Menguasai turunan adalah salah satu pilar penting dalam studi kalkulus, dan aturan rantai (Chain Rule) menjadi kunci untuk menyelesaikan turunan fungsi-fungsi komposisi yang kompleks. Artikel ini hadir sebagai sumber terlengkap untuk Anda yang sedang mencari contoh soal matematika aturan rantai turunan dengan berbagai tingkat kesulitan. Kami telah menyusun serangkaian latihan soal yang berorientasi pada pemahaman mendalam, bukan sekadar hafalan rumus.
Tema pembelajaran utama dalam kumpulan soal ini adalah bagaimana mengidentifikasi fungsi luar dan fungsi dalam, serta menerapkan prinsip aturan rantai secara sistematis untuk mendapatkan turunan yang tepat. Anda akan menemukan contoh soal mulai dari fungsi polinomial sederhana yang dikomposisikan, fungsi trigonometri, hingga fungsi eksponensial dan logaritma yang lebih menantang. Tujuan dari latihan soal ini adalah untuk membimbing Anda secara bertahap, mulai dari konsep dasar hingga aplikasi pada soal-soal yang memerlukan pemikiran analitis. Setiap soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas, membantu Anda memahami setiap tahapan proses penurunan. Dengan berlatih melalui contoh-contoh ini, Anda tidak hanya akan memperkuat pemahaman teoretis tentang aturan rantai, tetapi juga meningkatkan kemampuan problem-solving Anda dalam menghadapi soal-soal turunan yang berlapis. Persiapkan diri Anda untuk menaklukkan turunan fungsi komposisi dengan percaya diri!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai turunan aturan rantai, dibagi menjadi 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Jika `y = (3x + 2)⁵`, maka `dy/dx` adalah…
a. `5(3x + 2)⁴`
b. `3(3x + 2)⁴`
c. `15(3x + 2)⁴`
d. `5x(3x + 2)⁴`
Jawaban: c
2. Turunan pertama dari `f(x) = sin(4x – 1)` adalah…
a. `cos(4x – 1)`
b. `4cos(4x – 1)`
c. `-cos(4x – 1)`
d. `-4cos(4x – 1)`
Jawaban: b
3. Diberikan `g(x) = e^(2x + 3)`. Maka `g'(x)` adalah…
a. `e^(2x + 3)`
b. `2e^(2x + 3)`
c. `(2x + 3)e^(2x + 3)`
d. `e^(2x + 2)`
Jawaban: b
4. Jika `h(t) = (t² – 3t)³`, tentukan `dh/dt`.
a. `3(t² – 3t)²`
b. `(2t – 3)(t² – 3t)²`
c. `3(2t – 3)(t² – 3t)²`
d. `3t(t² – 3t)²`
Jawaban: c
5. Turunan dari `y = cos(x³)` adalah…
a. `-sin(x³)`
b. `-3x² sin(x³)`
c. `3x² sin(x³)`
d. `sin(x³)`
Jawaban: b
6. Jika `f(x) = √(2x + 5)`, maka `f'(x)` adalah…
a. `1 / (2√(2x + 5))`
b. `2 / √(2x + 5)`
c. `1 / √(2x + 5)`
d. `(2x + 5)^(-1/2)`
Jawaban: c
7. Diberikan `y = tan(5x)`. Turunan `dy/dx` adalah…
a. `sec²(5x)`
b. `5sec²(5x)`
c. `cot(5x)`
d. `5tan(5x)sec(5x)`
Jawaban: b
8. Turunan pertama dari `f(x) = ln(x² + 1)` adalah…
a. `1 / (x² + 1)`
b. `2x / (x² + 1)`
c. `x / (x² + 1)`
d. `ln(2x)`
Jawaban: b
9. Jika `y = (sin x)³`, maka `dy/dx` adalah…
a. `3cos x sin² x`
b. `3sin² x`
c. `cos x sin² x`
d. `3cos³ x`
Jawaban: a
10. Turunan dari `g(x) = (x³ – 2x + 1)⁻¹` adalah…
a. `-(x³ – 2x + 1)⁻²`
b. `(3x² – 2)(x³ – 2x + 1)⁻²`
c. `-(3x² – 2)(x³ – 2x + 1)⁻²`
d. `-1 / (x³ – 2x + 1)²`
Jawaban: c
11. Jika `f(x) = (ax + b)ⁿ`, maka `f'(x)` adalah…
a. `n(ax + b)ⁿ⁻¹`
b. `a(ax + b)ⁿ⁻¹`
c. `na(ax + b)ⁿ⁻¹`
d. `(ax + b)ⁿ⁻¹`
Jawaban: c
12. Turunan pertama dari `y = sec(2x)` adalah…
a. `sec(2x)tan(2x)`
b. `2sec(2x)tan(2x)`
c. `sec²(2x)`
d. `-csc(2x)cot(2x)`
Jawaban: b
13. Diberikan `h(x) = 5^(3x)`. Maka `h'(x)` adalah…
a. `5^(3x) ln 5`
b. `3 * 5^(3x)`
c. `3 * 5^(3x) ln 5`
d. `3x * 5^(3x – 1)`
Jawaban: c
14. Jika `y = cot(x² + 1)`, maka `dy/dx` adalah…
a. `-csc²(x² + 1)`
b. `-2x csc²(x² + 1)`
c. `2x csc²(x² + 1)`
d. `-cot(x² + 1)csc(x² + 1)`
Jawaban: b
15. Turunan dari `f(x) = (x² + 3)²` adalah…
a. `2(x² + 3)`
b. `2x(x² + 3)`
c. `4x(x² + 3)`
d. `(2x)²`
Jawaban: c
16. Jika `y = cos⁴(x)`, maka `dy/dx` adalah…
a. `4cos³(x)`
b. `-4cos³(x)sin(x)`
c. `4sin(x)cos³(x)`
d. `-4sin(x)`
Jawaban: b
17. Diberikan `g(t) = ln(3t + 4)`. Maka `g'(t)` adalah…
a. `1 / (3t + 4)`
b. `3 / (3t + 4)`
c. `ln 3`
d. `3ln(3t + 4)`
Jawaban: b
18. Turunan dari `y = (4x – 5)^(1/2)` adalah…
a. `1 / (2√(4x – 5))`
b. `2 / (4x – 5)^(1/2)`
c. `2 / √(4x – 5)`
d. `4 / (4x – 5)^(1/2)`
Jawaban: c
19. Jika `f(x) = e^(sin x)`, maka `f'(x)` adalah…
a. `e^(sin x)`
b. `cos x * e^(sin x)`
c. `sin x * e^(sin x)`
d. `e^(cos x)`
Jawaban: b
20. Turunan pertama dari `y = (x³ – 2)⁵ * (x² + 1)²` menggunakan aturan rantai dan produk adalah…
a. `5(x³ – 2)⁴(3x²) (x² + 1)² + 2(x² + 1)(2x) (x³ – 2)⁵`
b. `5(x³ – 2)⁴ + 2(x² + 1)`
c. `(3x²)(x³ – 2)⁴ + (2x)(x² + 1)`
d. `5(x³ – 2)⁴ (x² + 1)² + 2(x² + 1) (x³ – 2)⁵`
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
1. Hasil dari turunan `y = (5x – 3)⁶` adalah …
Jawaban: `30(5x – 3)⁵`
2. Turunan pertama dari `f(x) = cos(2x + π)` adalah …
Jawaban: `-2sin(2x + π)`
3. Jika `g(x) = e^(-x²)`, maka `g'(x)` adalah …
Jawaban: `-2x e^(-x²)`
4. Diberikan `h(x) = √(x³ – 1)`. Nilai `h'(x)` adalah …
Jawaban: `3x² / (2√(x³ – 1))`
5. Turunan dari `y = tan(3x²)` adalah …
Jawaban: `6x sec²(3x²)`
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan langkah-langkah untuk mencari turunan dari fungsi `f(x) = (x² + 4x – 1)³` menggunakan aturan rantai.
Jawaban:
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Identifikasi fungsi luar (outer function) dan fungsi dalam (inner function). Misalkan `u = x² + 4x – 1`. Maka `f(x)` bisa ditulis sebagai `y = u³`.
2. Turunkan fungsi luar terhadap u. `dy/du = d/du (u³) = 3u²`.
3. Turunkan fungsi dalam terhadap x. `du/dx = d/dx (x² + 4x – 1) = 2x + 4`.
4. Kalikan hasil turunan fungsi luar dengan turunan fungsi dalam (Aturan Rantai). `dy/dx = (dy/du) * (du/dx)`.
5. Substitusikan kembali u.
`dy/dx = 3u² * (2x + 4)`
`dy/dx = 3(x² + 4x – 1)² * (2x + 4)`
`dy/dx = (6x + 12)(x² + 4x – 1)²`
2. Tentukan turunan pertama dari `y = sin⁴(2x)` secara lengkap dengan menunjukkan setiap langkah penggunaan aturan rantai.
Jawaban:
Fungsi ini dapat dilihat sebagai komposisi tiga fungsi:
1. Fungsi paling luar: `f(u) = u⁴`
2. Fungsi tengah: `u = g(v) = sin(v)`
3. Fungsi paling dalam: `v = h(x) = 2x`
Maka `y = f(g(h(x)))`.
Langkah-langkah turunan:
1. Turunkan fungsi paling luar terhadap `u`: `df/du = 4u³`. Substitusikan `u = sin(2x)`, menjadi `4sin³(2x)`.
2. Turunkan fungsi tengah terhadap `v`: `dg/dv = cos(v)`. Substitusikan `v = 2x`, menjadi `cos(2x)`.
3. Turunkan fungsi paling dalam terhadap `x`: `dh/dx = 2`.
4. Kalikan semua hasil turunan (Aturan Rantai): `dy/dx = (df/du) * (dg/dv) * (dh/dx)`.
`dy/dx = (4sin³(2x)) * (cos(2x)) * (2)`
`dy/dx = 8sin³(2x)cos(2x)`
3. Kapan aturan rantai digunakan dalam proses diferensiasi? Berikan satu contoh fungsi yang memerlukan aturan rantai.
Jawaban:
Aturan rantai digunakan ketika kita ingin mencari turunan dari sebuah fungsi komposisi, yaitu sebuah fungsi yang di dalamnya terdapat fungsi lain. Secara formal, jika `y = f(g(x))`, maka turunan `y` terhadap `x` adalah `dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)`.
Contoh fungsi yang memerlukan aturan rantai:
* `y = (x³ + 5)²` (Fungsi pangkat dari suatu polinomial)
* `y = e^(4x)` (Fungsi eksponensial dengan pangkat fungsi lain)
* `y = cos(x²)` (Fungsi trigonometri dengan argumen fungsi lain)
* `y = ln(3x – 2)` (Fungsi logaritma alami dengan argumen fungsi lain)
4. Cari turunan pertama dari `y = x * e^(x²)` menggunakan kombinasi aturan produk dan aturan rantai.
Jawaban:
Fungsi `y = x * e^(x²)` adalah perkalian dua fungsi, yaitu `u = x` dan `v = e^(x²)`. Kita akan menggunakan aturan produk: `(uv)’ = u’v + uv’`.
1. Turunkan `u = x`: `u’ = 1`.
2. Turunkan `v = e^(x²)`: Ini memerlukan aturan rantai.
* Misalkan `w = x²`, maka `v = e^w`.
* `dv/dw = e^w`
* `dw/dx = 2x`
* Menggunakan aturan rantai, `dv/dx = (dv/dw) * (dw/dx) = e^w * 2x = 2x * e^(x²)`. Jadi, `v’ = 2x * e^(x²)`.
3. Gabungkan dengan aturan produk:
`dy/dx = u’v + uv’`
`dy/dx = (1) * (e^(x²)) + (x) * (2x * e^(x²))`
`dy/dx = e^(x²) + 2x² * e^(x²)`
`dy/dx = e^(x²)(1 + 2x²)`
5. Sebuah partikel bergerak sedemikian rupa sehingga posisinya pada waktu `t` diberikan oleh `s(t) = √(t² + 9)`. Tentukan kecepatan partikel (`v(t)`) pada waktu `t = 4` detik.
Jawaban:
Kecepatan partikel adalah turunan pertama dari fungsi posisi terhadap waktu, yaitu `v(t) = s'(t)`.
Fungsi posisi adalah `s(t) = √(t² + 9) = (t² + 9)^(1/2)`.
Kita gunakan aturan rantai untuk mencari `s'(t)`:
1. Fungsi luar: `u^(1/2)`
2. Fungsi dalam: `u = t² + 9`
Langkah-langkah turunan:
1. Turunkan fungsi luar terhadap `u`: `d/du (u^(1/2)) = (1/2)u^(-1/2) = 1 / (2√u)`.
2. Turunkan fungsi dalam terhadap `t`: `du/dt = d/dt (t² + 9) = 2t`.
3. Kalikan keduanya: `v(t) = s'(t) = (1 / (2√u)) * (2t)`.
4. Substitusikan `u = t² + 9` kembali: `v(t) = (1 / (2√(t² + 9))) * (2t) = t / √(t² + 9)`.
Untuk menemukan kecepatan pada `t = 4` detik, substitusikan `t = 4` ke dalam `v(t)`:
`v(4) = 4 / √(4² + 9)`
`v(4) = 4 / √(16 + 9)`
`v(4) = 4 / √25`
`v(4) = 4 / 5`
Jadi, kecepatan partikel pada `t = 4` detik adalah `4/5` satuan panjang per detik.
