Apakah Anda sedang mencari cara efektif untuk menguasai materi turunan fungsi trigonometri? Artikel ini hadir sebagai solusi tepat dengan menyajikan kumpulan contoh soal matematika turunan trigonometri yang komprehensif. Kami memahami bahwa materi ini seringkali menantang, oleh karena itu, setiap soal dirancang untuk memperdalam pemahaman Anda, mulai dari konsep dasar hingga aplikasi yang lebih kompleks. Tema pembelajaran yang diangkat meliputi turunan fungsi sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, dan kosekan, serta bagaimana mengaplikasikan aturan rantai, aturan hasil kali, dan aturan hasil bagi pada fungsi trigonometri.
Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang jelas dan mudah diikuti, memastikan Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami proses di baliknya. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk membantu Anda membangun fondasi yang kuat dalam turunan trigonometri, meningkatkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah Anda, serta mempersiapkan diri secara optimal menghadapi berbagai jenis ujian. Dengan berlatih secara konsisten menggunakan soal-soal ini, Anda akan lebih percaya diri dalam mengidentifikasi pola, menerapkan rumus yang tepat, dan menyelesaikan soal-soal turunan trigonometri dengan akurat dan efisien. Mari mulai petualangan Anda menguasai turunan trigonometri!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai turunan trigonometri, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Turunan pertama dari fungsi f(x) = sin(5x) adalah…
a. cos(5x)
b. 5 cos(5x)
c. -cos(5x)
d. -5 cos(5x)
Jawaban: b
2. Jika y = cos(3x), maka dy/dx adalah…
a. sin(3x)
b. -sin(3x)
c. 3 sin(3x)
d. -3 sin(3x)
Jawaban: d
3. Turunan dari f(x) = tan(2x) adalah…
a. sec²(2x)
b. 2 sec²(2x)
c. cot(2x)
d. 2 cot(2x)
Jawaban: b
4. Hasil dari turunan d/dx (cot(4x)) adalah…
a. -csc²(4x)
b. csc²(4x)
c. -4 csc²(4x)
d. 4 csc²(4x)
Jawaban: c
5. Tentukan turunan pertama dari y = sec(x).
a. tan(x) sec(x)
b. sec²(x)
c. -tan(x) sec(x)
d. -sec²(x)
Jawaban: a
6. Turunan dari f(x) = csc(3x) adalah…
a. -cot(3x) csc(3x)
b. cot(3x) csc(3x)
c. -3 cot(3x) csc(3x)
d. 3 cot(3x) csc(3x)
Jawaban: c
7. Jika f(x) = x² sin(x), maka f'(x) adalah…
a. 2x cos(x)
b. 2x sin(x) + x² cos(x)
c. 2x sin(x) – x² cos(x)
d. x² cos(x)
Jawaban: b
8. Turunan pertama dari y = cos²(x) adalah…
a. 2 cos(x) sin(x)
b. -2 cos(x) sin(x)
c. cos(2x)
d. -sin(2x)
Jawaban: b
9. Tentukan turunan dari g(x) = sin(x²).
a. cos(x²)
b. 2x cos(x²)
c. -cos(x²)
d. -2x cos(x²)
Jawaban: b
10. Turunan pertama dari f(x) = (3x-1) cos(x) adalah…
a. 3 cos(x) – (3x-1) sin(x)
b. 3 cos(x) + (3x-1) sin(x)
c. -3 sin(x)
d. 3 cos(x)
Jawaban: a
11. Jika y = eˣ tan(x), maka dy/dx adalah…
a. eˣ tan(x) + eˣ sec²(x)
b. eˣ tan(x) – eˣ sec²(x)
c. eˣ sec²(x)
d. eˣ tan(x)
Jawaban: a
12. Turunan dari f(x) = sin(x)/x adalah…
a. cos(x)/x
b. x cos(x) – sin(x)
c. (x cos(x) – sin(x)) / x²
d. (sin(x) – x cos(x)) / x²
Jawaban: c
13. Tentukan f'(x) jika f(x) = tan(x³).
a. sec²(x³)
b. 3x² sec²(x³)
c. x³ sec²(x³)
d. 3x² cot(x³)
Jawaban: b
14. Turunan pertama dari y = √(sin(x)) adalah…
a. 1 / (2√(sin(x)))
b. cos(x) / (2√(sin(x)))
c. -cos(x) / (2√(sin(x)))
d. sin(x) / (2√(sin(x)))
Jawaban: b
15. Jika f(x) = cos(x) / (1 + sin(x)), maka f'(x) adalah…
a. -sin(x) / (1 + sin(x))²
b. -1 / (1 + sin(x))
c. -1 / (1 + sin(x))²
d. 1 / (1 + sin(x))
Jawaban: b
16. Turunan kedua dari f(x) = sin(x) adalah…
a. cos(x)
b. -sin(x)
c. -cos(x)
d. sin(x)
Jawaban: b
17. Tentukan turunan dari y = sin(cos(x)).
a. cos(cos(x))
b. -sin(x) cos(cos(x))
c. sin(x) cos(cos(x))
d. -cos(sin(x))
Jawaban: b
18. Turunan pertama dari f(x) = ln(tan(x)) adalah…
a. sec²(x) / tan(x)
b. cot(x) sec²(x)
c. 1 / tan(x)
d. csc(x) sec(x)
Jawaban: a
19. Jika y = (sin(x) + cos(x))², maka dy/dx adalah…
a. 2(sin(x) + cos(x))
b. 2(cos(x) – sin(x))
c. 2 cos²(x) – 2 sin²(x)
d. 2(cos²(x) – sin²(x)) atau 2 cos(2x)
Jawaban: d
20. Turunan dari f(x) = x³ csc(x) adalah…
a. 3x² csc(x) – x³ cot(x) csc(x)
b. 3x² csc(x) + x³ cot(x) csc(x)
c. 3x² cot(x) csc(x)
d. x³ csc(x) cot(x)
Jawaban: a
—
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
1. Turunan pertama dari f(x) = cos(7x-2) adalah …
Jawaban: -7 sin(7x-2)
2. Jika y = 4 tan(x/2), maka dy/dx adalah …
Jawaban: 2 sec²(x/2)
3. Tentukan turunan pertama dari g(x) = x³ cos(2x).
Jawaban: 3x² cos(2x) – 2x³ sin(2x)
4. Hasil dari d/dx (sin²(3x)) adalah …
Jawaban: 6 sin(3x) cos(3x) atau 3 sin(6x)
5. Turunan kedua dari f(x) = cos(x) adalah …
Jawaban: -cos(x)
—
## Soal Uraian (5 Soal)
1. Jelaskan langkah-langkah untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = x⁴ sin(x) menggunakan aturan hasil kali.
Jawaban:
Untuk mencari turunan dari f(x) = x⁴ sin(x) menggunakan aturan hasil kali (uv)’ = u’v + uv’:
1. Identifikasi u dan v: Misalkan u = x⁴ dan v = sin(x).
2. Cari turunan dari u (u’): Turunan dari x⁴ adalah 4x³. Jadi, u’ = 4x³.
3. Cari turunan dari v (v’): Turunan dari sin(x) adalah cos(x). Jadi, v’ = cos(x).
4. Substitusikan ke dalam rumus: f'(x) = (4x³)(sin(x)) + (x⁴)(cos(x)).
5. Sederhanakan: f'(x) = 4x³ sin(x) + x⁴ cos(x).
2. Diberikan fungsi h(x) = tan(2x) – 3 sin(x). Tentukan turunan pertamanya dan jelaskan aturan apa saja yang digunakan.
Jawaban:
Untuk mencari turunan h'(x):
1. Turunkan tan(2x): Ini menggunakan aturan rantai. Turunan dari tan(u) adalah sec²(u) * u’. Jika u = 2x, maka u’ = 2. Jadi, turunan dari tan(2x) adalah 2 sec²(2x).
2. Turunkan -3 sin(x): Ini menggunakan aturan konstanta kali fungsi. Turunan dari sin(x) adalah cos(x). Jadi, turunan dari -3 sin(x) adalah -3 cos(x).
3. Gabungkan hasilnya: h'(x) = 2 sec²(2x) – 3 cos(x).
Aturan yang digunakan adalah aturan pengurangan, aturan rantai (untuk tan(2x)), dan aturan konstanta kali fungsi.
3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = cos(x) / (x + 1) menggunakan aturan hasil bagi. Tuliskan setiap langkahnya.
Jawaban:
Untuk mencari turunan dari f(x) = cos(x) / (x + 1) menggunakan aturan hasil bagi (u/v)’ = (u’v – uv’) / v²:
1. Identifikasi u dan v: Misalkan u = cos(x) dan v = x + 1.
2. Cari turunan dari u (u’): Turunan dari cos(x) adalah -sin(x). Jadi, u’ = -sin(x).
3. Cari turunan dari v (v’): Turunan dari x + 1 adalah 1. Jadi, v’ = 1.
4. Substitusikan ke dalam rumus:
f'(x) = ((-sin(x))(x + 1) – (cos(x))(1)) / (x + 1)²
5. Sederhanakan pembilang:
f'(x) = (-x sin(x) – sin(x) – cos(x)) / (x + 1)²
6. Jadi, f'(x) = -(x sin(x) + sin(x) + cos(x)) / (x + 1)².
4. Jelaskan konsep turunan dari sin(f(x)) dan berikan contoh dengan f(x) = x² + 3x.
Jawaban:
Konsep turunan dari sin(f(x)) menggunakan aturan rantai. Aturan rantai menyatakan bahwa jika kita memiliki fungsi komposit y = g(f(x)), maka dy/dx = g'(f(x)) * f'(x).
Dalam kasus ini, g(u) = sin(u) dan u = f(x).
Turunan dari g(u) adalah g'(u) = cos(u).
Jadi, turunan dari sin(f(x)) adalah cos(f(x)) dikalikan dengan turunan dari f(x) itu sendiri (f'(x)).
Secara umum: d/dx [sin(f(x))] = cos(f(x)) * f'(x).
Contoh:
Jika f(x) = x² + 3x, maka kita ingin mencari turunan dari sin(x² + 3x).
1. Identifikasi f(x) = x² + 3x.
2. Cari turunan dari f(x): f'(x) = 2x + 3.
3. Terapkan rumus: d/dx [sin(x² + 3x)] = cos(x² + 3x) * (2x + 3).
4. Jadi, turunan dari sin(x² + 3x) adalah (2x + 3) cos(x² + 3x).
5. Cari turunan kedua (f”(x)) dari fungsi f(x) = x cos(x).
Jawaban:
Untuk mencari turunan kedua, kita perlu mencari turunan pertama terlebih dahulu.
Langkah 1: Mencari turunan pertama (f'(x))
Gunakan aturan hasil kali untuk f(x) = x cos(x).
Misalkan u = x dan v = cos(x).
Maka u’ = 1 dan v’ = -sin(x).
f'(x) = u’v + uv’
f'(x) = (1)(cos(x)) + (x)(-sin(x))
f'(x) = cos(x) – x sin(x)
Langkah 2: Mencari turunan kedua (f”(x))
Sekarang kita akan menurunkan f'(x) = cos(x) – x sin(x).
Ini adalah turunan dari dua suku: d/dx(cos(x)) dan d/dx(-x sin(x)).
1. Turunan dari cos(x) adalah -sin(x).
2. Turunan dari -x sin(x) menggunakan aturan hasil kali lagi:
Misalkan u = -x dan v = sin(x).
Maka u’ = -1 dan v’ = cos(x).
Turunan dari -x sin(x) = u’v + uv’ = (-1)(sin(x)) + (-x)(cos(x)) = -sin(x) – x cos(x).
3. Gabungkan hasilnya untuk f”(x):
f”(x) = (turunan dari cos(x)) – (turunan dari x sin(x))
f”(x) = -sin(x) + (-sin(x) – x cos(x))
f”(x) = -sin(x) – sin(x) – x cos(x)
f”(x) = -2 sin(x) – x cos(x)
Jadi, turunan kedua dari f(x) = x cos(x) adalah f”(x) = -2 sin(x) – x cos(x).
