Apakah Anda sedang mencari sumber latihan terbaik untuk menguasai persamaan trigonometri? Artikel ini menyajikan kumpulan contoh soal matematika persamaan trigonometri terlengkap yang dirancang khusus untuk membantu Anda memahami konsep esensial dari materi ini. Mulai dari tingkat dasar hingga soal-soal yang lebih menantang, kami menyediakan beragam variasi soal yang mencakup fungsi sinus, kosinus, dan tangen, lengkap dengan berbagai interval penyelesaian yang sering muncul dalam ujian.
Setiap soal disusun dengan cermat untuk melatih pemahaman Anda tentang identitas trigonometri, konsep sudut relasi, hingga metode penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri. Tujuan utama dari latihan soal ini adalah untuk mengasah kemampuan analitis dan strategi pemecahan masalah Anda, sehingga Anda tidak hanya sekadar menghafal rumus, tetapi juga benar-benar mengerti bagaimana mengaplikasikannya dalam berbagai situasi. Baik Anda seorang siswa SMA yang sedang mempersiapkan ujian harian, persiapan UTBK, maupun calon peserta olimpiade matematika, koleksi soal ini akan menjadi panduan berharga untuk memperdalam penguasaan Anda. Dengan berlatih secara rutin menggunakan contoh soal matematika persamaan trigonometri yang kami sediakan, Anda akan membangun kepercayaan diri yang kuat dan siap menghadapi tantangan soal apapun.
Tentu, berikut adalah 30 contoh soal matematika tentang persamaan trigonometri, dibagi menjadi 20 soal pilihan ganda, 5 soal isian singkat, dan 5 soal uraian, beserta kunci jawabannya.
—
# Soal Pilihan Ganda
1. Himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {30°, 150°}
b. {30°, 210°}
c. {60°, 150°}
d. {60°, 330°}
Jawaban: a
2. Nilai x yang memenuhi cos x = √3/2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
a. {π/6, 5π/6}
b. {π/6, 11π/6}
c. {π/3, 2π/3}
d. {π/3, 5π/3}
Jawaban: b
3. Himpunan penyelesaian dari tan x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {45°, 225°}
b. {135°, 225°}
c. {135°, 315°}
d. {225°, 315°}
Jawaban: c
4. Jika 2 sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°, maka nilai x adalah…
a. {30°, 150°}
b. {60°, 120°}
c. {90°, 270°}
d. {180°, 360°}
Jawaban: a
5. Penyelesaian dari sin 2x = sin 60° untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
a. {30°, 60°}
b. {30°, 75°}
c. {30°, 120°}
d. {60°, 150°}
Jawaban: b
6. Nilai x yang memenuhi cos (x – 30°) = 1/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {60°, 330°}
b. {60°, 300°}
c. {90°, 330°}
d. {90°, 360°}
Jawaban: c
7. Himpunan penyelesaian dari tan (2x – π/3) = √3 untuk 0 ≤ x ≤ π adalah…
a. {π/3, 2π/3}
b. {π/3, 5π/6}
c. {π/6, 2π/3}
d. {π/6, 5π/6}
Jawaban: b
8. Jika sin x = cos x untuk 0° ≤ x ≤ 360°, maka nilai x adalah…
a. {45°, 135°}
b. {45°, 225°}
c. {135°, 225°}
d. {45°, 315°}
Jawaban: b
9. Himpunan penyelesaian dari 2 cos²x – 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {45°, 135°, 225°, 315°}
b. {45°, 90°, 135°, 270°}
c. {0°, 90°, 180°, 270°}
d. {0°, 45°, 90°, 135°}
Jawaban: a
10. Nilai x yang memenuhi persamaan √3 tan x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {30°, 150°}
b. {30°, 210°}
c. {60°, 240°}
d. {120°, 300°}
Jawaban: b
11. Himpunan penyelesaian dari sin 3x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
a. {30°, 90°, 150°}
b. {30°, 60°, 150°}
c. {30°, 90°, 120°}
d. {60°, 90°, 120°}
Jawaban: a
12. Penyelesaian dari cos x = -1/2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
a. {π/3, 2π/3}
b. {2π/3, 4π/3}
c. {π/3, 5π/3}
d. {4π/3, 5π/3}
Jawaban: b
13. Jika 2 sin²x – sin x – 1 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°, maka nilai x adalah…
a. {90°, 210°, 330°}
b. {90°, 150°, 210°}
c. {90°, 210°, 300°}
d. {30°, 90°, 150°}
Jawaban: a
14. Nilai x yang memenuhi 2 cos x – √2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
a. {π/4, 3π/4}
b. {π/4, 5π/4}
c. {π/4, 7π/4}
d. {3π/4, 5π/4}
Jawaban: c
15. Himpunan penyelesaian dari tan²x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
a. {45°, 135°}
b. {45°, 90°}
c. {90°, 135°}
d. {45°, 180°}
Jawaban: a
16. Salah satu penyelesaian dari sin (x + 45°) = √3/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. 15°
b. 45°
c. 75°
d. 105°
Jawaban: a
17. Jika cos 2x = cos 40° untuk 0° ≤ x ≤ 180°, maka nilai x adalah…
a. {20°, 160°}
b. {20°, 70°}
c. {20°, 110°}
d. {20°, 140°}
Jawaban: c
18. Himpunan penyelesaian dari 4 sin²x – 3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah…
a. {30°, 150°, 210°, 330°}
b. {60°, 120°, 240°, 300°}
c. {30°, 60°, 210°, 240°}
d. {60°, 150°, 240°, 330°}
Jawaban: b
19. Jika 2 sin x cos x = 1/2 untuk 0° ≤ x ≤ 360°, maka nilai x adalah…
a. {15°, 75°, 195°, 255°}
b. {15°, 105°, 195°, 285°}
c. {30°, 60°, 210°, 240°}
d. {30°, 150°, 210°, 330°}
Jawaban: a (Menggunakan identitas sin 2x = 2 sin x cos x, sehingga sin 2x = 1/2)
20. Penyelesaian dari cos 2x – sin x = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah…
a. {30°, 90°}
b. {30°, 150°}
c. {90°, 150°}
d. {30°, 90°, 150°}
Jawaban: d (Menggunakan identitas cos 2x = 1 – 2 sin²x)
—
# Soal Isian Singkat
1. Jika sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°, maka nilai x adalah …
Jawaban: 90°
2. Himpunan penyelesaian dari cos x = -1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah { … }
Jawaban: {π}
3. Nilai x yang memenuhi tan 3x = √3 untuk 0° ≤ x ≤ 90° adalah …
Jawaban: 20°, 80°
4. Jika sin (x + 10°) = sin 50° untuk 0° ≤ x ≤ 90°, maka nilai x adalah …
Jawaban: 40°
5. Jumlah semua nilai x yang memenuhi 2 cos x = -1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah …°
Jawaban: 360° (karena x = 120° dan x = 240°, maka 120° + 240° = 360°)
—
# Soal Uraian
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin x = cos 20° untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
Jawaban:
Persamaan: sin x = cos 20°
Kita tahu cos 20° = sin (90° – 20°) = sin 70°.
Maka, sin x = sin 70°.
Ada dua kemungkinan:
1. x = 70° + k ⋅ 360°
Untuk k = 0, x = 70°
2. x = (180° – 70°) + k ⋅ 360°
x = 110° + k ⋅ 360°
Untuk k = 0, x = 110°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {70°, 110°}.
2. Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin x cos x – sin x = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Jawaban:
Persamaan: 2 sin x cos x – sin x = 0
Faktorkan sin x:
sin x (2 cos x – 1) = 0
Maka, dua kemungkinan:
1. sin x = 0
x = 0, π, 2π
2. 2 cos x – 1 = 0
2 cos x = 1
cos x = 1/2
x = π/3, 5π/3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, π/3, π, 5π/3, 2π}.
3. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos²x + 3 sin x – 3 = 0 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
Jawaban:
Persamaan: 2 cos²x + 3 sin x – 3 = 0
Gunakan identitas cos²x = 1 – sin²x:
2(1 – sin²x) + 3 sin x – 3 = 0
2 – 2 sin²x + 3 sin x – 3 = 0
-2 sin²x + 3 sin x – 1 = 0
Kalikan dengan -1:
2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0
Misalkan p = sin x, maka 2p² – 3p + 1 = 0
Faktorkan: (2p – 1)(p – 1) = 0
Maka, 2p – 1 = 0 atau p – 1 = 0
1. 2p – 1 = 0 → p = 1/2 → sin x = 1/2
x = 30° atau x = (180° – 30°) = 150°
2. p – 1 = 0 → p = 1 → sin x = 1
x = 90°
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {30°, 90°, 150°}.
4. Jelaskan langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan tan 2x = tan 30° untuk 0° ≤ x ≤ 180°, lalu tentukan solusinya.
Jawaban:
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Identifikasi bentuk persamaan: Persamaan adalah tan Ax = tan B, di mana A = 2, B = 30°.
2. Gunakan rumus umum: Untuk tan θ = tan α, solusi umumnya adalah θ = α + k ⋅ 180°, di mana k adalah bilangan bulat.
3. Substitusikan nilai: Ganti θ dengan 2x dan α dengan 30°.
2x = 30° + k ⋅ 180°
4. Selesaikan untuk x: Bagi seluruh persamaan dengan 2.
x = 15° + k ⋅ 90°
5. Cari nilai k yang relevan: Substitusikan nilai k (bilangan bulat) agar x berada dalam interval yang diberikan (0° ≤ x ≤ 180°).
* Untuk k = 0: x = 15° + 0 ⋅ 90° = 15°
* Untuk k = 1: x = 15° + 1 ⋅ 90° = 15° + 90° = 105°
* Untuk k = 2: x = 15° + 2 ⋅ 90° = 15° + 180° = 195° (Tidak memenuhi interval, karena > 180°)
6. Tulis himpunan penyelesaian: Kumpulkan nilai x yang memenuhi.
Solusi:
Dari langkah-langkah di atas, nilai x yang memenuhi adalah 15° dan 105°.
Himpunan penyelesaiannya adalah {15°, 105°}.
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x = -1/2 untuk 0 ≤ x ≤ π.
Jawaban:
Persamaan: cos 4x = -1/2
Nilai cos yang menghasilkan -1/2 adalah cos (2π/3) atau cos 120°.
Maka, cos 4x = cos (2π/3).
Ada dua kemungkinan solusi umum:
1. 4x = 2π/3 + k ⋅ 2π
x = (2π/3) / 4 + (k ⋅ 2π) / 4
x = 2π/12 + k ⋅ π/2
x = π/6 + k ⋅ π/2
* Untuk k = 0: x = π/6
* Untuk k = 1: x = π/6 + π/2 = π/6 + 3π/6 = 4π/6 = 2π/3
* Untuk k = 2: x = π/6 + π = 7π/6 (Tidak memenuhi 0 ≤ x ≤ π)
2. 4x = -2π/3 + k ⋅ 2π
x = (-2π/3) / 4 + (k ⋅ 2π) / 4
x = -2π/12 + k ⋅ π/2
x = -π/6 + k ⋅ π/2
* Untuk k = 0: x = -π/6 (Tidak memenuhi 0 ≤ x ≤ π)
* Untuk k = 1: x = -π/6 + π/2 = -π/6 + 3π/6 = 2π/6 = π/3
* Untuk k = 2: x = -π/6 + π = 5π/6
* Untuk k = 3: x = -π/6 + 3π/2 = -π/6 + 9π/6 = 8π/6 = 4π/3 (Tidak memenuhi 0 ≤ x ≤ π)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {π/6, π/3, 2π/3, 5π/6}.
