Apakah Anda sering kesulitan dalam menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi atau masalah kontekstual? Artikel ini adalah panduan lengkap Anda untuk menguasai salah satu konsep fundamental dalam matematika, yaitu nilai maksimum dan minimum. Kami menyajikan berbagai contoh soal matematika nilai maksimum minimum yang dirancang khusus untuk membantu Anda memahami serta menerapkan prinsip-prinsip optimasi dengan mudah dan efektif. Dari soal-soal berbasis aljabar sederhana yang melibatkan fungsi kuadrat, hingga aplikasi kalkulus diferensial yang lebih kompleks untuk fungsi-fungsi kontinu, setiap contoh akan dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas dan mudah dipahami.
Fokus utama kami adalah memberikan pemahaman mendalam tentang bagaimana menggunakan turunan pertama dan kedua untuk menemukan titik kritis, mengidentifikasi sifat fungsi pada interval tertentu, serta menerapkan prinsip-prinsip ini dalam konteks masalah optimasi dunia nyata. Anda akan menemukan contoh soal yang relevan dengan berbagai skenario, seperti memaksimalkan volume suatu benda, meminimalkan biaya produksi, atau mencari luas terbesar dari suatu bangun datar dengan batasan tertentu. Latihan soal-soal ini tidak hanya akan memperkuat pemahaman teoretis Anda, tetapi juga melatih kemampuan analisis dan pemecahan masalah Anda secara praktis. Tujuan dari latihan soal ini adalah untuk memastikan Anda siap menghadapi ujian, meningkatkan kepercayaan diri dalam mengerjakan soal-soal optimasi, dan melihat relevansi matematika dalam kehidupan sehari-hari. Mari selami bersama dan kuasai materi nilai maksimum dan minimum untuk meraih prestasi akademik yang gemilang!
Berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang nilai maksimum dan minimum, beserta kunci jawabannya.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Nilai minimum dari fungsi kuadrat `f(x) = x² – 6x + 8` adalah…
a. -1
b. 0
c. 1
d. 8
Jawaban: a
2. Nilai maksimum dari fungsi `f(x) = -2x² + 4x + 5` adalah…
a. 3
b. 5
c. 7
d. 9
Jawaban: c
3. Pada fungsi `f(x) = x³ – 3x² – 9x + 1`, nilai x yang menyebabkan fungsi mencapai nilai minimum lokal adalah…
a. x = -1
b. x = 0
c. x = 1
d. x = 3
Jawaban: d
4. Sebuah roket ditembakkan ke atas dengan ketinggian `h(t) = -t² + 10t + 2` meter setelah t detik. Ketinggian maksimum roket tersebut adalah…
a. 25 meter
b. 27 meter
c. 30 meter
d. 32 meter
Jawaban: b
5. Jika jumlah dua bilangan positif adalah 12, maka hasil kali maksimum kedua bilangan tersebut adalah…
a. 24
b. 32
c. 36
d. 40
Jawaban: c
6. Titik stasioner dari fungsi `f(x) = x² – 8x + 10` terjadi pada x = …
a. 2
b. 4
c. 6
d. 8
Jawaban: b
7. Fungsi `f(x) = x⁴ – 4x` memiliki nilai minimum lokal pada x = …
a. 0
b. 1
c. 2
d. -1
Jawaban: b
8. Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya total `C(x) = x² – 20x + 150`. Jumlah unit yang harus diproduksi agar biaya minimum adalah…
a. 5 unit
b. 10 unit
c. 15 unit
d. 20 unit
Jawaban: b
9. Nilai maksimum dari `f(x) = -x² + 6x` pada interval [0, 4] adalah…
a. 0
b. 8
c. 9
d. 12
Jawaban: c
10. Fungsi `g(x) = x³ – 3x² + 2` memiliki nilai maksimum lokal pada x = …
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Jawaban: a
11. Jika seutas kawat dengan panjang 20 cm akan dibentuk menjadi persegi panjang, luas maksimum persegi panjang tersebut adalah…
a. 16 cm²
b. 20 cm²
c. 25 cm²
d. 30 cm²
Jawaban: c
12. Nilai minimum dari fungsi `f(x) = (x – 3)² + 5` adalah…
a. 3
b. 5
c. 8
d. 9
Jawaban: b
13. Turunan pertama dari fungsi `f(x) = 2x³ – 9x² + 12x – 5` adalah `f'(x) = 6x² – 18x + 12`. Titik stasioner dari fungsi ini terjadi pada x = …
a. 0 dan 1
b. 1 dan 2
c. 0 dan 2
d. -1 dan 1
Jawaban: b
14. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar karton berukuran 10 cm x 10 cm dengan memotong bujur sangkar pada setiap sudutnya. Jika sisi bujur sangkar yang dipotong adalah x cm, maka volume kotak akan maksimum saat x = …
a. 1 cm
b. 5/3 cm
c. 2 cm
d. 5/2 cm
Jawaban: b
15. Fungsi `f(x) = x³` pada interval [-1, 2] memiliki nilai maksimum sebesar…
a. -1
b. 0
c. 1
d. 8
Jawaban: d
16. Nilai minimum dari `f(x) = x² – 4x + 7` adalah…
a. 2
b. 3
c. 4
d. 7
Jawaban: b
17. Dua bilangan real positif, a dan b, memiliki hubungan `a + b = 8`. Nilai minimum dari `a² + b²` adalah…
a. 16
b. 32
c. 48
d. 64
Jawaban: b
18. Jika `f(x) = x – 1/x` untuk x > 0, maka nilai minimum fungsi tersebut adalah…
a. -2
b. 0
c. 1
d. Tidak ada nilai minimum global
Jawaban: d (fungsi ini tidak memiliki nilai minimum global pada x > 0, f'(x) = 1 + 1/x² selalu positif, jadi fungsi selalu naik)
*Koreksi: Untuk soal seperti ini, yang lebih umum adalah mencari nilai minimum/maksimum dari `x + 1/x` atau `x – 1/x` pada interval tertentu, atau jika ada kesalahan penulisan soal.*
*Revisi soal 18 agar memiliki nilai min/maks yang jelas:*
18. Fungsi `f(x) = x + 4/x` untuk x > 0. Nilai minimum fungsi ini adalah…
a. 2
b. 4
c. 6
d. 8
Jawaban: b
19. Sebuah proyektil dilemparkan ke atas dengan fungsi ketinggian `h(t) = -5t² + 20t` meter, di mana t adalah waktu dalam detik. Proyektil akan mencapai ketinggian maksimum pada detik ke…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
20. Gradien garis singgung pada kurva `y = x² – 4x + 3` adalah 0 pada titik…
a. (1, 0)
b. (2, -1)
c. (3, 0)
d. (4, 3)
Jawaban: b
—
## Soal Isian Singkat
1. Nilai minimum dari fungsi `f(x) = x² – 10x + 20` adalah …
Jawaban: -5
2. Nilai x yang menghasilkan nilai maksimum untuk `f(x) = -x² + 12x – 30` adalah …
Jawaban: 6
3. Hasil kali maksimum dua bilangan positif yang jumlahnya 14 adalah …
Jawaban: 49
4. Ketinggian maksimum sebuah peluru dengan fungsi `h(t) = -4t² + 16t + 10` meter adalah … meter.
Jawaban: 26
5. Untuk fungsi `f(x) = x³ – 12x + 1`, nilai x yang menyebabkan fungsi mencapai nilai minimum lokal (untuk x positif) adalah …
Jawaban: 2
—
## Soal Uraian
1. Sebuah peternak ingin membuat kandang berbentuk persegi panjang dengan keliling 60 meter. Tentukan ukuran panjang dan lebar kandang agar luas kandang menjadi maksimum. Berapakah luas maksimum tersebut?
Jawaban:
Misalkan panjang kandang adalah `p` dan lebar kandang adalah `l`.
Keliling: `2p + 2l = 60` => `p + l = 30` => `l = 30 – p`.
Luas: `A(p) = p × l = p(30 – p) = 30p – p²`.
Untuk mencari luas maksimum, cari turunan pertama `A'(p)` dan setarakan dengan nol.
`A'(p) = 30 – 2p`.
`30 – 2p = 0` => `2p = 30` => `p = 15`.
Jika `p = 15`, maka `l = 30 – 15 = 15`.
Karena `A”(p) = -2` (kurang dari 0), maka ini adalah titik maksimum.
Ukuran kandang agar luas maksimum adalah panjang 15 meter dan lebar 15 meter.
Luas maksimum: `A(15) = 15 × 15 = 225 meter²`.
2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi `f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1` pada interval tertutup [0, 4].
Jawaban:
1. Cari titik stasioner:
`f'(x) = 3x² – 12x + 9`.
Set `f'(x) = 0`: `3x² – 12x + 9 = 0` => `x² – 4x + 3 = 0`.
`(x – 1)(x – 3) = 0` => `x = 1` atau `x = 3`.
Kedua titik ini berada dalam interval [0, 4].
2. Evaluasi fungsi pada titik stasioner dan batas interval:
* Pada `x = 0` (batas interval): `f(0) = 0³ – 6(0)² + 9(0) + 1 = 1`.
* Pada `x = 1` (titik stasioner): `f(1) = 1³ – 6(1)² + 9(1) + 1 = 1 – 6 + 9 + 1 = 5`.
* Pada `x = 3` (titik stasioner): `f(3) = 3³ – 6(3)² + 9(3) + 1 = 27 – 54 + 27 + 1 = 1`.
* Pada `x = 4` (batas interval): `f(4) = 4³ – 6(4)² + 9(4) + 1 = 64 – 96 + 36 + 1 = 5`.
3. Bandingkan nilai-nilai tersebut:
Nilai-nilai fungsi yang diperoleh adalah 1, 5, 1, 5.
Nilai maksimum adalah 5.
Nilai minimum adalah 1.
3. Sebuah pabrik memproduksi x unit barang dengan biaya total `C(x) = x³ – 15x² + 75x + 1000`. Tentukan jumlah unit barang yang harus diproduksi agar biaya marginal (turunan dari biaya total) minimum.
Jawaban:
Biaya marginal `MC(x)` adalah turunan pertama dari biaya total `C(x)`.
`MC(x) = C'(x) = 3x² – 30x + 75`.
Kita ingin mencari nilai x yang membuat `MC(x)` minimum. Untuk itu, kita cari turunan pertama dari `MC(x)` (atau turunan kedua dari `C(x)`) dan setarakan dengan nol.
`MC'(x) = 6x – 30`.
Set `MC'(x) = 0`: `6x – 30 = 0` => `6x = 30` => `x = 5`.
Untuk memastikan ini adalah minimum, kita bisa cek turunan kedua `MC”(x) = 6` (positif, sehingga ini adalah titik minimum).
Jadi, jumlah unit barang yang harus diproduksi agar biaya marginal minimum adalah 5 unit.
4. Dua bilangan positif memiliki jumlah 16. Tentukan kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum.
Jawaban:
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah `x` dan `y`.
Jumlahnya: `x + y = 16` => `y = 16 – x`.
Jumlah kuadratnya: `S(x) = x² + y² = x² + (16 – x)²`.
`S(x) = x² + (256 – 32x + x²) = 2x² – 32x + 256`.
Untuk mencari nilai minimum, cari turunan pertama `S'(x)` dan setarakan dengan nol.
`S'(x) = 4x – 32`.
`4x – 32 = 0` => `4x = 32` => `x = 8`.
Jika `x = 8`, maka `y = 16 – 8 = 8`.
`S”(x) = 4` (positif, jadi ini adalah titik minimum).
Kedua bilangan tersebut adalah 8 dan 8 agar jumlah kuadratnya minimum.
5. Sebuah kotak terbuka (tanpa tutup) akan dibuat dari selembar karton berukuran 20 cm x 20 cm dengan memotong bujur sangkar yang sama pada setiap sudutnya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran sisi bujur sangkar yang harus dipotong agar volume kotak maksimum. Berapakah volume maksimum tersebut?
Jawaban:
Misalkan sisi bujur sangkar yang dipotong adalah `x` cm.
Ketika bujur sangkar `x` cm dipotong dari setiap sudut, panjang alas kotak akan menjadi `(20 – 2x)` cm dan lebar alas kotak juga `(20 – 2x)` cm. Tinggi kotak akan menjadi `x` cm.
Volume kotak: `V(x) = panjang × lebar × tinggi = (20 – 2x)(20 – 2x)x`.
`V(x) = (400 – 80x + 4x²)x = 4x³ – 80x² + 400x`.
Domain untuk x adalah `0 < x < 10` (karena 2x tidak boleh lebih dari 20).
Untuk mencari volume maksimum, cari turunan pertama `V'(x)` dan setarakan dengan nol.
`V'(x) = 12x² – 160x + 400`.
Set `V'(x) = 0`: `12x² – 160x + 400 = 0`.
Bagi dengan 4: `3x² – 40x + 100 = 0`.
Gunakan rumus kuadrat `x = [-b ± sqrt(b² – 4ac)] / (2a)`:
`x = [40 ± sqrt((-40)² – 4(3)(100))] / (2 × 3)`
`x = [40 ± sqrt(1600 – 1200)] / 6`
`x = [40 ± sqrt(400)] / 6`
`x = [40 ± 20] / 6`.
Dua solusi: `x₁ = (40 + 20) / 6 = 60 / 6 = 10`.
`x₂ = (40 – 20) / 6 = 20 / 6 = 10/3`.
Nilai `x = 10` akan menghasilkan volume 0 (di luar domain yang masuk akal untuk kotak).
Jadi, `x = 10/3` cm.
Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa cek turunan kedua `V”(x) = 24x – 160`.
`V”(10/3) = 24(10/3) – 160 = 80 – 160 = -80` (negatif, sehingga ini adalah titik maksimum).
Ukuran sisi bujur sangkar yang harus dipotong adalah `10/3` cm.
Volume maksimum:
`V(10/3) = (20 – 2(10/3))(20 – 2(10/3))(10/3)`
`V(10/3) = (20 – 20/3)(20 – 20/3)(10/3)`
`V(10/3) = (40/3)(40/3)(10/3) = 16000/27 cm³`.
