Memahami konsep turunan fungsi adalah salah satu pilar penting dalam studi kalkulus, namun seringkali menjadi tantangan bagi banyak siswa. Artikel ini hadir sebagai solusi dengan menyajikan kumpulan komprehensif contoh soal matematika turunan fungsi yang dirancang khusus untuk memperkuat pemahaman Anda. Dari dasar-dasar diferensiasi hingga aturan rantai, aturan hasil kali, dan aturan hasil bagi, setiap soal disusun untuk menguji dan mempertajam keterampilan Anda dalam mengaplikasikan berbagai teknik turunan.
Kami memahami bahwa latihan soal yang bervariasi adalah kunci untuk menguasai materi ini. Oleh karena itu, Anda akan menemukan soal-soal yang mencakup turunan fungsi aljabar, trigonometri, dan bahkan eksponensial/logaritma sederhana. Orientasi soal-soal ini tidak hanya fokus pada perhitungan, tetapi juga pada pemahaman konsep di balik setiap langkah penyelesaian. Tujuannya adalah membantu Anda membangun fondasi yang kuat, sehingga Anda tidak hanya bisa menghitung turunan, tetapi juga memahami makna serta aplikasinya dalam berbagai konteks matematika.
Dengan berlatih menggunakan contoh soal matematika turunan fungsi ini secara teratur, Anda akan meningkatkan kecepatan dan akurasi dalam menyelesaikan masalah, mempersiapkan diri lebih baik untuk ujian, dan mendapatkan kepercayaan diri yang lebih tinggi dalam menghadapi materi kalkulus yang lebih kompleks. Mari kita selami dunia turunan fungsi dan taklukkan setiap tantangannya bersama-sama!
Berikut adalah 30 contoh soal mengenai turunan fungsi, dengan rincian 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian.
—
## Soal Pilihan Ganda
1. Jika f(x) = 5, maka turunan pertama f'(x) adalah…
a. 5x
b. x
c. 0
d. 5
Jawaban: c
2. Turunan pertama dari f(x) = 3x² adalah…
a. 3x
b. 6x
c. 2x
d. x²
Jawaban: b
3. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) = 4x³ + 2x – 1.
a. 12x² + 2
b. 4x² + 2
c. 12x³ + 2
d. 8x² – 1
Jawaban: a
4. Jika y = (2x + 3)², maka dy/dx adalah…
a. 2(2x + 3)
b. 4(2x + 3)
c. 2x + 3
d. 4x + 6
Jawaban: b
5. Turunan dari f(x) = x⁵ – 3x³ + 2x adalah…
a. 5x⁴ – 9x² + 2
b. 5x⁵ – 9x³ + 2x
c. x⁴ – x² + 2
d. 5x⁴ – 6x² + 2
Jawaban: a
6. Hasil dari turunan pertama fungsi f(x) = (x² + 1)(x – 2) adalah…
a. 3x² – 4x + 1
b. x³ – 2x² + x – 2
c. 2x(x – 2) + (x² + 1)
d. x² – 4x + 1
Jawaban: a
7. Turunan pertama dari f(x) = sin x adalah…
a. cos x
b. -cos x
c. sin x
d. -sin x
Jawaban: a
8. Turunan pertama dari f(x) = cos(3x) adalah…
a. sin(3x)
b. -sin(3x)
c. 3sin(3x)
d. -3sin(3x)
Jawaban: d
9. Jika g(x) = (x³ – 2x)⁵, maka g'(x) adalah…
a. 5(x³ – 2x)⁴
b. (3x² – 2)⁵
c. 5(3x² – 2)(x³ – 2x)⁴
d. (3x² – 2)(x³ – 2x)⁴
Jawaban: c
10. Turunan pertama dari f(x) = x⁻³ adalah…
a. -3x⁻⁴
b. -3x⁻²
c. x⁻⁴
d. 3x⁻⁴
Jawaban: a
11. Gradien garis singgung kurva y = x² – 4x + 3 di titik x = 3 adalah…
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawaban: b
12. Turunan pertama dari f(x) = 1/x adalah…
a. 1
b. -1/x²
c. 1/x²
d. ln x
Jawaban: b
13. Jika y = √(x² + 1), maka dy/dx adalah…
a. 1 / (2√(x² + 1))
b. x / √(x² + 1)
c. 2x / √(x² + 1)
d. √(x² + 1)
Jawaban: b
14. Tentukan turunan dari f(x) = (x – 1) / (x + 1).
a. 2 / (x + 1)²
b. -2 / (x + 1)²
c. 1 / (x + 1)²
d. (x² – 1) / (x + 1)²
Jawaban: a
15. Fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1 akan naik pada interval…
a. x < 1 atau x > 3
b. 1 < x < 3
c. x < 3
d. x > 1
Jawaban: a
16. Turunan kedua dari f(x) = 2x³ – 3x² + 5x – 7 adalah…
a. 6x² – 6x + 5
b. 12x – 6
c. 6x – 6
d. 12x² – 6x
Jawaban: b
17. Jika f(x) = e^(2x), maka f'(x) adalah…
a. e^(2x)
b. 2e^(2x)
c. 2xe^(2x-1)
d. e^(2x) / 2
Jawaban: b
18. Turunan pertama dari f(x) = ln(x² + 3) adalah…
a. 1 / (x² + 3)
b. 2x / (x² + 3)
c. (x² + 3) / 2x
d. 2x ln(x² + 3)
Jawaban: b
19. Jika y = tan(x), maka dy/dx adalah…
a. sec²(x)
b. -sec²(x)
c. cot(x)
d. -cot(x)
Jawaban: a
20. Nilai turunan pertama dari f(x) = x³ – 2x² + 5 pada x = 2 adalah…
a. 5
b. 6
c. 7
d. 8
Jawaban: d
—
## Soal Isian Singkat
1. Jika f(x) = 7x² – 3x + 10, maka f'(x) adalah …
Jawaban: 14x – 3
2. Turunan pertama dari g(x) = (3x + 2)³ adalah …
Jawaban: 9(3x + 2)²
3. Jika h(x) = x⁴ sin x, maka h'(x) adalah …
Jawaban: 4x³ sin x + x⁴ cos x
4. Turunan kedua dari f(x) = x⁴ – 5x² adalah …
Jawaban: 12x² – 10
5. Jika diketahui f(x) = 2/x, maka nilai f'(1) adalah …
Jawaban: -2
—
## Soal Uraian
1. Jelaskan secara singkat apa yang dimaksud dengan turunan fungsi dan berikan salah satu interpretasi geometrisnya.
Jawaban: Turunan fungsi adalah laju perubahan sesaat suatu fungsi terhadap perubahan variabelnya. Secara geometris, turunan pertama dari fungsi f(x) di suatu titik x = a (dilambangkan f'(a)) merepresentasikan gradien (kemiringan) garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a)).
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x³ – 2x + 5 di titik dengan absis x = -1.
Jawaban:
1. Cari titik y: y(-1) = (-1)³ – 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6. Titiknya adalah (-1, 6).
2. Cari turunan pertama (gradien): y’ = 3x² – 2.
3. Hitung gradien di x = -1: m = y'(-1) = 3(-1)² – 2 = 3 – 2 = 1.
4. Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁):
y – 6 = 1(x – (-1))
y – 6 = x + 1
y = x + 7
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = x + 7.
3. Tentukan interval di mana fungsi f(x) = x³ – 3x² – 9x + 5 naik dan interval di mana fungsi tersebut turun.
Jawaban:
1. Cari turunan pertama: f'(x) = 3x² – 6x – 9.
2. Cari titik stasioner (f'(x) = 0):
3x² – 6x – 9 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1
3. Uji interval:
* Untuk x < -1 (misal x = -2): f'(-2) = 3(-2)² - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 (> 0, fungsi naik)
* Untuk -1 < x < 3 (misal x = 0): f'(0) = 3(0)² - 6(0) - 9 = -9 (< 0, fungsi turun)
* Untuk x > 3 (misal x = 4): f'(4) = 3(4)² – 6(4) – 9 = 48 – 24 – 9 = 15 (> 0, fungsi naik)
Jadi, fungsi naik pada interval x < -1 atau x > 3. Fungsi turun pada interval -1 < x < 3.
4. Sebuah kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng persegi berukuran 12 cm x 12 cm dengan memotong persegi-persegi kecil yang sama di setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Tentukan ukuran sisi persegi kecil yang harus dipotong agar volume kotak maksimum.
Jawaban:
1. Misalkan sisi persegi kecil yang dipotong adalah x cm.
2. Maka, alas kotak akan berukuran (12 – 2x) cm x (12 – 2x) cm, dan tinggi kotak adalah x cm.
3. Volume kotak V(x) = (12 – 2x)² * x = (144 – 48x + 4x²)x = 144x – 48x² + 4x³.
4. Untuk mencari volume maksimum, cari turunan pertama V'(x) dan setel sama dengan nol:
V'(x) = 144 – 96x + 12x²
12x² – 96x + 144 = 0
x² – 8x + 12 = 0 (dibagi 12)
(x – 2)(x – 6) = 0
x = 2 atau x = 6.
5. Periksa batasan x. Karena panjang sisi harus positif, 12 – 2x > 0, jadi 2x < 12, x < 6.
Maka, nilai x = 6 tidak mungkin karena akan membuat sisi alas menjadi 0.
6. Gunakan uji turunan kedua untuk x = 2:
V”(x) = -96 + 24x
V”(2) = -96 + 24(2) = -96 + 48 = -48. Karena V”(2) < 0, maka x = 2 memberikan volume maksimum.
Jadi, ukuran sisi persegi kecil yang harus dipotong adalah 2 cm.
5. Jelaskan perbedaan antara turunan pertama dan turunan kedua suatu fungsi dalam konteks analisis kurva (fungsi).
Jawaban:
* Turunan Pertama (f'(x)): Menggambarkan laju perubahan fungsi atau gradien garis singgung pada kurva. Ini digunakan untuk menentukan:
* Interval fungsi naik (f'(x) > 0) atau turun (f'(x) < 0).
* Titik stasioner (f'(x) = 0), yang bisa berupa titik balik maksimum, minimum, atau titik belok.
* Turunan Kedua (f”(x)): Menggambarkan laju perubahan dari turunan pertama, atau dengan kata lain, menggambarkan kecekungan kurva. Ini digunakan untuk menentukan:
* Kecekungan kurva: Cekung ke atas (f”(x) > 0) atau cekung ke bawah (f”(x) < 0).
* Titik belok: Terjadi ketika kecekungan berubah, yang biasanya terjadi saat f”(x) = 0 atau f”(x) tidak terdefinisi (dan ada perubahan tanda f”(x)).
* Uji turunan kedua untuk menentukan jenis titik stasioner (maksimum lokal jika f”(x) < 0, minimum lokal jika f''(x) > 0).
