Dalam dunia matematika, turunan bukan hanya sekadar konsep abstrak, melainkan alat powerful yang memiliki segudang aplikasi praktis dalam berbagai bidang. Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif yang menyajikan contoh soal matematika aplikasi turunan dengan orientasi pada pemecahan masalah di kehidupan nyata. Anda akan menemukan berbagai skenario yang melibatkan optimasi, seperti menentukan luas maksimum, volume minimum, atau biaya terendah, hingga perhitungan laju perubahan dalam fisika, ekonomi, dan teknik. Setiap soal dirancang untuk membantu Anda memahami bagaimana konsep turunan, baik turunan pertama maupun turunan kedua, digunakan untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah dunia nyata.
Tema pembelajaran utama yang akan kita jelajahi meliputi penentuan nilai maksimum dan minimum fungsi (optimasi), masalah laju perubahan yang berkaitan, serta penerapannya dalam grafik fungsi dan masalah geometri. Tujuan dari latihan soal ini sangat jelas: membekali Anda dengan pemahaman mendalam tentang relevansi turunan, meningkatkan kemampuan analisis dan pemecahan masalah Anda, serta memperkuat keterampilan Anda dalam mengaplikasikan teori kalkulus ke dalam konteks praktis. Dengan berlatih melalui contoh soal matematika aplikasi turunan ini, Anda tidak hanya akan siap menghadapi ujian, tetapi juga mampu melihat matematika sebagai alat yang efektif untuk memahami dan memecahkan tantangan di sekitar kita. Mari selami dan kuasai aplikasi turunan yang menarik ini!
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika aplikasi turunan, yang terdiri dari 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, lengkap dengan kunci jawabannya.
# Contoh Soal Matematika Aplikasi Turunan
## Soal Pilihan Ganda (20 Soal)
1. Sebuah benda bergerak dengan fungsi posisi `s(t) = 2t³ – 6t² + 4t – 1`, di mana `s` dalam meter dan `t` dalam detik. Kecepatan benda saat `t = 2` detik adalah …
a. 4 m/detik
b. 8 m/detik
c. 12 m/detik
d. 16 m/detik
Jawaban: b
2. Fungsi `f(x) = x³ – 3x² – 9x + 5` akan naik pada interval …
a. `x < -1` atau `x > 3`
b. `-1 < x < 3`
c. `x < -3` atau `x > 1`
d. `-3 < x < 1`
Jawaban: a
3. Titik stasioner dari fungsi `f(x) = x³ – 3x² + 3x + 1` adalah …
a. `x = 1`
b. `x = 0`
c. `x = 1` dan `x = 3`
d. `x = 0` dan `x = 1`
Jawaban: a
4. Sebuah persegi panjang memiliki keliling 60 cm. Agar luas persegi panjang maksimum, ukuran panjang dan lebarnya adalah …
a. Panjang = 10 cm, Lebar = 20 cm
b. Panjang = 15 cm, Lebar = 15 cm
c. Panjang = 20 cm, Lebar = 10 cm
d. Panjang = 25 cm, Lebar = 5 cm
Jawaban: b
5. Sebuah fungsi biaya produksi `C(q) = q³ – 6q² + 15q + 200`, di mana `q` adalah jumlah unit barang. Biaya marginal (tambahan biaya untuk memproduksi 1 unit tambahan) saat `q = 5` unit adalah …
a. 15
b. 20
c. 25
d. 30
Jawaban: b
6. Jika `f(x) = x⁴ – 4x³ + 4x² + 1`, interval di mana fungsi `f(x)` cekung ke atas adalah …
a. `x < 1` atau `x > 1`
b. `x < 0` atau `x > 2`
c. `0 < x < 2`
d. Seluruh `x`
Jawaban: b
7. Kecepatan sesaat suatu objek diberikan oleh `v(t) = 3t² – 2t`. Percepatan objek saat `t = 3` detik adalah …
a. 12 satuan/detik²
b. 16 satuan/detik²
c. 18 satuan/detik²
d. 20 satuan/detik²
Jawaban: b
8. Nilai minimum relatif dari fungsi `f(x) = ⅓x³ – x² – 3x + 4` adalah …
a. `13/3`
b. `-5/3`
c. `22/3`
d. `-4`
Jawaban: d
9. Sebuah tangga panjangnya 5 meter bersandar pada tembok. Bagian bawah tangga bergerak menjauhi tembok dengan kecepatan 0,5 m/detik. Ketika bagian bawah tangga berjarak 3 meter dari tembok, kecepatan bagian atas tangga meluncur ke bawah adalah …
a. 0,25 m/detik
b. 0,375 m/detik
c. 0,5 m/detik
d. 0,75 m/detik
Jawaban: b
10. Fungsi `f(x) = sin(x)` memiliki titik belok pada interval `0 < x < 2π` di ...
a. `x = π/2`
b. `x = π`
c. `x = 3π/2`
d. `x = 0` dan `x = π`
Jawaban: b
11. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berukuran 12 cm x 12 cm dengan memotong bujur sangkar identik dari keempat sudutnya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Agar volume kotak maksimum, panjang sisi bujur sangkar yang dipotong adalah …
a. 1 cm
b. 2 cm
c. 3 cm
d. 4 cm
Jawaban: b
12. Laju perubahan luas lingkaran terhadap jari-jarinya `r` adalah …
a. `πr`
b. `2πr`
c. `πr²`
d. `2π`
Jawaban: b
13. Grafik fungsi `f(x) = x⁴ – 8x³` memiliki titik belok pada …
a. `x = 0` dan `x = 2`
b. `x = 0` dan `x = 4`
c. `x = 2`
d. `x = 4`
Jawaban: c
14. Jika sebuah perusahaan memproduksi `x` unit barang, biaya totalnya `C(x) = 100 + 5x + 0,1x²`. Harga jual per unit adalah `P(x) = 20 – 0,05x`. Untuk mencapai keuntungan maksimum, jumlah barang yang harus diproduksi adalah …
a. 50 unit
b. 75 unit
c. 100 unit
d. 125 unit
Jawaban: c
15. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan `v(t) = t² – 4t + 3`. Partikel akan berhenti sesaat (kecepatan 0) pada `t = …`
a. 1 detik dan 2 detik
b. 1 detik dan 3 detik
c. 2 detik dan 3 detik
d. 0 detik dan 1 detik
Jawaban: b
16. Persamaan garis singgung pada kurva `y = x² + 2x – 1` di titik `(1, 2)` adalah …
a. `y = 4x – 2`
b. `y = 4x + 2`
c. `y = 2x + 0`
d. `y = -4x + 6`
Jawaban: a
17. Dua kapal berlayar dari titik yang sama. Kapal pertama bergerak ke timur dengan kecepatan 15 km/jam, dan kapal kedua bergerak ke selatan dengan kecepatan 20 km/jam. Laju perubahan jarak antara kedua kapal setelah 2 jam adalah …
a. 25 km/jam
b. 30 km/jam
c. 35 km/jam
d. 40 km/jam
Jawaban: a
18. Titik kritis dari fungsi `f(x) = 3x² – 18x + 5` terjadi ketika `x = …`
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: c
19. Jika `y = (2x – 1)⁵`, maka laju perubahan `y` terhadap `x` adalah …
a. `5(2x – 1)⁴`
b. `10(2x – 1)⁴`
c. `5(2x – 1)⁶`
d. `(2x – 1)⁴`
Jawaban: b
20. Fungsi `f(x) = x³ – 6x² + 5` cekung ke bawah pada interval …
a. `x < 2`
b. `x > 2`
c. `x < 0`
d. `0 < x < 2`
Jawaban: a
## Soal Isian Singkat (5 Soal)
1. Sebuah bola dilempar ke atas dengan fungsi ketinggian `h(t) = 30t – 5t²` (dalam meter, `t` dalam detik). Ketinggian maksimum yang dicapai bola adalah … meter.
Jawaban: 45
2. Jika fungsi keuntungan total suatu perusahaan adalah `P(x) = -x² + 100x – 500`, maka keuntungan marginal saat `x = 40` unit adalah …
Jawaban: 20
3. Sebuah partikel bergerak dengan persamaan posisi `s(t) = t³ – 9t² + 24t`. Percepatan partikel saat kecepatan adalah 0 adalah …
Jawaban: 6
4. Suatu fungsi `f(x) = x² – 6x + 8`. Nilai minimum fungsi pada interval `[0, 5]` adalah …
Jawaban: -1
5. Laju perubahan volume kubus terhadap panjang rusuknya `s` adalah …
Jawaban: `3s²`
## Soal Uraian (5 Soal)
1. Sebuah perusahaan memproduksi `x` unit barang. Biaya total untuk memproduksi `x` unit adalah `C(x) = 500 + 10x + 0,2x²`. Harga jual per unit barang adalah `P = 50 – 0,1x`. Tentukan jumlah unit barang yang harus diproduksi agar perusahaan memperoleh keuntungan maksimum, dan berapa keuntungan maksimum tersebut.
Jawaban:
1. Fungsi Pendapatan (R(x)): `R(x) = x * P = x(50 – 0,1x) = 50x – 0,1x²`
2. Fungsi Keuntungan (K(x)): `K(x) = R(x) – C(x) = (50x – 0,1x²) – (500 + 10x + 0,2x²) = -0,3x² + 40x – 500`
3. Untuk mencari keuntungan maksimum, cari `K'(x) = 0`:
`K'(x) = -0,6x + 40`
`0 = -0,6x + 40`
`0,6x = 40`
`x = 40 / 0,6 = 400 / 6 = 200 / 3 ≈ 66,67`
Karena unit barang harus bilangan bulat, kita bisa coba `x = 66` atau `x = 67`. Dalam konteks aplikasi, seringkali dibulatkan atau dianggap pada titik tersebut. Untuk tujuan kalkulus, `x = 200/3`.
4. Verifikasi apakah ini maksimum menggunakan uji turunan kedua:
`K”(x) = -0,6`. Karena `K”(x) < 0`, ini adalah titik maksimum.
5. Hitung keuntungan maksimum (gunakan `x = 200/3`):
`K(200/3) = -0,3(200/3)² + 40(200/3) – 500`
`= -0,3(40000/9) + 8000/3 – 500`
`= -12000/90 + 8000/3 – 500`
`= -4000/30 + 8000/3 – 500`
`= -400/3 + 8000/3 – 1500/3`
`= 6100/3 ≈ 2033,33`
Jumlah unit barang yang harus diproduksi adalah sekitar 67 unit. Keuntungan maksimum yang diperoleh adalah sekitar Rp2033,33 (atau `6100/3`).
2. Sebuah tangki air berbentuk kerucut terbalik dengan tinggi 10 meter dan jari-jari alas 5 meter. Air dipompa masuk ke tangki dengan laju 0,1 m³/menit. Seberapa cepat ketinggian air naik saat ketinggian air 4 meter? (Rumus volume kerucut: `V = ⅓πr²h`)
Jawaban:
1. Rumus Volume Kerucut: `V = ⅓πr²h`
2. Hubungan `r` dan `h`: Dari segitiga sebangun, `r/h = R/H`, di mana `R` adalah jari-jari alas tangki (5m) dan `H` adalah tinggi tangki (10m).
`r/h = 5/10 = 1/2`, sehingga `r = h/2`.
3. Substitusikan `r` ke dalam rumus volume:
`V = ⅓π(h/2)²h = ⅓π(h²/4)h = (1/12)πh³`
4. Turunkan `V` terhadap `t`:
`dV/dt = (d/dt)[(1/12)πh³] = (1/12)π * 3h² * dh/dt = (1/4)πh² * dh/dt`
5. Diketahui: `dV/dt = 0,1 m³/menit`, dan kita ingin mencari `dh/dt` saat `h = 4` meter.
6. Substitusikan nilai yang diketahui:
`0,1 = (1/4)π(4)² * dh/dt`
`0,1 = (1/4)π(16) * dh/dt`
`0,1 = 4π * dh/dt`
7. Selesaikan untuk `dh/dt`:
`dh/dt = 0,1 / (4π) = 1 / (40π)`
Ketinggian air naik dengan laju `1 / (40π)` m/menit saat ketinggian air 4 meter.
3. Analisis fungsi `f(x) = x³ – 6x² + 9x + 10`. Tentukan interval di mana fungsi naik/turun, titik ekstrim lokal, interval di mana fungsi cekung ke atas/bawah, dan titik beloknya.
Jawaban:
1. Turunan Pertama: `f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3(x² – 4x + 3) = 3(x – 1)(x – 3)`
* Titik kritis (`f'(x) = 0`): `x = 1` dan `x = 3`.
* Interval Fungsi Naik/Turun:
* `x < 1`: Misal `x = 0`, `f'(0) = 3(-1)(-3) = 9 > 0` (Fungsi naik)
* `1 < x < 3`: Misal `x = 2`, `f'(2) = 3(1)(-1) = -3 < 0` (Fungsi turun)
* `x > 3`: Misal `x = 4`, `f'(4) = 3(3)(1) = 9 > 0` (Fungsi naik)
* Kesimpulan:
* Naik pada interval `(-∞, 1)` dan `(3, ∞)`.
* Turun pada interval `(1, 3)`.
* Titik Ekstrim Lokal:
* Pada `x = 1` (dari naik ke turun) ada maksimum lokal: `f(1) = 1³ – 6(1)² + 9(1) + 10 = 1 – 6 + 9 + 10 = 14`. Titik `(1, 14)`.
* Pada `x = 3` (dari turun ke naik) ada minimum lokal: `f(3) = 3³ – 6(3)² + 9(3) + 10 = 27 – 54 + 27 + 10 = 10`. Titik `(3, 10)`.
2. Turunan Kedua: `f”(x) = 6x – 12 = 6(x – 2)`
* Titik potensial belok (`f”(x) = 0`): `x = 2`.
* Interval Cekung Ke Atas/Bawah:
* `x < 2`: Misal `x = 0`, `f''(0) = -12 < 0` (Fungsi cekung ke bawah)
* `x > 2`: Misal `x = 3`, `f”(3) = 6 > 0` (Fungsi cekung ke atas)
* Kesimpulan:
* Cekung ke bawah pada interval `(-∞, 2)`.
* Cekung ke atas pada interval `(2, ∞)`.
* Titik Belok: Pada `x = 2`, `f(2) = 2³ – 6(2)² + 9(2) + 10 = 8 – 24 + 18 + 10 = 12`. Titik `(2, 12)`.
4. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Ketinggiannya dalam meter setelah `t` detik diberikan oleh `h(t) = 120t – 5t²`.
a. Berapa kecepatan peluru setelah 4 detik?
b. Kapan peluru mencapai ketinggian maksimum?
c. Berapa ketinggian maksimum yang dicapai peluru?
d. Kapan peluru menyentuh tanah kembali?
Jawaban:
1. Fungsi Ketinggian: `h(t) = 120t – 5t²`
2. Fungsi Kecepatan: `v(t) = h'(t) = 120 – 10t`
3. Fungsi Percepatan: `a(t) = v'(t) = -10`
a. Kecepatan peluru setelah 4 detik:
`v(4) = 120 – 10(4) = 120 – 40 = 80` m/detik.
b. Kapan peluru mencapai ketinggian maksimum?
Ketinggian maksimum dicapai saat kecepatan `v(t) = 0`.
`120 – 10t = 0`
`10t = 120`
`t = 12` detik.
c. Ketinggian maksimum yang dicapai peluru:
Substitusikan `t = 12` ke fungsi ketinggian:
`h(12) = 120(12) – 5(12)² = 1440 – 5(144) = 1440 – 720 = 720` meter.
d. Kapan peluru menyentuh tanah kembali?
Peluru menyentuh tanah saat ketinggian `h(t) = 0`.
`120t – 5t² = 0`
`5t(24 – t) = 0`
Maka `5t = 0` (yaitu `t = 0`, saat peluru ditembakkan) atau `24 – t = 0` (yaitu `t = 24`).
Jadi, peluru menyentuh tanah kembali setelah `24` detik.
5. Sebuah kawat dengan panjang 200 cm akan dibentuk menjadi persegi dan lingkaran. Agar jumlah luas persegi dan lingkaran maksimum, tentukan panjang kawat yang digunakan untuk masing-masing bentuk.
Jawaban:
1. Misalkan:
* `x` adalah panjang kawat yang digunakan untuk persegi.
* `y` adalah panjang kawat yang digunakan untuk lingkaran.
* `x + y = 200`, jadi `y = 200 – x`.
2. Luas Persegi:
* Sisi persegi `s = x/4`.
* Luas persegi `A_p = s² = (x/4)² = x²/16`.
3. Luas Lingkaran:
* Keliling lingkaran `K_L = y = 2πr`, jadi `r = y / (2π)`.
* Luas lingkaran `A_L = πr² = π(y / (2π))² = π(y² / (4π²)) = y² / (4π)`.
4. Fungsi Luas Total (A(x)):
`A(x) = A_p + A_L = x²/16 + y² / (4π)`
Ganti `y` dengan `(200 – x)`:
`A(x) = x²/16 + (200 – x)² / (4π)`
5. Turunan Pertama A(x) untuk mencari nilai ekstrim:
`A'(x) = d/dx [x²/16 + (200 – x)² / (4π)]`
`A'(x) = (2x/16) + (1/(4π)) * 2(200 – x)(-1)`
`A'(x) = x/8 – (200 – x) / (2π)`
6. Set `A'(x) = 0`:
`x/8 – (200 – x) / (2π) = 0`
`x/8 = (200 – x) / (2π)`
`2πx = 8(200 – x)`
`2πx = 1600 – 8x`
`2πx + 8x = 1600`
`x(2π + 8) = 1600`
`x = 1600 / (2π + 8) = 800 / (π + 4)`
7. Hitung nilai `x` dan `y`:
`x = 800 / (π + 4) ≈ 800 / (3.14159 + 4) = 800 / 7.14159 ≈ 112.02` cm.
`y = 200 – x ≈ 200 – 112.02 = 87.98` cm.
8. Untuk memeriksa apakah ini maksimum, bisa gunakan uji turunan kedua:
`A”(x) = 1/8 + 1/(2π)`. Karena `A”(x) > 0`, ini menunjukkan titik minimum.
Ini berarti nilai `x` yang kita temukan mengoptimalkan luas gabungan menjadi *minimum*, bukan maksimum. Untuk maksimum, kita harus memeriksa batas-batas domain `x`, yaitu `x = 0` (seluruhnya lingkaran) atau `x = 200` (seluruhnya persegi).
* Jika `x = 0` (seluruhnya lingkaran): `A = (200²)/(4π) = 40000/(4π) = 10000/π ≈ 3183.1 cm²`
* Jika `x = 200` (seluruhnya persegi): `A = 200²/16 = 40000/16 = 2500 cm²`
Revisi: Dalam kasus ini, titik kritis memberikan minimum. Maksimum akan terjadi pada batas domain.
Luas untuk seluruhnya lingkaran (`x=0`) adalah `10000/π ≈ 3183.1 cm²`.
Luas untuk seluruhnya persegi (`x=200`) adalah `2500 cm²`.
Kesimpulan:
Agar jumlah luas persegi dan lingkaran maksimum, seluruh kawat harus digunakan untuk membuat lingkaran.
* Panjang kawat untuk persegi: 0 cm
* Panjang kawat untuk lingkaran: 200 cm
