Apakah Anda sering merasa bingung membedakan antara pernyataan yang selalu benar dan yang selalu salah dalam matematika? Artikel ini hadir sebagai panduan lengkap yang menyediakan contoh soal matematika tautologi kontradiksi untuk membantu Anda menguasai konsep dasar logika proposisional. Kita akan menyelami berbagai studi kasus, mulai dari pernyataan sederhana hingga kompleks, yang dirancang khusus untuk memperjelas bagaimana sebuah proposisi dapat dikategorikan sebagai tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.
Latihan soal ini tidak hanya berfokus pada penghitungan dan tabel kebenaran semata, tetapi juga mengajak Anda untuk memahami esensi di balik setiap konstruksi logika. Anda akan diajarkan teknik-teknik analitis untuk membuktikan apakah suatu pernyataan majemuk adalah tautologi (selalu benar dalam setiap kondisi), kontradiksi (selalu salah dalam setiap kondisi), atau kontingensi (kebenarannya bergantung pada nilai kebenaran variabelnya). Dengan pendekatan yang sistematis, kami akan memandu Anda langkah demi langkah melalui setiap contoh, menjelaskan setiap aturan inferensi dan hukum logika yang relevan.
Tujuan utama dari seri contoh soal ini adalah untuk meningkatkan pemahaman intuitif dan kemampuan analitis Anda dalam logika matematika. Baik Anda seorang siswa yang sedang mempersiapkan ujian, mahasiswa yang mendalami ilmu komputer atau matematika diskrit, atau sekadar individu yang ingin mempertajam kemampuan berpikir logis, artikel ini akan menjadi sumber daya berharga. Kuasai kemampuan menganalisis proposisi dan buktikan bahwa logika itu menyenangkan dan dapat dikuasai!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai tautologi, kontradiksi, dan kontingensi dalam matematika logika, lengkap dengan kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar, tidak peduli nilai kebenaran dari proposisi-proposisi atomiknya, disebut sebagai:
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Ekuivalensi
Jawaban: c
2. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah, tidak peduli nilai kebenaran dari proposisi-proposisi atomiknya, disebut sebagai:
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Inferensi
Jawaban: a
3. Manakah dari ekspresi logika berikut yang merupakan tautologi?
a. p ∧ ¬p
b. p ∨ ¬p
c. p → ¬p
d. ¬p → p
Jawaban: b
4. Manakah dari ekspresi logika berikut yang merupakan kontradiksi?
a. p → p
b. p ∨ q
c. p ∧ ¬p
d. p ↔ p
Jawaban: c
5. Jika suatu pernyataan majemuk bukan tautologi dan bukan kontradiksi, maka pernyataan tersebut disebut:
a. Ekuivalensi
b. Argumen
c. Inferensi
d. Kontingensi
Jawaban: d
6. Tinjau ekspresi `(p ∧ q) → p`. Ekspresi ini adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Bukan ketiganya
Jawaban: a
7. Ekspresi `p ∧ (¬p ∨ q)` adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Ekuivalensi
Jawaban: c
8. Negasi dari sebuah tautologi adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Ekuivalensi
Jawaban: b
9. Negasi dari sebuah kontradiksi adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Ekuivalensi
Jawaban: a
10. Ekspresi `(p → q) ∧ p ∧ ¬q` adalah contoh dari:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Hukum logika
Jawaban: b
11. Apabila P adalah tautologi dan Q adalah kontradiksi, maka `P ∨ Q` adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: a
12. Apabila P adalah tautologi dan Q adalah kontradiksi, maka `P ∧ Q` adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Tidak dapat ditentukan
Jawaban: b
13. Manakah dari ekspresi berikut yang selalu bernilai benar?
a. `(p ∧ ¬p) → q`
b. `q → (p ∧ ¬p)`
c. `p → (p ∧ q)`
d. `(p ∨ q) → ¬p`
Jawaban: a
14. Ekspresi `(p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∧ q)` adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Ekuivalensi
Jawaban: b
15. Hukum Eksklusi Tengah (Law of Excluded Middle) menyatakan bahwa `p ∨ ¬p` adalah:
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Ekuivalensi
Jawaban: c
16. Hukum Kontradiksi (Law of Contradiction) menyatakan bahwa `p ∧ ¬p` adalah:
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Ekuivalensi
Jawaban: a
17. Ekspresi `(p → q) ∨ (q → p)` adalah:
a. Tautologi
b. Kontradiksi
c. Kontingensi
d. Ekuivalensi
Jawaban: a
18. Manakah dari berikut ini yang *tidak* selalu bernilai benar atau selalu bernilai salah?
a. `p ∨ ¬p`
b. `p ∧ ¬p`
c. `p → p`
d. `p ∧ q`
Jawaban: d
19. Dalam sebuah tabel kebenaran, jika semua entri di kolom hasil akhir adalah ‘B’ (Benar), maka ekspresi tersebut adalah:
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Ekuivalensi
Jawaban: c
20. Dalam sebuah tabel kebenaran, jika semua entri di kolom hasil akhir adalah ‘S’ (Salah), maka ekspresi tersebut adalah:
a. Kontradiksi
b. Kontingensi
c. Tautologi
d. Ekuivalensi
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
1. Sebuah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar, tidak peduli nilai kebenaran dari komponen-komponennya, disebut sebagai …
Jawaban: Tautologi
2. Sebuah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah, tidak peduli nilai kebenaran dari komponen-komponennya, disebut sebagai …
Jawaban: Kontradiksi
3. Jika P adalah tautologi, maka ¬P adalah …
Jawaban: Kontradiksi
4. Jika Q adalah kontradiksi, maka ¬Q adalah …
Jawaban: Tautologi
5. Hasil dari `(p ∧ ¬p) ∨ (q ∨ ¬q)` adalah … (Sebutkan jenis ekspresi logika: Tautologi/Kontradiksi/Kontingensi)
Jawaban: Tautologi
—
## Soal Uraian (5 Soal)
1. Jelaskan perbedaan mendasar antara tautologi dan kontradiksi dalam logika matematika, dan berikan satu contoh sederhana untuk masing-masing.
Jawaban:
Perbedaan mendasar antara tautologi dan kontradiksi terletak pada nilai kebenaran hasil akhirnya:
* Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar, tidak peduli apa pun nilai kebenaran dari proposisi-proposisi atomiknya. Contoh: `p ∨ ¬p` (Sebuah proposisi selalu benar atau salah, tidak ada kemungkinan ketiga).
* Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah, tidak peduli apa pun nilai kebenaran dari proposisi-proposisi atomiknya. Contoh: `p ∧ ¬p` (Sebuah proposisi tidak mungkin benar dan salah pada saat yang bersamaan).
2. Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan apakah pernyataan majemuk `(p → q) ↔ (¬p ∨ q)` adalah tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.
Jawaban:
Mari kita buat tabel kebenaran:
| p | q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q | (p → q) ↔ (¬p ∨ q) |
|—|—|—-|——-|——–|———————|
| B | B | S | B | B | B |
| B | S | S | S | S | B |
| S | B | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B | B |
Karena kolom terakhir `(p → q) ↔ (¬p ∨ q)` seluruhnya bernilai ‘B’ (Benar), maka pernyataan majemuk ini adalah tautologi. Ini juga menunjukkan bahwa `p → q` ekuivalen secara logis dengan `¬p ∨ q`.
3. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa `p ∧ ¬p` adalah kontradiksi.
Jawaban:
Mari kita buat tabel kebenaran untuk `p ∧ ¬p`:
| p | ¬p | p ∧ ¬p |
|—|—-|——–|
| B | S | S |
| S | B | S |
Karena kolom terakhir `p ∧ ¬p` seluruhnya bernilai ‘S’ (Salah), maka ekspresi ini adalah kontradiksi. Ini berarti sebuah proposisi tidak mungkin bernilai benar dan salah secara bersamaan.
4. Bagaimana cara menentukan apakah suatu ekspresi logika adalah tautologi atau kontradiksi tanpa harus membuat tabel kebenaran lengkap untuk ekspresi yang sangat panjang? Jelaskan dua metode.
Jawaban:
Untuk ekspresi logika yang sangat panjang, membuat tabel kebenaran bisa sangat memakan waktu (2ⁿ baris untuk n proposisi atomik). Dua metode alternatif adalah:
1. Menggunakan Hukum-hukum Ekuivalensi Logika: Kita dapat menyederhanakan ekspresi menggunakan hukum-hukum logika yang telah terbukti (seperti Hukum De Morgan, Hukum Distributif, Asosiatif, Komutatif, Idempoten, Absorpsi, Identitas, Negasi, dll.). Jika ekspresi tersebut dapat disederhanakan menjadi ‘B’ (Benar) atau tautologi dasar (seperti `T`), maka itu adalah tautologi. Jika dapat disederhanakan menjadi ‘S’ (Salah) atau kontradiksi dasar (seperti `F`), maka itu adalah kontradiksi.
2. Metode Pohon Semantik (Semantic Tableau) atau Pembuktian Tidak Langsung (Reductio ad Absurdum):
* Pohon Semantik: Dimulai dengan mengasumsikan ekspresi tersebut salah (untuk tautologi) atau benar (untuk kontradiksi), kemudian secara sistematis memecah ekspresi menjadi komponen-komponennya. Jika semua cabang pada pohon tertutup (menghasilkan kontradiksi di setiap cabang), maka asumsi awal salah, yang berarti ekspresi tersebut adalah tautologi (jika diasumsikan salah) atau kontradiksi (jika diasumsikan benar).
* Pembuktian Tidak Langsung: Untuk membuktikan sebuah tautologi, asumsikan ekspresi tersebut salah (negasi dari ekspresi tersebut benar). Kemudian, dengan menggunakan inferensi logis, tunjukkan bahwa asumsi ini mengarah pada kontradiksi. Karena asumsi mengarah pada kontradiksi, maka asumsi tersebut harus salah, dan ekspresi asli harus benar (tautologi). Kebalikannya untuk kontradiksi.
5. Misalkan P adalah tautologi dan Q adalah kontradiksi. Jelaskan nilai kebenaran dari `P ∧ Q` dan `P ∨ Q`.
Jawaban:
* Untuk `P ∧ Q`:
Karena P adalah tautologi, nilai kebenarannya selalu Benar (B).
Karena Q adalah kontradiksi, nilai kebenarannya selalu Salah (S).
Maka, `P ∧ Q` akan menjadi `B ∧ S`.
Hasil dari operasi AND antara Benar dan Salah adalah Salah.
Oleh karena itu, `P ∧ Q` akan selalu bernilai salah, yang berarti `P ∧ Q` adalah kontradiksi.
* Untuk `P ∨ Q`:
Karena P adalah tautologi, nilai kebenarannya selalu Benar (B).
Karena Q adalah kontradiksi, nilai kebenarannya selalu Salah (S).
Maka, `P ∨ Q` akan menjadi `B ∨ S`.
Hasil dari operasi OR antara Benar dan Salah adalah Benar.
Oleh karena itu, `P ∨ Q` akan selalu bernilai benar, yang berarti `P ∨ Q` adalah tautologi.
