Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika mengenai limit tak hingga, lengkap dengan kunci jawaban dan format yang diminta.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Berapakah nilai dari lim (x→∞) (2x³ + 3x² – 5x + 1)?
a. 0
b. 1
c. 2
d. ∞
Jawaban: d
2. Tentukan nilai dari lim (x→∞) (-4x⁴ + 2x³ – 7x + 9).
a. ∞
b. 0
c. -∞
d. -4
Jawaban: c
3. Nilai dari lim (x→∞) (3x² – 5x + 1) / (x² + 2x – 3) adalah…
a. 0
b. 1
c. 3
d. ∞
Jawaban: c
4. Berapakah hasil dari lim (x→∞) (x – 2) / (x² + 3x – 1)?
a. 0
b. 1
c. -2
d. ∞
Jawaban: a
5. Tentukan nilai dari lim (x→∞) (5x³ + 2x – 1) / (2x² + 4x + 7).
a. 0
b. 5/2
c. 2
d. ∞
Jawaban: d
6. Nilai dari lim (x→∞) (√(x² + 4x) – x) adalah…
a. 0
b. 2
c. 4
d. ∞
Jawaban: b
7. Berapakah lim (x→∞) (√(9x² – 6x + 1) – 3x)?
a. -1
b. -3
c. 0
d. ∞
Jawaban: a
8. Tentukan nilai dari lim (x→∞) (√(4x² + 2x – 1) – √(4x² – 3x + 5)).
a. 0
b. 5/4
c. 1
d. ∞
Jawaban: b
9. Nilai dari lim (x→∞) (³√(x³ + 6x²) – x) adalah…
a. 0
b. 1
c. 2
d. 6
Jawaban: c
10. Berapakah hasil dari lim (x→∞) (eˣ / x²)?
a. 0
b. 1
c. e
d. ∞
Jawaban: d
11. Tentukan nilai dari lim (x→∞) (ln x / x).
a. 0
b. 1
c. e
d. ∞
Jawaban: a
12. Nilai dari lim (x→∞) (sin(1/x)) adalah…
a. 0
b. 1
c. -1
d. ∞
Jawaban: a
13. Berapakah hasil dari lim (x→∞) (cos(1/x))?
a. 0
b. 1
c. -1
d. ∞
Jawaban: b
14. Tentukan nilai dari lim (x→∞) (x / eˣ).
a. 0
b. 1
c. e
d. ∞
Jawaban: a
15. Nilai dari lim (x→∞) (3x⁵ – 2x + 8) / (x⁵ + 4x³ – 2x² + 1) adalah…
a. 0
b. 1
c. 3
d. ∞
Jawaban: c
16. Berapakah lim (x→∞) (√(x² + 5) / (2x + 1))?
a. 0
b. 1/2
c. 1
d. ∞
Jawaban: b
17. Tentukan nilai dari lim (x→∞) ( (x + 1)³ / (x³ + 2x – 5) ).
a. 0
b. 1
c. 3
d. ∞
Jawaban: b
18. Nilai dari lim (x→∞) ( (3x – 2) / (√(4x² + 1)) ).
a. 0
b. 1/2
c. 3/2
d. 3
Jawaban: c
19. Berapakah hasil dari lim (x→∞) (1/x * sin x)?
a. 0
b. 1
c. -1
d. Tidak ada
Jawaban: a
20. Tentukan nilai dari lim (x→∞) (e⁻ˣ * x²).
a. 0
b. 1
c. e
d. ∞
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat
1. Hasil dari lim (x→∞) (x⁴ – 3x² + 2) adalah …
Jawaban: ∞
2. Nilai dari lim (x→∞) ( (6x² + x – 5) / (2x² – 3x + 1) ) adalah …
Jawaban: 3
3. Tentukan hasil dari lim (x→∞) ( √(x² + 2x + 3) – x ).
Jawaban: 1
4. Berapakah lim (x→∞) ( (2x + 1) / (x² – 4) )?
Jawaban: 0
5. Nilai dari lim (x→∞) ( (x³ + 2x) / (x² + 1) ) adalah …
Jawaban: ∞
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan secara singkat konsep limit tak hingga pada suatu fungsi.
Jawaban: Limit tak hingga (limit at infinity) adalah nilai yang dihampiri oleh suatu fungsi f(x) ketika variabel x mendekati tak hingga (positif atau negatif). Ini menggambarkan perilaku ujung (end behavior) dari grafik fungsi tersebut. Jika limitnya adalah suatu konstanta L, berarti garis y = L adalah asimtot horizontal fungsi. Jika limitnya adalah tak hingga (∞ atau -∞), berarti fungsi tersebut terus meningkat atau menurun tanpa batas.
2. Jelaskan strategi utama dalam menentukan limit tak hingga untuk fungsi rasional (pecahan polinomial).
Jawaban: Untuk fungsi rasional f(x) = P(x) / Q(x) di mana P(x) dan Q(x) adalah polinomial, strategi utamanya adalah membandingkan derajat (pangkat tertinggi) dari polinomial pembilang dan penyebut:
* Jika derajat pembilang > derajat penyebut, maka limitnya adalah ∞ atau -∞, tergantung pada tanda koefisien utama.
* Jika derajat pembilang < derajat penyebut, maka limitnya adalah 0.
* Jika derajat pembilang = derajat penyebut, maka limitnya adalah rasio dari koefisien utama pembilang dan penyebut.
Cara lain adalah dengan membagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan x berpangkat tertinggi dari penyebut.
3. Bagaimana cara menyelesaikan limit tak hingga yang melibatkan bentuk akar kuadrat seperti lim (x→∞) (√(ax² + bx + c) – √(px² + qx + r))?
Jawaban: Untuk menyelesaikan limit bentuk ini, jika koefisien a dan p sama, kita dapat menggunakan rumus cepat atau metode perkalian sekawan.
Jika a = p: limitnya adalah (b – q) / (2√a).
Jika a > p: limitnya adalah ∞.
Jika a < p: limitnya adalah -∞.
Metode umum (perkalian sekawan): Kalikan dan bagi ekspresi dengan bentuk sekawannya (√(ax² + bx + c) + √(px² + qx + r)). Setelah itu, sederhanakan dan bagi semua suku dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut untuk menemukan limitnya.
4. Hitunglah nilai dari lim (x→∞) ( (3x + 1) (x – 2) / (x² + 5x + 6) ) dan tunjukkan langkah-langkahnya.
Jawaban:
Langkah 1: Ekspansikan pembilang.
(3x + 1)(x – 2) = 3x² – 6x + x – 2 = 3x² – 5x – 2
Langkah 2: Tulis ulang limit dalam bentuk fungsi rasional.
lim (x→∞) ( (3x² – 5x – 2) / (x² + 5x + 6) )
Langkah 3: Bandingkan derajat pembilang dan penyebut.
Derajat pembilang adalah 2.
Derajat penyebut adalah 2.
Karena derajat pembilang = derajat penyebut, limitnya adalah rasio koefisien utama.
Langkah 4: Ambil rasio koefisien utama.
Koefisien utama pembilang adalah 3.
Koefisien utama penyebut adalah 1.
Limitnya adalah 3/1 = 3.
Jadi, lim (x→∞) ( (3x + 1) (x – 2) / (x² + 5x + 6) ) = 3.
5. Jelaskan kapan limit suatu fungsi rasional saat x mendekati tak hingga akan menghasilkan 0, suatu konstanta L (bukan 0), atau tak hingga (∞ atau -∞).
Jawaban:
* Menghasilkan 0: Ini terjadi ketika derajat (pangkat tertinggi) dari polinomial di pembilang lebih kecil daripada derajat polinomial di penyebut. Contoh: lim (x→∞) (x / (x² + 1)) = 0.
* Menghasilkan konstanta L (bukan 0): Ini terjadi ketika derajat polinomial di pembilang sama dengan derajat polinomial di penyebut. Konstanta L adalah rasio dari koefisien utama pembilang dan penyebut. Contoh: lim (x→∞) ( (2x² – 3) / (x² + 5) ) = 2/1 = 2.
* Menghasilkan tak hingga (∞ atau -∞): Ini terjadi ketika derajat polinomial di pembilang lebih besar daripada derajat polinomial di penyebut. Tanda (positif atau negatif) dari tak hingga ditentukan oleh tanda hasil bagi koefisien utama. Contoh: lim (x→∞) ( (x³ + 2x) / (x² – 1) ) = ∞ (karena koefisien utama 1/1 positif), atau lim (x→∞) ( (-x³) / (x²) ) = -∞.
