Apakah Anda sering merasa kesulitan memahami atau menerapkan konsep komplemen himpunan dalam matematika? Artikel ini adalah panduan lengkap Anda! Kami menyajikan serangkaian contoh soal matematika komplemen himpunan yang dirancang untuk memperkuat pemahaman Anda dari dasar hingga tingkat yang lebih kompleks. Tema pembelajaran berpusat pada definisi komplemen suatu himpunan, bagaimana menentukannya dalam berbagai konteks (baik angka, huruf, maupun objek), serta penerapannya dalam diagram Venn dan operasi antar himpunan. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan yang rinci dan langkah demi langkah, sehingga Anda tidak hanya mengetahui jawabannya tetapi juga memahami proses pemikirannya. Tujuan dari latihan soal ini adalah untuk meningkatkan keterampilan analitis Anda dalam teori himpunan, membantu Anda mengidentifikasi elemen-elemen komplemen dengan tepat, dan membangun kepercayaan diri dalam menyelesaikan soal-soal ujian. Dengan berlatih menggunakan variasi soal yang kami sediakan, Anda akan siap menghadapi tantangan matematika apapun yang melibatkan konsep komplemen himpunan. Mari taklukkan komplemen himpunan bersama-sama!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai ‘komplemen himpunan’ sesuai dengan permintaan:
—
### Soal Pilihan Ganda
1. Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S, maka komplemen dari A (ditulis Aᶜ) adalah himpunan yang berisi semua anggota S yang …
a. ada di A
b. tidak ada di A
c. hanya ada di A
d. sama dengan A
Jawaban: b
2. Diberikan himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan himpunan A = {2, 4, 6, 8}. Komplemen dari A adalah …
a. {1, 3, 5, 7}
b. {2, 4, 6, 8}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
d. { }
Jawaban: a
3. Jika S adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dan P adalah himpunan bilangan prima kurang dari 10, P = {2, 3, 5, 7}. Maka Pᶜ adalah …
a. {1, 4, 6, 8, 9}
b. {2, 3, 5, 7}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d. {1, 9}
Jawaban: a
4. Dalam sebuah diagram Venn, daerah yang mewakili komplemen dari himpunan A adalah daerah di …
a. dalam lingkaran A
b. luar lingkaran A tetapi di dalam persegi panjang semesta
c. luar persegi panjang semesta
d. irisan antara A dan himpunan lain
Jawaban: b
5. Sifat komplemen yang menyatakan bahwa komplemen dari komplemen suatu himpunan adalah himpunan itu sendiri dapat ditulis sebagai …
a. A ∪ Aᶜ = S
b. A ∩ Aᶜ = ∅
c. (Aᶜ)ᶜ = A
d. Sᶜ = ∅
Jawaban: c
6. Apa hasil dari operasi A ∪ Aᶜ, jika A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta S?
a. A
b. Aᶜ
c. S
d. ∅
Jawaban: c
7. Apa hasil dari operasi A ∩ Aᶜ, jika A adalah himpunan bagian dari himpunan semesta S?
a. A
b. Aᶜ
c. S
d. ∅
Jawaban: d
8. Jika S adalah himpunan semesta, maka komplemen dari S (Sᶜ) adalah …
a. S
b. A
c. ∅ (himpunan kosong)
d. Aᶜ
Jawaban: c
9. Jika ∅ adalah himpunan kosong, maka komplemen dari ∅ (∅ᶜ) adalah …
a. ∅
b. S (himpunan semesta)
c. A
d. Aᶜ
Jawaban: b
10. Diberikan S = {huruf alfabet dari A sampai Z} dan V = {huruf vokal}. Maka Vᶜ adalah himpunan …
a. huruf vokal
b. huruf konsonan
c. huruf hidup
d. huruf mati
Jawaban: b
11. Jika n(S) = 40 (jumlah anggota himpunan semesta) dan n(B) = 15 (jumlah anggota himpunan B), maka n(Bᶜ) adalah …
a. 15
b. 25
c. 40
d. 55
Jawaban: b
12. Himpunan semesta S = {x | x bilangan bulat, 1 ≤ x ≤ 10}. Himpunan G = {x | x bilangan genap, 1 ≤ x ≤ 10}. Maka Gᶜ adalah …
a. {2, 4, 6, 8, 10}
b. {1, 3, 5, 7, 9}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
d. { }
Jawaban: b
13. Pernyataan yang tidak benar mengenai komplemen himpunan adalah …
a. (Aᶜ)ᶜ = A
b. A ∪ Aᶜ = S
c. A ∩ Aᶜ = S
d. ∅ᶜ = S
Jawaban: c
14. Diberikan S = {merah, kuning, hijau, biru, putih, hitam}. Himpunan B = {merah, biru}. Maka Bᶜ adalah …
a. {merah, biru}
b. {kuning, hijau, putih, hitam}
c. {kuning, hijau}
d. {putih, hitam}
Jawaban: b
15. Jika himpunan M adalah himpunan mahasiswa yang mengikuti ekstrakurikuler musik, dan S adalah himpunan seluruh mahasiswa. Maka Mᶜ adalah himpunan mahasiswa yang …
a. mengikuti ekstrakurikuler musik
b. tidak mengikuti ekstrakurikuler musik
c. hanya suka musik
d. tidak suka musik
Jawaban: b
16. Dalam suatu kelas, ada 35 siswa. 20 siswa suka pelajaran IPA. Berapa siswa yang tidak suka pelajaran IPA? (Asumsikan semua siswa terdaftar di kelas tersebut).
a. 20
b. 15
c. 35
d. 0
Jawaban: b
17. Jika S = {x | x adalah bilangan asli kurang dari atau sama dengan 7} dan D = {1, 3, 5}. Maka Dᶜ adalah …
a. {1, 3, 5}
b. {2, 4, 6, 7}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
d. { }
Jawaban: b
18. Jika A adalah himpunan bagian dari B, dan B adalah himpunan bagian dari S. Maka B – A adalah sama dengan …
a. Aᶜ
b. Bᶜ
c. B ∩ Aᶜ
d. A ∩ Bᶜ
Jawaban: c
19. Jika S = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan Q = {x | x adalah bilangan ganjil}. Maka Qᶜ adalah …
a. {1, 3, 5}
b. {0, 2, 4}
c. { }
d. {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Jawaban: b
20. Apa yang disebut sebagai himpunan semua anggota himpunan semesta yang tidak termasuk dalam himpunan A?
a. Gabungan himpunan A
b. Irisan himpunan A
c. Komplemen himpunan A
d. Selisih himpunan A
Jawaban: c
—
### Soal Isian Singkat
1. Jika S adalah himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S, maka Aᶜ adalah himpunan semua anggota S yang …
Jawaban: tidak ada di A
2. Diberikan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f} dan himpunan A = {a, c, e}. Maka Aᶜ adalah …
Jawaban: {b, d, f}
3. Sifat dasar komplemen menyatakan bahwa gabungan antara suatu himpunan dengan komplemennya akan menghasilkan himpunan …
Jawaban: semesta (atau S)
4. Jika n(S) = 25 (jumlah anggota himpunan semesta) dan n(Aᶜ) = 12 (jumlah anggota komplemen A), maka n(A) adalah …
Jawaban: 13
5. Diberikan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan B = {x | x adalah bilangan kelipatan 3}. Maka Bᶜ adalah …
Jawaban: {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
—
### Soal Uraian
1. Jelaskan definisi komplemen himpunan dan berikan contoh konkretnya.
Jawaban:
Komplemen himpunan A (ditulis Aᶜ atau A’) adalah himpunan yang berisi semua anggota dari himpunan semesta (S) yang *tidak* berada di dalam himpunan A. Secara matematis, Aᶜ = {x | x ∈ S dan x ∉ A}.
Contoh:
Jika S = {1, 2, 3, 4, 5} (himpunan semesta)
Dan A = {1, 3} (himpunan bagian dari S)
Maka komplemen dari A adalah Aᶜ = {2, 4, 5}. Ini karena angka 2, 4, dan 5 adalah anggota dari S tetapi tidak ada di A.
2. Diberikan S = {bilangan asli kurang dari 10} dan A = {bilangan genap kurang dari 10}. Tentukan Aᶜ dan gambarkan dalam diagram Venn.
Jawaban:
Himpunan semesta S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Himpunan A = {2, 4, 6, 8}
Komplemen dari A, Aᶜ, adalah himpunan semua anggota S yang tidak ada di A.
Maka Aᶜ = {1, 3, 5, 7, 9}.
Diagram Venn:
(Tidak bisa menggambar langsung dalam teks, namun deskripsinya adalah)
* Buat persegi panjang untuk himpunan semesta S.
* Di dalam persegi panjang, buat sebuah lingkaran untuk himpunan A.
* Tuliskan anggota A ({2, 4, 6, 8}) di dalam lingkaran A.
* Tuliskan anggota Aᶜ ({1, 3, 5, 7, 9}) di dalam persegi panjang S tetapi di luar lingkaran A.
3. Sebutkan dan jelaskan 3 sifat utama komplemen himpunan.
Jawaban:
Tiga sifat utama komplemen himpunan adalah:
1. Komplemen dari Komplemen: (Aᶜ)ᶜ = A
* Penjelasan: Jika kita mengambil komplemen dari suatu himpunan, lalu mengambil komplemen dari hasilnya lagi, kita akan kembali ke himpunan asalnya. Ini karena anggota yang tidak ada di A menjadi ada di Aᶜ, dan anggota yang tidak ada di Aᶜ (yaitu yang ada di A) menjadi komplemen dari Aᶜ.
2. Gabungan Himpunan dengan Komplemennya: A ∪ Aᶜ = S
* Penjelasan: Gabungan antara suatu himpunan dengan komplemennya akan menghasilkan himpunan semesta. Ini karena komplemen A mencakup semua anggota semesta yang tidak di A, sehingga ketika digabungkan dengan A, semua anggota semesta akan terwakili.
3. Irisan Himpunan dengan Komplemennya: A ∩ Aᶜ = ∅
* Penjelasan: Irisan antara suatu himpunan dengan komplemennya akan selalu menghasilkan himpunan kosong. Ini karena definisi komplemen menyatakan anggota Aᶜ tidak berada di A, sehingga tidak mungkin ada anggota yang berada di A dan sekaligus di Aᶜ.
4. Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. 20 siswa suka Matematika. Berapa siswa yang tidak suka Matematika? Jelaskan jawabanmu menggunakan konsep komplemen himpunan.
Jawaban:
* Misalkan S adalah himpunan semesta yang berisi semua siswa di kelas tersebut. Maka n(S) = 30.
* Misalkan M adalah himpunan siswa yang suka Matematika. Maka n(M) = 20.
* Kita ingin mencari jumlah siswa yang tidak suka Matematika. Ini adalah komplemen dari himpunan M, yaitu Mᶜ.
* Menurut konsep komplemen himpunan, jumlah anggota komplemen dapat dihitung dengan rumus: n(Mᶜ) = n(S) – n(M).
* Jadi, n(Mᶜ) = 30 – 20 = 10.
* Dengan demikian, ada 10 siswa yang tidak suka Matematika.
5. Diberikan S = {x | x adalah bilangan bulat, -3 ≤ x ≤ 3}, P = {-2, 0, 1}. Tentukan Pᶜ dan (Pᶜ)ᶜ. Apa hubungan antara P dan (Pᶜ)ᶜ?
Jawaban:
Pertama, kita daftarkan anggota himpunan semesta S:
S = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Kemudian, himpunan P diberikan:
P = {-2, 0, 1}
1. Menentukan Pᶜ:
Pᶜ adalah semua anggota S yang tidak ada di P.
Pᶜ = S – P
Pᶜ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} – {-2, 0, 1}
Pᶜ = {-3, -1, 2, 3}
2. Menentukan (Pᶜ)ᶜ:
(Pᶜ)ᶜ adalah semua anggota S yang tidak ada di Pᶜ.
(Pᶜ)ᶜ = S – Pᶜ
(Pᶜ)ᶜ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} – {-3, -1, 2, 3}
(Pᶜ)ᶜ = {-2, 0, 1}
3. Hubungan antara P dan (Pᶜ)ᶜ:
Dari perhitungan di atas, kita mendapatkan P = {-2, 0, 1} dan (Pᶜ)ᶜ = {-2, 0, 1}.
Jadi, hubungan antara P dan (Pᶜ)ᶜ adalah P = (Pᶜ)ᶜ. Ini menegaskan sifat komplemen bahwa komplemen dari komplemen suatu himpunan adalah himpunan itu sendiri.
