Apakah Anda sedang mencari sumber latihan terbaik untuk memahami konsep gabungan himpunan dalam matematika? Artikel ini hadir sebagai solusi komprehensif! Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika gabungan himpunan yang dirancang khusus untuk memperdalam pemahaman Anda, mulai dari tingkat dasar hingga soal yang lebih menantang. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga mengerti proses berpikir di baliknya.
Tema pembelajaran yang diangkat dalam kumpulan soal ini meliputi definisi gabungan himpunan, cara menentukannya dari dua atau lebih himpunan, serta penerapannya dalam berbagai skenario matematika. Kami juga akan membahas bagaimana diagram Venn dapat membantu visualisasi konsep gabungan himpunan, membuat materi ini lebih mudah dicerna. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membangun fondasi yang kuat dalam teori himpunan, meningkatkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah Anda. Dengan berlatih secara konsisten melalui contoh soal matematika gabungan himpunan ini, Anda akan lebih siap menghadapi ujian, menguasai materi pelajaran, dan menumbuhkan rasa percaya diri dalam menghadapi soal-soal himpunan di masa depan. Mari selami dunia himpunan dan kuasai konsep gabungan dengan mudah dan menyenangkan!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang gabungan himpunan, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
### Soal Pilihan Ganda
1. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6}, maka A ∪ B (gabungan himpunan A dan B) adalah …
a. {1, 2}
b. {3, 4}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
d. {1, 2, 3, 4}
Jawaban: c
2. Diketahui P = {huruf vokal} dan Q = {a, b, c, d}. Himpunan P ∪ Q adalah …
a. {a, i, u, e, o}
b. {a, b, c, d}
c. {a}
d. {a, b, c, d, i, u, e, o}
Jawaban: d
3. Simbol yang digunakan untuk menyatakan gabungan dua himpunan adalah …
a. ∩
b. ∪
c. ∈
d. ⊂
Jawaban: b
4. Jika K = {bilangan prima kurang dari 10} dan L = {bilangan ganjil kurang dari 10}, maka K ∪ L adalah …
a. {1, 2, 3, 5, 7}
b. {3, 5, 7}
c. {1, 2, 3, 5, 7, 9}
d. {2, 3, 5, 7}
Jawaban: c
5. Diketahui S = {1, 2, 3, …, 10} adalah himpunan semesta. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}, maka (A ∪ B)ᶜ (komplemen dari gabungan A dan B) adalah …
a. {1, 2, 3, 4, 5}
b. {6, 7, 8, 9, 10}
c. {1, 2, 4, 5}
d. {3}
Jawaban: b
6. Misalkan M = {x | x adalah bilangan genap, 1 < x < 9} dan N = {x | x adalah bilangan kelipatan 4, x < 10}. Maka M ∪ N adalah ...
a. {2, 4, 6, 8}
b. {4, 8}
c. {2, 4, 6, 8, 12}
d. {2, 4, 6, 8}
Jawaban: d
7. Dari diagram Venn berikut, daerah yang diarsir menunjukkan operasi …
“`
U
┌───────┐
│ A │
│ ┌───┐ │
│ │ │ │
│ └───┘ │
│ │
│ B │
│ ┌───┐ │
│ │ │ │
│ └───┘ │
└───────┘
(Anggap seluruh area A dan B terarsir)
“`
a. A ∩ B
b. A ∪ B
c. A – B
d. Aᶜ
Jawaban: b
8. Jika A ⊂ B (A adalah himpunan bagian dari B), maka A ∪ B adalah …
a. A
b. B
c. ∅ (himpunan kosong)
d. A ∩ B
Jawaban: b
9. Diketahui n(A) = 10, n(B) = 15, dan n(A ∩ B) = 5. Maka n(A ∪ B) adalah …
a. 10
b. 15
c. 20
d. 25
Jawaban: c
10. Dalam suatu kelas terdapat 30 siswa. 20 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, dan 5 siswa gemar keduanya. Banyak siswa yang gemar matematika atau fisika adalah …
a. 20
b. 25
c. 30
d. 35
Jawaban: c
11. Jika P = {apel, jeruk} dan Q = {mangga, pisang}, maka P ∪ Q adalah …
a. {apel, jeruk}
b. {mangga, pisang}
c. {apel, jeruk, mangga, pisang}
d. ∅
Jawaban: c
12. Himpunan semesta U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 4, 6}, maka (A ∪ B) adalah …
a. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b. {7, 8}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
d. ∅
Jawaban: a
13. Pernyataan yang benar mengenai gabungan dua himpunan P dan Q adalah …
a. P ∪ Q = {x | x ∈ P dan x ∈ Q}
b. P ∪ Q = {x | x ∈ P atau x ∈ Q}
c. P ∪ Q = {x | x ∉ P dan x ∉ Q}
d. P ∪ Q = {x | x ∉ P atau x ∉ Q}
Jawaban: b
14. Jika C = {a, b, c} dan D = ∅ (himpunan kosong), maka C ∪ D adalah …
a. ∅
b. {a, b, c}
c. {a}
d. {b}
Jawaban: b
15. Diketahui U = {bilangan asli kurang dari 10}. A = {2, 3, 5, 7} dan B = {1, 3, 5, 7, 9}. Maka (A ∪ B)ᶜ adalah …
a. {1, 2, 3, 5, 7, 9}
b. {4, 6, 8}
c. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d. {3, 5, 7}
Jawaban: b
16. Dalam sebuah survei, 40 orang menyukai kopi, 30 orang menyukai teh, dan 10 orang menyukai keduanya. Berapa banyak orang yang menyukai kopi atau teh?
a. 80
b. 70
c. 60
d. 50
Jawaban: c
17. Jika himpunan E = {x | x adalah bilangan bulat positif kelipatan 3, x < 15} dan F = {x | x adalah bilangan bulat positif kelipatan 4, x < 15}, maka E ∪ F adalah ...
a. {3, 6, 9, 12}
b. {4, 8, 12}
c. {3, 4, 6, 8, 9, 12}
d. {12}
Jawaban: c
18. Operasi gabungan himpunan bersifat komutatif, artinya …
a. A ∪ B = B ∪ A
b. A ∪ B = A
c. A ∪ B = B
d. A ∪ B = A ∩ B
Jawaban: a
19. Jika A adalah himpunan semua faktor dari 12 dan B adalah himpunan semua faktor dari 18, maka A ∪ B adalah …
a. {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}
b. {1, 2, 3, 6}
c. {1, 2, 3, 4, 6, 12}
d. {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Jawaban: a
20. Diberikan A = {p, q, r, s} dan B = {r, s, t, u, v}. Himpunan (A ∪ B) – (A ∩ B) adalah …
a. {r, s}
b. {p, q, t, u, v}
c. {p, q, r, s, t, u, v}
d. ∅
Jawaban: b
—
### Soal Isian Singkat
1. Jika M = {merah, kuning, hijau} dan N = {biru, kuning, ungu}, maka M ∪ N = {…}
Jawaban: {merah, kuning, hijau, biru, ungu}
2. Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {e, f, g}. Banyak anggota dari A ∪ B adalah …
Jawaban: 7
3. Dalam sebuah kotak terdapat bola merah, bola hijau, dan bola biru. Jika kita mendefinisikan himpunan R = {bola merah}, H = {bola hijau}, dan B = {bola biru}. Maka R ∪ H ∪ B adalah himpunan dari semua … di dalam kotak.
Jawaban: bola
4. Jika P = {bilangan genap positif kurang dari 10} dan Q = {bilangan ganjil positif kurang dari 10}, maka P ∪ Q = {…}
Jawaban: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
5. Diketahui n(S) = 40. Jika n(X) = 25, n(Y) = 18, dan n(X ∩ Y) = 7, maka n(X ∪ Y)ᶜ adalah …
Jawaban: 4
—
### Soal Uraian
1. Jelaskan perbedaan antara operasi gabungan (union) dan irisan (intersection) himpunan, dan berikan contoh untuk masing-masing.
Jawaban:
Gabungan (Union) dua himpunan A dan B, dinotasikan A ∪ B, adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada di A, atau di B, atau di keduanya. Setiap elemen unik hanya ditulis sekali.
Contoh: Jika A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}, maka A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Irisan (Intersection) dua himpunan A dan B, dinotasikan A ∩ B, adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada di A dan juga di B (yaitu, elemen yang umum untuk kedua himpunan).
Contoh: Jika A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}, maka A ∩ B = {3}.
Perbedaannya terletak pada elemen yang dimasukkan: gabungan mencakup semua elemen dari kedua himpunan, sedangkan irisan hanya mencakup elemen yang dimiliki bersama oleh kedua himpunan.
2. Diberikan tiga himpunan: A = {x | x adalah bilangan prima kurang dari 10}, B = {x | x adalah bilangan genap kurang dari 10}, dan C = {x | x adalah bilangan ganjil kurang dari 10}. Tentukan (A ∪ B) ∩ C.
Jawaban:
Pertama, kita daftar anggota masing-masing himpunan:
A = {2, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
Kemudian, kita cari gabungan A dan B (A ∪ B):
A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Terakhir, kita cari irisan dari (A ∪ B) dengan C:
(A ∪ B) ∩ C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∪ B) ∩ C = {3, 5, 7}
3. Dalam sebuah kelompok belajar yang beranggotakan 35 siswa, 20 siswa gemar bermain sepak bola, 15 siswa gemar bermain bulutangkis, dan 5 siswa tidak gemar keduanya. Gambarlah diagram Venn untuk masalah ini dan tentukan berapa banyak siswa yang gemar kedua olahraga tersebut.
Jawaban:
Diketahui:
n(S) = 35 (total siswa)
n(SB) = 20 (siswa gemar Sepak Bola)
n(BT) = 15 (siswa gemar Bulutangkis)
n((SB ∪ BT)ᶜ) = 5 (siswa tidak gemar keduanya)
Langkah 1: Hitung siswa yang gemar setidaknya satu olahraga.
n(SB ∪ BT) = n(S) – n((SB ∪ BT)ᶜ) = 35 – 5 = 30 siswa.
Langkah 2: Gunakan rumus prinsip inklusi-eksklusi untuk mencari siswa yang gemar keduanya (irisan).
n(SB ∪ BT) = n(SB) + n(BT) – n(SB ∩ BT)
30 = 20 + 15 – n(SB ∩ BT)
30 = 35 – n(SB ∩ BT)
n(SB ∩ BT) = 35 – 30
n(SB ∩ BT) = 5 siswa.
Jadi, ada 5 siswa yang gemar kedua olahraga tersebut.
Diagram Venn:
“`
U (35)
┌─────────────────┐
│ │
│ ┌───────┐ │
│ │ SB │ │
│ │ (15) │ │
│ ┌──┼───────┼───┐
│ │ │ 5 │ │
│ └──┼───────┼───┘
│ │ BT │ │
│ │ (10) │ │
│ └───────┘ │
│ (5) │ (siswa di luar lingkaran)
└─────────────────┘
“`
Penjelasan diagram:
* Bagian irisan (SB ∩ BT) adalah 5.
* Hanya gemar Sepak Bola = n(SB) – n(SB ∩ BT) = 20 – 5 = 15.
* Hanya gemar Bulutangkis = n(BT) – n(SB ∩ BT) = 15 – 5 = 10.
* Jumlah siswa di dalam lingkaran = 15 + 5 + 10 = 30.
* Siswa di luar lingkaran = 5 (tidak gemar keduanya).
* Total = 30 + 5 = 35.
4. Jelaskan mengapa A ∪ A = A untuk setiap himpunan A. Berikan alasan matematis dan contoh.
Jawaban:
Pernyataan A ∪ A = A berarti bahwa gabungan suatu himpunan dengan dirinya sendiri akan menghasilkan himpunan itu sendiri.
Alasan matematis:
Berdasarkan definisi gabungan himpunan, A ∪ A adalah himpunan semua elemen x sedemikian rupa sehingga x adalah anggota A atau x adalah anggota A.
Dalam notasi himpunan: A ∪ A = {x | x ∈ A atau x ∈ A}.
Jika suatu elemen x adalah anggota A, maka secara otomatis pernyataan “x ∈ A atau x ∈ A” adalah benar. Oleh karena itu, setiap elemen di A akan menjadi elemen di A ∪ A, dan tidak ada elemen lain yang akan menjadi bagian dari A ∪ A selain elemen-elemen dari A itu sendiri. Ini berarti A ∪ A memiliki elemen yang sama persis dengan A.
Contoh:
Misalkan A = {apel, pisang, jeruk}.
Maka A ∪ A = {apel, pisang, jeruk} ∪ {apel, pisang, jeruk}
Gabungan dari kedua himpunan ini (mengingat elemen duplikat hanya ditulis sekali) adalah {apel, pisang, jeruk}.
Jadi, A ∪ A = A.
5. Diketahui himpunan semesta S = {bilangan asli kurang dari atau sama dengan 12}. P = {bilangan prima}, Q = {bilangan ganjil}, R = {bilangan kelipatan 3}. Tentukan himpunan (P ∪ Q) ∩ Rᶜ.
Jawaban:
Daftar anggota untuk setiap himpunan:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
P = {2, 3, 5, 7, 11} (bilangan prima dalam S)
Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (bilangan ganjil dalam S)
R = {3, 6, 9, 12} (bilangan kelipatan 3 dalam S)
Langkah 1: Cari gabungan P dan Q (P ∪ Q).
P ∪ Q = {2, 3, 5, 7, 11} ∪ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
P ∪ Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}
Langkah 2: Cari komplemen dari R (Rᶜ) relatif terhadap S.
Rᶜ = S – R
Rᶜ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} – {3, 6, 9, 12}
Rᶜ = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
Langkah 3: Cari irisan dari (P ∪ Q) dengan Rᶜ.
(P ∪ Q) ∩ Rᶜ = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11} ∩ {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
(P ∪ Q) ∩ Rᶜ = {1, 2, 5, 7, 11}
