^{2x} + C$
• $x e^{2x} – \frac{1}{2}e^{2x} + C$
• $\frac{1}{4}x e^{2x} – \frac{1}{2}e^{2x} + C$
• Tidak ada jawaban yang benar

Kunci Jawaban: Gunakan metode integral parsial: $\int u \, dv = uv – \int v \, du$. Misalkan $u = x$ dan $dv = e^{2x} \, dx$. Maka $du = dx$ dan $v = \frac{1}{2}e^{2x}$.
$$\int x e^{2x} \, dx = x \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) – \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx$$
$$ = \frac{1}{2}x e^{2x} – \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) + C$$
$$ = \frac{1}{2}x e^{2x} – \frac{1}{4}e^{2x} + C$$
$$ = \frac{1}{4}e^{2x}(2x-1) + C$$

2. Evaluasi integral tak wajar berikut:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$$ (Pilihan Ganda)

• 0
• 1
• $\frac{1}{2}$
• Divergen
• $\infty$

Kunci Jawaban: Integral tak wajar ini didefinisikan sebagai limit:
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{-2} \, dx$$
$$ = \lim_{b \to \infty} \left[ -x^{-1} \right]_{1}^{b}$$
$$ = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{b} – \left(-\frac{1}{1}\right) \right]$$
$$ = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{b} + 1 \right]$$
Karena $\lim_{b \to \infty} -\frac{1}{b} = 0$, maka hasil integral adalah $0 + 1 = 1$.

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ dan $y = x+2$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $\frac{7}{2}$
• $\frac{9}{2}$
• $\frac{11}{2}$
• $\frac{13}{2}$
• $\frac{5}{2}$

Kunci Jawaban: Pertama, cari titik potong kedua kurva:
$x^2 = x+2 \Rightarrow x^2 – x – 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0$.
Jadi, titik potongnya adalah $x=-1$ dan $x=2$.
Pada interval $[-1, 2]$, kurva $y=x+2$ berada di atas $y=x^2$.
Luas daerah ($A$) adalah:
$$A = \int_{-1}^{2} ((x+2) – x^2) \, dx$$
$$A = \left[ \frac{1}{2}x^2 + 2x – \frac{1}{3}x^3 \right]_{-1}^{2}$$
$$A = \left( \frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) – \frac{1}{3}(2)^3 \right) – \left( \frac{1}{2}(-1)^2 + 2(-1) – \frac{1}{3}(-1)^3 \right)$$
$$A = \left( 2 + 4 – \frac{8}{3} \right) – \left( \frac{1}{2} – 2 + \frac{1}{3} \right)$$
$$A = \left( 6 – \frac{8}{3} \right) – \left( -\frac{3}{2} + \frac{1}{3} \right)$$
$$A = \left( \frac{18-8}{3} \right) – \left( \frac{-9+2}{6} \right)$$
$$A = \frac{10}{3} – \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

4. Deret tak hingga $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergen jika dan hanya jika… (Pilihan Ganda)

• $p < 1$
• $p \le 1$
• $p = 1$
• $p > 1$
• $p \ge 1$

Kunci Jawaban: Ini adalah deret-p. Deret p-series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergen jika $p > 1$ dan divergen jika $p \le 1$.

5. Deret geometri $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ konvergen jika… (Pilihan Ganda)

• $r < 1$
• $r > 1$
• $|r| < 1$
• $|r| > 1$
• $r = 1$

Kunci Jawaban: Deret geometri $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ konvergen jika dan hanya jika nilai mutlak rasio $r$ kurang dari 1, yaitu $|r| < 1$. Jika konvergen, jumlah deretnya adalah $\frac{a}{1-r}$.

6. Tentukan uji konvergensi yang paling tepat untuk deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^n}$. (Pilihan Ganda)

• Uji Integral
• Uji Perbandingan Langsung
• Uji Rasio
• Uji Akar
• Uji Divergensi

Kunci Jawaban: Untuk deret yang melibatkan $n$ di pembilang dan eksponensial di penyebut, Uji Rasio (Ratio Test) seringkali merupakan pilihan yang paling efektif.
Uji Rasio: $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$.
$a_n = \frac{n}{e^n}$, $a_{n+1} = \frac{n+1}{e^{n+1}}$.
$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)/e^{n+1}}{n/e^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{e^{n+1}} \cdot \frac{e^n}{n} \right|$$
$$ = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{n} \cdot \frac{e^n}{e^{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{e} \right|$$
$$ = \frac{1}{e} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{e} (1) = \frac{1}{e}$$
Karena $1/e < 1$, deret konvergen berdasarkan Uji Rasio.

7. Jika vektor $\mathbf{a} = \langle 2, -1, 3 \rangle$ dan $\mathbf{b} = \langle 1, 4, -2 \rangle$, maka hasil dari $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $ \langle 2, -4, -6 \rangle $
• $-8$
• $0$
• $ \langle 3, 3, 1 \rangle $
• $ \langle 2, 4, 6 \rangle $

Kunci Jawaban: Produk titik (dot product) dihitung dengan menjumlahkan hasil kali komponen-komponen yang bersesuaian:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(1) + (-1)(4) + (3)(-2)$$
$$ = 2 – 4 – 6 = -8$$

8. Jika vektor $\mathbf{a} = \langle 1, 0, 1 \rangle$ dan $\mathbf{b} = \langle 0, 1, 0 \rangle$, maka hasil dari $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $ \langle 1, 0, -1 \rangle $
• $ \langle 0, 0, 0 \rangle $
• $ \langle -1, 0, 1 \rangle $
• $ \langle 1, 1, 1 \rangle $
• Tidak dapat dihitung

Kunci Jawaban: Produk silang (cross product) dihitung sebagai determinan matriks:
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$
$$ = \mathbf{i}(0 \cdot 0 – 1 \cdot 1) – \mathbf{j}(1 \cdot 0 – 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 – 0 \cdot 0)$$
$$ = -1\mathbf{i} – 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = \langle -1, 0, 1 \rangle$$

9. Tentukan volume benda putar yang terbentuk ketika daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$, sumbu-x, dan $x=2$ diputar mengelilingi sumbu-x. (Pilihan Ganda)

• $\frac{8\pi}{3}$
• $\frac{16\pi}{5}$
• $\frac{32\pi}{5}$
• $\frac{64\pi}{5}$
• $\frac{10\pi}{3}$

Kunci Jawaban: Menggunakan metode cakram (disk method): $V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \, dx$.
Di sini $f(x) = x^2$, batas integral dari $x=0$ hingga $x=2$.
$$V = \int_{0}^{2} \pi (x^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} x^4 \, dx$$
$$V = \pi \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{2}$$
$$V = \pi \left( \frac{1}{5}(2)^5 – \frac{1}{5}(0)^5 \right)$$
$$V = \pi \left( \frac{32}{5} – 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$$

10. Deret Taylor untuk fungsi $f(x) = e^x$ di sekitar $x=0$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^n$
• $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
• $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

Kunci Jawaban: Deret Taylor (atau Deret Maclaurin, karena $a=0$) untuk $f(x) = e^x$ adalah:
$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$.
Karena $f^{(n)}(x) = e^x$ untuk semua $n$, maka $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$.
Jadi, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

11. Persamaan garis yang melalui titik $(1, 2, -3)$ dan sejajar dengan vektor $\mathbf{v} = \langle 4, 5, -1 \rangle$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $x = 4+t, y = 5+2t, z = -1-3t$
• $x = 1+t, y = 2+t, z = -3+t$
• $x = 1+4t, y = 2+5t, z = -3-t$
• $x = 4t, y = 5t, z = -t$
• $x = 1t, y = 2t, z = -3t$

Kunci Jawaban: Persamaan garis parametrik diberikan oleh $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$, di mana $(x_0, y_0, z_0)$ adalah titik yang dilalui garis dan $\langle a, b, c \rangle$ adalah vektor arah.
Dalam kasus ini, $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3)$ dan $\langle a, b, c \rangle = \langle 4, 5, -1 \rangle$.
Jadi, $x = 1 + 4t$, $y = 2 + 5t$, $z = -3 – t$.

12. Jika $\int_0^a f(x) \, dx = 10$, maka $\int_0^a (2f(x) + 3) \, dx$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $20$
• $23$
• $10+3a$
• $20+3a$
• $30$

Kunci Jawaban: Gunakan sifat-sifat integral:
$$\int_0^a (2f(x) + 3) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx + \int_0^a 3 \, dx$$
Diketahui $\int_0^a f(x) \, dx = 10$.
$$\int_0^a 3 \, dx = [3x]_0^a = 3a – 3(0) = 3a$$
Jadi, $2(10) + 3a = 20 + 3a$.

13. Bentuk integral dari $\int \frac{1}{x^2+4} \, dx$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $\ln|x^2+4| + C$
• $\frac{1}{2x} \ln|x^2+4| + C$
• $\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$
• $\arctan(x^2+4) + C$
• $\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$

Kunci Jawaban: Ini adalah integral dari bentuk $\int \frac{1}{a^2+u^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$.
Di sini $u=x$ dan $a=2$.
Jadi, $\int \frac{1}{x^2+4} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C$.

14. Radius konvergensi untuk deret kuasa $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $0$
• $1$
• $\infty$
• $-1$
• $2$

Kunci Jawaban: Gunakan Uji Rasio:
$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!} \right|$$
$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{n+1} \right|$$
$$L = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = |x| \cdot 0 = 0$$
Karena $L=0 < 1$ untuk semua $x$, deret konvergen untuk semua $x$. Ini berarti radius konvergensi adalah $\infty$.

15. Berapakah panjang busur kurva $y = x^{3/2}$ dari $x=0$ ke $x=4$? (Pilihan Ganda)

• $\frac{8}{27}(10\sqrt{10})$
• $\frac{8}{27}(10\sqrt{10} – 1)$
• $\frac{4}{9}(10\sqrt{10} – 1)$
• $\frac{2}{3}(10\sqrt{10} – 1)$
• Tidak dapat dihitung

Kunci Jawaban: Rumus panjang busur adalah $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y’)^2} \, dx$.
$y = x^{3/2} \Rightarrow y’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$.
$(y’)^2 = \left(\frac{3}{2}x^{1/2}\right)^2 = \frac{9}{4}x$.
$$L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} \, dx$$
Misalkan $u = 1 + \frac{9}{4}x$, maka $du = \frac{9}{4} \, dx \Rightarrow dx = \frac{4}{9} \, du$.
Batas baru: $x=0 \Rightarrow u=1$, $x=4 \Rightarrow u = 1 + \frac{9}{4}(4) = 1+9 = 10$.
$$L = \int_{1}^{10} \sqrt{u} \cdot \frac{4}{9} \, du = \frac{4}{9} \int_{1}^{10} u^{1/2} \, du$$
$$L = \frac{4}{9} \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_{1}^{10} = \frac{8}{27} \left[ u^{3/2} \right]_{1}^{10}$$
$$L = \frac{8}{27} (10^{3/2} – 1^{3/2}) = \frac{8}{27} (10\sqrt{10} – 1)$$

16. Manakah dari deret berikut yang divergen? (Pilihan Ganda)

• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^2}$

Kunci Jawaban: Mari kita tinjau setiap opsi:
(A) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$: Deret-p dengan $p=2 > 1$, jadi konvergen.
(B) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$: Deret harmonik, divergen.
(C) $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$: Deret geometri dengan $r = 1/2 < 1$, jadi konvergen. (D) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$: Konvergen (misalnya dengan Uji Rasio, $\lim \frac{n!}{(n+1)!} = \lim \frac{1}{n+1} = 0 < 1$). (E) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^2}$: Konvergen secara absolut karena $|\frac{\cos(n)}{n^2}| \le \frac{1}{n^2}$, dan $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergen. Jadi, deret yang divergen adalah $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$.

17. Nilai integral dari $\int \sin^3 x \cos x \, dx$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $\frac{1}{4}\sin^4 x + C$
• $-\frac{1}{4}\cos^4 x + C$
• $\frac{1}{3}\sin^3 x \cos^2 x + C$
• $\sin^4 x \cos^2 x + C$
• $\frac{1}{2}\sin^2 x + C$

Kunci Jawaban: Gunakan substitusi $u = \sin x$. Maka $du = \cos x \, dx$.
$$\int \sin^3 x \cos x \, dx = \int u^3 \, du$$
$$ = \frac{1}{4}u^4 + C$$
Substitusikan kembali $u = \sin x$:
$$ = \frac{1}{4}\sin^4 x + C$$

18. Jika $f(x) = x^3 – 3x + 1$, maka turunan parsial $\frac{\partial}{\partial y} (f(x)y^2)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $3x^2y^2 – 3y^2$
• $2y(x^3 – 3x + 1)$
• $2y$
• $x^3 – 3x + 1$
• $3x^2 – 3$

Kunci Jawaban: Kita ingin mencari $\frac{\partial}{\partial y} ((x^3 – 3x + 1)y^2)$.
Ketika mengambil turunan parsial terhadap $y$, semua variabel selain $y$ (dalam hal ini $x$) diperlakukan sebagai konstanta.
Misalkan $C = x^3 – 3x + 1$. Maka ekspresinya menjadi $C y^2$.
$\frac{\partial}{\partial y} (C y^2) = C \frac{d}{dy} (y^2) = C (2y) = 2y(x^3 – 3x + 1)$.

19. Persamaan bidang yang melalui titik $(1, 0, -1)$ dan memiliki vektor normal $\mathbf{n} = \langle 2, 3, 1 \rangle$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $x+y-z=0$
• $2x+3y+z=0$
• $2x+3y+z=1$
• $x+y+z=0$
• $2x-3y-z=1$

Kunci Jawaban: Persamaan bidang dapat ditulis sebagai $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, di mana $(x_0, y_0, z_0)$ adalah titik yang dilalui bidang dan $\langle A, B, C \rangle$ adalah vektor normal.
Dengan $(x_0, y_0, z_0) = (1, 0, -1)$ dan $\langle A, B, C \rangle = \langle 2, 3, 1 \rangle$:
$2(x-1) + 3(y-0) + 1(z-(-1)) = 0$
$2x – 2 + 3y + z + 1 = 0$
$2x + 3y + z – 1 = 0$

20. Berapakah nilai dari $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$? (Pilihan Ganda)

• $\ln|9-x^2| + C$
• $\frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$
• $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{3+x}{3-x}\right| + C$
• $\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$
• $\arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C$

Kunci Jawaban: Ini adalah integral standar bentuk $\int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin\left(\frac{u}{a}\right) + C$.
Di sini $u=x$ dan $a=3$.
Jadi, $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$.

21. Jika $f(x) = \cos(x)$, deret Maclaurinnya adalah… (Pilihan Ganda)

• $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
• $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
• $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
• $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Kunci Jawaban: Deret Maclaurin untuk $\cos(x)$ adalah:
$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \frac{x^6}{6!} + \dots$

22. Integral dari $\int \frac{1}{x^2-1} \, dx$ menggunakan pecahan parsial adalah… (Pilihan Ganda)

• $\ln|x^2-1| + C$
• $\frac{1}{2}\ln|x-1| – \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$
• $\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$
• $\arctan(x^2-1) + C$
• Tidak ada jawaban yang benar

Kunci Jawaban: Faktorkan penyebut: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$.
$1 = A(x+1) + B(x-1)$.
Jika $x=1 \Rightarrow 1 = A(2) \Rightarrow A = 1/2$.
Jika $x=-1 \Rightarrow 1 = B(-2) \Rightarrow B = -1/2$.
Jadi, $\int \left( \frac{1/2}{x-1} – \frac{1/2}{x+1} \right) \, dx$
$$ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx – \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} \, dx$$
$$ = \frac{1}{2} \ln|x-1| – \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$$
$$ = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$$

23. Jika $\mathbf{u} = \langle 1, 2, -1 \rangle$ dan $\mathbf{v} = \langle -2, 0, 3 \rangle$, tentukan vektor proyeksi $\text{proj}_\mathbf{v} \mathbf{u}$. (Pilihan Ganda)

• $\langle -5, 0, 15 \rangle$
• $\langle -10, 0, 15 \rangle$
• $\left\langle \frac{10}{13}, 0, -\frac{15}{13} \right\rangle$
• $\left\langle -\frac{10}{13}, 0, \frac{15}{13} \right\rangle$
• $\left\langle \frac{10}{13}, \frac{20}{13}, -\frac{15}{13} \right\rangle$

Kunci Jawaban: Rumus proyeksi vektor adalah $\text{proj}_\mathbf{v} \mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}$.
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(-2) + (2)(0) + (-1)(3) = -2 + 0 – 3 = -5$.
$\|\mathbf{v}\|^2 = (-2)^2 + (0)^2 + (3)^2 = 4 + 0 + 9 = 13$.
Jadi, $\text{proj}_\mathbf{v} \mathbf{u} = \frac{-5}{13} \langle -2, 0, 3 \rangle = \left\langle \frac{10}{13}, 0, -\frac{15}{13} \right\rangle$.

24. Volume benda putar yang dihasilkan ketika daerah yang dibatasi oleh $y = x$ dan $y = x^2$ di kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu-y adalah… (Pilihan Ganda)

• $\frac{\pi}{2}$
• $\frac{\pi}{3}$
• $\frac{\pi}{4}$
• $\frac{\pi}{6}$
• $\frac{2\pi}{3}$

Kunci Jawaban: Menggunakan metode kulit tabung (shell method): $V = \int_{a}^{b} 2\pi x h(x) \, dx$.
Cari titik potong: $x = x^2 \Rightarrow x^2 – x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$. Titik potong di $x=0$ dan $x=1$.
Tinggi kulit $h(x) = x – x^2$.
$$V = \int_{0}^{1} 2\pi x (x – x^2) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} (x^2 – x^3) \, dx$$
$$V = 2\pi \left[ \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{1}$$
$$V = 2\pi \left( \left(\frac{1}{3}(1)^3 – \frac{1}{4}(1)^4\right) – \left(\frac{1}{3}(0)^3 – \frac{1}{4}(0)^4\right) \right)$$
$$V = 2\pi \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{4-3}{12} \right) = 2\pi \left( \frac{1}{12} \right) = \frac{\pi}{6}$$

25. Pilih deret yang konvergen secara kondisional. (Pilihan Ganda)

• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^3}$

Kunci Jawaban: Deret konvergen kondisional jika deret itu sendiri konvergen tetapi deret nilai absolutnya divergen.
(A) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$: Konvergen absolut (deret-p, $p=2>1$).
(B) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$: Deret harmonik berganti tanda. Ini konvergen (Uji Deret Berganti Tanda) tetapi deret absolutnya $\sum \frac{1}{n}$ divergen. Jadi, konvergen kondisional.
(C) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$: Divergen.
(D) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$: Konvergen absolut karena $\sum \frac{1}{n!}$ konvergen.
(E) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n^3}$: Konvergen absolut karena $|\frac{\sin(n)}{n^3}| \le \frac{1}{n^3}$, dan $\sum \frac{1}{n^3}$ konvergen.
Jadi, deret yang konvergen secara kondisional adalah $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$.

26. Jika fungsi $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, maka $f'(x)$ adalah… (Pilihan Ganda)

• $0$
• $1$
• $x$
• $f(x)$
• $\ln x$

Kunci Jawaban: Fungsi yang diberikan adalah deret Maclaurin untuk $e^x$, yaitu $f(x) = e^x$.
Turunan dari $e^x$ adalah $e^x$.
Kita juga bisa menurunkan deret suku demi suku:
$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$f'(x) = 0 + 1 + \frac{2x}{2!} + \frac{3x^2}{3!} + \frac{4x^3}{4!} + \dots$
$f'(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
Jadi, $f'(x) = f(x)$.

27. Nilai dari $\int_0^1 (x^3 + 2x) \, dx$ adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Hitung integral tak tentu terlebih dahulu: $\int (x^3 + 2x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 + x^2 + C$.
Evaluasi dari 0 sampai 1:
$\left[ \frac{1}{4}x^4 + x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4}(1)^4 + (1)^2 \right) – \left( \frac{1}{4}(0)^4 + (0)^2 \right)$
$= \left( \frac{1}{4} + 1 \right) – 0 = \frac{5}{4}$.
Jawaban: $\frac{5}{4}$

28. Jika deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ konvergen, maka batas bawah untuk nilai $p$ adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Deret ini adalah deret-p. Deret-p konvergen jika $p > 1$. Jadi, batas bawahnya adalah $1$.
Jawaban: $1$

29. Hasil dari produk titik $\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}$ adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Vektor $\mathbf{i} = \langle 1, 0, 0 \rangle$ dan $\mathbf{j} = \langle 0, 1, 0 \rangle$ adalah vektor satuan yang saling tegak lurus. Produk titik dari dua vektor ortogonal adalah 0.
$\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0$.
Jawaban: $0$

30. Jika $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, maka $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ akan selalu konvergen. (Benar/Salah) (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Pernyataan ini SALAH. Sebagai contoh, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, tetapi $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx$ divergen.
Jawaban: Salah

31. Jika $y = \sqrt{x^2+1}$, maka $\frac{dy}{dx}$ (menggunakan aturan rantai) adalah… (Isian Singkat)

Kunci Jawaban: Misalkan $u = x^2+1$, maka $y = u^{1/2}$.
$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
$\frac{du}{dx} = 2x$.
Menurut aturan rantai, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Jawaban: $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

32. Hitung volume benda putar yang dihasilkan ketika daerah yang dibatasi oleh $y = \sin x$, $y=0$, dari $x=0$ ke $x=\pi$ diputar mengelilingi sumbu-y. Gunakan metode kulit tabung. (Uraian)

Kunci Jawaban: Dengan metode kulit tabung, volume diberikan oleh $V = \int_{a}^{b} 2\pi x f(x) \, dx$.
Di sini $f(x) = \sin x$, batas integral dari $x=0$ ke $x=\pi$.
$V = \int_{0}^{\pi} 2\pi x \sin x \, dx = 2\pi \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx$.
Gunakan integral parsial: $\int u \, dv = uv – \int v \, du$.
Misalkan $u=x$, $dv=\sin x \, dx$. Maka $du=dx$, $v=-\cos x$.
$$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) – \int (-\cos x) \, dx$$
$$ = -x\cos x + \int \cos x \, dx$$
$$ = -x\cos x + \sin x + C$$
Sekarang evaluasi integral tentu:
$$2\pi \left[ -x\cos x + \sin x \right]_0^{\pi}$$
$$ = 2\pi \left( (-( \pi )\cos(\pi) + \sin(\pi)) – (-(0)\cos(0) + \sin(0)) \right)$$
$$ = 2\pi \left( (-( \pi )(-1) + 0) – (0 + 0) \right)$$
$$ = 2\pi (\pi) = 2\pi^2$$
Volume benda putar adalah $2\pi^2$ satuan volume.

33. Tentukan apakah deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2}$ konvergen atau divergen. Jelaskan uji yang Anda gunakan dan langkah-langkahnya. (Uraian)

Kunci Jawaban: Untuk menentukan konvergensi deret ini, kita bisa menggunakan Uji Perbandingan Limit (Limit Comparison Test) dengan deret-p yang konvergen.
Pilih $b_n = \frac{1}{n^{3/2}}$. Deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ adalah deret-p dengan $p = 3/2 > 1$, jadi deret ini konvergen.
Sekarang hitung limit perbandingan:
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n / n^2}{1 / n^{3/2}}$$
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^2} \cdot n^{3/2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^{1/2}}$$
Ini adalah bentuk tak tentu $\frac{\infty}{\infty}$, jadi kita bisa menggunakan Aturan L’Hôpital (perlakukan $n$ sebagai variabel kontinu $x$):
$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x^{1/2})} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{\frac{1}{2}x^{-1/2}}$$
$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 2x^{1/2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{1/2}} = 0$$
Karena $L=0$ dan $\sum b_n$ konvergen, maka menurut Uji Perbandingan Limit, deret $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2}$ juga konvergen.
(Alternatif: Uji Perbandingan Langsung. Untuk $n \ge 1$, $\ln n < n^{1/2}$. Maka $\frac{\ln n}{n^2} < \frac{n^{1/2}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}$. Karena $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ konvergen, maka $\sum \frac{\ln n}{n^2}$ juga konvergen.)

34. Temukan persamaan bidang yang melalui tiga titik $P(1,0,0)$, $Q(0,2,0)$, dan $R(0,0,3)$. (Uraian)

Kunci Jawaban: Untuk menemukan persamaan bidang, kita memerlukan vektor normal $\mathbf{n}$ dan sebuah titik pada bidang.
Pertama, bentuk dua vektor dari titik-titik tersebut:
$\vec{PQ} = Q – P = \langle 0-1, 2-0, 0-0 \rangle = \langle -1, 2, 0 \rangle$
$\vec{PR} = R – P = \langle 0-1, 0-0, 3-0 \rangle = \langle -1, 0, 3 \rangle$
Vektor normal $\mathbf{n}$ adalah hasil produk silang dari $\vec{PQ}$ dan $\vec{PR}$:
$$\mathbf{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$
$$ = \mathbf{i}((2)(3) – (0)(0)) – \mathbf{j}((-1)(3) – (0)(-1)) + \mathbf{k}((-1)(0) – (2)(-1))$$
$$ = 6\mathbf{i} – (-3)\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \langle 6, 3, 2 \rangle$$
Sekarang kita punya vektor normal $\mathbf{n} = \langle 6, 3, 2 \rangle$ dan sebuah titik, misalnya $P(1,0,0)$.
Persamaan bidang adalah $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.
$6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0$
$6x – 6 + 3y + 2z = 0$
$6x + 3y + 2z = 6$.
Persamaan bidangnya adalah $6x + 3y + 2z = 6$.

35. Selesaikan persamaan diferensial awal: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$ dengan syarat awal $y(1)=2$. (Uraian)

Kunci Jawaban: Ini adalah persamaan diferensial dengan variabel terpisah.
$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$
Pisahkan variabel:
$y \, dy = x \, dx$
Integralkan kedua sisi:
$$\int y \, dy = \int x \, dx$$
$$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x^2 + C_1$$
$$y^2 = x^2 + 2C_1$$
Misalkan $C = 2C_1$, maka $y^2 = x^2 + C$.
Sekarang gunakan syarat awal $y(1)=2$. Artinya, ketika $x=1$, $y=2$.
$(2)^2 = (1)^2 + C$
$4 = 1 + C \Rightarrow C = 3$.
Substitusikan nilai $C$ kembali ke persamaan umum:
$y^2 = x^2 + 3$
$y = \pm\sqrt{x^2+3}$.
Karena $y(1)=2$ (nilai positif), kita ambil akar positif.
Solusi khusus adalah $y = \sqrt{x^2+3}$.

36. Gambarkan daerah yang dibatasi oleh $y=x^2$ dan $y=2x$. Kemudian, hitung luas daerah tersebut. (Uraian)

Kunci Jawaban: 1. **Gambarlah daerah:**
* $y=x^2$ adalah parabola yang terbuka ke atas, melewati $(0,0)$.
* $y=2x$ adalah garis lurus yang melewati $(0,0)$ dengan kemiringan 2.
Untuk menggambar, temukan titik potong:
$x^2 = 2x \Rightarrow x^2 – 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$.
Jadi, titik potong berada di $x=0$ dan $x=2$.
Ketika $x=0$, $y=0$. Titik $(0,0)$.
Ketika $x=2$, $y=2(2)=4$. Titik $(2,4)$.
Plot kedua fungsi dan arsir daerah di antara mereka dari $x=0$ hingga $x=2$. Dalam interval ini, garis $y=2x$ berada di atas parabola $y=x^2$.

2. **Hitung luas daerah:**
Luas ($A$) daerah yang dibatasi oleh dua kurva $f(x)$ dan $g(x)$ dari $a$ ke $b$ adalah $A = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| \, dx$.
Di sini, $f(x) = 2x$ (kurva atas) dan $g(x) = x^2$ (kurva bawah).
Batas integral adalah $a=0$ dan $b=2$.
$$A = \int_{0}^{2} (2x – x^2) \, dx$$
$$A = \left[ x^2 – \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{2}$$
$$A = \left( (2)^2 – \frac{1}{3}(2)^3 \right) – \left( (0)^2 – \frac{1}{3}(0)^3 \right)$$
$$A = \left( 4 – \frac{8}{3} \right) – 0$$
$$A = \frac{12}{3} – \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$
Luas daerah tersebut adalah $\frac{4}{3}$ satuan luas.

37. Cocokkan istilah di kiri dengan definisi atau deskripsi yang paling tepat di kanan. (Mencocokkan)

• A. Deret tak hingga dengan rasio antara suku-suku berurutan bersifat konstan.
• B. Representasi suatu fungsi sebagai deret tak hingga dari suku-suku yang dihitung dari nilai turunan fungsi di satu titik.
• C. Sebuah integral dengan batas integrasi tak hingga atau integran yang tak kontinu dalam interval integrasi.
• D. Teknik integrasi yang digunakan untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi.

Kunci Jawaban: 1. Integral Tak Wajar: C. Sebuah integral dengan batas integrasi tak hingga atau integran yang tak kontinu dalam interval integrasi.
2. Deret Geometri: A. Deret tak hingga dengan rasio antara suku-suku berurutan bersifat konstan.
3. Integral Parsial: D. Teknik integrasi yang digunakan untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi.
4. Deret Taylor: B. Representasi suatu fungsi sebagai deret tak hingga dari suku-suku yang dihitung dari nilai turunan fungsi di satu titik.

38. Cocokkan jenis deret atau pernyataan deret di kiri dengan uji konvergensi yang sering digunakan di kanan. (Mencocokkan)

• A. Uji Rasio (atau definisi deret geometri)
• B. Uji Deret-p
• C. Uji Rasio
• D. Uji Integral

Kunci Jawaban: 1. Deret $\sum \frac{1}{n^p}$: B. Uji Deret-p
2. Deret $\sum ar^n$: A. Uji Rasio (atau definisi deret geometri)
3. Deret dengan faktorial: C. Uji Rasio
4. Deret dengan fungsi yang monotonik, positif, dan kontinu: D. Uji Integral